www.VNMATH.com ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲ ◆❣✉②Ơ♥ ❱➝♥ ❑❤✉②Õ♥ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲ ◆❣✉②Ơ♥ ❱➝♥ ❑❤✉②Õ♥ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ➜➵✐ sè ✈➭ ▲ý t❤✉②Õt sè ▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✺ ▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ô❝ ❧ô❝ ✶ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✺ ✶✳✶ ❚r➢ê♥❣ ➤Þ♥❤ ❣✐➳✱ tr➢ê♥❣ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✷ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✱ ➤❛ t❤ø❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✸ ▲ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ✶✶ ✷✳✶ ❚❐♣ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ✈Ị t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✸ ◆❤÷♥❣ ✈Ý ❞ơ ✈Ị t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✸✷ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❱✃♥ ➤Ị t×♠ ❝➳❝ t❐♣ ①➳❝ ❞Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❤➭♠ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ị ♠í✐ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt sè✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ ♥❛② ♠í✐ ❝❤Ø ❝ã r✃t Ýt ❝➠♥❣ tr×♥❤ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝ã ♠ơ❝ ➤Ý❝❤ tệ ữ ết q t tì r ♥❤÷♥❣ ❝➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥ s➞✉ ❤➡♥✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜❛♦ ❣å♠✿ ✲❚r×♥❤ ❜➭② ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t r❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✱ ✲❳➞② ❞ù♥❣ ♠ét sè t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✱ ✲❚Ý♥❤ t♦➳♥ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ❝ơ t❤Ĩ✳ ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤➞♥ tư ❤♦➳ ❝đ❛ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✭ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ✮✱ ❋✳ ●r♦ss ❬✼❪✱ ♥➝♠ ✶✾✼✻✱ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② t ữ í ụ ề t ị ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♣❤ø❝ ✭❦❤➳❝ ❤➺♥❣✮ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ❝❤đ ➤Ị ❝đ❛ ♠ét sè ❜➭✐ ❜➳♦ ❣➬♥ ➤➞②✳ ▲ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ❝ơ ❝❤Ý♥❤ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ ➤Ĩ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ơ ➤ã✳ ❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❊s❝❛ss✉t ✈➭ ❍❛❞❞❛❞ ❬✺❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ✭tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✵✮ ✈➭ ♥Õ✉ t❤✉ ❤Đ♣ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tứ tì ó ột ể tị ẹ ề t ì ọ t ị t ữ ị ý t ssst ❈❤♦ sè ✵✳ ❈❤♦ F t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ K ❧➭ tr➢ê♥❣ ❝ã ➤➷❝ ❧➭ ❤ä ♥❤÷♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ ✈í✐ ❤Ư sè tr➟♥ S tr♦♥❣ K ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ F K✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♠ét ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡✳ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn S ❧➭ www.VNMATH.com ❈❤❡rr② ✈➭ ❨❛♥❣ ❬✻❪✱ ♥➝♠ ✶✾✾✾✱ ➤➲ ♠ë rộ ị ý trờ ợ ữ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✵✱ ➤➬② ➤đ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ♠ét ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✳ ❚r♦♥❣ s✉èt ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ K sÏ ❧✉➠♥ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ➤➬② ➤đ t➢➡♥❣ ✈í✐ ♠ét ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✳ ✬✬❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✬✬ ❧✉➠♥ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❦Ĩ ❝➯ ❜é✐ ❝đ❛ ❤ä A∗ (K) ♥❤÷♥❣ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ tr➟♥ K ✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ❝♦✐ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ❜✃t ❦ú ❧➭ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❝đ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ K ✳ ❉♦ ➤ã✱ ❦❤✐ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭♦ ❝❤♦ ❤ä ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✱ ♠Ư♥❤ ➤Ị ➤ã ❝ị♥❣ ➤ó♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝✳ ❱♦❧♦❝❤ ➤➲ ❝❤♦ ♠ét ứ t tý số ì ọủ ị ❧ý ✭❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❊s❝❛ss✉t ✈➭ ❍❛❞❞❛❞ ❬✺❪✮ ✈➭ ❧➭♠ râ r➺♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝ị♥❣ ➤ó♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ❝❤♦ ữ t ó ự ợ tố n ĩ ❧➭✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇ ✭➜Þ♥❤ ❧ý ❝đ❛ ❱♦❧♦❝❤ ❬✸❪✮✳ ❈❤♦ K p ≥ ✈➭ ➤➬② ➤ñ A∗ (K) ❧➭ ❤ä ♥❤÷♥❣ ❝ã ➤➷❝ sè t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ♠ét ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ♣❤✐ ❆❝❤✐♠❡❞✳ ❈❤♦ K ✳ ❈❤♦ S ột t ó ự ợ ữ n sư ♥❣✉②➟♥ tè ✈í✐ p ♥Õ✉ p > 0✳ ❑❤✐ ➤ã✱ S ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ∗ ♥❤✃t ❝đ❛ ❤ä A (K) ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ S ❧➭ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡✳ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ tr➟♥ ❱❐②✱ ➤✐Ò✉ ❣× sÏ ①➯② r❛ ❦❤✐ ➤➷❝ sè p ❝❤✐❛ ❤Õt ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ ❝đ❛ ♠ét t❐♣ ❄ ❚r♦♥❣ ❬✻❪✱ ❈❤❡rr② ✈➭ ❨❛♥❣ ➤➲ ❝❤♦ ♠ét ✈Ý ❞ơ ✈Ị ♠ét t❐♣ ✸ ♣❤➬♥ tö ❧➭ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡✱ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠ét t❐♣ ị t tr trờ số ì ❦❤➠♥❣ ❝ã t❐♣ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ ✷✱ ♥➟♥ ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ ✷ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✷ ✭ ❤♦➷❝ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❜✃t ❦× ✮✳ ▼ét sè ❝➞✉ ❤á✐ t✐Õ♣ t❤❡♦ ➤➢ỵ❝ ➤➷t r❛ ❧➭✿ ❈ã ❤❛② ❦❤➠♥❣ t❐♣ ị t ó ự ợ p tr trờ ➤➷❝ sè p ❄ ❚å♥ t➵✐ ❤❛② ❦❤➠♥❣ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ n ♠➭ ❦❤➠♥❣ ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ ❦❤✐ n ❧➭ ♠ét ❜é✐✱ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ ➤➷❝ sè ❄ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❈❤❡rr② ✈➭ ❊s❝❛ss✉t ❬✸❪ ♠ét ❝➳❝❤ ❝ã ❝❤ä♥ ❧ä❝ t❤❡♦ ❜è ❝ô❝ r✐➟♥❣ ♥❤➺♠ ❝ô t❤Ó ❤♦➳ ♥é✐ ❞✉♥❣ ë tr➟♥ ✈➭ tr➯ ❧ê✐ ❝➳❝ ❝➞✉ ❤á✐ ✈õ❛ ♥➟✉✳ ❱í✐ ♠ơ❝ ➤Ý❝❤ ♥❤➢ ✈❐②✱ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ♣❤ơ❝ ✈ơ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ë ❝❤➢➡♥❣ ✷✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✳ ❚r➢í❝ ❤Õt✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ị t❐♣ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ế t ú t trì ị ý ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ♥ã ✈Ị t❐♣ ①➳❝ ị t ó ự ợ tr trờ ➤➷❝ sè ❜✃t ❦×✱ ➤➞② ❝ị♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ trä♥❣ t➞♠ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ✈Ị t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ n✱ ✈í✐ ♠ä✐ n ≥ 4✱ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ số t ì t ó ự ợ ỏ t ❝ß♥ ❝ã t❤Ĩ sư ❞ơ♥❣ ❝➠♥❣ ❝ơ ✬✬➤➵✐ sè ✲ ❤×♥❤ ❤ä❝✬✬ sÏ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ❝✉è✐ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ t❤➬② ❣✐➳♦ ●❙✳❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐✱ ❝➳♥ ❜é ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ✲ ❱✐Ö♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö q✉è❝ ❣✐❛✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ✈➭ ❝❤Ø ❜➯♦ t➠✐ ữ ế tứ ệ tr q trì t ❧✉❐♥ ✈➝♥ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✳ ❚➠✐ ❝ò♥❣ tỏ ò ết tớ ữ t tr ì ữ t tết ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✶✳✶ ❚r➢ê♥❣ ➤Þ♥❤ ❣✐➳✱ tr➢ê♥❣ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ p ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ tè✳ ▼ét sè ♥❣✉②➟♥ p✲❛❞✐❝ ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ♠➠ t➯ ❜➺♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❝➳❝❤✳ ▼ét ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥ã ột ỗ x = a0 + a1 p + a2 p2 + , ∈ Z(∗) ❚æ♥❣ r✐➟♥❣ ❧➭ xn = a0 +a1 p+a2 p2 + +an pn s❛♦ ❝❤♦ xn −xn−1 = an pn ✳ ▼ét sè ♥❣✉②➟♥ p ũ ó tể ợ ị ĩ ột ❞➲② sè ♥❣✉②➟♥ x = {x0 , x1 , } t❤♦➯ ♠➲♥ xn ≡ xn−1 mod pn , n = 1, 2, ✭✯✯✮ ❚ỉ♥❣ ✈➭ tÝ❝❤ ❝đ❛ ♥❤÷♥❣ sè p ợ ị ĩ é t❤ø❝ ♥Õ✉ ✭✯✮ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣✳ ❱í✐ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ✭✯✯✮✱ t❛ ❝ã x + y = {xn + yn }, xy = {xn yn } ❱í✐ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ tr➟♥✱ t❛ ❝ã ✈➭♥❤ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ p✲❛❞✐❝✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ✿ θp ✳ x = {xn } ợ ọ ột ị ủ p ✭❝ị♥❣ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ✈Þ p✲ ❛❞✐❝✮ ♥Õ✉ x0 ≡ mod p✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ a ❧➭ ➤➡♥ ✈Þ p✲ ❛❞✐❝ ♥Õ✉ a ≡ mod p✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ❙è ♥❣✉②➟♥ p✲ ❛❞✐❝ ❚r➢ê♥❣ ❝➳❝ t❤➢➡♥❣ Qp ❝đ❛ θp ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ tr➢ê♥❣ sè p✲ ❛❞✐❝✳ ỗ Qp ó pm u m ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ✭❝ã t❤Ó ➞♠✮ ✈➭ u ❧➭ ♠ét ➤➡♥ ✈Þ ❝đ❛ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com θp ✳ ❱❐② α ❝ã ✬✬❦❤❛✐ tr✐Ó♥ ▲❛✉r❡♥t✧✿ a−r a−1 + + + a0 + a1 p + pr p x ▼ét ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❦❤➳❝ ❧➭ α = r ✱ ✈í✐ x ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ p✲❛❞✐❝ ✈➭ r ≥ 0✳ p ❈➳❝❤ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥➭② t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ tr♦♥❣ Qp ✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✳ ➜Þ♥❤ ❣✐➳ p✲ ❛❞✐❝ tr➟♥ Qp ❧➭ ♠ét trị vp : Qp Z ợ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐ vp (pm u) = m ❚ỉ♥❣ q✉➳t✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✹✳ tr➟♥ ▼ét ➤Þ♥❤ ❣✐➳ v tr➟♥ tr➢ê♥❣ K ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ K \ {0} t❤♦➯ ♠➲♥ ✿ ✭❛✮ v(xy) = v(x) + v(y), ∀x, y ∈ K; ✭❜✮ v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}, ∀x, y ∈ K; ◗✉② ➢í❝✱ ➤➷t ▼ét tr➢ê♥❣ v(0) = +∞(v(x) = +∞ ⇔ x = 0) K ✈í✐ ị v ợ ọ trờ ị ế ➤è✐ c ❧➭ ♠ét sè t❤ù❝ ❧í♥ ❤➡♥ ✶✱ t❤× ➤Þ♥❤ ❣✐➳ v ❝➯♠ s✐♥❤ ♠ét ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt tr➟♥ K ✱ tø❝ ❧➭ |x| = c−v(x) ❑❤✐ v = vp ✱ ❤➺♥❣ sè c ❧✉➠♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❧➭ p t t ợ trị tệt ố p |x|p = pvp (x) ì trị tệt ➤è✐ p✲❛❞✐❝ ❝ñ❛ pn ❧➭ p−n ✭ ①✃♣ ①Ø ❜➺♥❣ ✵ ♥Õ✉ ♥❤➢ tr♦♥❣ sè ♠ò ①✃♣ ①Ø ❜➺♥❣ ∞✮✳ ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ♥Õ✉ pe ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❜❐❝ ❜❐❝ ❧í♥ ♥❤✃t ❝đ❛ t❛ ➤➷t n p ❝❤✐❛ ❤Õt n✱ t❤× |n|p = p−e ✳ ❚ỉ♥❣ q✉➳t✱ ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ▼ét ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✺✳ t❤ù❝ tr➟♥ tr➢ê♥❣ K ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ K | · | : K → R+ = [0, +∞) t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿ ✭✐✮ |x| ≥ 0✱ ❞✃✉ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ①➯② r❛ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ x = 0❀ ✭✐✐✮ |xy| = |x|.|y|, ∀x, y ∈ K; ✭✐✐✐✮ |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ K ❉♦ ✭❜✮✱ ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ❝➯♠ s✐♥❤ ❜ë✐ ♠ét ➤Þ♥❤ ❣✐➳ t❤♦➯ ♠➲♥ ♠ét tÝ♥❤ ❝❤✃t ♠➵♥❤ ❤➡♥ ✭✐✐✐✮ ❧➭ ✭✐✈✮ |x + y| ≤ max{|x|, |y|}, ∀x, y ∈ K ▼ét ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ố t ợ ọ trị tệt ➤è✐ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✳ ▼ét tr➢ê♥❣ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ r ợ ọ trờ r trị t✉②Ưt ➤è✐ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t➬♠ t❤➢ê♥❣ ✱ ❦Ý ❤✐Ư✉✿ |x|0 = | · |0 ✱ ♥Õ✉✿ : x ∈ K \ {0} : x = ❘â r➭♥❣ ➤ã ❧➭ ♠ét ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ tr➟♥ K ✈➭ K ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ ❧➭ ➤➬② ➤đ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ♥➭②✳ ✶✳✷ ❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✱ ➤❛ t❤ø❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ ❤♦➷❝ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥✳ S ❧➭ ♠ét t❐♣ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ f ✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ {(z, m) : f (z) = a ✈í✐ sè ❜é✐ m}, E(f, S) = a∈S t❛ ❝ß♥ ❤❛② ❞ï♥❣ ❦Ý ❤✐Ö✉✿ ES (f ) ✳ ❚➵✐ ➤➞② z ❝❤➵② tr➟♥ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ f ✈➭ m ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ❜✃t ❦ú✳ ❍❛✐ ❤➭♠ f ✈➭ g ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝❤✐❛ S ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ✭✈í✐ sè ❜é✐✮ ♥Õ✉ E(f, S) = E(g, S)✳ ▼ét t❐♣ S ợ ọ t ị t ể ❝➯ ❜é✐✮ ❝đ❛ ♠ét ❤ä ❤➭♠ F ✱ ♥Õ✉ ✈í✐ ∀f, g ∈ F s❛♦ ❝❤♦ E(f, S) = E(g, S) t❤× t❛ ❝ã f ≡ g ✳ ❚❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ①Ðt ❤ä ❝➳❝ ❤➭♠ F ✿ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ✭❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✮✱ ì ữ tỉ tứ ị ĩ ✶✳✷✳✷✳ ❈❤♦ f ✱ g ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣✳ ➜❛ t❤ø❝ P (z) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ tứ ị t ì ế tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ PS (f ) = PS (g) t❤× f ≡ g ✳ ➜❛ t❤ø❝ ❤➭♠ ♣❤➞♥ P (z) ợ ọ tứ ị t t ♥❣❤Ü❛ ré♥❣ ❝➳❝ ❤×♥❤ ♥Õ✉ tõ ➤➻♥❣ t❤ø❝ PS (f ) = c.PS (g), c = t❤× f ≡ g ✱ ✈í✐ f ✱ g ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣✳ ị ĩ ột t ợ ọ ứ ♥Õ✉ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❛❢❢✐♥❡ ❞✉② ♥❤✃t ❜➯♦ t♦➭♥ t❐♣ ❧➭ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ➤å♥❣ ♥❤✃t✳ ✶✳✸ ▲ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦Ý ❤✐Ư✉ ❦✐Ĩ✉ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➭ s❛✉ ➤ã ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ➤Þ♥❤ ❧ý ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ♠➭ t❛ sÏ ➳♣ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ t❛ ë ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ë ➤➞②✱ K sÏ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ➤➬② ➤đ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ ♠ét ❣✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ➤➷❝ sè p ≥ 0✳ ❈❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✭♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✮ tr➟♥ K ✳ ❱í✐ ỗ z0 K í ệ wz0 (f ) tr✐Ưt t✐➟✉ ❝đ❛ f t➵✐ z0 ✳ ➜ã ❧➭✱ ♥Õ✉ f (z0 ) = 0✱ t❤× wz0 (f ) ❦Ý ❤✐Ư✉ sè ❜é✐ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ t➵✐ z0 ✱ ♥Õ✉ f ❝ã ♠ét ❝ù❝ ➤✐Ĩ♠✱ t❤× −wz0 (f ) ❦Ý ❤✐Ư✉ ❜❐❝ ❝đ❛ ❝ù❝ ➤✐Ĩ♠✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ wz+0 (f ) = max{0, wz0 (f )} ỗ r > t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤Õ♠ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❜ë✐ wz+0 (f ) log Z(r, f ) = 0 1✱ ❞♦ n ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠ét ❧✉ü t❤õ❛ ❝đ❛ p✳ ❱× ✈❐②✱ ❞♦ n ✈➭ n − ♥❣✉②➟♥ tè ❝ï♥❣ ♥❤❛✉✱ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭❆✶✮ ➤Õ♥ ✭❆✸✮ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✳ ❉♦ n − m = ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tr➟♥ a trë t❤➭♥❤ (n − 1)n−1 an = nn ✈➭ (n − 1)n−1 an = nn 2p ❝❤♦ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ d (n−m) d d ≥ 0✳ ◆❤➢♥❣✱ ❞♦ 2p = ❝❤♦ ♠ä✐ d ≥ 0✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❜á q✉❛ pd tr♦♥❣ sè ♠ị✳ ❍Ư q✉➯ ✷✳✸✳✷✳ ❈❤♦ pr ≥ ✈í✐ r K ♥❤➢ tr♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶ ✈í✐ ➤➷❝ sè p ≥ 3✳ ➜➷t ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ✈➭ ➤➷t P (x) = xn − axn−2 + ●✐➯ sö r➺♥❣ a = s❛♦ ❝❤♦ 4(n − 2)n−2 an = nn ✈➭ (n − 2)n−2 an = nn ✷✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n= www.VNMATH.com S ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ∗ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ A (K)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❐♣ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ r P ❝ã n ♣❤➬♥ tö ✈➭ ❧➭ ♠ét t❐♣ ị ề ệ ợ tỏ ♠➲♥✳ ❍Ư q✉➯ ✷✳✸✳✸✳ ❈❤♦ ✈í✐ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ K ♥❤➢ tr♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶ ✈í✐ ➤➷❝ sè ✷✳ ➜➷t n = 2r ≥ ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ ✈➭ ➤➷t P (x) = xn − axn−3 + S ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ∗ ♠ét t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ A (K)✳ ●✐➯ t❤✐Õt a = 0✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❐♣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ P ❝ã n ♣❤➬♥ tư ✈➭ ❧➭ ❈➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭❇✶✮ ✈➭ ✭❇✷✮ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥ ề ệ tr ị ý tr trờ ợ ♥➭② ❧➭ t➬♠ t❤➢ê♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇✮ ❝đ❛ ❱♦❧♦❝❤ ❤♦➷❝ ị ý trờ ợ ữ t ✹ ♣❤➬♥ tö tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✷ ❤♦➷❝ t❐♣ ✺ ♣❤➬♥ tö tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✺✳ ❙❛✉ ➤➞② t í ụ tr tr ỗ trờ ợ ➤ã✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝ñ❛ t❛ ë ➤➞② ❧➭ ✬✬➤➵✐ sè ✲ ❤×♥❤ ❤ä❝✬✬✳ ◆❣❤Ü❛ ❧➭✱ ❳Ðt ➤❛ t❤ø❝ P (x)✱ t❐♣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ♥ã ❧➭ S ✈➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❧➭ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt✱ t❛ ①Ðt ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ➤➵✐ sè ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐ Fc (x, y) = P (x) − cP (y) = ✈í✐ c = 0✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ f ✈➭ g ❧➭ ❤❛✐ ❤➭♠ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ♠➭ ❝❤✐❛ S ✱ t❤× ❞♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✶✱ f ✈➭ g ♣❤➯✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ Fc = ✈í✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè c = ♥➭♦ ➤ã✳ ❉♦ ➤Þ♥❤ ❧ý P✐❝❛r❞ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ❝đ❛ ❇❡r❦♦✈✐❝❤ trì ệ tr ữ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣✱ ❞♦ ➤ã Fc ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤÷✉ tØ✳ ❚✃t ♥❤✐➟♥ ❦❤✐ c = 1✱ F1 sÏ ❝ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤÷✉ tØ x − y = 0✱ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ f = g ✳ ◆❤➢♥❣✱ ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❝ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤÷✉ tØ ❦❤➳❝✱ tì S ột t ị t ❱× ✈❐②✱ ➤➡♥ ❣✐➯♥ t❛ ❝❤ä♥ ➤❛ t❤ø❝ P (x) s Fc ó ữ ể ì ị ♠➭ ❞Ơ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✳ ✷✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❚❤➟♠ ✈➭♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ❇❡r❦♦✈✐❝❤ ➤➲ ♥ã✐ ë tr➟♥ t❛ sư ❞ơ♥❣ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ị ❤×♥❤ ❤ä❝ ❝ñ❛ ➤➢ê♥❣ ♣❤➻♥❣✳ ➜ã ❧➭✿ ▼ét ➤➢ê♥❣ ♣❤➻♥❣ ❦❤➠♥❣ ì ị g= d ó ố g (d − 1)(d − 2) ◆Õ✉ ♠ét ➤➢ê♥❣ ợ ị ột t t F (X, Y, Z) ữ ể ì ị ủ F ợ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ sù tr✐Ưt t✐➟✉ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝đ❛ F ✈➭ ✸ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ ❝ñ❛ ♥ã✳ ▼ét ể ì ị s ợ ọ ể é tờ ế t ó tể tì t t ộ ị u ✈➭ v q✉❛♥❤ s s❛♦ ❝❤♦ F = uv + ❝➳❝ sè ❤➵♥❣ ❜❐❝ ❝❛♦ ❤➡♥ ❚❛ ❝ò♥❣ ❝➬♥ ❦Õt q✉➯ ❧➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ ♣❤➻♥❣ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❜❐❝ ❦Ð♣ t❤➢ê♥❣ ❝ã ❣✐è♥❣ g= d ✈í✐ ♠ét ➤✐Ĩ♠ (d − 1)(d − 2) − ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ tổ qt ỗ ể é tờ ố ột ❱Ý ❞ô ✷✳✸✳✹✳ ❈❤♦ K ❝ã ➤➷❝ sè ✷✳ ➜➷t P (x) = x4 + x3 + x ❑❤✐ ➤ã✱ S = {z ∈ K : P (z) = 0} ❝❤ø❛ ✹ ➤✐Ĩ♠ ✈➭ ❧➭ ♠ét t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ A∗ (K)✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ S ❝ã ✹ ♣❤➬♥ tö ✳ P❤➞♥ tÝ❝❤ P ✱ t❛ t❤✃② P (x) = x(x3 + x2 + 1) x3 + x2 + ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ✷ ♣❤➬♥ tư✱ ♥ã ❝ã ✸ ♥❣❤✐Ư♠ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt tr♦♥❣ K ✱ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➳ trÞ ♥➭♦ ❧➭ ✵✳ ❉♦ ➤ã✱ S ❝ã ✹ ♣❤➬♥ tư✳ ❱× ➜Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ S ❧➭ ♠ét t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ ♥❤í r➺♥❣ t❛ ➤❛♥❣ ①Ðt tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✷✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❦✐Ó♠ tr❛ ❞➵♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t Fc (X, Y, Z) = X + X Z + XZ + c(Y + Y Z + Y Z ), ✷✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❧➭ ①➵ ➯♥❤ ❤♦➳ ❝ñ❛ P (x) − cP (y)✱ ❦❤➠♥❣ ❝ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤÷✉ tØ ❦❤✐ c = 0, ✈➭ ❝❤Ø ❝ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤÷✉ tØ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤✐ c = 1✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ①Ðt tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤✐ c = 1✳ ❑❤✐ ➤ã F1 (X, Y, Z) = X + X Z + XZ + Y + Y Z + Y Z = (X + Y )4 + (X + Y )(X + XY + Y ) + (X + Y )Z = (X + Y )[(X + Y )3 + (X + XY + Y )Z + Z ] ❚❛ ①Ðt ❞➵♥❣ G(X, Y, Z) = (X + Y )3 + (X + XY + Y )Z + Z ❈➳❝ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❧➭ ∂G = (X + Y )2 + Y Z, ∂X ∂G = (X + Y )2 + XZ, ∂Y ∂G = X + XY + Y + Z Z ể ì ị ợ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ sù tr✐Ưt t✐➟✉ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝đ❛ ❝➯ ✸ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣✳ ❈❤♦ ✷ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ tr✐Öt t✐➟✉✱ t❛ ♣❤➯✐ ❝ã XZ = Y Z ✱ ✈× ✈❐② ❤♦➷❝ Z = ❤♦➷❝ X = Y ✳ ◆❤➢♥❣✱ ♥Õ✉ Z = 0✱ t❛ ❝ò♥❣ ❝➬♥ X + Y = ✈➭ t❛ ❧➵✐ ❝ã X = Y ✳ ◆❤➢♥❣✱ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✱ XZ = Y Z = 0✳ ◆Õ✉ Z = 0✱ ❝❤♦ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ t❤ø ✸ tr✐Öt t✐➟✉✱ t❛ ❝➬♥ XY = ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② ❝➯ ✸ ❜✐Õ♥ sÏ ❝➬♥ ♣❤➯✐ tr✐Ưt t✐➟✉✱ ♠➭ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣✳ ◆Õ✉ X = Y = 0✱ ♥❤➢♥❣ Z = 0✱ t❤× G ❦❤➠♥❣ tr✐Ưt t✐➟✉ ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ➤Þ♥❤ ĩ G ì ị G ó ❜❐❝ ✸✱ ♥ã ❝ã ❣✐è♥❣ ✶ ✈➭ t❛ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤➢ỵ❝ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ c = 1✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ c = 0, 1✱ t❛ ❝ã ✸ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❝đ❛ Fc ❞➢í✐ ➤➞②✿ ∂Fc = Z(X + Z ), ∂X ∂Fc = cZ(Y + Z ), ∂Y ∂Fc = X(X + Z ) + cY (Y + Z ) ∂Z ✷✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ◆Õ✉ Z = t❤× ✷ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ tr✐Öt t✐➟✉✳ ❈❤♦ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ t❤ø ✸ ❝ị♥❣ tr✐Ưt t✐➟✉ ❝ï♥❣ ✈í✐ Fc ✱ t❛ ❝➬♥ X + cY = ✈➭ X + cY = ▲✃② b ∈ K s❛♦ ❝❤♦ b4 = c✳ ❑❤✐ ➤ã X = bY ✳ ❱× ✈❐②✱ ✭✺✮ (bY )3 + cY = (b3 + c)Y = ◆Õ✉ Y = t❤× X ❝ị♥❣ ✈❐② ✈➭ ❞♦ t❛ ➤❛♥❣ ①Ðt tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ Z = 0✱ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣✳ ❉♦ ➤ã✱ b3 + c = 0✳ ◆❤➞♥ ✈í✐ b✱ t❛ ❝ã = b4 + cb = c + cb = c(1 + b), ✈× ✈❐② ❤♦➷❝ c = ❤♦➷❝ b = 1✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ c = ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣ ✈➭ ♥Õ✉ b = 1✱ c ❝ị♥❣ ✈❐②✱ ♠➭ ➤✐Ị✉ ♥➭② ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣✳ ❱× ✈❐②✱ t❛ ❝ã Z = 0✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✱ sù tr✐Ưt t✐➟✉ ❝đ❛ ✷ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ ❦Ð♦ t❤❡♦ X = Y = Z ✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ t❤❛② ❦Õt qñ❛ ♥➭② ✈➭♦ tr♦♥❣ Fc ✱ t❛ ❝ã = Z + Z + Z + cZ + cZ + cZ = (1 + c)Z ➜✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ trõ ❦❤✐ ❱Ý ❞ơ ✷✳✸✳✺✳ ❈❤♦ c = ❤♦➷❝ Z = 0✳ K ❝ã ➤➷❝ sè ✺✳ ➜➷t P (x) = x5 + x4 + x2 + x + ❑❤✐ ➤ã S = {z ∈ K : P (z) = 0} ❝❤ø❛ ✺ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❧➭ ♠ét t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ A∗ (K)✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜Ĩ t❤✃② P ❝ã ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt✱ t❛ tÝ♥❤ P (x) = −x3 + 2x + = −(x + 1)(x + 2)2 , ✈➭ t❛ t❤✃② ❝ñ❛ P ✈➭ P ❝ã ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣ ✈➭ ❞♦ ➤ã ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ P ❧➭ ♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ❈❤♦ c = ❧➭ ❤➺♥❣ sè tr♦♥❣ K ✈➭ ➤➷t Fc (X, Y, Z) =X − cY + Z(X − cY ) + Z (X − cY ) + Z (X − cZ) + (1 − c)Z , ✷✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❧➭ ①➵ ➯♥❤ ❤♦➳ ❝ñ❛ P (x) − cP (y)✳ ◆❤➢ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❝❤ó ý ë ✈Ý ❞ơ tr➢í❝✱ ➤Ĩ ❦✐Ĩ♠ tr❛ S ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✱ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❦✐Ó♠ tr❛ r➺♥❣ Fc ❦❤➠♥❣ ❝ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤÷✉ tØ ❦❤✐ c = ✈➭ ❝❤Ø ❝ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤÷✉ tØ X − Y = ❦❤✐ c = 1✳ ❚❛ ❜➽t ➤➬✉ ✈í✐ F1 ✳ ➜➷t G(X, Y, Z) = F1 (X, Y, Z)/(X − Y ) = (X − Y )4 + Z(X + X Y + XY + Y ) + Z (X + Y ) + Z ❚❛ tÝ♥❤ ✸ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥ ∂G = −(X − Y )3 + Z(3X + 2XY + Y ) + Z , ∂X ∂G = (X − Y )3 + Z(3Y + 2XY + X ) + Z , ∂Y ∂G = X + X Y + XY + Y + 3Z (X + Y ) − Z Z ể ì ị t ệ ❦❤✐ ❝➯ ✸ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ tr✐Ưt t✐➟✉ ❝ï♥❣ ✈í✐ G✳ ◆Õ✉ Z = 0✱ sù tr✐Ưt t✐➟✉ ❝đ❛ G ❦Ð♦ t❤❡♦ X = Y ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ sù tr✐Öt t✐➟✉ ❝ñ❛ ∂G/∂Z ❦Ð♦ t❤❡♦ −X = ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② X = Y = 0✱ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣✳ ◆❤➢ ✈❐② Z = 0✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯ t❤✐Õt Z = 1, X = x ✈➭ Y = y ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ t❛ trë t❤➭♥❤ = G = (x − y)4 + x3 + x2 y + xy + y + x + y + 1, ∂G 0= = −(x − y)3 + 3x2 + 2xy + y + 1, ∂X ∂G = (x − y)3 + 3y + 2xy + x2 + 1, 0= ∂Y ∂G 0= = x3 + x2 y + xy + y + 3x + 3y − ∂Z ❈é♥❣ ✷ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥✱ t❛ ➤➢ỵ❝ ✭✻✮ = −(x2 + xy + y ) + ❤♦➷❝ x2 + xy + y = ❱× ✈❐②✱ x3 + x2 y + xy = x(x2 + xy + y ) = 2x, y + y x + yx2 = y(x2 + xy + y ) = 2y ❚❤❛② ❦Õt q✉➯ ♥➭② ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ∂G/∂Z = 0✱ t tì ợ S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com = 2x + y + 3x + 3y − = y − 2y − 1, ✭✼✮ = 2y + x3 + 3x + 3y − = x3 − 2x − ❚❤❛② ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ ✈➭♦ tr♦♥❣ G✱ t❛ t❤✃② ✭✽✮ = (x − y)4 + x3 + x2 y + xy + y + x + y + = (x − y)4 + (1 + 2x) + x2 y + xy + (1 + 2y) + x + y + = (x − y)4 + x2 y + xy − 2x − 2y − = (x − y)4 + x(x2 + xy + y ) = x3 − 2x − 2y − = (x − y)4 + 2x − (1 + 2x) − 2x − 2y − = (x − y)4 − 2(x + y) + = x4 + x3 y + x2 y + xy + y − 2(x + y − 1) = (x + y)x3 + x2 y + (x + y)y − 2(x + y − 1) = (x + y)(1 + 2x) + x2 y + (x + y)(1 + 2y) − 2(x + y − 1) = 2(x + y)2 + x2 y + = 2(x2 + y ) + ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ x2 + y = −1 ❑Õt ❤ỵ♣ ✭✾✮ ✈➭ ✭✻✮✱ t❛ ➤➢ỵ❝ xy = −2✳ ❚❤❛② y = −2/x ✈➭♦ ✭✽✮ ✈➭ x = −2/y ✭✾✮ ✈➭♦ ✭✼✮✱ t❛ t❤✃② ✭✶✵✮ x3 + x2 + = ✈➭ y + y + = ❚rõ ✭✶✵✮ ❝❤♦ ✭✼✮ ✈➭ ✭✽✮✱ t❛ ➤➢ỵ❝ x2 + 2x − = ✈➭ y + 2y − = ❈é♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭②✱ t❛ t❤✃② x2 + y + 2(x + y) + = ❑Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ ✭✾✮✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣ y = −x ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② sư ❞ơ♥❣ ✭ ✾ ✮ t❤➟♠ ♠ét ❧➬♥ ♥÷❛✱ t❛ ❝ã x2 = y = 2✳ ➜➢❛ ❦Õt qñ❛ ♥➭② ✈➭♦ ✭✶✵✮✱ t❛ ❝ã x = y = ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② G = ❧➭ ❦❤➠♥❣ ì ị ó ố ì ó ó ✹✳ ✷✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❚❛ ①ö ❧ý tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ Fc ✈í✐ c = 0, 1✳ ❚❛ ❧➵✐ tÝ♥❤ ✸ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥✿ ∂Fc = −ZX + 2XZ + Z = −Z(X + Z)(X + 2Z)2 , ∂X ∂Fc = c(ZY − 2Y Z − Z ) = cZ(Y + Z)(Y + 2Z)2 , ∂Y ∂Fc = X − cY + 2Z (cY − X ) + Z (cY − X) ∂Z Z = 0✱ t❤× ❞♦ ∂Fc /∂Z = 0✱ t❛ ❝ã X − cY = 0✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦ Fc = 0✱ t❛ ❝ã X − cY = 0✳ ❱× ✈❐②✱ sư ❞ơ♥❣ ❝ï♥❣ t❤đ t❤✉❐t ♥❤➢ tr♦♥❣ ✈Ý ❞ơ ✷✳✸✳✹ ✭♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✺✮✮✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ➤ã ❧➭ ề tể Fc ó ữ ể ì ❞Þ ✈í✐ Z = 0✳ ◆Õ✉ Z = 0✱ t❛ ❧➵✐ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt Z = ✈➭ t❛ t❤ù❝ ◆Õ✉ ❤✐Ư♥ ✈í✐ ✹ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ ➤➞②✿ = Fc = x5 − cy + x4 − cy + x2 − cy + x − cy + − c, ∂Fc 0= = −x3 + 2x + = −(x + 1)(x + 2)2 , ∂X ∂Fc 0= = c(y − 2y − 1) = c(y + 1)(y + 2)2 , ∂Y ∂Fc ∂Fc ∂Fc = x4 − 2x2 − x − c(y − 2y − y) = −x + cy 0= ∂Z ∂X ∂Y ❱❐②✱ ➤➷t ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ t❤ø ✸ tí✐ ✵ ❧➭ ❞➢✳ ❚õ sù tr✐Ưt t✐➟✉ ❝đ❛ ✷ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➬✉ t✐➟♥✱ t❛ t❤✃② ❝❤Ø ❝ã ✷ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❝❤♦ x ✈➭ ✷ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❝❤♦ y ✳ ◆❣❤Ü❛ ❧➭✱ x = −1 ❤♦➷❝ x = −2 ✈➭ y = −1 ❤♦➷❝ y = −2✳ ◆❤í r➺♥❣ P (−1) = ✈➭ P (−2) = 2✳ ❉♦ Fc = 0✱ t❛ ❝ã c= P (x) , P (y) ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② ➤Ó ❝❤♦ Fc ❝ã ❝➳❝ ể ì ị t c = 1, 1/2 = −2✳ ❚❛ ①❡♠ ♥❤➢ ➤➲ ❧➭♠ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ c = 1✳ ❳Ðt tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ c = 2✳ r trờ ợ ó ể ì ị ỉ (x, y) = (−2, −1)✳ ❑❤❛✐ tr✐Ó♥ ❚❛②❧♦r t➵✐ ➤✐Ó♠ ♥➭② ❧➭ F2 (x, y) = 2(x + 2)2 + (y + 1)2 + ❇ë✐ ✈❐② ✭✲✷✱ ✲✶✮ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❦Ð♣ t❤➢ê♥❣✳ ➜✐Ị✉ ♥➭② ❝ã ♥❣❤Ü❛ F2 ♣❤➯✐ ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✱ ✈× ♥Õ✉ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✱ ❤❛✐ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ sÏ ❝ã ❝❤✉♥❣ ♠ét ➤✐Ó♠ ✷✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ì ị ộ t ✈× ✈❐② ♥ã ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❦Ð♣ t❤➢ê♥❣✳ ◆❤➢ ✈❐② F2 ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✈➭ ❝ã ❣✐è♥❣ (5 − 1)(5 − 2) − = r trờ ợ F2 ể ì ị (x, y) = (−1, −2) ✈➭ ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ ❚❛②❧♦r t➵✐ ➤✐Ó♠ ♥➭② ❧➭ F−2 (x, y) = 2(x + 1)2 − (y + 2)2 + ✈➭ ❧➵✐ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❦× ❞Þ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❦Ð♣ t❤➢ê♥❣✱ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❣✐è♥❣ ❝đ❛ F−2 ❝ị♥❣ ❧➭ ✺✳ ❈❤♦ ♠ä✐ ❣✐➳ trÞ ❦❤➳❝ ❝đ❛ c✱ ❣✐è♥❣ ❧➭ ✻ ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣✳ ✯❈❤ó ý r➺♥❣ tr♦♥❣ ✈Ý ❞ơ ✷✳✸✳✹✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ t×♠ t❤✃② ♠ét ➤❛ t❤ø❝ P s❛♦ ❝❤♦ ❞➵♥❣ Fc ó ể ì ị ỉ ó ì ❞Þ ❦❤✐ c = 1✳ ❉➵♥❣ Fc tr♦♥❣ ✈Ý ❞ơ ó ột ể ì ị trị ➤ã ❝ñ❛ c✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ❜❐❝ ❝ñ❛ Fc t➝♥❣✱ ❞➢ê♥❣ ó tì t ữ í ụ ò ủ Fc ó ì ị ọ c = 1✳ ✸✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❑Õt ❧✉❐♥ ❙❛✉ ♠ét t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❧➭♠ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♠ tó❝✱ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝đ❛ t❤➬② ❣✐➳♦✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ♥❤➢ s❛✉✿ ✶✳ ❍Ư t❤è♥❣ ❤♦➳ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së t ột ố ụ r t ợ ệ trì ❜➭② ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ✷✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t r❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ❜❛♦ ❣å♠✿ q = pn ≥ 3✱ tå♥ t➵✐ t❐♣ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ q ♠➭ ❦❤➠♥❣ ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè p ✈➭ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ä✐ ❧✉ü t❤õ❛ ♥❣✉②➟♥ tè ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✸ ♣❤➬♥ tư tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✸ ✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ♥ã ✈Ị t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥✱ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ ≥ 4✱ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ❜✃t ❦×✳ ✸✳ ➜➢❛ r❛ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ❝ơ t❤Ĩ ✈Ị t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✱ tr♦♥❣ ➤ã ➤➲ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ ❝➠♥❣ ❝ơ ✬✬➤➵✐ sè ✲ ❤×♥❤ ❤ä❝✬✬ ✈í✐ ❝➳❝ t❐♣ ❝ã ❧ù❝ ❧➢ỵ♥❣ ♥❤á✳ ✸✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❘♦❜❡rt ❇✳ ❆s❤✱ ❆❜str❛❝t ❆❧❣❡❜r❛✱ ❙♣r✐♥❣❡r ❱❡r❧❛❣✱ ✷✵✵✵✳ ❬✷❪ ❆✳ ❇❡r❦♦✈✐❝❤✱ ❙♣❡❝tr❛❧ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♥❛❧②t✐❝ ●❡♦♠❡tr② ♦✈❡r ◆♦♥✲ ❆r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❋✐❡❧❞s✱ ▼❛t❤✳ ❙✉r✈❡②s ▼♦♥♦❣r❛♣❤s ✸✸✱ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✶✾✾✵✳ ❬✸❪ ❆✳ ❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❲✳ ❈❤❡rr② ❛♥❞ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ❯♥✐q✉❡ r❛♥❣❡ s❡ts ✐♥ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝✱ ❆❝t❛✳ ❆r✐t❤ ✶✵✸ ✭✷✵✵✷✮ ◆✳✷✱ ✶✻✾✲✶✽✾✳ ❬✹❪ ❆✳ ❇♦✉t❛❜❛❛ ❛♥❞ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ t❤❡♦r② ✐♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❏✳ P✉r❡✳ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳ ◆✷✸✱ ✷✵✵✵✱ ♣♣✲✹✺✲✺✻✳ ❬✺❪ ❆✳ ❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t ❛♥❞ ▲✳ ❍❛❞❞❛❞✱ ❖♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❡♥t✐r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ p p✲❛❞✐❝ ■♥❞❛❣✳ ▼❛t❤✳ ✽ ✭✶✾✾✼✮✱ ✶✹✺✲✶✺✺✳ ❬✻❪ ❲✳ ❈❤❡rr② ❛♥❞ ❈✳✲❈✳ ❨❛♥❣✱ ❯♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♥♦♥✲❆r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❡♥t✐r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s s❤❛r✐♥❣ s❡ts ♦❢ ✈❛❧✉❡s ❝♦✉t✐♥❣ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t②✱ Pr♦❝✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✶✷✼ ✭✶✾✾✾✮✱ ✾✻✼✲✾✼✶✳ ❬✼❪ ❋✳ ●r♦ss✱ ❋❛❝t♦r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ s♦♠❡ ♦♣❡♥ ♣r♦❜✲ ❧❡♠s✱ ✐♥✿ ❈♦♠♣❧❡① ❆♥❛❧②s✐s ✭▲❡①✐♥❣t♦♥✱ ❑❨✱ ✶✾✼✻✮✱ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤✳ ✺✾✾✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✶✾✼✼✱ ✺✶✲✻✼✳ ❬✽❪ P✳ ✲❈✳ ❍✉ ❛♥❞ ❈✳ ✲❈✳ ❨❛♥❣✱ ▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦✈❡r ♥♦♥✲ ❆r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❋✐❡❧❞s✱ ▼❛t❤✳ ❆♣♣❧✳ ✺✺✷✱ ❑❧✉✇❡r✱ ✷✵✵✵✳ ✸✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... t➬♠ t❤➢ê♥❣ ❝ñ❛ ➤➡♥ ✈Þ ♠➭ ❝ị♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ m ❝đ❛ ➤➡♥ ị ì t ột tr số n rờ ❤ỵ♣ ✷✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ❤♦➷❝ m ♣❤➯✐ ♥❣✉②➟♥ tè... ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✸✷ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❱✃♥ ➤Ị t×♠ ❝➳❝... ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦ F K✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♠ét ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡✳ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn S ❧➭ www.VNMATH.com ❈❤❡rr② ✈➭ ❨❛♥❣ ❬✻❪✱ ♥➝♠