Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.. 1..[r]
(1)Chuyên đề: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Cho hàm số f x xác định K Khi đó, hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x K F x' f x với x K kí hiệu F x f x dx
2 Một số tính chất quan trọng nguyên hàm
'
f x dxf x C
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
3 Cơng thức tính tích phân:
b
a
f x dx F b F a
4 Một số tính chất quan trọng tích phân:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
( ) ( ) ( ) , ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b
5 Nhắc lại quy tắc tính đạo hàm
u v w ' u v w' ' '
u v ' u v uv' ' k ' 0 ( k số )
Đạo hàm hàm sơ cấp xn ' nxn1
'
k k
x x
x ' 21 x sinx' cosx cosx' sinx
'
1 tan
cos x
x
'
1 cot
sin x
x
6 Bảng nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm theo biến x Bảng nguyên hàm hàm số hợp dx x C
du u C
1
,
1 x
x dx C
1
,
1 u
u du C
ln dx
x C x
duu ln u C
x x
e dx e C
e du eu u C
ln x
x a
a dx C
a
ln
u
u a
a du C
a
cosxdxsinx C
cosudusinu C
sinxdx cosx C
sinudu cosu C
2 tan
cos dx
x C x
cos2 tan
du
u C u
2 cot
sin dx
x C x
sin2 cot
du
u C u
B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN NGUYÊN HÀM
Dạng 1: Tìm nguyên hàm hàm số
(2)1 Biến đổi hàm số f(x) hàm số có bảng nguyên hàm:
1 2
( ) ( ) ( ) n n( ) f x k f x k f x k f x Áp dụng tính chất nguyên hàm
1 2
( ) ( ) ( ) n n( ) F x k F x k F x k F x C Các phép biến đổi:
- Các tính chất luỹ thừa:
1
( )
n x xn x x x x x
x x x (với x>0)
- Sử dụng phép biến đổi lượng giác - Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
1
cos sin sin( ) sin( )
2
a b a b a b
- Công thức hạ bậc:
2 cos
sin
2 a a
2 cos
os
2 a c a
3
sin (3sin sin )
a a a os3 1(3cos cos3 )
4
c a a a
Ví dụ
VD Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: yf x x32x2 3x Giải:
Ta có:
4
3 2 3 2 3 3
4
x
x x x dx x dx x dx xdx x x C
VD Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: yf x cos3x Giải:
Ta có:
1
os3 os3 sin
3
c xdx c xd x x C
Bài tập
Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau cách biến đổi sử dụng bảng nguyên hàm bản
1
4
x dx (3x1)dx
2
(3x 6x1)dx
4
4
(x x 5)dx
5
2
2 (3x 1)dx
x
6
2
(x x x1)dx
7
2
(3x 6x e dxx)
8 ( 5.3 )
x x
e dx
9.
10 (3sinx+2cos ) os x dx c x
11 (2 os2 ) x x e e dx c x
12 2x5dx 13
3 8x e dx 14
1 5 x dx 15 x xdx
18 cos(4 ) x dx 19
2
sin 3xdx
20
2
cos (1 ) x dx
21 sinx sin 5xdx 22 sinxcos3xdx 23 cos2xcos3xdx 24
7
sin cosx xdx
25 tan 5xdx
27 ( 1)dx x x 28
1 4dx x 29
1
5 4dx x x
30
3x 7x10dx
31
1
(3)(3sinx-5cosx1)dx
16 7x 5dx
17 sin 5xdx
26
2
tan xdx
33 esinxcosxdx
Dạng 2:CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Phương pháp:
- Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số F(x) f(x) - Bước 2: Chứng tỏ F '(x) = f(x), x D
Ví dụ:
CMR: hàm F x( ) 4sin x(4x5)ex1 nguyên hàm hàm số ( ) 4cos (4 9) x
f x x x e
Giải: tập xác định F(x) f(x)
Ta có:
/
'( ) 4sin (4 5) x 4cos (4 5) x x 4cos (4 9) x ( )
F x x x e x x e e x x e f x Vậy F(x) nguyên hàm hàm f(x)
Bài tập:
Bài 1: CMR: hàm F x( ) x2 2x2 nguyên hàm hàm số ( )
2
x f x
x x
Bài 2: CMR: hàm F x( )x ln 1 x nguyên hàm hàm số ( )
1 x f x
x
Bài 3: Tìm m để hàm số
2
( ) ln
F x x mx
là nguyên hàm hàm số
2
2
( )
3
x f x
x x
Dạng 3: Xác định số C Phương pháp:
Dùng cơng thức học, tìm ngun hàm: F(x) = G(x) + C (*) Dựa vào đề cho để tìm số C
Thay giá trị C vào (*), ta có ngun hàm cần tìm
Ví dụ:
Cho f(x) = sin2x, tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết F( ) = 0
Giải:
2 cos cos sin
sin
2 2
sin
( ) 0
2
x x x x
xdx dx dx C
F C C
Vậy: F(x) =
1
sin
2x x
Bài tập:
(4)( ) sin
f x x biết F(6
)=
2
( ) x
f x x e
x
biết F(0) =
2
( ) sin os3 3tan
(5)TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Tính tích phân định nghĩa, tính chất
Ví dụ:
VD Tính tích phân (Đề TN năm 2010)
Giải:
VD 2: Tính tích phân sau:
5 1 x dx x Giải: Ta có: 5 5 2 2
1 2ln 4ln
1
x
dx dx x x
x x Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân hàm số sau:
3
(x 1)dx
; Đáp số: 24
4
2
4
( 3sin )
cos x x dx
; Đáp số:8
3
2
0
(3 cos ).x dx
; Đáp số:
3
( x 2) e dx
; Đáp số:e+1
5
5
1
3 2dx x x
;Đáp số:
3 ln
8 6.
