b. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC taïi M , caét AB taïi E vaø caét tia CA taïi F. Ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc A caét BC taïi D. Tính chieàu cao C[r]
(1)STT
Phần I: đại số
Số tiết
1
Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Dạng 2: Biến i n gin cn thc
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán 4
2
Chủ đề 2: Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng bản Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr
íc .
4
3
Chủ đề 3: Hàm số đồ thị y = ax + b (a 0) Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng
Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng chùm đờng thẳng
2
4
Chủ đề 4: Giải tốn cách lập phơng trình, hệ phơng trình Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sơng có tính đến dịng nớc chảy) Dạng 2: Tốn làm chung – riêng (tốn vịi nớc)
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Dạng 4: Tốn có nội dung hình học
Dạng 5: Toán tìm số
3
5
Chủ đề 5: Hàm số đồ thị y = ax2 (a 0) Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm sốy = ax2 (a 0)
Dạng 2: Caựcbaứi toaựn lieõn quan ủeỏn haứm soỏ y = ax2 Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol
2
6
Chủ đề 6: Phơng trình bậc hai định lí Viét Dạng 1: Giải phơng trình bậc ha
D¹ng 2: Chøng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm
Dng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc
Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phơ thc tham sè
D¹ng 8: Mèi quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc ha
5
7
Chủ đề 7: Phơng trình quy phơng trình bậc hai. Dạng 1: Phơng trình cú n s mu
Dạng 2: Phơng trình chứa thức
Dng 3: Phng trỡnh cha du giá trị tuyệt đối Dạng 4: Phơng trình trùng phơng.
Dạng 5: Phơng trình bậc cao
2
stt
Phần II: Hình học
Số tiết
1
Chủ đề 1: Hệ thức lợng tam giác vuông
Dạng 1: AÙp dụng hệ thức cạnh đờng cao để tìm yếu tố tam giác vng.
Dạng 2: Tính đợc tỉ số lợng giác góc nhọn rút gọn biểu thức lợng giác đơn giản.
D¹ng 3: Tõ mét tØ sè lợng giác tìm tỉ số lợng giác lại. Dạng 4: Giải tam giác vuông cho yếu tố liên quan
4
2
Chủ đề 2: Đuờng trònDạng 1: Chứng minh điểm thuộng đờng tròn Dạng 2: Giải tốn liên quan đờng kính dây.
(2)tròn – đờng trịn với đờng trịn. Dạng 4: Các tốn tiếp tuyến
3
Chủ đề 3: Góc với đờng trịn Dạng 1: Các tốn góc đờng tròn.
Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm một đờng trịn.
Dạng 3: Các tốn độ dài đờng trịn, cung trịn – Diện tích hình trịn, hình quạt trịn.
Dạng 4: Các tốn đờng trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
3
4
Chủ đề 4: Hình học khơng gian
Dạng 1: Các tốn liên quan đến diện tích sung quanh thể tích hình trụ. Dạng 2: Các toán liên quan đến diện tích sung quanh thể tích hình nón, hình nón cụt
Dạng 3: Các tốn liên quan đến diện tích sung quanh thể tích hình cầu 3
5
Học sinh tự làm thi thử theo dõi hỗ trợ giáo viên. 4Đông Thanh, ngày 25 tháng năm 2011
GVBM
Phạm Ngọc Huyến
Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa. Điều kiện để
√
A xác định A ≥0Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau)
2
1) 3x 2) x 3) 2x 4) x
1 2 x
5) 6) x 3x 7) 2x 8)
7x 14 7x
Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức.
Công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa cn thc bc hai
1 Đưaưthừaưsốưraưngoàiưdấuưcănư
A2B=|A|
B2 ĐưaưthừaưsốưvàoưtrongưdấuưcănưA
B=A2B3 Trccnthcmu A
B=A
B B4 Khửưmẫuưcủaưbiểuưthứcưlấyưcănư C
A B=C(
AB) A B Bài 1: Đa thừa số vào dấua3
5
3;b¿x
√
x(víix>0);¿c¿x
√
2
5;d¿(x −5)
√
x
25− x2;e¿x
√
7
(3)¿
0,4
√2
−3√¿a(
√28
−2√14
+√7
)⋅√7
+7√8;d
¿√
6+2√5
+√
6−2√
5;¿b¿(√
8−3√
2+√10
)(¿;e)√
11+6√2
−√
11−6√2
¿c¿(15√50
+5√200
−3√450
):√10 ;f
¿√
35√2
+7−√
35√2
−7¿g¿√
320+14√2
+3;√
20−14√2 ;h
¿√
326+15√3
−√
326−15√
3¿ Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a¿(2
√
3−√
6√
8−2 −√
2163 )⋅
√
6b¿√
14−√
7 1−√
2 +√
15−√
5 1−√
3 ¿:1
√
7−√
5c¿√
5−2√
6+√
8−2√
15√
7+2√
10BBµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh
¿
6
√
10−√¿5 3−√¿
¿
5 3+
a(4+
15)(415 ưưưưưưưưưưưưưưưưưb
)ưưưư(3+5+(35c)ưư3+5352ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưd)ưưưưư474+7+7eưư6,5+12+6,512+26 Dạng 5: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán.Bài 1: Cho biÓu thøc P= x −3
√
x −1−√
2a) Rút gọn P
b) Tính giá trị cđa P nÕu x = 4(2 -
√
3 ) Bµi 2: XÐt biÓu thøc A= a2 +
√
a a −√
a+1−2a+
√
a√
a +1 a) Rót gän Ab) Biết a > 1, so sánh A với |A| c) Tìm a để A =
