Với hình chóp thì điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp là khi đáy hình chóp là đa giác nội tiếp, lúc đó tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một c[r]
(1)c b
a M
H C
B A ÔN TẬP
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 1 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho ABCvuông A ta có :
a) Định lý Pitago : BC2 AB2AC2
b) BA =BH.BC; CA =CH.CB2 c) AB AC = BC AH=2SABC
d) 2
1 = + AH AB AC
e) BC = 2AM
f)
b c b c
sinB= , cosB= , tanB= , cotB=
a a c b
g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB,
a = sin cos
b b
B C, b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a2=b2+c2-2bc.cosA
2 2
b +c -a cosA=
2bc
* Định lý hàm số Sin:
a b c = = =2R sinA sinB sinC
* Độ dài đường trung tuyến:
2
a
2 b +c -a m =
4
3 Các cơng thức tính diện tích.
a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:
a
1 a.b.c
S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)
2 4R
với
a+b+c p=
2
Đặc biệt : *ABC vuông A :
1
S= AB.AC
(2)* ABC cạnh a: diện tích
a S=
4 ; đường cao:
a h=
2
b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
S
[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao] e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình trịn : S.R2
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A Dạng tốn bản:
1) Tính góc hai đường thẳng: PP1: Áp dụng định nghĩa:
a'//a
a,b = a';b' b'//b
PP2: Sử dụng tích vô hướng: a.b
cos a;b = cos a;b = a b
2)Chứng minh hai đường thẳng vng góc:
PP1: ab a.b=0
PP2:
a//b
a c b c
V
V
ấ ấ n n đề đề 1: 1: Hai
Hai đườ đườ ng thng th ẳ ẳng vngng vng góc:góc:
b' b
(3)A Dạng toán bản:
1) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng: PP1:
,
, ( ) ( )
, cat
d a d b
a b mp P d mp P a b
PP2:
a//b
a mp(P) b (P)
2) Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng :
PP1
a (P)
a b b (P)
PP2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc
3) Góc đường thẳng mặt phẳng : Định nghĩa: Góc đường thẳng d mặt phẳng(P) góc đường thẳng d hình chiếu d’ (P)
PP: d’ hình chiếu d (P) (d; (P))=(d;d’)
4) ĐL: Có mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước
V
V
ấấ n n đề đề 2: 2: Đườ
Đường thng thẳng vng góc vẳng vng góc với mới mặtặt phẳng phẳng
d
a b P
a b
(P)
a' a
b P
P a'
(4)A Dạng tốn bản:
1) Góc hai mặt phẳng : Góc hai mặt phẳng cắt góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến
PP1:
( ) ( )
( ), (( );( )) ( ; ) ( ),
P Q
a P a P Q a b
b Q b
PP2: Sử dụng định lý diện tích hình chiếu ' ' os os S
S S c c
S
2) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc:
PP1: (P)(Q)((P);(Q))=900
PP2:
( )
( ) ( ) ( )
a P
P Q
a Q
3) Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng :
PP:
(P) (R)
(Q) (R) (R) (P) (Q)=
a a
4) Cho đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng (P) Có mặt phẳng chứa a vng góc với (P)
V
V
ấ ấ n n đề đề 3: 3: Hai m
Hai m ặặ t pht phẳ ẳ ng vng gócng vng góc phẳng
phẳng
b a
Q P
P Q
a b
Q P
a
d
a
R
(5)A Dạng toán bản:
1) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng :
Hạ MH vng góc với H d(M;)=MH
2) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): Hạ MH vng góc với (P) H d(M;(P))=MH
3) Khoảng cách hai mặt phẳng song song.