6
0
sin sin 2x xdx
; Đáp số:
3
32 .
Bài 2: Tính tích phân sau:
1 1
1
❑
√xdx
x2+2 3x dx
− π π
(2 sinx −3 cosx) dx
π4
π2
sin2x dx
5
4
4
0
(cos x sin )x dx
π6
sinx sin 4x dx
0
π
sin 2x cos 3x dx
8
0
6
cos3 cos5x xdx
π
sin2x dx 10 cotxdx 11 tan xdx 12 3x7dx
13
2
1
1 ( 4)dx x x 14 1
2 5x 3x dx
15 x dx x x 16 1 x dx x 17 2
2
3 x x dx x
18
sin x dx 19 x dx 20 4
x x dx
21
2
0
1 sin 2xdx
(6)Dạng 2: Tích phân đổi biến số dạng
Tính tích phân
b
a
I f x dx
B1: Đặt x = ( )t (với ( )t hàm lượng giác) => dx = /( )t dt B2: Đổi cận: x = a (giải pt ( )t = a => t = )
x = b (giải pt ( )t = b => t = ) B3 Biến đổi f(x)dx = g(t)dt
B4:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
I f x dx g t dt G t G G
Dấu hiệu nhận biết:
Tích phân chứa a2x2 2
a x đặt xa tant với t 2;
để cost 0 Tích phân chứa a2 x2 đặt xa sint với t 2;
để cost0 Tích phân chứa x2 a2 đặt cos
a x
t
với
3
0; ;
2
t
để tant0 Ví dụ:
VD 1: Tính: I =
1
2
1 x dx
Giải:
Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt
Đổi cận: x = ⇒ sint = ⇒ t = x = ⇒ sint = ⇒ t =
Vậy I =
2
2
1 sin cost tdt =
2
os cos
c t tdt =
2
2 2
0
0
1 s
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
2 2
in t t
=
VD 2: Tính
1
2
dx I
x
Giải:
Đặt
sin , ; cos
2
x t t dx tdt
Đổi cận: x = ⇒ sint = ⇒ t = x =
1
2 ⇒ sint =
2 ⇒ t =
6
6 6
2
0 0
cos cos
cos
1 sin
t t
I dt dt dt
t t
Bài tập:
(7)1 √3
3 1+x2 dx
√3
1
9+x2dx
3
2 2
2
x dx x
4
−1
−1
2
√1− x2dx
1
√16− x2dx
2
2
2
x dx x
7
x2√4− x2dx
−1
1
2+2x+x2dx (đặt x+1=tant)
9
1
2
2 1 x dx
10
1
2
1 4 x dx
11
2 2
3
1 1dx
x x
12
3 2
9 3x dx x
Dạng 3: Tích phân đổi biến số dạng
Tính tích phân I = ( ) b
a
f x dx
B1 Đặt u = u(x) => du = u/(x)dx
B2 Đổi biến x = a => u = u(a) ; x= b => u = u(b) B3 Biến đổi f(x)dx = g(u)du
B4
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
u b b
u b u a
a u a
I f x dx g u du G u
Dấu hiệu:
- Tích phân có chứa lũy thừa, đặc biệt lũy thừa bậc cao đặt biểu thức lũy thừa t - Tích phân có chứa thức, đặt thức t đặt biểu thức t
- Tích phân có chứa mẫu số, đặt mẫu số t - Tích phân chứa ( ) /( ),sin ( ), os ( ),e ( )
x
x x x c x
đặt t( )x
- Tích phân có chứa ;ln dx
x
x , đặt tlnx - Tích phân có chứa f x( )2
dx
x , nhân tử mẫu với x đặt t x2
- Tích phân hàm số hữu tỉ:
- Nếu mẫu số có nghiệm, đưa tích phân hàm số logarit - Nếu mẫu số vô nghiệm, đưa dạng x2a2, đặt xa tant - Tích phân hàm số lượng giác:
- Biến đổi lượng giác: hạ bậc, biến tích thành tổng, đặt tan2 x t - Bậc lẻ với sin đặt tcosx
- Bậc lẻ với cos đặt tsinx
- Cận tích phân đối đặt t = -x; bù đặt t x, phụ đặt t x Ví dụ:
VD 1: Tính
1
2011
1 I x x dx Giải:
- Đặt
2011 2011 2012 2011
1 1
(8)0
1
x t
0
4
1 2
x u
x = t = 0
0
0 2013 2012
2012 2011
1
1 1
2013 2012 2013 2012 2013.2012
t t
I t t dt
VD 2: Tính
1
1 I x xdx Giải:
- Đặt t 1 x t, 0 t2 1 x x 1 t2 dx2tdt - Đổi cận:
0
0
2
2 2
1
1
1
