Ph¬ng ph¸p chøng minh nghiÖm duy nhÊt.[r]
(1)Chuyờn :
Phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực
A/ Đặt vấn đề:
Trong q trình học Tốn, em học sinh gặp tốn mà đầu đề lạ, khơng bình thờng, tốn khơng thể giải trực tiếp quy tắc, phơng pháp quen thuộc Những toán nh thờng đợc gọi “khơng mẫu mực”, có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện t Tốn học thờng thử thách học sinh kỳ thi HSG, thi vào cấp 3, lớp chun tốn,… Tuy nhiên quen thuộc hay “khơng mẫu mực”, phụ thuộc vào trình độ ngời giải Tốn Tơi xin đa số phơng pháp giải số phơng trình hệ phơng trình “khơng mẫu mực”, với phơng pháp giúp đỡ em học sinh luyện tập làm quen với phơng trình hệ phơng trình “khơng mẫu mực” để từ biết cách t suy nghĩ trớc phơng trình hệ phơng trình “khơng mẫu mực” khác
B Giải vấn đề I Phần I: Phơng trình. 1 Phơng trình ẩn:
Với phơng trình ẩn có phơng pháp thờng vận dụng là: Đa ph-ơng trình tích, áp dụng bất đẳng thức chứng minh nghiệm đa hệ phơng trỡnh
a Phơng pháp đa phơng trình tích. * C¸c bíc:
- Tìm tập xác định phơng trình
- Dùng phép biến đổi đại số, đa phơng trình dạng f(x).g(x) ….h(x) = (gọi phơng trình tích) Từ suy f(x) = 0; g(x) = 0; … h(x) = phơng trình quen thuộc Nghiệm phơng trình tập hợp nghiệm phơng trình f(x) = 0, g(x) = 0, … h(x) = thuộc tập xác định
- Đôi dùng ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ân đa phơng trình dạng tích (với ẩn phụ) Giải phơng trình với ẩn phụ, từ tìm nghiệm phơng trình cho
- Dùng cách nhóm số hạng, tách số hạng…để đa phơng trình dạng quen thuộc mà ta biết cách giải
(2)Ví dụ 1: Giải phơng trình:
√x2
+10x+21=3√x+3+2√x+7−6
§K: x ≥ -3
√x+7−3=0
¿
√x+3−2=0
¿
√x+7=3
¿
√x+3=2
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿
¿ √x2
+10x+21=3√x+3+2√x+7−6
⇔√(x+3)(x+7)−3√x+3−2√x+7+6=0
⇔√x+3(√x+7−3)−2(√x+7−3)=0
⇔(√x+7−3)(√x+3−2)=0
⇔
¿ Vì vế dơng nên ta có:
⇔
x+7=9
¿ x+3=4
¿ x=2(TM)
¿ x=1(TM)
¿ ¿ ¿
⇔¿
¿ ¿ ¿
VËy tËp hỵp nghiệm phơng trình S = {1;2} . Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0
TX§: x R
Gi¶i 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0
⇔ 3x(3 + 2x) – 9(2x + 3) = 0
(3)⇔
2x+3=0
¿ 3x−9
=0
¿ ¿ ¿ x=−3
2 ¿ x=2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy tập nghiệm phơng trình S = {3 2;2}
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
(x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; TX§: R.
áp dụng đẳng thức (a - b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b)
(x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3
x2− x −1
=0
¿ 3x −2=0
¿ x2−4x
+1=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿[
(x2− x −1)−
(3x −2)]3−[(x2− x −1)3−
(3x −2)3]=0
⇔−3(x2− x −1)(3x −2)(x2−4x+1)=0
⇔
¿
Gi¶i (1): x2 - x - =
Δ = + = > 0, Pt cã nghiÖm x1=1+√5
2 ; x2=
1−√5 Gi¶i (2):
3x - = ⇔ x=2
3 Gi¶i (3):
x2 - 4x + = 0
Δ ’ = - = > 0, Pt cã nghiÖm x1=2+√3; x2=2−√3
VËy tập nghiệm phơng trình là: S= {1+5
2 ; 1−√5
2 ;
3;2+√3;2−√3}
(1) (2)
(4)Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh:
(x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36 TX§: R
⇔[(x −2) (x+6)][(x −4)(x+8)]=−36
(x2+4x 12)(x2+4x 32)=36()
Đặt y = x2 + 4x - 12 x2+4x 32=y 20
Phơng trình (*) trë thµnh: y −18=0⇒y=18
¿
y −2=0⇒y=2
¿ x2
+4x −12=18(1)
¿
x2+4x −12=2(2)
¿ ¿ ¿
⇒¿
¿ ¿ ¿
y(y −20)=−36
⇔y2−20y+36=0
⇔(y −18)(y −2)=0
⇔
¿ Gi¶i (1) ta cã:
x2
+4x −12=18
⇔x2+4x −30=0
Δ'
=4+30=34>0
Phơng trình có nghiệm phân biệt: x1=2+34;
x2=−2−√34 Gi¶i (2) ta cã:
x2+4x −12=2
⇔x2
+4x 14=0
'=4+14=18>0
Phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt: x1=−2+√18=−2+3√2
x2=−2−√18=−2−3√2
VËy tËp nghiƯm phơng trình là:
S = {342;342;322;322} Ví dụ 5: Giải phơng trình:
(x + 2)4 + x4 = 82
Đặt y = x +
(x + 2)4 + x4 = 82
⇔ (y + 1)4 + (y - 1)4 = 82 ⇔ y4 + 6y2 - 40 = 0
(5)⇒ t2 + 6t - 40 = 0
Δ ’ = + 40 = 49 > 0, Pt cã nghiƯm ph©n biƯt. t1 = -3 + = 4;
t2 = -3 - = -10 (lo¹i) ⇒ y2 = 4, ⇒ y = ± 2.
