Luận văn: Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương ppt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn K F K S K F S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn K A ∗ (K) K K n K p ≥ 0 A ∗ (K) K S n p p > 0 S A ∗ (K) S p p p n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ≥ 4 n n ≥ 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn p p x = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + , a i ∈ Z(∗). x n = a 0 +a 1 p+a 2 p 2 + +a n p n x n −x n−1 = a n p n p− x = {x 0 , x 1 , } x n ≡ x n−1 mod p n , n = 1, 2, p− x + y = {x n + y n }, xy = {x n y n }. p θ p p x = {x n } θ p p x 0 ≡ 0 mod p a p a ≡ 0 mod p Q p θ p p α ∈ Q p p m u m u Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn θ p α a −r p r + + a −1 p + a 0 + a 1 p + α = x p r x p r ≥ 0 Q p p Q p v p : Q p → Z v p (p m u) = m. v K K \ {0} v(xy) = v(x) + v(y), ∀x, y ∈ K; v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}, ∀x, y ∈ K; v(0) = +∞(v(x) = +∞ ⇔ x = 0). K v c v K |x| = c −v(x) . v = v p c p p |x| p = p −v p (x) . p p n p −n n ∞ p e p n |n| p = p −e Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn K K | · | : K → R + = [0, +∞) |x| ≥ 0 x = 0 |xy| = |x|.|y|, ∀x, y ∈ K; |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ K. |x + y| ≤ max{|x|, |y|}, ∀x, y ∈ K. | · | 0 |x| 0 =  1 : x ∈ K \ {0} 0 : x = 0. K K f S f E(f, S) =  a∈S {(z, m) : f(z) = a m}, E S (f) z f m f g S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn E(f, S) = E(g, S) S F ∀f, g ∈ F E(f, S) = E(g, S) f ≡ g F f g P (z) P S (f) = P S (g) f ≡ g P (z) P S (f) = c.P S (g), c = 0 f ≡ g f g K p ≥ 0 f K z 0 ∈ K w z 0 (f) f z 0 f(z 0 ) = 0 w z 0 (f) z 0 f −w z 0 (f) w + z 0 (f) = max{0, w z 0 (f)}. r > 0 Z(r, f) =  0<|z 0 |<r w + z 0 (f) log r |z 0 | + w + 0 (f) log r. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... không là tập xác định duy nhất trong trường đặc số p và Chứng minh mọi luỹ thừa nguyên tố không tồn tại tập xác định duy nhất 3 phần tử trong trường đặc số 3 Định lý cơ bản và chứng minh của nó về tập xác định duy nhất các hàm nguyên, có lực lượng 4, trên trường phi Archimed đặc số dương bất kì 3 Đưa ra một số ví dụ cụ thể về tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương, trong đó... những tập có lực lượng là một luỹ thừa của đặc số và không tồn tại tập xác định duy nhất có lực lượng 3 trong trường đặc số 3 Trong phần này ta đưa ra các ví dụ về tập xác định duy nhất có lực lượng 4 trong trường đặc số bất kì 21 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Trước hết, ta phát biểu một số hệ qủa của định lý cơ bản mà cho những ví dụ về tập xác định duy nhất. .. trong định lý 2.2.1 với đặc số 2 Đặt n = 2r 8 là một số nguyên dương và đặt P (x) = xn axn3 + 1 S các không một tập xác định duy nhất của A (K) Giả thiết a = 0 Chứng minh Khi đó, tập điểm của P có n phần tử và là Các điều kiện (B1) và (B2) được thỏa mãn và các điều kiện trong định lý trong trường hợp này là tầm thường Định lý B) của Voloch hoặc định lý 2.2.1 không bao gồm trường hợp những tập 4... Chứng minh Từ định lý 1.3.1, n Z(r, f j ) = nT (r, f ) + O(1), j=1 và từ định lý 1.3.3, n Z(r, f j ) log r + O(1) (n 1)T (r, f ) log r + O(1) j=1 Vì vậy, n [Z(r, f j )Z(r, f j )] nT (r, f )+(1n)T (r, f )log r +O(1) j=1 10 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương 2.1 Tập không xác định duy nhất và cứng... không là một tập xác định duy nhất *Chú ý Phương pháp này sẽ là tốt để xây dựng các ví dụ tương tự ví dụ 2.1.2 cho bội của p mà không thuần tuý là luỹ thừa của p, hoặc chứng tỏ không tồn tại những ví dụ như vậy 2.2 Định lý cơ bản về tập xác định duy nhất Xuyên suốt phần này, K sẽ là một trường đóng đại số đầy đủ tương ứng với một giá trị tuyệt đối phi Archimed và A (K) sẽ là tập các hàm nguyên phi Archimed... m) = 1 Khi đó, tập S các không điểm của xác định duy nhất cho *Chú ý Cho P trong K n phần tử và là một tập có A (K) d đủ lớn, d (1 )p = 1 , và như vậy điều kiện d mm (n m)nm an = nn (1 )p đúng với mọi (nm) d 0, a cần được chọn sao cho nó không thỏa mãn một số hữu hạn các phương trình đại số Do đó, trên một trường vô hạn và đặc biệt trên trường đóng đại số, luôn có thể tìm được một số a như vậy Trước... tập 4 phần tử trong trường đặc số 2 hoặc tập 5 phần tử trong trường đặc số 5 Sau đây ta cho ví dụ đặc trưng trong mỗi trường hợp đó Phương pháp của ta ở đây là ''đại số - hình học'' Nghĩa là, Xét đa thức P (x), tập các không điểm của nó là S và các không điểm là phân biệt, ta xét đường cong đại số định nghĩa bởi Fc (x, y) = P (x) cP (y) = 0 với c = 0 Khi đó, nếu f và g là hai hàm giải tích phi Archimed... h) log r + O(1) (n m) j=1 Sử dụng định lý 1.3.1, ta kết luận (m 2)T (r, h) ( m1 + 1)T (r, h) log r + O(1) nm Do đó, m1 + 1) nm Ta đã có giả thiết n m 2, vì thế ta kết luận m < 5, mâu thuẫn với điều m2 2 và không là một luỹ thừa của p, đặc số của K Giả thiết rằng a = 0 trong K sao cho Giả sử (n 1)n1 an = nn S các không duy nhất của A (K) Khi đó, tập điểm của và (n 1)n1 an = 2nn P có n phần tử và là một tập xác định *Chú ý Nếu đặc số của K là 2, n chẵn, thì . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm. > 0 S A ∗ (K) S p p p n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ≥ 4 n n ≥ 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn p. http://www.Lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn K F K S K F S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn K A ∗ (K) K K n K