1 1
1 1
2
t
I t tdt t d t
Hoặc:
0
0 2 0 2
2
1 1 1
2
1 (1 )
2 6
t t
I t tdt t t tdt t t t dt t
VD 3: Tính tích phân sau: I =
4
2
1 tan x cos x dx
Giải:
Đặt u = + tanx ⇒ du = cos2x dx Đổi cận:
⇒
I =
2
2 2
1
1 2 |
u udu
= 32
VD 4: Tính tích phân I =
1+ sin x¿4 ¿ ¿ co s x
¿
0
π
2 ¿ Giải:
- Đặt u =1+ sin x ⇒ du = cosx dx - Đổi cận: x = → u = 0, x = π
2 → u =
⇒
I =
2
2
4
4
0
0
1
3 24
du u
u du
u u
(9)VD 5: Tính tích phân I =
ln x x e dx (e +1) Đặt t = ex +1, suy dt = exdx
Khi x = t = 2, x = ln2 t =
I = 2 dt t = 3 -2 2 1
t dt = -t 6
VD 6: Tính: I =
e
√ln2x+1 lnx
x dx
Đặt u = √ln2x+1 u2 = ln2 x + 1
2u du = 2lnx
x dx Đổi cận: x = u =
x = e u = √2
2
2 3
1
1
. 2 1
3 3
u
I u udu
Bài tập:
Bài Tính tích phân sau:
1
1− x¿2009dx x¿ ¿ (t=1-x)
x√2x+3 dx (t 2x3)
1
0
2 1dx
x x
2
(t x 1)
4
x3√1− x2dx (t 1 x2)
0
π6
cosx√1+3 sinxdx (t 3sin ) x
1
e
1+lnx x dx (t=lnx)
7
e
√2+3 lnx
x dx
(t 3ln ) x
1
e
√1+3 lnx
x lnxdx (t 3ln ) x
0
x √5x+1dx (t 5x1)
10
x+1
√3x+1dx
3
(t 3x1)
11
2 1 dx e e x x
(t e x 1) 12
ln8
ln
1 x e dx
(t ex1) 13
1
π4 etanx+2
cos2x dx (t=tanx+2)
Bài 2: Tính tích phân sau:
1
1
3
(2x1)dx
Đáp số: 10
2
1
2 x dx
Đáp số:
16 3
3
2
2 (2 1)
dx x
Đáp số:
3
2
2 x x dx
Đáp số:
(10 10 3)
9 1 dx x x
6
(10)9
1
1 1dx x x
10
0 cos
dx x
Bài 3: Tính tích phân sau: (Tích phân hàm số lượng giác)
1
2
cos 2xdx
; Đáp số:2
2
sin 3xdx
; Đáp số: sin xdx
; Đáp số: cos xdx
; Đáp số:8)15
5
2
6
0
cos sinx xdx
; Đáp số:2)63
2 sin cos xdx x
; Đáp số:ln2 Dạng 4: Tích phân phần
Sử dụng cơng thức:
b b
b a
a a
udv u v vdu
Phương pháp: Đặt ? ? u dv
cho thích hợp, tính
? ? du v b b a a I u v vdu
Dấu hiệu:
- Tích phân chứa:
( )
sin ( ) ( ) os ( )
x x dx P x c x dx
e dx
Đặt ( )
( ) sin ( )
os ( ) x u P x
x dx dv c x dx
e dx
- Tích phân chứa P x( ) ln ( ) x dx Đặt
ln ( ) ( )
u x
dv P x dx - Tích phân chứa
P(x)
( )
os( x )
e c dx eP(x)sin(( )x )dx ( ,a b0)
Đặt:
( ) P(x)
os x u c dv e dx
( ) P(x)
sin( x ) u
dv e dx (Với P x( ), ( ) x đa thức)
Ví dụ:
VD 1: Tính
3
6
cos I x xdx
(11) Đặt cos sin
u x du dx
dv xdx v x
3
3
6
6
1
.sin sin cos 1
12 12
I x x xdx x
Kết luận:
1
2 1
12
I
VD 2: Tính tích phân
1
0
x I xe dx Giải:
Đặt
x x
u x du dx dv e dx v e
1
1
0
0
x x x 1
I x e e dx e e e e
Kết luận: I 1
VD 3: Tính
cos e
x
I e xdx Giải:
Đặt
os2 2sin
x x
u c x du xdx
dv e dx v e
0
0
os2 sin os2 sin
e e
e
x x e x
I e c x e xdx e c e e xdx
Tính
sin e
x
J e xdx
Đặt
sin 2 os2
x x
u x du c xdx
dv e dx v e
sin 0 sin 2
e
x e
J e x I e e I
os2 2sin os2 sin 2
5 e
e e e c e e
I e c e e e I I
Kết luận:
os2 2sin
e
e c e e
I
VD 4: Tính tích phân
2
1
(12) Đặt
2
1 ln
2
u x du dx
x
dv x dx v x x
2
2
2
1
1 1
1
ln ln ln
2
x
I x x x x dx x
Kết luận:
1 ln
2 I
VD 5: Tính tích phân sau:
cos
0
sin x
e x xdx
. Giải
Ta có:
cos cos
0 0
sin sin .sin
e x x xdx e x xdx x xdx I J
cos cos cos cos cos0
0
1
sin cos .