Víi y = ⇔ x + = ⇔ x = Víi y = -2 ⇔ x + = -2 ⇔ x = -3
Vậy tập nghiệm phơng trình là: S = {1;-3}
Chú ý: Phơng trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (a, b, c số) đặt
Èn phô y = x + a+b
2 , phơng trình đa đợc dạng dy4 + ey2 + g = (d, e, g số)
VÝ dơ 6: Gi¶i phơng trình
1 x2
+9x+20+
1 x2
+11x+30+
1 x2
+13x+42=
1 18
⇔
(x+4)(x+5)+
1
(x+5)(x+6)+
1
(x+6)(x+7)=
1 18 §K: x -4; x -5; x -6; x -7
x+13=0⇒x=−13
¿
x −2=0⇒x=2
¿ ¿ ¿ ¿
¿
⇔
(x+4)−
1
(x+5)+
1
(x+5)−
1 x+6+
1 x+6−
1 x+7=
1 18
⇔
(x+4)−
1 x+7=
1 18
⇒18(x+7)−18(x+4)=(x+4)(x+7)
⇔x2
+11x −26=0
⇔(x+13) (x −2)=0
⇔
¿
Thoả mÃn điều kiện
Vậy tập nghiệm phơng trình S = {-13; 2}
b Phng phỏp áp dụng bất đẳng thức. *Các bớc:
- Biến đổi phơng trình dạng f(x) = g(x) mà f(x) a; g(x) a (a số)
(6)- Biến đổi phơng trình dạng h(x)=m (m số), mà ta ln có h(x) m h(x) m nghiệm phơng trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy
- áp dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki…
*Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
2 2
2 2
3 10 14
3( 1) 5( 1) ( 1) :
x x x x x x
x x x x R
Mµ:
2
2
3( 1) 9
5
x x
x
Nªn ta cã: (x+1)2 = x = -1.
Vậy nghiệm phơng trình x = -1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2
2
6 11 13
( 3) ( 3) ( 2)
x x x x x x
x x x
Mµ: (x 3)2 2 (x 3)2 4 4(x 2)2 1 2 4 3
Nên dấu =xảy
2
( 3)
x x
Điều xảy Vậy phơng trình vô nghiệm
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
x2 3x3,5 (x2 2x2)(x2 4x5) Ta cã:
2
2
2
2
2 ( 1) ( 2)
( 2) ( 5) 3,5
2
x x x
x x x
x x x x
x x
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng (x2 2x2);(x2 4x5) ta
cã:
2
2
( 2) ( 5)
( 2)( 5)
x x x x
x x x x
(7)2
( 2) ( 5)
3
x x x x
x x
VËy nghiƯm cđa ph¬ng trình x=
3 2. Ví dụ 4: Giải phơng trình:
2 2 2
13 x 3x6 x 2x7 5x 12x33
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số :
a2 b2 c2 d2 (ac bd)2
DÊu b»ng x¶y vµ chØ khi: a.d=b.c
Víi a=2 ; b=3 ; c=x2-3x+6 ; d= x2-2x+7 ta cã:
2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 3 7
13 12 33
x x x x x x x x
x x x x x x
DÊu b»ng x¶y vµ chØ khi:
2
2
2
3( 6) 2( 7) 18 14
5
x x x x
x x x x
x x
a b c
Phơng trình có nghiệm: 1;
c
x x
a
VËy nghiƯm cđa ph¬ng trình x11;x2
c Phơng pháp chứng minh nghiệm nhất. *Các bớc giải:
mt s phơng trình ta thử trực tiếp để tìm nghiệm chúng sau tìm cách chứng minh ngồi nghiệm chúng khơng cịn nghiệm khác
*VÝ dơ ¸p dơng:
VÝ dơ 1: Giải phơng trình:
2 3
2x 3x 9(1)
Giải: +) x=0 nghiệm phơng trình (1) +) Nếu x0 ta có: x2 0
2 3 0 3 0
2x 3x
(8)Vậy nghiệm phơng trình (1) x=0
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2
10 (2);
x x x
x
Víi x > 0.