Lấy M thuộc (P) d((P);(Q))=d(M;(Q))
3
) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
a) Xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau:
Nếu ab ta dựng mặt phẳng(P) chứa b vng góc với a M, kẻ
MNb N Khi MN đoạn vng góc chung a b Nếu a không vuông góc với b thì:
- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b song song với a - Dựng hình chiếu a’ a (Q), a’ cắt b J - Dựng đường thẳng qua J vng góc với (Q) cắt a I
Khi đó: IJ đoạn góc chung a b b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: d(a;b)=MN
a
a' b
M
N Q
P
V
Vấấn n đềđề 4: 4: Kho
Khoảảng cáchng cách
P Q P
M
M
H H
M
(6)KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
PHẦN 1:THỂ TÍCH
A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N I/ Các công thức thể tích khối đa diện: 1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h với
: dien tich day : chieu cao
B h
a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c
với a,b,c ba kích thước b)Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a độ dài cạnh
2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
V=
1 3Bh
với
: dien tich day : chieu cao
B h
3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:
SABC
SA'B'C'
V SA SB SC V SA' SB' SC'
Chú ý:
1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a 2, Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a 3,
Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a +b +c2 2 , 2/ Đường cao tam giác cạnh a h =
a
(7)B KHỐI TRỊN XOAY:
1 Hình trụ , khối trụ mặt trụ tròn xoay: - Trục OO’
- Đường sinh MM’=l
- Bán kính R=OM, đường cao
h=OO’=MM’
- Diện tích xung quanh:
Sxq=2Rl
- Diện tích tồn phần:
Stp=2Rl+2R2
- Thể tích khối trụ: V=R2l - Mặt trụ tròn xoay sinh
quay đường thẳng l song song đt cố định cách
đoạn R không đổi
2. Hình nón, khối nón, mặt nón trịn xoay:
- Trục SO
- Đường sinh SM=l
- Góc đỉnh 2
- Bán kính đáy R=OM, chiều
cao h=SO
l2=R2+h2
- Diện tích xung quanh:
Sxq=Rl
- Thể tích khối nón:
1
V R h
- Mặt nón trịn xoay sinh
khi quay đường thẳng l cắt cố
định hợp với góc khơng
đổi, góc đỉnh 2
3. Hình cầu, mặt cầu khối cầu:
M' O
O' M
h R R
O S
M
l h
(8)- Tâm O, bán kính R=OM - Diện tích mặt cầu: S=4R2 - Thể tich khối cầu:
2
4
V R
4 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
Tâm O mặt cầu có điểm cách tất đỉnh nên thuộc tất mặt phẳng trung trực cạnh
Với tứ diện ln tồn mặt cầu ngoại tiếp, tâm E giao điểm trục tam giác đáy với trung trực đồng phẳng cạnh bên
Với hình chóp điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp đáy hình chóp đa giác nội tiếp, lúc tâm E giao điểm trục tam giác đáy với trung trực đồng phẳng cạnh bên
PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1 Toạ độ vectơ toạ độ điểm:
Vectơ u
có toạ độ (x;y;z) u=x.i+y.j+z.k
Điểm M có toạ độ (x;y;z) OM=x.i+y.j+z.k
Nếu điểm A(xA;yA;zA) điểm B(xB;yB;zB) :
o AB=(x -x ;y -y ;z -z )B A B A B A
o
2 2
B A B A B A
AB= x -x + y -y + z -z
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k1:
A B A B A B
x -kx y -ky z -kz MA=kMB M ; ;
1-k 1-k 1-k
Trung điểm I AB có tọa độ
A B A B A B
x +x y +y z +z
I ; ;
2 2
.
Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ
A B C A B C A B C
x +x +x y +y +y z +z +z
G ; ;
3 3
.
(9) Trọng tâm G tứ diện ABCD có tọa độ
A B C D A B C D A B C D
x +x +x +x y +y +y +y z +z +z +z
G ; ;
4 4
.
2 Tích vơ hướng tích có hướng:
Cho u=(x;y;z)
và v=(x';y';z')
Ta có:
Các phép toán vectơ:
o u ± v = (x±x' ; y±y' ; z±z')
o ku=(kx;ky;kz)
o | u|= x +y +z2 2
Tích vô hướng hai vectơ:
o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'+z.z'
= u v cos(u,v)
o Góc hai vectơ: 2 2 2
x.x'+y.y'+z.z' cos(u,v)=
x +y +z x' +y' +z'
Tích có hướng hai vectơ: (2-3 ; 3-1 ; 1-2)
, ; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y u v
y z z x x y
Vectơ u,v
vng góc với hai vectơ u
v
Một số tính chất:
o u v u v 0
o u
v
phương u,v
o u
,v
,w đồng phẳng u,v w 0
Diện tích hình bình hành: SABCD= AB,AD
Diện tích tam giác : ABC
1
S = AB,AC
Thể tích hình hộp: VABCD.A'B'C'D'= AB,AD AA'
Thể tích tứ diện : ABCD
1
V = AB,AC AD
(10)3 Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R Phương trình có
dạng:
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2.
