Các phương trình (3.9) và (3.10) được gọi là các phương trình chuẩn. Giải hệ phương trình chuẩn ta được ˆ ˆ β1 = Y − β 2 X (3.11) Thay (3.9) vào (3.8) và biến đổi đại số chúng ta có ˆ β2 =∑ (Yn i =1 ni− Y )(X i − X ) i∑ (Xi =1− X)(3.12) 2. Đặt x i = X i − X và y i = Yi − Y ta nhận được ˆ β2 =∑y x i =1 n i 3.3.3.Tính chất của hàm hồi quy mẫu theo OLS Tính chất của tham số ước lượng,
⎛ n ⎞ ∂⎜ ∑ e i2 ⎟ n n ⎝ i =1 ⎠ = −2 Y − βˆ − βˆ X = −2 e = (3.7) ∑ ∑ i i i ∂βˆ i =1 i =1 ( (1) ) ⎛ n ⎞ ∂⎜ ∑ ei2 ⎟ n n ⎝ i =1 ⎠ = −2 Y − βˆ − βˆ X X = −2 e X = (3.8) (2) ∑ ∑ i i i i i ∂βˆ i =1 i =1 Từ (3.7) (3.8) rút ∑ Yi = nβˆ + βˆ ∑ X i (3.9) Y X = βˆ X + βˆ X (3.10) ( ∑ i i ∑ i ∑ ) i Các phương trình (3.9) (3.10) gọi phương trình chuẩn Giải hệ phương trình chuẩn ta βˆ = Y − βˆ X (3.11) Thay (3.9) vào (3.8) biến đổi đại số có ∑ (Y n βˆ = i i =1 − Y )(X i − X ) ∑ (X n i =1 − X) (3.12) i Đặt x i = X i − X y i = Yi − Y ta nhận n βˆ = ∑y x i =1 n i ∑x i =1 i (3.13) i 3.3.3.Tính chất hàm hồi quy mẫu theo OLS Tính chất tham số ước lượng (1) βˆ βˆ ứng với mẫu xác định gồm n quan sát (Xi,Yi) (2) βˆ βˆ ước lượng điểm Giá trị βˆ βˆ thay đổi theo mẫu dùng để ước lượng Tính chất hàm hồi quy mẫu12 (1) Hàm hồi quy mẫu qua giá trị trung bình liệu Thật vậy, từ (3.11) ta có Y = βˆ − βˆ X 12 Phần chứng minh tính chất phần tìm đọc Gujarati, Basic Econometrics,3rd Edition, p56-59 28 500 (SRF): Yi = β1 + β2Xi 450 Tiêu dùng, Y (XD) 400 350 Y 300 250 200 150 100 50 X 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Thu nhập X (XD) Hình 3.4 Đường hồi quy mẫu qua giá trị trung bình liệu (2) Giá trị trung bình ước lượng giá trị trung bình quan sát biến phụ ˆ = Y thuộc: E Y (3) Giá trị trung bình phần dư 0: E(e i ) = () (4) Các phần dư ei Yi không tương quan với nhau: n ∑e Y i =1 n (5) Các phần dư ei Xi không tương quan với nhau: i ∑e X i =1 i i =0 i =0 3.3.4.Phân phối βˆ βˆ 13 βˆ Ước lượng βˆ Kỳ vọng E βˆ = β E βˆ = β ( ) 1 ( ) n ( ) Phương sai var βˆ = ∑X 2 i ( ) σ2 σ var βˆ = n n ∑ x i2 ∑ x i2 i =1 n i =1 i =1 n Sai số chuẩn σ βˆ = ∑X i =1 n i n ∑ x i2 i =1 σ σ βˆ = σ n ∑x i =1 i n ⎛ ⎛ ⎞ X i2 ⎜ ⎜ ⎟ ∑ σ2 2⎟ ˆ i =1 ⎜ ˆ Phân phối β1 ~ N β1 , n σ β ~ N⎜ β , n ⎜ ⎜ ⎟ x i2 ⎜ n∑ x i ⎜ ⎟ ∑ i =1 i =1 ⎝ ⎝ ⎠ Hiệp phương sai hai hệ số ước lượng ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 13 Có thể tính tốn chứng minh biểu thức dựa vào định nghĩa định lý kỳ vọng phương sai Tham khảoVũ Thiếu đồng sự, Kinh tế lượng, PL chương 2, trang 61 29 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ σ ⎟ cov βˆ , βˆ = − X var βˆ = − X⎜ n ⎜ ⎟ ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ Trong biểu thức σ = var(ε i ) với giả định ε i ~ N(0, σ ) 3.4.Khoảng tin cậy kiểm định giả thiết hệ số hồi quy 3.4.1 Khoảng tin cậy cho hệ số