0
x x x
I e xdx e d x e e e e
e
0
.sin
J x xdx
Đặt sin cos
u x du dx
dv xdx v x
0
.sin cos cos cos 0.cos 0 sin
0 0
J x xdx x x xdx x
Vậy:
cos
0
1 sin
x
e x xdx I J e
e
VD 6: Tính tích phân: I =
2 ln(1 x )dx
Đặt
2
2xdx du
u ln(1 x )
1 x
dv dx v x
1 2
1 x
2
I x ln(1 x ) 2 dx 2 0 01 x
1 1 1 1
1
ln2 (1 )dx ln [2x]0 dx = ln2 2M
2 2
1 x 1 x
0 0
Với
1
M dx
2 x
Đặt x tant ;
t 0;
4
(13)Do đó: I ln2 2 2
VD 7: Tính tích phân: I =
(2x+1)ln xdx
Đặt
¿ u=lnx dv=(2x+1)dx
⇒
¿du=dx x v=x2+x
¿{ ¿
I ¿(x2+x)lnx¿
−
(x+1)dx ¿5 ln 2−(x 2+x)¿1
2 ¿5 ln 2−5 Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân sau:
1
2
0
(2x 1) cos 2xdx
; Đáp số:-1
2
0
2 sin cosx x xdx
; Đáp số:
3
2
sin x xdx
; Đáp số: 2 4
1
0
ln(x1)dx
; Đáp số:2ln2-1
2
( 1) ln
e
x x xdx
; Đáp số:
3
2 31
9 36
e e
6
2
lnx dx x
; Đáp số: 1
ln 2 2
7
2
.cos x xdx
; Đáp số:
2 1
16
8
sin cosx xdx
; Đáp số:0
9
2
2
(x sin x) cosxdx
; Đáp số: 2
10
2
2
sin (1 cos )
xdx x
; Đáp số:1)2 Bài 2: Tính tích phân sau:
1
π
2
(x+2)sin xdx
π
2
(1− x)cosxdx 3
π
2
xsin3 xdx 4.
− π π
(x+1)cosx
2dx 0
1
x e2xdx
0
(x2−3x+1)e2dx
π
2
❑excosxdx 8.
0
π
sinx e2xdx
(14)9
e
ln xdx 10.
ln(x+3)dx 11
e
ln xdx 12.