Dạng 2: Phương trình có dạng: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0,
với điều kiện : a2+b2+c2>d, phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c)
có bán kính R= a +b +c -d2 2
* Giao điểm mặt phẳng ( ) mặt cầu (S):
Gọi IH khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (); R bán kính mặt cầu:
o IH>R : ()(S)=
o IH=R : ()(S)=H
o IH<R : ()(S)=(C)
Cách xác định tâm bán kính đường trịn (C):
Viết phương trình đường thẳng d
qua I vng góc với (): u =ndα
Tâm H đường tròn (C): H=d() Bán kính r (C): r= R -IH2
4 Phương trình mặt phẳng:
Mặt phẳng qua điểm M0(x0;y0;z0) có vectơ pháp tuyến n=(A;B;C)
có phương trình: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Phương trình : Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0 phương trình mặt
phẳng có vectơ pháp tuyến n=(A;B;C)
Chú ý:
- Phương trình mặt phẳng đặc biệt: mp(Oxy):z=0 ;
mp(Oyz):x=0 ; mp(Oxz):y=0
- Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng có vectơ pháp tuyến
n= AB,AC
ta gọi AB, AC
cặp vectơ phương mp(ABC) - Pt mặt phẳng theo đoạn chắn trục toạ độ: Mp qua M(a;0;0), N(0;b;0) P(0;0;c) có phương trình là:
x y z + + =1 a b c
R r I
(11)- Mp chứa hai đường thẳng cắt nhau: Nếu (P) =mp(d,d’) (P) có vectơ pháp tuyến n=u ud, d'
5 Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng d qua điểm M0(x0;y0;z0) có vectơ phương
u=(a;b;c) Khi đó:
Phương trình tham số d là:
0 0 x=x +at y=y +bt z=z +ct
Phương trình tắc d (khi abc0) là:
0 0
x-x y-y z-z = = a b c
6 Vị trí tương đối hai mặt phẳng:
Nếu () có phương trình Ax+by+Cz+D=0 (’) có phương trình
A’x+B’y+C’z+D’=0 thì:
() (’) cắt A:B:CA’:B’:C’ () (’) song song
A B C D = =
A' B' C'D'
() (’) trùng
A B C D = =
A' B' C'D'
() (’) vng góc với AA’+BB’+CC’=0
7 Vị trí tương đối hai đường thẳng:
Nếu đường thẳng d qua điểm M0, có vectơ phương u
đường thẳng d qua điểm M'0, có vectơ phương u'
thì:
d d’ trùng
'
u,u' = u,M M =0
d//d’
'
u,u' =0 u,M M
d d’ cắt
' 0
u,u' M M =0 u,u'
d d’ chéo
'
u,u' M M
(12)8 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:
Nếu mp():Ax+By+Cz+D=0 đường thẳng d qua điểm M0(x0;y0z0),
có vectơ phương u=(a;b;c)
.Khi đó:
d cắt () Aa+Bb+Cc0
d//() 0
Aa+Bb+Cc=0
Ax +By +Cz +D
d () 0
Aa+Bb+Cc=0
Ax +By +Cz +D
9 Khoảng cách:
Khoảng cách gữa hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) là:
B A2 B A2 B A2
AB= x -x + y -y + z -z
Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng () có phương trình
Ax+by+Cz+D=0 là:
0 0
0 2 2 2
Ax +By +Cz +D d M ,(α) =
A +B +C
Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng qua M0 có vectơ
phương u
là:
0 1
M M ,u d(M ,Δ)=
u
Khoảng cách hai đường thẳng chéo ’,
qua điểm M0, có vectơ phương u
đường thẳng ’ qua điểm
'
M , có vectơ phương u' là:
' 0
u,u' M M d( ,Δ')=
u,u'
10 Góc:
Góc hai đường thẳng:
2 2 2
u.u' a.a'+b.b'+c.c' cosφ= =
u u' a +b +c a' +b' +c'
Góc hai mặt phẳng:
2 2 2
n.n' A.A'+B.B'+C.C' cosφ= =
n n' A +B +C A' +B' +C'
(13) Góc đường thẳng mặt phẳng:
2 2 2
n.u A.a+B.b+C.c sinφ= =
n u A +B +C a +b +c