hồi quy Thực σ nên ta dùng ước lượng khơng chệch ( ) ( ) n σˆ = ∑e i =1 i n−2 σˆ Sai số chuẩn hệ số hồi quy cho độ dốc se(β ) = n ∑x i =1 ( Từ βˆ ~ N β , σ β2ˆ ) với σ βˆ = σ n Z= ∑x i =1 i ta có i βˆ − β ~ N(0,1) (3.14) σβ2 Từ tính chất phương sai mẫu ta có σˆ (n − 2) ~ χ 2( n − ) (3.15) σ Từ (3.14) (3.15) Ta xây dựng trị thống kê βˆ − β σ β2 Z ~ ~ t ( n −2 ) (3.16) σˆ χ 2n −2 ( n − 2) σ n−2 n−2 Biến đổi vế trái βˆ − β σβ2 βˆ − β βˆ − β βˆ − β = = = se(βˆ ) σˆ σˆ 2 σˆ σ2 σ β2 (n − 2) * n 2 σ σ σ x i2 ∑ n−2 i =1 Thay vào (3.16) ta βˆ − β ~ t ( n − ) (3.17) se(βˆ ) Chứng minh tương tự ta có βˆ − β1 ~ t ( n − ) (3.18) se(βˆ ) Ước lượng khoảng cho hệ số hồi quy với mức ý nghĩa βˆ − t ( n − 2,1−α / 2) se(βˆ ) ≤ β1 ≤ βˆ + t ( n − 2,1−α / ) se(βˆ ) (3.19) sau 30 βˆ − t ( n − 2,1−α / ) se(βˆ ) ≤ β ≤ βˆ + t ( n − 2,1−α / 2) se(βˆ ) (3.20) 3.4.2 Kiểm định giả thiết hệ số hồi quy Chúng ta quan tâm nhiều đến ý nghĩa thống kê độ dốc ( 2) phương trình hồi quy tung độ gốc ( 1) Cho nên từ đến cuối chương chủ yếu kiểm định giả thiết thống kê độ dốc Giả thiết H : β = β*2 H1 : β ≠ β*2 Phát biểu mệnh đề xác suất ⎛ ⎞ βˆ − β ≤ t ( n − 2,1−α / ) ⎟ = − α P⎜ t ( n − , α / ) ≤ ⎜ ⎟ se(βˆ ) ⎝ ⎠ Quy tắc định βˆ − β*2 βˆ − β*2 ¾ Nếu < t ( n − 2,α / ) > t ( n −2,1−α / 2) bác bỏ H0 se(βˆ ) se(βˆ ) βˆ − β*2 ¾ Nếu t ( n −2,α / ) ≤ ≤ t ( n −2,1−α / ) ta khơng thể bác bỏ H0 se(βˆ ) Quy tắc thực hành-Trị thống kê t phần mềm kinh tế lượng Trong thực tế thường xét xem biến độc lập X có tác động lên biến phụ thuộc Y hay khơng Vậy thực hồi quy kỳ vọng β ≠ Mức ý nghĩa hay dùng phân tích hồi quy =5% Giả thiết H : β2 = H1 : β ≠ Trị thống kê trở thành βˆ t-stat = se(βˆ ) Quy tắc định ¾ Nếu /t-stat/ > t(n-2,97,5%) bác bỏ H0 ¾ Nếu /t-stat/ ≤ t(n-2,97,5%) khơng thể bác bỏ H0 Tra bảng phân phối Student thấy bậc tự n 20 trị thống kê t97,5% xấp xỉ Quy tắc thực hành ¾ Nếu /t-stat/ > bác bỏ giả thiết = ¾ Nếu /t-stat/≤ ta khơng thể bác bỏ giả thiết 2=0 Trong phần mềm bảng tính có tính tốn hồi quy, người ta mặc định mức ý nghĩa =5% giả thiết H0: i=0 Thủ tục tính tốn hồi quy Excel cung cấp cho ta hệ số hồi quy, trị thống kê t, ước lượng khoảng hệ số hồi quy giá trị p14.Sau kết hồi quy tính tốn thủ tục hồi quy vài phần mềm thông dụng Excel Kết Regresstion cho liệu ví dụ 3.1 (Chỉ trích phần hệ số hồi quy) Intercept X Coefficients Standard Error t Stat P-value 92,24091128 33,61088673 2,744376012 0,010462 0,611539034 0,067713437 9,031280327 8,68E-10 Lower 95% Upper 95% 23,39205354 161,089769 0,472834189 0,750243878 Intercept: Tung độ gốc Coefficients : Hệ số hồi quy Standard Error : Sai số chuẩn ước lượng hệ số t Stat : Trị thống kê t(n-2) P-value : Giá trị p 14 Ở chương biết ước kiểm định ước lượng khoảng, trị thống kê giá trị p tương