d) Tìm giá trị nhỏ A Bµi 3: Cho biĨu thøc C=
2
√
x −2− 2√
x+2+√
x1− x a) Rót gän biểu thức C
b) Tính giá trị C víi x=4
9
Bµi 4: Cho biĨu thøc M= a
√
a2− b2−(
1+ a√
a2− b2)
: b a −√
a2−b2 a) Rót gän Mb) TÝnh giá trị M a b=
3
c) Tìm điều kiện a, b để M <
Bµi 5: XÐt biĨu thøc
1− x¿2 ¿ ¿
P=
(
√
x −2 x −1 −√
x+2 x+2√
x+1)
⋅¿ a) Rót gän Pb) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) Tìm giá trị lơn P
Bài 6: XÐt biÓu thøc Q= 2
√
x −9 x −5√
x+6−√
x+3√
x −2−2
√
x+13−
√
x a) Rót gän Qb) Tìm giá trị x để Q < Bài 7: Xét biểu thức H=
(
x − y√
x −√
y−√
x3−√
y3 x − y)
:(
√
x −√
y)
2+√xy
√
x+√
y a) Rót gän H (4)Bµi 8: XÐt biĨu thøc A=
(
1+√
a a+1)
:(
1
√
a −1−2
√
aa
√
a+√
a −a −1)
a) Rót gän A
b) Tìm giá trị a cho A > Bµi 9: XÐt biĨu thøc M=3x+
√
9x−3x+
√
x −2 −√
x+1√
x+2+√
x −2 1−√
x a) Rót gän Mb) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P=15
√
x −11x+2
√
x −3+3
√
x −2 1−√
x −2
√
x+3√
x+3 a) Rút gọn Pb) Tìm giá trị x cho P=1
2 Bài 11 :Cho biÓu thøc : P=x
√
x −1x −
√
x −x
√
x+1x+
√
x + x+1√
x 1/ Rót gän biĨu thøc P :2/ Tìm x để P=9
2 :
Bµi tËp vỊ nhµ:
Bµi 1: So s¸nh (Chó ý:√
A ≤√
B⇔0≤ A ≤ Ba) vµ 2
√
3 b) -√
5 vµ -2 c)2
√
6 vµ√
12Bài 2: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) 3
√
5 ;√
6 ; 29; b)√
2 ;√
38 ;√
7 ; 14 Bài 3: Rút gọn biểu thứca) a
√
b+b√
a√
ab :√
a −√
b b)(
1+ a+√
a√
a+1)(
1−a−
√
a√
a−1)
c)
(
a −√
a+1
√
a−1)
:√
a+1a −2
√
a+1Bµi 4: XÐt biĨu thøc A =
(
a√
a −1 a−√
a −a
√
a+1a+
√
a)
: a+2a −2
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 5: Xét biểu thức B = a
√
a2− b2−(
1+ a√
a2− b2)
: ba−
√
a2−b2 víi a > b >0a) Rót gọn B b) Tìm giá trị B a = 3b
Chủ đề Hệ phơng trình.
A - Hệ hai ph ơng trình bậc hai Èn:
áp dụng phơng pháp cộng đại số phơng pháp cho phù hợp
D¹ng 1: Giải hệ ph ơng trình đ a đ ợc dạng bản Bài 1: Giải hệ phơng trình
13x2y=42x+y=5;ưưưưưưưưưưư2ưư4x2y=36x3y=5;ưưưưưưưưư3ưư2x+3y=54x+6y=10 4ưư3x4y+2=05x+2y=14;ưưưưư5ưư2x+5y=33x2y=14;ưưưưưưư6ưư4x6y=910x15y=18 {{{{ Bài 2: Giải hệ phơng trình sau:
1(3x+2) (2y−3)=6xy¿(4x+5)(y −5)=4xy¿;2¿¿(2x-3) (2y+4)=4x(y −3)+54¿(x+1) (3y−3)=3y(x+1)−12¿;¿ ¿ ¿ ¿3¿¿2y-5x
3 +5=
y+27 −2x¿
x+1
3 +y=
6y−5x
7 ¿;4¿¿
7x+5y-2
x+3y =−8¿
6x-3y+10
(5)2 3x x 3y
3
x 2y y 2x x y x y
1) ; 2) ; 3) ;
4 2x 5
1
x 2y y 2x x y x y
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr ớc Bài 1: a) Định m n để hệ phơng trình sau có nghiệm (2 ; - 1)
¿
2mx−(n+1)y=m −n (m+2)x+3ny=2m−3
¿{
b) Định a b biết phơng trình: ax2 - 2bx + = có hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2.
Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m –
b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2.
Bài 3: Cho hệ phơng trình
mx+4y=10m x+my=4
ưưưư(mưưlàưthamưsố) {
a) Giải hệ phơng trình m =
2b) Giải vµ biƯn ln hƯ theo m
c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng
e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tơng
tù víi S = xy)
f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bµi 4: Cho hệ phơng trình:
(m1)x my=3m1
2x y=m+5 {
a) Giải biện luận hệ theo m
b) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y)
n»m trªn parabol y = - 0,5x2).
e) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm D(x ; y) ln ln nằm đ-ờng thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bµi 5: Cho hƯ phơng trình:
x+my=2
mx2y=1 {
a) Giải hệ phơng trình m =
b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn
Chủ đề 3: Hàm số đồ thị
y = ax + bDạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: (Hớng dẫn:Hàm số bậc y=ax+b Xác định giao điểm với trục tung, giao điểm với trục hoành)
a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x +
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: ( Hớng dãn: Hàm số bậc hai y =ax2 Lập bảng giá tr tng ng
giữa x y )
(6)Dạng 2: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng (Hớng dẫn:Giả sử đờng thẳng cần viết có phơng trình y=ax+b Thay x, y vào điều kiện đề cho tìm a vag b)
Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5)
b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300.
e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm
g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số
a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6)
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vng góc với đờng thẳng x + 2y =
d) Chứng minh khơng có đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)
e)
Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định.