−1
ln(1−3x)dx 13
lnx¿2dx ¿
1
e
¿
14
e
x(2−lnx)dx 15
π
2
x+1
cos2x dx 16
π
4
π
2
❑esin2xsin xdx
17
lnx¿2dx
x3¿
1
e
¿ 18
0
❑cos√xdx
19
x+1¿2 ¿ ¿ lnx
¿
1
e e
¿ 20
0
exdx
21
2
0
1 sin
x xdx
22
2
cos x xdx
23
1
0
ln x1 dx
24
cos x
e xdx
25 ln
0
x x
dx e
2 1 3
0
26. xsin xdx 27 (2x 1)e dxx 28 lnx xdx
1 1
0 0
29 (4 1) x 30 (1 cos ) 31 (1 x) 32 ( x)
x e dx x x dx e xdx x x e dx
Dạng 5: Tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối
( ) b
a
(15)Phương pháp
Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x a x1 x2 b f(x) + 0 - 0 +
Bước Áp dụng tính chất cộng tích phân để tách thành tích phân tính
Ở BXD ta có:
1
1
b x x b
a a x x
I = ò f(x) dx= ịf(x)dx- ịf(x)dx+ịf(x)dx
Ví dụ:
VD Tính tích phân
2
I x 3x dx
-= ò - +
Giải Bảng xét dấu
x - 3 1 2
2
x - 3x+2 + -
( ) ( )
1
2
3
59
I x 3x dx x 3x dx
2
-= ò - + - ò - + =
Vậy
59 I
2 =
VD Tính tích phân
2
2
I 4cos x 4sin xdx
p
= ò -
- Giải
2
2
0
I 4sin x 4sin x 1dx 2sin x dx
p p
= ò - + = ò
- Bảng xét dấu
x
0 6 p
p 2sin x- - 0 +
( ) ( )
6
0
6
I 2sin x dx 2sin x dx
6
p p
p
p
= - ò - +ò - = -
-
Vậy I
p
= -
- Bài tập: Tính tích phân sau:
2
2
0
1.x1dx 2.x x dx 3.x x x 2dx
4
3
x 4 dx
2
2
1
5 x x dx x 3x 4dx
2
3
1
x 2x x dx
(16)Dạng 6: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
1 Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: yf x( ), trục hoành Ox hai đường thẳng x a x b , là:
(1) b
a
S f x dx
2 Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: yf x y g x( ), ( ) hai đường thẳng
,
x a x b là:
( ) (2)
b
a
S f x g x dx Ví dụ:
VD Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y x 2 x, trục hoành hai đường thẳng x2, x4
Giải:
Áp dụng cơng thức ta có:
4 2
S x x dx
Tính S:
0
2 2
2
S x x dx x x dx x x dx
0
3 3
2
109
3 3
x x x x x x
Kết luận: Diện tích 109
6
VD Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y e x1, trục hoành, trục tung đường thẳng x1.
Giải:
Áp dụng cơng thức ta có:
1 1
0
0
1
x x x
S e dxe dx e x e
Kết luận: Diện tích e
VD Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: x2y2, trục tung đường thẳng
1,
y y . Giải:
Áp dụng cơng thức ta có:
1
1
2
1
1
2
2
3
S y dx y dx y
(đvdt)
Kết luận: Diện tích
4
VD Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = – x2 y = x.
Giải:
Cận a,b nghiệm phương trình: – x2 = x x2 + x – = x =
và x = -2
Áp dụng công thức: S =
( ) ( )
b
a
f x g x dx
S =
1 2
(17) Vậy S =
1 2
2 x x dx
=
1 2
(x x 2)dx
=
1
3
2
2
3
x x x
=
9
2 (đvdt)
Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) y= x2- 3x+ 2, y = x -1, x = , x = 2; Đáp số: S= 2
2).y= x.ex, x=1, y = 0 ; Đáp số: S= 1
2) y = sinx, y = 0, x = 0, x =
; Đáp số:
1 4) y= sin2x +x, y = x,x = 0, x = ; Đáp số: S=
5) y2 =2x y= 2x -2 ; Đáp số: S=
9
6).y2 = 2x +1 y= x-1; Đáp số: 16) 3
7) y = lnx, y = 1, x = ; Đáp số:1
8) y e y x, 2,x=1 Đáp số: e+2ln2-4
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
2
2 y
x
, trục hoành hai đường thẳng x2, x3
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: xy2 4y3, trục tung, trục hoành đường thẳng y2
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: ylnx, trục tung đường thẳng
1,
y y .
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị ( ) :P y x 22, ( ) :d y x hai đường thẳng x0, x1
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
sin sin cos
x y
x x
, trục hoành hai đường thẳng x 0, x
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y2 cos xsinx, trục hoành hai đường thẳng
3 0,
2 x x
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
1 y x 1,y0,x0,x3
2.y x 23x 4,y0,x1,x3
3 5 4 , 0, 1, 3
y x x x y x x
4
3 sin , 0, 0,
2 y x y x x
5
x
os , 0, ,
2
y c y x x
6 y e 2x1,y0,x0,x1 7.y x 2 x 5,yx23x7
8
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
9
2
sin cos , 0, 0,
2 y x x y x x
(18)12 ysin ,x ycos ,x x0,x
13 (C):y x 33x2 6x2 tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ 14 (C): y x 2 2x2 tiếp tuyến (C) qua
3 ( , 1)
2 A
Dạng 7: Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể quay quanh trục hồnh, trục tung Cơng thức tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
yf x
, trục hoành hai đường thẳng x a x b , quay quanh trục hoành là:
2 (1)
b
a
V f x dx
2 Cơng thức tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
xf y
, trục tung hai đường thẳng y a y b , quay quanh trục tung là:
2 (2)
b
a
V f y dy Nhận xét:
Điểm lưu ý xác định xem quay quanh trục hoành hay trục tung
Đối với tốn hình phẳng giới hạn nhiều đường phức tạp (không áp dụng trực tiếp cơng thức (1) (2)), thiết phải vẽ hình xét phương trình tương giao, dựa vào hình vẽ tính chất chia thể tích để đưa công thức phù hợp
Việc vẽ đồ thị quan trọng phải tính diện tích, thể tích hình gồm nhiều đường, phức tạp
Ví dụ:
VD Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: x
y x e , trục hoành đường thẳng x0, x1 quay quanh trục hồnh. Giải:
Áp dụng cơng thức:
1
2 2 2
0
2
x x x
V x e dxx e xe dx 11
6 e
VD Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường: x
y , trục tung hai đường thẳng y1, y4 quay quanh trục tung
Giải:
Áp dụng công thức:
2
4
2
1 1
2 1
4 4
4
V dy y dy
y y
Bài tập:
Bài 1: Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x
Đáp số: V=
18
(19)Bài 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau
khi quay xung quanh trục Ox:
1 2; 0; 0; 3 3
y x x y x x
Đáp số: V=
81 35
Bài Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
ln , 0,
y x y x quay quanh trục hồnh.