đương 31 Lower95%: Giá trị tới hạn khoảng ước lượng với độ tin cậy 95% Upper95% : Giá trị tới hạn khoảng ước lượng với độ tin cậy 95% Bác bỏ H0 /t-stat/ > p-value < 0,05 khoảng (Lower;Upper) không chứa 0.15 Eviews Thủ tục Make Equation cho kết sau(chỉ trích phần hệ số hồi quy): Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 30 after adjusting endpoints Variable Coefficie nt Std Error tStatistic Prob C 92.24091 X 0.611539 33.6108 0.06771 2.74437 9.03128 0.010 0.000 C : Tung độ gốc Coefficient : Hệ số hồi quy Std Error : Sai số chuẩn ước lượng hệ số t – Statistic : Trị thống kê t(n-2) Prob: Giá trị p.Bác bỏ H0 /t-Statistic/ > Prob < 0,05 SPSS Thủ tục Regression->Linear (Chỉ trích phần hệ số hồi quy) Unstandardiz Standardiz ed ed Coefficients Coefficien ts Model B Std Beta Error (Const 92,241 33,611 ant) X ,612 ,068 ,863 t Si g 2,7 44 9,0 31 ,0 10 ,0 00 Constant: Tung độ gốc Unstandardized Coefficients: Các hệ số hồi quy Standardized Coefficients: Các hệ số hồi quy chuẩn hoá16 t: t-StatSig: Giá trị p Bác bỏ H0 /t/ >2 Sig < 0,05 3.5 Định lý Gauss-Markov Với giả định mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển, hàm hồi quy tuyến tính theo phương pháp bình phương tối thiểu ước lượng tuyến tính khơng thiên lệch tốt Chúng ta không chứng minh đinh lý này.17 3.6 Độ thích hợp hàm hồi quy – R2 Làm đo lường mức độ phù hợp hàm hồi quy tìm cho liệu mẫu Thước đo độ phù hợp mơ hình liệu R2 Để có nhìn trực quan R2, xem xét đồ thị sau 15 Như trình bày chương 2, thực cách diễn đạt từ mệnh đề xác suất nên kết luận từ trị thống kê t, p ước lượng khoảng tương đương 16 Khái niệm nằm ngồi khn khổ giáo trình Phần chứng minh tính chất phần có Gujarati, Basic Econometrics-3rd Edition, trang 97-98 17 32 Y SRF Y i Y i Y Yi - Yi Yi Yi Y - X i X Hình 3.5 Phân tích độ thích hợp hồi quy Yi − Y : biến thiên biến phụ thuộc Y, đo lường độ lệch giá trị Yi so với giá trị trung bình Y ˆ − Y : biến thiên Y giải thích hàm hồi quy Y i ˆ : biến thiên Y khơng giải thích hàm hồi quy hay sai số hồi quy e i = Yi − Y i Trên Xi kỳ vọng ei nhỏ nhất, hay phần lớn biến thiên biến phụ thuộc giải thích biến độc lập Nhưng hàm hồi quy tốt phải có tính chất mang tính tổng quát Trong hồi quy tuyến tính cổ điển, người ta chọn tính chất tổng bình phương biến thiên khơng giải thích nhỏ Ta có ˆ +e Yi = Y i ˆ Y −Y = Y − Y + e i i y i = yˆ i + e i ˆ −Y Với y i = Y i − Y yˆ i = Y n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 Vậy ∑ y i2 = ∑ yˆ i2 + ∑ e i2 + 2∑ yˆ i e i (3.21) Số hạng cuối (3.21) n n n i =1 i =1 Vậy ∑ y i2 = ∑ yˆ i2 + ∑ e i2 i =1 n n n i =1 i =1 i =1 Đặt TSS = ∑ y i2 , ESS = ∑ yˆ i2 RSS = ∑ e i2 TSS(Total Sum of Squares): Tổng bình phương biến thiên Y ESS(Explained Sum of Squares): Tổng bình phương