Chủ đề 4:
Giải tốn cách lập hệ ph
ơng trình.
ph
ơng trình
Ôn tập lại phơng pháp giải toán cách lập hệ phơng trình
Dng 1: Chuyển động (trên đ ờng bộ, đ ờng sông có tính đến dịng n ớc chảy)
Bài 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
Bài 2: Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc
3
quãng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h qng đờng cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi v lỳc ngc bng
Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi n ớc)
Bi 1: Hai ngời thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc
4 c«ng viƯc Hái mét
ngời làm cơng việc xong?
Bài 2: Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc
5 hå NÕu vßi A chảy
vũi B chy 30 phút đợc
2 hồ Hỏi chảy vòi chảy
mới đầy hồ
Bài 3: Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể?
Dng 3: Toỏn liờn quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy?
Bµi 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung h×nh häc.
Bài 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2.
Bài 2: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài,
chiều rộng ban đầu
Bài 3: Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông.
Dạng 5: Toán tìm số.
(7)Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d
Bài 3: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số
4
Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số
24 Tìm phân số
Bµi 4: NÕu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng
2 Tìm phân số
Bµi tËp vỊ nhµ
Bµi 1: Mét thun khëi hµnh tõ bến A Sau 5h 20 phút ca nô chạy từ A đuổi theo kịp thuyền
một địa điểm cách A 20 km Tính vận tốc ca nô, biết ca nô nhanh thuyền 12km/h.( coi vận tốc dịng nớc khơng đáng kể)
Bài 2: Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km đợc nửa qng đờng AB, ngời lái xe tăng thêm vận 10 km/h qng đờng cịn lại, tơ đến B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB
Bài 3: Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m, xuất phát lúc từ điểm Nếu chuyển động ngợc chiều hai giây gặp Nếu chuyển động chiều 10 giây lại gặp nhau.Tính vận tc mi vt
Bài 4: Một ca nô xuôi 42 km ngợc dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5h Biết vận tốc dòng nớc
km/h TÝnh vËn tèc ca n« nớc yên nặng
Bi 5: Mt hỡnh ch nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng 2m, diện tích cịn lại để trồng trọt 4256 m2 Tính kích thớc vờn.
Chủ đề 5: Hàm số đồ thị
y = ax2Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a 0)
Hãy vẽ đồ thị hàm số sau mặt pẳng tọa độ Oxy:
a/ y = x
2b/ y = x
2c/
2
y x
d/
2
y x
D¹ng 2: Các toán liên quan đến hàm số y = ax2
Dạng 3: Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng parabol
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vơ nghiệm, có nghiệm kép phơng trình hoành độ Bài 1: a.Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó.
b Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hồnh độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB
Bµi 2: Cho hµm sè y=−1
2x
2
a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P) Bài 3: Trong hệ trục vng góc, cho parabol (P): y=−1
4x
2
đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P)
b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)
c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 4: Cho hàm số y=−1
2x
2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN
c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm
Bài 5: Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2)
4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C
(
32;−1
)
vµ cã hƯ sè gãc ma) Viết phơng trình (d)
(8)Sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn cho phù hợp Bài 1: Giải phơng trình
1) x2 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;
3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;
5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;
7) x2 + 2
√
2 x + = 3(x +√
2 ) ; 8)√
3 x2 + x + =√
3 (x + 1) ; Bài 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm:Sử dụng điều kiện a+b+c=0 a-b+c=0 Hc dïng tỉng hai nghiƯm, tÝch hai nghiƯm 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;
3) x2 – (1 +
√
3 )x +√
3 = ; 4) (1 -√
2 )x2 – 2(1 +√
2 )x + +√
2 = ;5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ;
7) (
√
3 + 1)x2 + 2√
3 x +√
3 - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ;9) x
2– 12x + 27 = ;
10) x
2– 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh ph ơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm phơng trình bậc hai Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm
1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 =
0 ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;
7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m =
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập ph ơng trình bậc hai nhờ nghiệm ph ơng trình bậc hai cho tr ớc.
áp dụng định lý Vi-et thuận tổng hai nghiệm tích hai nghiệm Sử dụng định lý Vi-et đảo hai số có tổng S có tích P
Bài 1:
Gọi x
1; x
2nghiệm phơng trình: x
23x = TÝnh:
A=x12+x22B=
|
x1− x2|
C=
x1−1 +
x2−1
D=
(
3x1+x2) (
3x2+x1)
E=x13+x23F=x14+x24Bµi 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng trình, tính giá
trị biểu thức sau:
2
x x x x 1 1
3 1 2
A 2x1 3x x1 2 2x2 3x x B1 2
x2 x2 x1 x1 x1 x2
Bài 3: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị biểu thức sau: A=
(
3x12x2) (
3x22x1)
;ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưB= x1x2−1 + x2
x1−1 ; C=
|
x1− x2|
;D=x1+2 x1 +
x2+2 x2 Bµi 4: Cho phơng trình 2x2 4x 10 = có hai nghiệm x
1 ; x2 Không giải phơng trình hÃy thiết lập
phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1
Bµi 5: Cho phơng trình 2x2 3x = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 H·y thiết lập phơng trình ẩn y có hai
nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
y1=x1+2 y2=x2+2
¿
b
¿ ¿y1=x1
2
x2
¿y2=x2
2
x1
a{ Bài 6: Cho phơng trình x2 + x – = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình Èn y cã hai
nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿ a¿y1+y2=x1
x2+ x2 x1¿
y1 y2+
y2
y1=3x1+3x2¿;b¿¿ ¿y1+y2=x12+x22¿y12+y22+5x1+5x2=0 ¿ ¿¿ ¿ ¿{¿
Bài 7: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiƯm x
1 ; x2 H·y lËp ph¬ng
(9)y1+y2=1 x1+
1
x2vµ
1
y1+
1
y2=x1+x2
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm. Sử dụng điều kiện đen ta phơng trình có nghiệm, nghiệm kép vô nghiệm Bài 1: a) Cho phơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép ny.
b) Cho phơng trình (2m 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =
Tìm m để phơng trình cú nghim.
a) Cho phơng trình: (m 1)x2 – 2mx + m – = 0.