Bài Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
2
x my , trục tung hai đường thẳng y1, y1 quay quanh trục tung (m tham số khác 0) Bài Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:,
2, 2 3
xy x y quay quanh trục tung.
Bài Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
, 6,
y x y x y quay quanh trục tung.
Bài Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
ln , 1, 2,
y x x x y quay quanh trục Ox
Bài Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
ln , 1, 2,
y x x x y quay quanh trục Oy
Bài Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường:
y x , trục hoành đường thẳng x4 quay quanh trục hồnh.
Bài tập tích phân tốt nghiệp THPT số năm gần đây:
1
2
2
(x sin x) cosxdx
(TN 2005); Đáp số:
2
2.
2
2
sin cos
x dx x
(TN 2006); Đáp số:
4 ln
3
3
2
1
ln e x
dx x
(TN 2007 lần 1) ; Đáp số:
1
4
1
3
3 x
dx x
( TN 2007 lần 2); Đáp số:ln2
5
1
0
(1 x) e xdx
; (TN 2008 PB lần 1); Đáp số:
1
6.
1
0
(4x 1)e dxx
; (TN 2008 PB lần2 ); Đáp số:e+3
7
1
2
1
(1 ) x x dx
;(TN 2008 không PB lần1 ); Đáp số:
32
8.
1
0
3x1dx
; (TN 2008 không PB lần2 ); Đáp số:
(20)9.0
(1 cos ) x x dx
(TN 2009) Đáp số:
2 4
2
10
1
2
0
( 1) x x dx
(TN 2010) Đáp số:
1 30 11 1
4 5ln e
x dx x
(TN 2011) Đáp số
(21)Chuyên đề: SỐ PHỨC A LÍ THUYẾT:
- Số phức z=a+bi có phần thực a phần ảo b ( a , b∈R , i2=−1 )
- Giả sử số phức z=a+bi biểu diễn điểm M(a,b) ⃗u=(a , b) độ dài vectơ ⃗OM gọi mơđun số phức z kí hiệu |z| Vậy |z| ¿√a2
+b2 - Số phức liên hợp:
Số phức a −bi gọi số phức liên hợp số phức a+bi Kí hiệu z= a – bi
Các phép toán tập số phức: Cho hai số phức z=a+bi z '=c+di - Phép cộng số phức: z z ' ( a c ) ( b d i )
- Phép trừ số phức: z z ' ( a c ) ( b d i )
- Phép nhân số phức: z.z '=(ac−bd)+(ad+bc)i
- Phép chia số phức: 2 2 2
' ( )( )
' ' '
z z z a bi c di ac bd ad bc i
z z z c d c d c d
.
Chú ý:
z z a bi a bi a
2
zz a bi a bi a b z
1 2
z z z z
B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Nhận xét: Tính tốn số phức thật khơng khác với phép tính tập số thực Chỉ có điều, bạn xem số phức i kí hiệu mà i21.