Gi¶i:
+Ta nhận thấy x=1 nghiệm phơng trình(2) +Với x>1 ta cã : xx 1x 1
2
x x nên x x 0
2
2
10 10 10
x x
x x xx
VËy x>1 kh«ng thể nghiệm phơng trình
+Với 0<x<1 ta cã: 2
1
0
x x
x
x x x x
Nªn
2 0
10x x 10 10x x xx
VËy 0<x<1 kh«ng thĨ nghiệm phơng trình Vậy nghiệm phơng trình x=1
II Phần II: Hệ phơng trình.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên hệ:
2
2
3
2 655 660 1992
x xy y
x xy y
Gi¶i: 2 2 2
656 657 1983
( )( 657 ) 1983
x xy y
x xy y
x xy y
x y x y
XÐt : (x+y)(x-657y)=1983=661.3
661 660 657
x y x
x y y
Không thoả mÃn.
661 660
657
x y x
x y y
Kh«ng tho¶ m·n.
3
657 661
x y x
x y y
Tho¶ m·n.
3
657 661
x y x
x y y
(9)VËy nghiƯm cđa hƯ lµ: (4;-1) (-4;1)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên hÖ:
( )( 3)( 3)
x y z
z y y z
(2) Gi¶i: (2)
(3 )(3 )(3 )
y z x
x y z
Ta cã: = 1.1.8 = -1.1.(-8) =(-1).(-1).8 = 2.2.2 = (-2).(-2).2 = 2.(-2).(-2) Trong số chØ cã (-1)+(-1)+8 = vµ 2+2+2=6
Do đó:
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
x x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên cđa hƯ:
2 2 2(1) (2) x y xy z x y xy z
Từ (2) ta có: xy 1 x, y dấu Mặt khác x+y=2 x=y=1 z=0.
VËy nghiƯm cđa hƯ lµ (x;y;z) = (1;1;0)
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên hệ:
2
2
2
x y z xy z
Dễ thấy y0 Từ hệ phơng trình ta cã: 2(x+y+z)y - (2xy - z2) = 4y-4
2
2
2 2 4
( ) ( 2)
0
2
xy y yz xy z y
y z y
y z y
x
y y z
(10)Các giá trị tìm đợc nghiệm với hệ cho Vậy nghiệm nguyên hệ (x;y;z) = (2;2;-2)
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên hệ:
3 3 3
3
x y z
x y z
Giải: Ta có công thức:
3 3
(x y z ) (x y z ) 3( x y y z z x )( )( )
Do ta có:
(3 ) (3 ) (3 ) (3 ).(3 ).(3 )
x y z
x y z
Suy : 3-x ; 3-y ; 3-z chØ có số chẵn số ch½n *NÕu chØ cã sè ch½n:
Do vai trị x; y; z nh nhau, khơng tính tổng quát nên giả sử 3-x số chẵn Từ ta có: x=-5; y=4; z=4
*NÕu c¶ chẵn x = y =z =
Vậy nghiệm nguyên cần tìm hệ là: (x;y;z) = (-5;4;4); (1;1;1) hoán vị chúng
Ví dụ 6: Tìm nghiệm tự nhiên hệ:
2
6 6 2
2( )
31( )
x y z
x y z y z
Gi¶i:
6 6 2
2( )(1)
31( )(2)
x y z
x y z y z
Từ suy x22 x2
Mặt khác từ phơng trình thứ ta có: 6 31( 2)
x y z y z nên x>y x>z.
Nên 4x>2(y+z)=x2 x=2 y=z=1.
Các giá trị thoả mÃn hệ phơng trình Vậy nghiệm hệ phơng trình là: x=2; y=1; z=1
C/ Kết thúc vấn đề:
(11)đã vận dụng, số ví dụ giải toán để đồng nghiệp tham khảo Trong trình vận dụng cần nhiều đóng góp đồng nghiệp