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phơng trình: (a 3)x2 2(a 1)x + a – = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bµi 2: a Cho phơng trình: 4x
x4+2x2+1
2(2m−1)x x2+1 +m
2− m−6 =0
Xác định m để phơng trình có mt nghim.
b Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0.
Xác định m để phơng trình có nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm ph ơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho tr ớc. Sử dụng định lý Vi-et thuận kết hợp với iu kim bi cho
Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -
7) Định m để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x
1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x
12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x
12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x
1x2 – 5(x1 + x2) + =
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x
1 – 3x2 =
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x
1 + x2 + =
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x
12 + x2 =
Bµi 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phơng trình
có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1 ; x2
cho biÓu thøc R=2x1x2+3 x12+x
22+2(1+x1x2)
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau
mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0.
Bµi 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh rng iu kin cn v
ph-ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) lµ : kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm ph ơng trình bậc hai khơng phụ thuộc tham số. Sử dụng định lý Vi-et thuận coi nh hệ phơng trình sau khử tham số (Bằng phơng pháp thế phơng pháp cộng)
Bµi 1: a Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng
trình không phụ thuộc vào tham số m
b Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m 1) = Khi phơng trình có nghiệm,
hÃy tìm hệ thức nghiệm không phơ thc vµo tham sè m
c Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai nghiệm x ;
x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số –
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phơng trình có nghiệm,
(10)a) Chứng minh phơng trình có hai nghiƯm x1 , x2 víi mäi m
b) T×m biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thc vµo m
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x2
+x2 x1
=−5
2
Bµi 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 ; x2:
- Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m
- T×m m cho |x1 – x2|
Bài 5: Cho phơng trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phơng trình có
hai nghiƯm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =
D¹ng 7: Mèi quan hệ nghiệm hai ph ơng trình bậc hai (Nâng cao) Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghim ca ph-ng trỡnh kia:
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (1)
a’x2 + b’x + c’ = (2)
trong hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m
Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta làm nh sau:
i) Gi¶ sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy hệ
phơng trình:
ax02+bx0+c=0
a'k2x
02+b'kx0+c'=0
(∗) ¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m
ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng vi
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)
Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)
Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai tr-ờng hợp sau:
i) Trờng hợp hai phơng trinhg vô nghiệm, tức lµ: ¿
Δ(3)<0 Δ(4)<0
¿{ ¿ Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số
ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: ¿
Δ(3)≥0
Δ(4)≥0
S(3)=S(4) P(3)=P(4)
¿{ { { ¿
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau:
¿
bx+ay=−c
b'x+a'y=−c' ¿{
(11)- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.
- Kiểm tra lại kết
-Bi 1: Tỡm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.
c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = 0.
Bµi 3: Xét phơng trình sau:
ax2 + bx + c = (1)
cx2 + bx + a = (2)
Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung
Bài 4: Cho hai phơng trình:
x2 2mx + 4m = (1)
x2 – mx + 10m = (2)
Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm ph-ơng trình (1)
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + = 0
a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng
Bµi 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + = (1)
x2 + 2x + m = (2)
a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phơng trình:
x2 5x + k = (1)
x2 – 7x + 2k = (2)
Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)
Bµi TËp vỊ nhµ
Bài 1: Xác định m tìm nghiệm cịn lại biết
a) Phơng trình 2x2- (m+3)x- 5m = có nghiệm 1
b) Phơng trình 4x2+ (2m+ 1)x- m2 = cã mét nghiÖm b»ng -1
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau khơng có nghiệm cho trớc đợc viết dấu ( ) a) 2x2+ (m- 2)x+ m- = ( x = 2)
b) mx2+ (5m- 2)x +1 = (x = 1)
Bài 3: Không giải pt , xét dấu nghiệm phơng trình
a) 3x2- 7x+ = b)5x2+ 3x- = c)2x2+ 13x+ = 0
d) 4x2- 8x +49 = e) 4x2-11x+ = 0
Bài 4: Tìm giá trị m để phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu a) x2- 5mx+ 2m- = b) x2- 6x+ (7- m2) = 0
Bài 5: Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dấu, hai nghiệm mang dấu gì? a) x2- 5x+ m = b) mx2 + mx +3 = c) x2- 2mx+ (5m- 4) = 0
Bài 6: Tìm m để phơng trình
a) x2- x+ 2(m- 1) = cã hai nghiƯm d¬ng
b) 4x2+ 2x+ m- 1= cã hai nghiƯm ©m c) m2x2+ 2mx- = cã hai nghiÖm pb
Bài 7: Tìm m để phơng trình 2x2- 4x+5(m- 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ 3
Bài 8: Cho pt ẩn x sau: x2- 2(m+ 4)x+ m2- = Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1 vµ x2 cho
a) x1+ x2- 3x1x2 đạt GTLN b) x12+ x22- x1x2 đạt GTNN
Bµi 9: Cho pt x2- (2m+ 5)x- m2 = cã hai nghiÖm x
1, x2 Tìm m để
a) x1 x2 lớn -5 b) x1< < x2
Bµi 10: Cho pt: x2- 4x
√3
+ = cã hai nghiƯm x1vµ x2 Không giải pt , hÃy tính giá trị biÓu
thøc:
Q = 6x12+10x1x2+6x22
5x1x23+5x
13x2
Bài 11: Tìm GTLN (nếu có) GTNN(nếu có) biểu thức sau: a) P = x
2 − x+1
x2−2x+3 b) Q =
4x −3
x2
+1 c) E =
(12)Bµi 12: Cho phơng trình x2- 2(m+1)x+ m- = (1)
1) Gi¶i pt m = 1
2) Chứng minh pt(1) ln có nghiệm với m 3) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm trái dấu
4) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm dấu? Khi hai nghiệm mang dấu gì? 5) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt cho x12+x22 = 22
6) T×m GTNN cđa x12x2+ x1x22
7) Tìm m để p t (1) có hai nghiệm phân biệt tích hai nghiệm 4
8) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm có nghiệm 6 9) Tìm m để pt (1) có nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm kia
10) Tìm m để pt (1) có nghiệm cho x1<1<x2
11) Chøng minh biÓu thøc A = x1(1-x2)+ x2(1- x1) không phụ thuộc vào giá trị m
Bài 13: Cho phơng trình ax2+ 2bx+ c = (1); bx2 + 2cx + a = (2);
cx2+2ax+b = (3)
Trong a,b,c khác Chứng minh có pt có nghiệm Bài 14 :a) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn pt 3x2- 6x+ y- = cho y t giỏ t ln nht
b)Tìm GTLN GTNN cđa biĨu thøc P =
x −1¿2 ¿ ¿ ¿ c)T×m GTNN cđa biĨu thøc Q =
x+1¿2 x2
+x+1 Bài 15 Giải pt sau
a) x2- 2(1+
√
3)x+2√
3=0 b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d) x −3+
1
x −2=
x −4
Bµi 16 Cho hai pt: x2 + (m- 1)x +m2 = vµ -x2- 2mx + m = Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét
hai pt cã nghiƯm
Bài 17: Tìm m để hai pt x2+ mx +1 = x2- (m+1)x- 2m = có nghiệm chung.