Ví dụ:
VD 1: Thực phép tính sau: a) (5 ) (4 ) i i
b) (1 ) (4 ) i i c) (2 i)(1 ) i d)
1
i i e) 2+3i¿2
¿ f) 1+i¿3+3i
¿
Giải:
a) (3 ) (4 ) (3 4) (2 7) i i i 7 9i b) (1 ) (4 ) (1 4) (4 3) i i i 3 7i
c) (2 i)(1 ) (2.1 ( 1).3) (3.2 ( 1).1) i i 5 5i Dạng1
(22)d) 2
1 (1 )(2 ) 1.2 1( 3) 1.( 3) 1.2
2 3 13 13 13 13
i i i
i i
i
e) 2+3i¿2=4+12i+9i2=−5+12i ¿
f) 1+i¿3+3i=1+3i+3i2+i3+3i=2+5i ¿
VD 2: Tính 1 1
, , , z z z z z z z
z
với: a) z 5 2i z1 4 3i
b) z 4 7i z1 2 5i
Giải:
a) z z (5 ) (4 ) 5 i i i (5 ) (4 )
z z i i i
1 (5 )(4 ) (5.4 2.3) (2.4 3.5) 14 23
zz i i i i
2
5 (5 )(4 ) 26 7
2
4 13 13 13
z i i i
i i
z i
b) z z ( ) (2 )i i 2 12i ( ) (2 )
z z i i i
1 ( )(2 ) 43
zz i i i
2
1
4 ( )(2 ) 43 34 43 34
2 ( 5) 29 29 29 29
z i i i
i i
z i
VD 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết : a) z(2 ) ( 4 i i)
b) z4i (2 ) i
c) z (1 )( )i i d)
2
i z
i
Lời giải :
a) z(2 ) ( 4 i i) 2 4i
Vậy số phức z có phần thực -2 phần ảo -4 b) z4i (2 ) i 2 2i
Vậy số phức z có phần thực phần ảo c) z(2 )(5 ) 31 i i i
Vậy số phức z có phần thực 31 phần ảo
d) 2
2 (1 ) 2
1
1 ( 1) 2
i i i i
z i
i
Vậy số phức z có phần thực -1 phần ảo VD 4: Tìm mơđun số phức sau :
a) z 5 2i
b) z4i ( )i
(23)Lời giải :
a)
2
5 29
z
b) Ta có : z4i ( ) 7i i Do :
2
7 50
z
c) Ta có : z (1 )i 12 2i( )i 1 2i Do : z ( 1) 2(2 2)2 3
d) Ta có : z 4 3i(1 ) i 4 3i(1 3 i 3i) 5 i Do :
2
2 29
z
VD : Tìm số phức liên hợp zcủa z biết : a) z 2 2i
b)
1
(2 )( )
2 z i i
c)
2 15
i z
i
Lời giải :
a) z 2 2i b)
1 3
(2 )( ) 3
2 2
z i i i i i
Vậy :
3
2 z i
c) 2
2 15 (2 15 )(3 ) 24 49
3 13 13
i i i
z i
i
Vậy :
24 49 13 13 z i
Bài : Cho số phức z 4 3i Tìm số phức nghịch đảo
z z
Lời giải :
Ta có 2
1 4 4
4 (4 )(4 ) 25 25 25
i i i
i
z i i i
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Thực phép tính sau: a)
2i 1 i 1 2 i2 5 2 i 6 i
b)
1
2 3
2
( i )( i )
c) (1 2i )2
d)
2 15
i i
e)
3
(24)f)
1 3
i i
g)
2
i i
h)
1
1i1 i
i)
1
i i
j)
9
3
1
i i
k) i3 i 252i23 l)
1
2
bi
b
b b i
Bài 2: Cho
1
2
z i
Tính z,z , z2 zn n Suy 1 z z2
ĐS: zk zk10,
2
2
z i z
, z31, z3k 1, z3k1z
, z3k2 z
, 1 z z2 0
Bài 3: Tìm phần thực phần ảo:
a) z(0 i) (2 ) (7 ) i i ĐS: thực 5, ảo 10 b) z(0 i)(2 )(5 ) i i ĐS: thực 19, ảo -4 c)
6
i z
i
ĐS: thực 16 13, ảo
15 13
d) z(7 ) i 2 (2 i)2 ĐS: thực 37, ảo -38 e) z(2 ) i Đs : thực -5, ảo 12 f) z (1 )i 33i Đs : thực 2, ảo
g)
2 (1 ) i z
i
Đs: thực 2, ảo -1 h) z4 3i i (2 ) i ĐS: thực -6 ảo 9
i) z
1
1 i i
i
ĐS: thực
5 ảo
3 k)
4 (1 )(4 ) z
i i
ĐS: thực 50 ảo
1 50
Bài 4: Cho hai số phức z1 1 2i; z2 3 i.Tính mơđun số phức z biết:
a z z 1 z2 ĐS: 17
b z z 1 2z2 ĐS: 41
c
1
z z
z
ĐS: 2
d z z z ĐS:5
e z z z ĐS: 5
f
2
1
z z z
z
ĐS: 13 Bài 5: Tìm
1 , , z z
z , biết :
a) z(3 )(2 ) i i ĐS:
1
2 18 ; 82;
164 164
i i
(25)b) z 4 8i(2 ) i ĐS:
1
1 ; 17;
17 17
i i
Một số tập hợp điểm mặt phẳng phức:
1) Đường thẳng: * x x 0 song song trùng với trục ảo Oy
* yy0 song song trùng với trục thực Ox
*
2
0
ax by c a b
2) Đường tròn:
2 2 2 2
2
x a y b R hay x y ax by c
có tâm I a;b bán kính R 3) Hình trịn:
2 2
x a y b R
có tâm I a;b bán kính R 4) Đường elip:
2
2
x y a b
5) Đường hyperbol:
2
2
x y a b Ví dụ:
VD 1: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
sau:
a) z i 1 b)
z i z i
c) z z 4 i
Giải:
Giả sử z x yi x, y a) z i x y 1i
2
2 1 1 1 1
z i x y x y
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I ;0 1, bán kính R1 mặt phẳng
phức
b)
2
2
1
1 1
1
z i x y
z i
z i z i x y
2
2
2
1
1
x y x y
x y
2
2
1
y y
x y
y0
Tập hợp điểm biểu diễn trục thực Ox mặt phẳng phức
Dạng 2
ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC
Phương pháp: - Gọi z x yi x, y số phức cần tìm
- Từ giả thiết, tìm hệ thức x, y Hệ thức xác định đường cong
(26)c) z 4 i x yi 4 i x 34 y i 2 2
2
2 2
3 4
6 16
z z i x y x y
x y x x y y
6x8y 25 0
Tập hợp điểm đường thẳng có phương trình 6x8y 25 0
VD 3: Cho số phức z1 1 i,z2 1 2i Hãy tính biểu diễn hình học số phức z12, z z1 2,
2z z , z z1 2,
2
z
z lần lượt điểm A, B, C, D, E.
