De thi HSG cap truong Toan 9 nam 20122013

a Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC b Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất?. Biết BC = a Không đổi.[r]

TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp Đề số Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (2 điểm) Các biểu thức sau có thể âm không? Có thể không? A = 4x4 – 4x3 + x2 B = 2x2 – 2x + Câu 2: (2 điểm) Cho hai số có tổng và hiệu tìm tích hai số ấy? Câu 3: (2 điểm) Cho A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A> -6 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M là hình chiếu H trên AB, N là hình chiếu H trên AC a) Chứng minh AM.AB = AN.AC b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất? Biết BC = a (Không đổi) Câu 5: (1 điểm) Một người đo chiều cao AB cách ngắm từ C (Hình vẽ) Tính độ dài AB biết CH = 1,5m, = 450, = 150 TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp Đề số Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai bài toán Ngụy biện sau: a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2  (a – b)2 = (b – a)2  a–b=b–a  2a = 2b  a=b Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b Gọi trung bình nhân hai số là Chứng minh trung bình cộng hai số không nhỏ trung bình nhân? (BĐT CôSi) x + x - 4x x - x - 4x A= x x 4x x + x - 4x Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh = = Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), =  < 900 Các tia phân giác các góc A, B, C, D cắt tạo thành tứ giác a) Tứ giác đó là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b,  HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Câu 1a 1b Đáp án A = 4x4 – 4x3 + x2 = x2(4x2- 4x + 1) = x2(2x-1)2 A = x2(2x-1)2  x R A =  2x - =  x = B = 2x2 – 2x + = x2 + x2 - 2x + = x2 + (x - 1)2 >  x R Gọi hai số là a và b ta có a + b = và a - b = Vậy a = = ; b = =  a.b = = = = Điểm 1 0,5 0,5 3a 3b A = Điều kiện < x ≠ Rút gọn: Đặt = a ta có A= = = = = = -2a Vậy A = -2 A = -6  x = A > -6  <  x < Vậy để A > - thì 1 4a 4b 0,5 H Trong tam giác vuông AHB ta có: AM.AB = AH2 (1) Trong tam giác vuông AHC ta có: AN.AC = AH2 (2) Từ (1)&(2)  AM.AB = AN.AC SAMHN = AM.AN = = = Gọi I là trung điểm BC ta có: AH  AI = = nên SAMHN  = Do đó Max SAMHN =  H  I  ABC vuông cân A 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: KC = KB.Cotg 150 = 1,5.3,732 = 5,6 (m) KA = KC = 5,6 (m) AB = KA + KB = 5,6 + 1,5 = 7,1 (m) TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp Đề số Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai bài toán Ngụy biện sau: a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2  (a – b)2 = (b – a)2  a–b=b–a  2a = 2b  a=b Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b Gọi trung bình nhân hai số là Chứng minh trung bình cộng hai số không nhỏ trung bình nhân? (BĐT CôSi) x + x - 4x x - x - 4x A= x x 4x x + x - 4x Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh = = Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), =  < 900 Các tia phân giác các góc A, B, C, D cắt tạo thành tứ giác a) Tứ giác đó là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b,  Câu Đáp án Sai lầm bài là:  (a – b)2 = (b – a)2  = Vì không thể suy a-b = b-a Ta có BĐT: = (1) Với a  0; b  (1)  2 ab   ab  a2+2ab+b2 4ab  a2- 2ab + b2 0(a+b)20 (Đúng với a, b) Đẳng thức xảy a = b Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 3a x + x - 4x x - x - 4x x - x - 4x x + x - 4x Điều kiện để A có nghĩa: A= 0.25 * x -4x0x(x-4)0   x4 (1) * Xét x2 =  x2 = x2 - 4x  4x =  x = Do đó với x≠0 thì x≠  (2) (1)(2)  với x4 thì A có nghĩa 0.25 0.25 3b 3c Rút gọn: A= = = Giải Bpt: <  x2-4x-5<0 x2+x-5x-5<0 x(x+1)-5(x+1)<0 (x+1)(x-5)<0  Kết hợp hai điều kiện trên ta có: -1<x<5 thì A< 0.25 1 0.5 Kẻ AH  BC ta có: = : =  = Tương tự: = Vậy: = = 0.5 0.5 0.5 0.25 5a Ta có: AB // CD, AG và DM là phân giác hai góc cùng phía AD nên AG  DM = H Tương tự: AG  BN = G Tương tự có: CE  BN = F Tương tự: CE  DM = E 0.75 5b  EFGH có góc vuông  EFGH là hình chữ nhật  DMBN là h.b.h, HD = HM, FB = FN nên HF//MB HF = MB = AB - AM = a-b Tương tự EG//AD Tính được: = = , EI = = Kẻ EK  HF ta có EK = EI.sin = Do đó S EFGH = 2SEFH = HF.EK = (a-b)2.sin