Bµi 18: Cho pt x2- 2(m- 1)x- 2m + = 0
a) Tìm điều kiện để pt có nghiệm x1 x2
b) T×m GTLN cđa biĨu thøc A =12- 10x1x2- (x12 + x22)
Bài 19 Cho pt: x2+ mx- = Tìm m để tổng bình phơng nghiệm 11
Bµi 20 : Giải biện luận theo m số nghiệm phơng trình sau:
a) x22 mx+m22m+6=0 b) (m1)x22(m+1)x+m2 =0 c) (m−1)x2−2(m+2)x − m−2=0 d) x2−2(m−1)x −3m−5=0 e) (m+3)x2−2
(
m2+3m)
x+m3+12=0 f) x22x 2|x m|+2=0Bài 21 : Giải biện luận theo m số nghiệm phơng tr×nh sau:
a) x2−2(m−1)x+m2−3=0 b) (m−1)x2−2(2m −1)x+2m−1=0 c) x2−2(m−2)x+m2−8=0 d) x2−2(m+1)x+m2+5=0
e) (m−2)x2−2(2m
+1)x+1+2m=0 f) (m−2)x2−2(m+2)x +4=0
Bài 22 : Giải biện luận theo m số nghiệm phơng trình sau: a) (m+1)x22(2m −3)x+2m −3
=0 b) (m−2)x2−2(2m −1)x+2m−1 =0 c) x2−2(m+3)x+m2−9=0 d) x2−2(m−1)x+m2−1=0 e) x2−2(2m−1)x+4m2−1=0 f) x2−(m+1)x+m+2=0
g) (m−2)x2−2(3m−1)x+1−3m=0 h) (m−1)x2−2(2m+3)x+3+2m=0
k ) (m+3)x2−2(2m−1)x+2m −1
=0 l) mx2−2(2m+1)x+2m+1=0
Bài 23 : Tìm giá trị m để phơng trình sau :
(13)5/ x2−2(m+2)x+m2+8=0 6/ (m−1)x2−2(2m −3)x −3+2m=0 7/ (m+2)x2−2(2m −1)x+2m−1=0 8/ x2−2(m−3)x+m2−3=0 9/ x2−2(2m+1)x+4m2−3=0 10/ (m−3)x2−2(2m−1)x −1
+2m=0 11/ (m+3)x2−2(m+1)x −2=0 12/ (m−2)x2−2(2m −1)x+2m−1=0
Bµi 24 : BiÕt x1 = nghiệm phơng trình sau HÃy tìm nghiệm lại chúng,
a) x22(m+2)x+3m −4=0 b) x2−mx+4m−8=0
c) 2x2−2(m−1)x −2m+1=0 d) 3x2−2(m+3)x −4m+3=0
Bµi 25 : BiÕt x1=3
2 nghiệm phơng trình sau HÃy tìm nghiệm lại chúng
a) x22(m+5)x+4m+2=0 b) x2(m+4)x+2m 3=0 c) x2−2(2m+1)x
+5m−3=0
Bµi 26 : Cho phơng trình bậc hai:x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0
1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phơng trình)
Bµi 27 : Cho phơng trình: x2 2mx + 2m = 0.
1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để:
x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8
Bài 28 Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m =
2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 =
Bµi 29: Gäi hai nghiƯm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 =
Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình víi m =
2) Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình x1 x2 Tìm giá trị cđa m tho¶ m·n 5x1 + x2 =
Bài : Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình x2 - 2(m - 1)x - = (m tham số) Tìm m để
1
x x 5
Bµi 30 Cho phơng trình:(m 1)x2 + 2mx + m = (*)
1) Giải phơng trình m =
2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt
Bµi 31 Cho pt: x2 + 3x - m2 - = (1)
1) Giải phơng trình (1) m =
2) Chứng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu với m 3) Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình (1) Hãy tìm giá trị m để:
Bµi 32 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 2)x + m + = 0
a) Giải phơng tr×nh m = -
2
b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để:
x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2
Bµi 33 Cho pt bËc hai cã Èn x: x2 - 2mx + 2m - = 0
1/ CMR ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1, x2 víi m
2/ §Ỉt A =
(
x12+x22)
−5x1x2 a) CM: A = 8m2 - 18m + 9b) T×m m cho A = 27
c) T×m m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm
Bµi 34 Cho pt: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = cã hai nghiƯm x 1, x2
Tìm giá trị m để 10x1x2 + x12+x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 35 Cho phơng trình bậc hai:
x2-2(k-2)x - 2k - = (k - tham số)
a) Chứng minh phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt víi k
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình tìm giá trị k cho: x12+x22=18
Bài 36 Cho pt: (2m - 1)x2 - 4mx + =
a) Giải phơng trình với m = b) Giải phơng trình với m
c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm m
Chủ đề 7: Ph
ơng trình quy ph
ơng trình bậc hai.
