a Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC b Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất?. Biết BC = a Không đổi.[r]
(1)TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp Đề số Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (2 điểm) Các biểu thức sau có thể âm không? Có thể không? A = 4x4 – 4x3 + x2 B = 2x2 – 2x + Câu 2: (2 điểm) Cho hai số có tổng và hiệu tìm tích hai số ấy? Câu 3: (2 điểm) Cho A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A> -6 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M là hình chiếu H trên AB, N là hình chiếu H trên AC a) Chứng minh AM.AB = AN.AC b) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác AMHN có diện tích lớn nhất? Biết BC = a (Không đổi) Câu 5: (1 điểm) Một người đo chiều cao AB cách ngắm từ C (Hình vẽ) Tính độ dài AB biết CH = 1,5m, = 450, = 150 TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp Đề số Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai bài toán Ngụy biện sau: a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2 (a – b)2 = (b – a)2 a–b=b–a 2a = 2b a=b Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b Gọi trung bình nhân hai số là Chứng minh trung bình cộng hai số không nhỏ trung bình nhân? (BĐT CôSi) x + x - 4x x - x - 4x A= x x 4x x + x - 4x Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh = = Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), = < 900 Các tia phân giác các góc A, B, C, D cắt tạo thành tứ giác a) Tứ giác đó là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b, (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Câu 1a 1b Đáp án A = 4x4 – 4x3 + x2 = x2(4x2- 4x + 1) = x2(2x-1)2 A = x2(2x-1)2 x R A = 2x - = x = B = 2x2 – 2x + = x2 + x2 - 2x + = x2 + (x - 1)2 > x R Gọi hai số là a và b ta có a + b = và a - b = Vậy a = = ; b = = a.b = = = = Điểm 1 0,5 0,5 3a 3b A = Điều kiện < x ≠ Rút gọn: Đặt = a ta có A= = = = = = -2a Vậy A = -2 A = -6 x = A > -6 < x < Vậy để A > - thì 1 4a 4b 0,5 H Trong tam giác vuông AHB ta có: AM.AB = AH2 (1) Trong tam giác vuông AHC ta có: AN.AC = AH2 (2) Từ (1)&(2) AM.AB = AN.AC SAMHN = AM.AN = = = Gọi I là trung điểm BC ta có: AH AI = = nên SAMHN = Do đó Max SAMHN = H I ABC vuông cân A 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (3) Ta có: KC = KB.Cotg 150 = 1,5.3,732 = 5,6 (m) KA = KC = 5,6 (m) AB = KA + KB = 5,6 + 1,5 = 7,1 (m) TRƯỜNG THCS VINH QUANG Tổ: Tự nhiên ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Môn: TOÁN - Lớp Đề số Thời gian 90 phút (Không kể giao đề) Câu 1: (1 điểm) Tìm chỗ sai bài toán Ngụy biện sau: a2 – 2ab +b2 = b2 – 2ab + a2 (a – b)2 = (b – a)2 a–b=b–a 2a = 2b a=b (4) Câu 2: (2 điểm) Cho hai số không âm a và b Gọi trung bình nhân hai số là Chứng minh trung bình cộng hai số không nhỏ trung bình nhân? (BĐT CôSi) x + x - 4x x - x - 4x A= x x 4x x + x - 4x Câu 3: (3 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh = = Câu 5: (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AB = a, AD = b (a>b), = < 900 Các tia phân giác các góc A, B, C, D cắt tạo thành tứ giác a) Tứ giác đó là hình gì? b) Tính diện tích tứ giác đó theo a, b, Câu Đáp án Sai lầm bài là: (a – b)2 = (b – a)2 = Vì không thể suy a-b = b-a Ta có BĐT: = (1) Với a 0; b (1) 2 ab ab a2+2ab+b2 4ab a2- 2ab + b2 0(a+b)20 (Đúng với a, b) Đẳng thức xảy a = b Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (5) 3a x + x - 4x x - x - 4x x - x - 4x x + x - 4x Điều kiện để A có nghĩa: A= 0.25 * x -4x0x(x-4)0 x4 (1) * Xét x2 = x2 = x2 - 4x 4x = x = Do đó với x≠0 thì x≠ (2) (1)(2) với x4 thì A có nghĩa 0.25 0.25 3b 3c Rút gọn: A= = = Giải Bpt: < x2-4x-5<0 x2+x-5x-5<0 x(x+1)-5(x+1)<0 (x+1)(x-5)<0 Kết hợp hai điều kiện trên ta có: -1<x<5 thì A< 0.25 1 0.5 Kẻ AH BC ta có: = : = = Tương tự: = Vậy: = = 0.5 0.5 0.5 0.25 5a Ta có: AB // CD, AG và DM là phân giác hai góc cùng phía AD nên AG DM = H Tương tự: AG BN = G Tương tự có: CE BN = F Tương tự: CE DM = E 0.75 (6) 5b EFGH có góc vuông EFGH là hình chữ nhật DMBN là h.b.h, HD = HM, FB = FN nên HF//MB HF = MB = AB - AM = a-b Tương tự EG//AD Tính được: = = , EI = = Kẻ EK HF ta có EK = EI.sin = Do đó S EFGH = 2SEFH = HF.EK = (a-b)2.sin (7)