phần biến thiên giải thích hàm hồi quy Y RSS(Residual Sum of Squares) : Tổng bình phương phần biến thiên khơng giải thích hàm hồi quy Y hay tổng bình phương phần dư.Ta có: TSS = ESS + RSS RSS ESS Đặt R = = 1− TSS TSS 33 ⎛ n ⎞ ⎜∑ xi ⎟ ⎜ i =1 ⎟ n n n − 1⎟ ⎜ 2 ˆ yˆ i β ∑ x i ∑ ⎜ ⎟ ⎠ = βˆ S x i =1 = ni =1 = βˆ 22 ⎝ n R = n S 2y ⎛ ⎞ y i2 y i2 ⎜ ∑ y i2 ⎟ ∑ ∑ i =1 i =1 ⎜ i =1 ⎟ n − 1⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n Mặt khác ta có βˆ = ∑y x i =1 n i ∑x i =1 i Vậy i ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ x i yi ⎟ R = ⎝ni =1 n ⎠ = rX2 ,Y (3.22) ∑ x i2 ∑ y i2 i =1 i =1 Vậy hồi quy hai biến R2 bình phương hệ số tương quan Tính chất R2 (1) 0≤ R2 ≤1 Với R2=0 thể X Y độc lập thống kê R2 =1 thể X Y phụ thuộc tuyến tính hồn hảo (2) R2 không xét đến quan hệ nhân 3.7 Dự báo mơ hình hồi quy hai biến Dựa X0 xác định dự báo Y0 ˆ = βˆ + βˆ X Ước lượng điểm cho Y0 : Y ˆ Để ước lượng khoảng phải tìm phân phối xác suất Y i Dự báo giá trị trung bình E (Yo X = X ) ˆ = βˆ + βˆ X Từ Y ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ˆ = var βˆ + βˆ X = var βˆ + X var βˆ + 2X cov βˆ , βˆ (3.23) Suy var Y 2 Thay biểu thức var βˆ , var βˆ cov βˆ , βˆ mục 3.3.4 vào (3.23) rút gọn ( ) ( ) ( ⎤ ⎡ ⎢ (X − X ) ⎥ ˆ = σ2 ⎢ + ⎥ var Y n ⎢n x i ⎥⎥ ∑ ⎢⎣ i =1 ⎦ ( ) Dự báo giá trị cụ thể Y0 ˆ = β − βˆ + β − βˆ X + e Từ Y0 − Y 1 0 ˆ = E β − βˆ + X E β − βˆ + E (e ) = Ta có E Y0 − Y 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ var Y0 − Y0 = var β1 + X var β + 2X cov β1 , βˆ + var e (3.25) ( ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) Số hạng cuối var e = σ Vậy ⎡ ⎤ ⎢ (X − X ) ⎥ ˆ = σ ⎢1 + + ⎥ (3.26) var Y0 − Y n ⎢ n x i ⎥⎥ ∑ ⎢⎣ i =1 ⎦ Sai số chuẩn dự báo ( ) 34 Cho giá trị Y0 ⎛ ⎜ ˆ = σ⎜1 + + (X − X ) se Y n ⎜ n x i2 ⎜ ∑ i =1 ⎝ Khoảng tin cậy cho dự báo ˆ ±t ˆ Y o ( n − ,1− α / ) se( Yo ) ( ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Nhận xét: X0 lệch khỏi giá trị trung bình dự sai số dự báo lớn Chúng ta thấy rõ điều qua đồ thị sau 800 700 Ước lượng khoảng cho Y Tiêu dùng, Y (XD) 600 500 400 Y trung bình 300 200 Ước lượng khoảng cho Y0 bì h X trung bình 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Thu nhập khả dụng, X (XD) Hình 3.6 Ước lượng khoảng cho Y0 3.8 Ý nghĩa hồi quy tuyến tính số dạng hàm thường sử dụng 3.8.1 Tuyến tính tham số Trong mục 3.2.1 đặt yêu cầu để ước lượng theo phương pháp bình phương tối thiểu mơ hình hồi quy phải tuyến tính Sử dụng tính chất hàm tuyến tính phân phối chuẩn phân phối chuẩn, dựa vào giả định chặt chẽ phương pháp bình phương tối thiểu, người ta rút hàm ước lượng tham số hiệu trị thống kê kiểm định Hồi quy tuyến tính yêu cầu tuyến tính tham số, khơng u cầu tuyến tính biến số Mơ hình Y = β1 + β + ε (3.27) X mơ hình tuyến