(14)Bớc 1: Đặt điều kiện cho phơng trình Bớc 2: Quy đồng mẫu
Bớc 3: Khử mẫu, giải phơng trình thu đợc Giải phơng trình sau:
a¿ x x −2+
x+3
x −1=6b¿ 2x−1
x +3= x+3
2x−1 c¿
t2 t −1+t=
2t2 +5t t+1 D¹ng 2: Ph ơng trình chứa thức.
B 0A 0 (hayB 0)
Lo¹i A B Lo¹i A B
2
A B A B
Giải phơng trình sau:
a
2x23x11=
x21b(x+2)2=3x25x+14c2x2+3x5=x+1d(x 1)(2x3)= x −9¿e¿ưư(x −1)√
x2−3x¿ Dạng 3: Ph ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
¿ AnÕuA≥0
AưnếuưA<0 |A|={
Giải phơng trình sau:
a|x 1|+x2=x+3ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưbưư|x+2|2x+1=x2+2x+3cưư|x4+2x2+2|+x2+x=x44xưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưdưư|x2+1|
x24x+4=3x Dạng 4: Ph ơng trình trùng ph ơng.Giải phơng trình sau:
a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = 0.
Dạng 5: Ph ơng trình bậc cao.
Gii cỏc phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai: Bài 1:
a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ;
c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.
Bµi 2:
a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0
1
2 2
c) x x x x d) x 2 16 x 23 x
x
x x 3x 21 2
e) 2 f) 2 x 4x
x x x x 4x 10
Bµi 3:a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0
b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0
c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1
d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0
Bµi tËp nhà:
Giải phơng trình sau:
1 a ¿ 2(x −1)+
3
x2−1=
1
4b¿ 4x
x+1+ x+3
x =6¿c¿
2x+2
4 − x=
x −2
x −4d¿
x2+2x−3 x2−9 +
2x2−2
x2−3x
+2=8¿
a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0
c) 9x4 + 8x2 – = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0
e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0)
3
a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0
b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0
c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2
d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0
e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0
4
a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0
c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0
(15)a) x3 – x2 – 4x + = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – = 0
c) x3 – x2 + 2x – = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – = 0
e) x3 – 2x2 – 4x – = 0
6
a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0
c) x2 – 4x – 10 - 3
√
(x+2) (x −6) = d)(
2xx−1 +2)
2
−4
(
2x−1x+2
)
+3=0 e)√
x+√
5− x+√
x(5− x)=57
a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5
c) 3
(
x2+x2
)
−16(
x+1
x
)
+26=0 d) 2(
x+
x2
)
−7(
x −1
x
)
+2=0 Định a để phơng trình sau có nghiệma) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 0
c) 2t4 – 2at2 + a2 – = 0.
Phần II: Hình học
Ch 1: H thức lợng tam giác vng
Dạng 1:
Á
p dụng hệ thức cạnh đờng cao để tìm yếu tố tam giác vng.
Ví dụ 1 : Tính x, y hình vẽ sau :
a) b) c)
d) e) f)
Ví dụ 2: Tính x, y hình vẽ sau :
Ví dụ 3 : Trong tam giác vng có độ dài 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao độ dài đoạn thẳng mà định cạnh huyền
Ví dụ 4 : Đường cao tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài Hãy tính cạnh góc vng tam giác
Ví dụ 5 : Cho ABC vuông A, AB6,
cm
B
Biết5 tan
12
, tính a) cạnh AC; b) cạnh BC
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông A biết AB6, AC8 Tính tỷ số lượng giác góc B,
từ suy tỷ số lượng giác góc C
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vng A kẻ đường cao AH Tính sinB, sinCtrong trường hợp sau ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ):
(16)Dạng 2: Tính đợc tỉ số lợng giác góc nhọn rút gọn biểu thức lợng giác đơn
giản.
Ví dụ 1:Sắp xếp từ nhỏ đến lớn tỉ số lượng giác sau đây:
a/ sin810; cos180; sin460; cos850 b/ tg470; cotg150; tg320; cotg400
c/ sin780; cos140; sin470; cos870 d/ tg730; cotg250; tg620; cotg380
Ví dụ 2:Tính a/
0 sin 25
cos65 b/ tg580 – cotg320 c/ sin2450 + cos2450 + 2sin450cos450
d/ tg10tg20tg30…tg890 e/ cotg210cotg220cotg230…cotg2890f/ tg2450 + co tg2450
g/ sin2100 + sin2200 +…+ sin2700 + sin2800 g/ cos2120 + cos2780 + cos210 + cos2890
Ví dụ 3:Rút gọn biểu thức sau: sin
cot sin
1 cos
x
A gx x
x
Bsin (1 2cos ) cos (1 2sin )4x 2x 2x
sin cos
2
sin cos
2C D sin6 cos6 3sin2 .cos2
Ví dụ 4:Tìm góc nhọn x, biết:
a/ cosx = sin380 b/ sinx = cos650 c/ sin2x = cos25 d/ tg3x = cotg450
D¹ng 3: Tõ mét tØ số lợng giác tìm tỉ số lợng giác lại
.