Giải: z122i A ;0 2
1 1 2
z z i i i i B ;3 1
1
2z z 2 1i 2 i 2 2i i 1 4i C ;1 4
1 1 2
z z i i i i D1 3;
2
1
1 2 3
1 2 2
i i
z i i i
i i
z
3
2
E ;
Bài tập:
Bài 1: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
sau: a) z2
số thực âm b) z2 số ảo
c)
2
z z
d)
1
z i số ảo
e) Phần thực z f) Phần ảo z -4 ĐS: a) Là trục ảo Oy trừ điểm gốc O b) Là hai đường thẳng yx
c) Là hai trục Ox, Oy d) Là trục ảo Oy trừ điểm 0 1; e) Là đường thẳng song song với Oy, cắt Ox điểm (5;0)
f) Là đường thẳng song song với Ox, cắt Oy điểm (0;-4)
Bài 2: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn từng
điều kiện sau:
a) 2i 2z 2z b) 2iz1 2 z3
c) z 1và phần ảo z ĐS: a) đường thẳng 4x8y 3
b) đường thẳng 24x 4y35 0
c) giao điểm đường trịn tâm O bán kính đường y =
Bài 3: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn đồng
thời z1 2 z z i ĐS: 1 2; , 1 0;
2 Dạng
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Az2Bz C 0A,B,C,A0
Tính biệt thức B2 4AC
0
(27)Ví dụ:
VD 1: Giải phương trình C: a) z2 3z 0
b) z2+7=0 c) −1
2z
−4 5=0
Lời giải: a) Ta có:
2
( 3) 4.1.4
Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2
3 i z
2
b) z2 7 z2 7i2 z 7i c) −1
2z
−4
5=0⇔− 2z
2 =4
5⇔z
=8 5i
2⇔
z=± i2√10 Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức a) 2z2
+7z+7=0 b) z2 3z 0 c) − z2
+z −5=0 d) z2 6z 0
Lời giải:
a)
2
z 3z 0 Ta có: −3¿
2
−4 4=−7=7i2 Δ=¿
Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2
3
2 i z b) − z2
+z−5=0 Ta có: 1¿
2
(28)Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2
1 19
2 i z
c) z2−6z+12=0
Ta có: −3¿
2−1 12=−4=4i2 Δ'=¿
Phương trình có hai nghiệm phức: z1,2 3 2i
d) Ta có: 72 4.2.77 0 Phương trình có hai nghiệm phức: 1,2
7 i z
2 Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình sau tập số phức (ẩn x)
a) x2 x ĐS:
1 i 3
b) x2 5 ĐS: i
c)x2 4x 13 0 ĐS: 2 3i;2 3i
Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức:
a) x2 6x29 0 b) x2 x
c) x2 2x 5
ĐS: a) x 3 5i b)
1
2
x i
c) 1 2 i Bài 3: Giải phương trình tập số phức:
a) x2 6x29 0 b) x2 x
c) x2 2x 5 d) 2x2 2x 1
e) x2 3x 4 f) 3x2 x ĐS
a) ' 20 x1,2 3 2i
b) ' 3 1,2
1
2
x i
c) ' 4 x1,2 1 2i.
d) 6 1,2
2
4 i x
e) ' 7 1,2
3
2 i x
f) ' 11 1,2
1 11
6 i x
Bài 4: Giải phương trình tập số phức:
a) x23x 0 ĐS: 1,2
3
2 x
b) x2 x ĐS: 1,2
1 19
(29)c) x23x 0 ĐS: 1,2
3
2 x
d) 3x2 5x 4 ĐS: 1,2
5 23
6 i x
e) 2x23x 2 ĐS: 1,2
3
4 i x
f) x2 3.x10 ĐS: 2i
3
g) 2.x2 3.x 0 ĐS: (1 )
6 i
h) 3x2 x 2 ĐS:
1 23