tính tham số phi tuyến theo biến số Mơ hình Y = β1 + (1 − β12 )X (3.28) mơ hình phi tuyến tham số tuyến tính biến số 35 Hồi quy tuyến tính theo OLS chấp nhận dạng mơ hình tuyến tính tham số (3.27) mà khơng chấp nhận dạng mơ hình phi tuyến tham số (3.28) 3.8.2 Một số mơ hình thơng dụng Mơ hình Logarit kép Mơ hình logarit kép phù hợp với liệu nhiều lĩnh vực khác Ví dụ đường cầu với độ co dãn không đổi hàm sản xuất Cobb-Douglas Mơ hình đường cầu : Y = β1 X β e ε (3.29) Không thể ước lượng mô hình (3.29) theo OLS phi tuyến tham số Tuy nhiên lấy logarit hai vế ta mơ hình ln(Y ) = ln(β1 ) + β X + ε (3.30) Đặt Y * = ln(Y) β1* = ln(β1 ) ta mô hình Y * = β1* + β X + ε (3.31) Mơ hình tuyến tính theo tham số nên ước lượng theo OLS Chúng ta chứng minh đặc tính đáng lưu ý mơ hình độ co dãn cầu theo giá không đổi ∂Y Y = ∂Y ∗ X Định nghĩa độ co dãn: η D = ∂X ∂X Y X ∂Y ∂X ∂Y X => η D = Lấy vi phân hai vế (3.30) ta có = β2 = β2 Y X ∂X Y Vậy độ co dãn cầu theo giá không đổi Y Y = β1Xβ2 l (X) Hình 3.8 Chuyển dạng Log-log ln(Y) X ln(Y) Tổng qt, mơ hình logarit kép, hệ số ứng với ln biến số độc lập độ co dãn biến phụ thuộc vào biến độc lập Mơ hình Logarit-tuyến tính hay mơ hình tăng trưởng Gọi g tốc độ tăng trưởng, t thời kỳ Mơ hình tăng trưởng sau Yt = (1 + g ) t Y0 (3.32) Lấy logarit hai vế (3.32) ln(Yt ) = t ln(1 + g ) + ln(Y0 ) (3.33) Đặt Yt* = ln(Yt ) , β1 = ln(Y0 ) β = ln(1 + g) ta mơ hình hồi quy Yt* = β1 + β t + ε (3.34) Mơ hình tuyến tính-Logarit (Lin-log) Y = β1 + β ln(X ) + ε (3.35) Mơ hình phù hợp với quan hệ thu nhập tiêu dùng hàng hoá thơng thường với Y chi tiêu cho hàng hố X thu nhập Quan hệ cho thấy Y tăng theo X tốc độ tăng chậm dần 36 Y Y = β1 Y l (X) Hình 3.9 Chuyển dạng Lin-log X Mơ hình nghịch đảo hay mơ hình Hyperbol Y = β1 + β + ε (3.36) X Mơ hình phù hợp cho nghiên cứu đường chi phí đơn vị, đường tiêu dùng theo thu nhập Engel đường cong Philip Y Y β1>0 β2 >0 β1>0 β20 4.2 Ước lượng tham số mơ hình hồi quy bội 38 4.2.1 Hàm hồi quy mẫu ước lượng tham số theo phương pháp bình phương tối thiểu Trong thực tế thường có liệu từ mẫu Từ số liệu mẫu ước lượng hồi quy tổng thể Hàm hồi quy mẫu Yi = βˆ + βˆ X 2,i + βˆ X ,i + + βˆ k X k ,i +e i (4.4) ˆ = Y − βˆ − βˆ X − βˆ X − − βˆ X e =Y −Y i i i i 2 ,i 3,i k k ,i Với βˆ m ước lượng tham số m Chúng ta trông đợi βˆ m ước lượng không chệch m, phải ước lượng hiệu Với số giả định chặt chẽ mục 3.3.1 chương phần bổ sung 4.1, phương pháp tối thiểu tổng bình phương phần dư cho kết ước lượng hiệu m Phương pháp bình phương tối thiểu Chọn … k cho n n i =1 i =1 ( ∑ e i2 = ∑ Yi − βˆ − βˆ X 2,i − βˆ X 3,i − − βˆ k X k ,i ) (4.5) đạt cực tiểu Điều kiện cực trị (4.5) n ∂ ∑ e i2 i =1 ∂β1 n ( ) ( ) ( ) = −2∑ Yi − βˆ − βˆ X 2,i − βˆ X 3,i − − βˆ K X K ,i = i =1 n ∂ ∑ e i2 i =1 ∂β n = −2∑ Yi − βˆ − βˆ X 2,i − βˆ X 3,i − − βˆ K X K ,i X 2,i = (4.6) i =1 n ∂ ∑ e i2 i =1 n = −2∑ Yi − βˆ − βˆ X 2,i − βˆ X 3,i − − βˆ K X K ,i X k ,i = ∂β k i =1 Hệ phương trình (4.6) gọi hệ phương trình chuẩn hồi quy mẫu (4.4) Cách giải hệ phương trình (4.4) gọn gàng dùng ma trận Do giới hạn chương trình, giảng khơng trình bày thuật tốn ma trận mà trình bày kết tính tốn cho hồi quy bội đơn giản hồi quy ba biến với hai biến độc lập Một số tính chất hồi quy ta thấy hồi quy hai biến độc lập áp dụng cho hồi quy bội tổng quát 4.2.2 Ước lượng tham số cho mơ hình hồi quy ba biến Hàm hồi quy tổng thể Yi = β1 + β X 2,i + β3 X 3,i + ε i (4.7) Hàm hồi quy mẫu ˆ = βˆ + βˆ X + βˆ X + e (4.8) Y i 2 ,i 3,i i Nhắc lại giả định (1) Kỳ vọng sai số hồi quy 0: E e i X 2,i , X 3,i = ( (2) (3) Không tự tương quan: cov(e i , e j ) = , i≠j ) Phương sai đồng nhất: var(e i ) = σ 39 (4) Khơng có tương quan sai số Xm: cov(e i , X 2,i ) = cov(e i , X 3,i ) = (5) Không có đa cộng tuyến hồn hảo X2 X3 (6) Dạng hàm mơ hình xác định cách đắn Với giả định này, dùng phương pháp bình phương tối thiểu ta nhận ước lượng hệ số sau βˆ = Y − βˆ X − βˆ X (4.10) ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎜ ∑ y i x 2,i ⎟⎜ ∑ x 23,i ⎟ − ⎜ ∑ y i x 3,i ⎟⎜ ∑ x 2,i x 3,i ⎟ ⎠⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠⎝ i=1 ⎠ (4.11) βˆ = ⎝ i=1 n n n ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ∑ x 22 ,i ⎟⎜ ∑ x 23,i ⎟ − ⎜ ∑ x 2,i x 3,i ⎟ ⎝ i=1 ⎠⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ n n n n ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ∑ y i x 3,i ⎟⎜ ∑ x 22 ,i ⎟ − ⎜ ∑ y i x 2,i ⎟⎜ ∑ x 2,i x 3,i ⎟ ⎠⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠⎝ i=1 ⎠ (4.12) βˆ = ⎝ i=1 n n n ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ∑ x 22 ,i ⎟⎜ ∑ x 23,i ⎟ − ⎜ ∑ x 2,i x 3,i ⎟ ⎝ i=1 ⎠⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ 4.2.3 Phân phối ước lượng tham số Trong phần quan tâm đến phân phối hệ số ước lựơng βˆ βˆ Hơn tương tự cơng thức xác định hệ số ước lượng nên khảo sát βˆ Ở trình bày kết quả18 βˆ ước lượng không chệch : E βˆ = β (4.13) ( ) n ( ) var βˆ = ∑x i =1 ,i ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ∑ x 22,i ⎟⎜ ∑ x 32,i ⎟ − ⎜ ∑ x 2,i x 3,i ⎟ ⎝ i=1 ⎠⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ n n n σ (4.14) n Nhắc lại hệ số tương quan X2 X3 : rX 2X3 = ∑x i =1 ,i x 3,i ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ x 2,i ⎟ ⎜ ∑ x 3,i ⎟ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ Đặt rX X = r23 biến đổi đại số (4.14) ta ( ) var βˆ = ∑ x (1 − r ) n i =1 2 ,i σ (4.15) 23 Từ biểu thức (4.13) (4.15) rút số kết luận sau: Nếu X2 X3 có tương quan tuyến tính hồn hảo r232 =1 Hệ var βˆ vô lớn hay (1) ta khơng