Vớ d 1: Tỡm cỏc t s
ố lượng giác lại biết (
làm tròn chữ số thập phân ) biết : a/ sin = 0,8 b/ cos = o,6 c/1 t
3
g
d/
3 cot
4
g
Dạng 4: Giải tam giác vuông cho yếu tố liên quan:
Vớ dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A, giải tam giác vuông ABC trường
hợp sau?
a/ AB = 21cm; AC = 18cm b/ AC = 10cm; goùc C =300
c/ AB = 10cm; goùc C = 450 d/ BC = 20cm; goùc B = 350
e/ AB = 8cm; BC = 10cm f/ BC = 7cm; goùc B = 410
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 24cm; AC = 32cm; BC = 40cm
a/ Tính góc B, C?
b/ Tính đường cao AH đoạn HB, HC?
BÀI TẬP
L ÀM TH ÊM
HÌNH CHƯƠNG 1
Bài : Cho tam giác ABC vng A có AB = 6cm ; BC = 10cm Kẻ đường cao
AH.
a) Tính : AC ; BH ; AH
b) Kẻ Phân giác AD Tính BD ; AD
c) Kẻ AM, AN vng góc với AB, AC Chứng minh AM.AB =
AN.AC
(17)a) Tính : BC ; AH
b) Kẻ trung tuyến CM Tính CM
Bài : Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH , phân giác AD , biết BD =
10cm,DC = 20cm Tính AH , HD.
Bai : Cho tam giác ABC vuông A có AB= 3/5 BC Đường cao AH = 12cm Tính
Chu Vi tam giác ABC
Bài : Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH = 5cm ; BC = 10cm Tính
BH,AB.
Bài 6: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH.Tính AC; AH biết AB=15cm
HC = 16 cm
Baøi : Cho tam giác ABC vuông A , BC = 71cm ,goùc B = 19
0Bài : Cho tam giác ABC vuông A,với đường cao AH , biết BH = 9cm , CH =
16cm.Tính
a Độ dài BC , AH , AB ,AC.
b Số đo góc B
Bài : Cho tam giác ABC vuông A, có AC = 20cm CosC =
35a Tính tgB vaø cotgB.
b Gọi M trung điểm BC Kẻ đường thẳng vng góc với BC M , cắt
AB E cắt tia CA F Tính CF MF
c Đường phân giác góc A cắt BC D Tính BD , DC
Bài 10 : Cho Tam giác ABC có BC = 12cm , góc B = 60
0, góc C = 40
0Tính
a Tính chiều cao CH AC
b Diện tích tam giác ABC
Bài 11: Cho tam gáic ABC can Biết AB=AC = 10cm , BC = 16cm
a Tính góc tam giaùc ABC
b Trên đường cao AH lấy điểm I cho AH = AI Vẽ Cx// AH , Cx cắt BI
D Tính diện tích tứ giác ABCD
Chủ đề 2: Đuờng tròn
Dạng 1: Chứng minh điểm thuộc đờng tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L
a) Chøng minh DI = IL = LE
b) Chøng minh tø gi¸c BCED hình chữ nhật
c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình
Bi 2: Cho t giỏc ABCD ni tiếp đờng trịn có đờng chéo vng góc với I
a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vng góc xuống cạnh tứ giác đờng vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh
b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác
Bài 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng trịn đờng kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) (O2) lần lợt M N
(18)c) Gọi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào?
Bài 4: Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng trịn phía hình vng.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K lần lợt hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đ-ờng tròn lần lợt I M
a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chøng minh tø gi¸c APMH hình thang cân
) Tỡm v trớ điểm P cung AC để tam giác APB
Dạng 2: Giải toán liên quan đờng kính dây.
Bài 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng trịn
c) KÐo dµi AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp
Bài 2: Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng tròn.Xác định tâm O đờng trịn b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng tròn
Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đ-ờng tròn (O) D Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đờng tròn Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc
Bài 5: Từ điểm M bên ngồi đờng trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB, CE MA, CF MB
Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc
b) CD2 = CE CF
c)* IK // AB
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đờng cao BD CE
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N
a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC
c)* Gọi D giao điểm AB vµ CM Chøng minh r»ng:
AM+ MB=
1 MD
Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đ ờng tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đờng kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN
c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định
Bài 9: Từ điểm A bên đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D
a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN
b) Chøng minh r»ng AB// CD
c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi Bài 10
:
Cho đờng trịn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) Ca) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc
(19)Chøng minh r»ng MAB =
2 AO'D
d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD ( E AD)
a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đờng trịn nói biết AC= 6cm, ACB = 300.
Bài 12:Cho đờng trịn tâm O có đờng kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F
a) Chøng minh r»ng ADCF lµ tø gi¸c néi tiÕp
b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AME = ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đờng tròn (O)
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600.
Bài 13: Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm)
a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng
b) Chứng minh CD tiếp tuyến đờng trịn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R
d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600.
Bài 14:Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia
AC V ng trũn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đờng trịn
b) Chøng minh r»ng ba ®iĨm N, I, P thẳng hàng
c) Gi giao im tia BO với MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC
Dạng 3: Giải tốn liên quan đến vị trí tơng đối đờng thẳng đờng
tròn
–
đ
ờng tròn với đờng tròn.
Bài Tập 1: Cho hai đờng thẳng xy x’y’ cắt M Trên tia Mx lấy điểm A, tia Mx’ lấy điểm
C , tia My lấy điểm B vá F ( B nằm M F), tia My lấy điểm D E ( D nằm M vµ
E Biết MA MB = MC.MD MD.ME = MB.MF Chứng minh a) điểm A, B, C, D nằm đờng tròn
b) điểm B, D, E, F nằm đờng tròn c) AC song song EF
Bài Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm Từ điểm M đờng trịn kẻ MP, MQ, MK thứ tự vng góc với BC, CA, AB Chứng minh
a) C¸c tø gi¸c BPMK , PQCM néi tiÕp b) P, Q, K thẳng hàng
Bi 3: Cho ng trũn tõm đờng thẳng xy nằm ngồi đờng trịn Từ kẻ OA vng góc xy Qua A kẻ cát tuyến cắt đờng tròn B C Tiếp tuyến B C đờng tròn tâm O cắt xy thứ tự D E Chứng minh A tung điểm DE
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Một điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD, AE thứ tự cắt đờng tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh
a) tam giác ABC tam giác EBD đồng dạng
b) Tứ giác ADEC tứ giác AFBC nội tiếp c) AC song song FG d)Các đờng thẳng AC,DE,BF đồng qui
Bài 5: Cho hình thang ABCD nội tiếp đờng trịn tâm O Các đờng chéo AC BD cắt E, cạnh AD BC kéo dài cắt F Chứng minh
a)Bốn điểm A,D,O,E nằm đờng tròn b) Tứ giác AOCF ni tip
Dạng 4: Các toán tiÕp tuyÕn.
Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D'
a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chøng minh tø gi¸c ODC'O' néi tiÕp
(20)Bài 2: Từ điểm C đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N
a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D
b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD
Bài 3:Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đ ờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đ ờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D
a) Tứ giác BEFC hình gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng
c) CF cắt đờng tròn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’)
Bài 4:Cho đờng trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đờng kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D (O), E (O’)) AD cắt BE M
a) Tam giác MAB tam giác gì?
b) Chøng minh MC lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O)
c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng
d) V cựng phớa ca na mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng trịn đờng kính AB OO’ Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK
Chủ đề 3: Góc với đờng trịn
Dạng 1: Các tốn góc đờng trịn.
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AD, BE, CF cắt H a)Chứng minh tứ giác BFEC ; DHEC nội tiếp
b)Chứng minh tam giác DBH tam giác DAC đồng dạng c)Chứng minh H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
d) Gäi I,K thø tù lµ trung ®iĨm cđa AH, BC Chøng minh IK vu«ng gãc EF
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi E điểm đối xứng với H qua BC; Gọi F điểm đối xứng với H qua trung điểm I BC
a)Chøng minh BHCF hình bình hành
b)Chng minh E,F nm đờng tròn tâm O c)C/m tứ giác BCFE hình thang cân d) Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng trịn M
a)Chøng minh OM vu«ng gãc víi BC b)C/m MC 2 = MI MA
a) Kẻ đờng kính MN Các tia phân giác góc B C cắt đờng thẳng AN P Q Chứng minh điểm P, C, B, Q thuộc đờng trịn
Bµi 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Các điểm M,N theo thứ tự trung điểm cạnh AB BC Gọi E giao điểm DN CM
a) C/m tứ giác DAME nội tiếp
b) Gọi P,O,S thứ tự trung điểm DC, CA, AD Gọi Q điểm tia đối tia BC Gọi R giao điểm QM AC Gọi T giao điểm OS với PR Chứng minh MT // PQ
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O P điểm cung nhỏ BC a) Chứng minh PA = PB + PC
b) Qua điểm P dựng đờng thẳng d song song với BC cắt AB kéo dài D Qua P dựng đờng thẳng e song song với AC cắt BC E Qua P dựng đờng thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh PCFE BDPE tứ giác nội tiếp
Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn.
Bài 1: Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K
.
a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD
c) Chøng minh IC phân giác tam giác AIB
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN
a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN
c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn
Bài 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K
(21)c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN d) Chøng minh: IM.IN = IA2.
Bài 4: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN
a) So sánh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì?
c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành
d) ng thng d i qua N vng góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định
Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD
a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định
d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K Chứng minh EC = EK
Dạng 3: Các toán độ dài đờng trịn, cung trịn – Diện tích hình trịn, hình quạt trịn.
Bài 1: Cho đờng trịn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
b) Chøng minh MB.BD = BC.MD
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B
d) Gọi R1, R2 bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R1 + R2
không đổi C di động AB
Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E
a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2.
c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE
d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB
+ Chøng minh r»ng: HA
HB= FA FB
+ Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đờng tròn
Bài 3: Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đờng thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng:
PQ= PB+
1 PC
Bài 4: Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức:
a)
AB2+ AC2=
1
a2 b) AB2 + AC2 = 4R2.
Dạng 4: Các tốn đờng trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
Bài 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B
(O); C (O’))
a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600.
b) Tính độ dài BC
c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng tròn
Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K)
a) Chøng ming r»ng EC = MN
b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN
d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng trịn
Bài 3: Từ điểm A bên đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q
a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị khơng đổi
b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng trịn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB và
diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC
Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK
a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng tròn (O)
(22)Bài 5: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB
a) Chøng minh AOM vuông O
b) OM ct ng trũn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh
ACM đồng dạng với AEC
c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC
3 TÝnh AC, AE, AM, CM theo R
Chủ đề 4: Hình học khơng gian
Dạng 1: Các tốn liên quan đến diện tích sung quanh thể tích hình trụ.Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM
a) Chøng minh BPM c©n
b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng tròn (O)
Bài 2: Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đ-ờng trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ
a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng trịn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d
b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng?
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động d
Bài 3: Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI
a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp
b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào?
c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn
Dạng 2: Các tốn liên quan đến diện tích sung quanh thể tích hình nón, hình nón cụt
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp ch nht ú
Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cã diƯn tÝch mỈt chÐo ACC’A’ b»ng 25
√
2 cm2 TÝnh thĨtích diện tích tồn phần ca hỡnh lp phng ú
Bài 3: Cho hình hép chø nhËt ABCDA’B’C’D’ BiÕt AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vµ gãc A’AC’ b»ng 600.
Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300.
Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC
a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC
b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a
√
22
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp
Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp
b) TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3.
a) Tính độ dài cạnh đáy
b) TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa h×nh chãp
Dạng 3: Các tốn liên quan đến diện tích sung quanh thể tích hình cầu
Bài 1: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ và
chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)
a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh h×nh chãp
Bài 3: Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính diện tích
xung quanh cđa nã
Bài 4: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích
(23)Bài 5: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ
b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt
Bài 6: Một hình cầu có diện tích bề mặt 36 cm2 Tính thể tích hình cầu đó.