thể xác định hệ số mơ hình hồi quy (2) Nếu X2 X3 không tương quan tuyến tính hồn hảo có tương quan tuyến tính cao ước lượng βˆ khơng chệch không hiệu Những nhận định cho hồi quy nhiều ba biến 4.3 R R hiệu chỉnh ( ) Các thao tác chứng minh phức tạp, để tự chứng minh độc giả nhớ lại định nghĩa tính chất giá trị kỳ vọng, phương sai hiệp phương sai biến ngẫu nhiên 18 40 ESS RSS = 1− TSS TSS Một mơ hình có R lớn tổng bình phương sai số dự báo nhỏ hay nói cách khác độ phù hợp mơ hình liệu lớn Tuy nhiên tính chất đặc trưng quan trọng có xu hướng tăng số biến giải thích mơ hình tăng lên Nếu đơn chọn tiêu chí chọn mơ hình có R cao, người ta có xu hướng đưa nhiều biến độc lập vào mơ hình tác động riêng phần biến đưa vào biến phụ thuộc khơng có ý nghĩa thống kê Để hiệu chỉnh phạt việc đưa thêm biến vào mơ hình, người đưa trị thống kê R hiệu chỉnh(Adjusted R )19 v n −1 (4.16) R = − (1 − R ) n−k Với n số quan sát k số hệ số cần ước lượng mơ hình Qua thao tác hiệu chỉnh biến thực làm tăng khả giải thích mơ hình xứng đáng đưa vào mơ hình 4.4 Kiểm định mức ý nghĩa chung mơ hình Trong hồi quy bội, mơ hình cho khơng có sức mạnh giải thích tồn hệ số hồi quy riêng phần không Giả thiết H0: = = … = k = H1: Không phải tất hệ số đồng thời không Nhắc lại khái niệm R : R = Trị thống kê kiểm định H0: ESS (k - 1) F= ~ F( k −1,n −k ) RSS (n - k) Quy tắc định ¾ Nếu Ftt > F(k-1,n-k, ) bác bỏ H0 ¾ Nếu Ftt ≤ F(k-1,n-k, ) khơng thể bác bỏ H0 4.5 Quan hệ R2 F ESS (n − k )ESS (k − 1) (n − k )ESS F= = = RSS (k - 1)RSS (k − 1)(TSS − ESS) (n − k ) R2 (n − k )ESS/TSS (n − k )R (k − 1) = = = 2 (k − 1)(1 − ESS/TSS) (k − 1)(1 − R ) (1 − R ) (n − k ) 4.6 Ước lượng khoảng kiểm định giả thiết thống kê cho hệ số hồi quy Ước lượng phương sai sai số n s ε2 = ∑e i i =1 (4.17) n−k Người ta chứng minh s ε2 ước lượng không chệch Nếu sai số tuân theo phân phối chuẩn , hay E(s ε2 ) = σ (n − k )s ε2 ~ χ (2n −k ) σ2 19 Công thức Theil, sử dụng đa số phần mềm kinh tế lượng Một công thức khác Goldberger đề xuất Modified rd k⎞ ⎛ R = ⎜1 − ⎟R (Theo Gujarati, Basic Econometrics-3 , trang 208) n⎠ ⎝ 41 ... 194 36 3 35 3 30 6 557 30 2 497 268 36 4 2 83 416 521 407 30 4 31 8 116 427 37 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 827 111 452 688 32 7 647 687 4 43 657 105 484 6 53 141 499 158 33 3 600 32 0 547 518 37 8... Standard Error t Stat P-value 92,24091128 33 ,610886 73 2,74 437 6012 0,010462 0,611 539 034 0,0677 134 37 9, 031 28 032 7 8,68E-10 Lower 95% Upper 95% 23, 3920 535 4 161,089769 0,472 834 189 0,7502 438 78 Intercept:... dùng Hình 3. 10 Dạng hàm nghịch đảo Phụ lục 3. 1.PL Số liệu thu nhập tiêu dùng, XD STT 10 11 12 13 14 15 16 17 Thu nhập khả dụng X 1 73 361 35 5 36 6 581 38 2 633 406 37 5 267 7 83 515 705 4 93 367 159