Nắn chỉnh biến dạng hình học và ứng dụng

Nắn chỉnh biến dạng hình học và ứng dụng

PHẠM ĐỨC HẬU

NẮN CHỈNH BIẾN DẠNG HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG

LuËn v¨n th¹c sÜ : CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Th¸i Nguyªn - 2009

PHẠM ĐỨC HẬU

NẮN CHỈNH BIẾN DẠNG HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số: 60 48 01

LuËn v¨n th¹c sÜ : CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ NĂNG TOÀN

Th¸i Nguyªn - 2009

MỞ ĐẦU

Xử lý ảnh là một trong những ngành khoa học đã đem lại cho con người những bước tiến vượt bậc mang tính cách mạng, nó đã đưa con người tiến sang một kỉ nguyên mới Một vài năm trở lại đây công nghệ thông tin cùng với sự phát triển của nó đã kéo theo sự phát triển của hàng loạt các ngành khoa học trong nhiều lĩnh vực khác nhau như sinh học, kinh tế, viễn thông, quân sự, giải trí… có những bước tiến nhanh hơn so với đúng quy trình mà đáng ra phải trải qua Với sự phát triển ngày càng hoàn thiện của công nghệ phần cứng, công nghệ phần mềm cũng đang có những bước tiến quan trọng đóng góp một phần không nhỏ cho sự phát triển của xã hội loài người đặc biệt là lĩnh vực xử lý ảnh

Trong thực tế đối tượng khi được thu nhận bởi các thiết bị điện tử và quang học thường không thể hiện được bản chất thực (nguyên thủy) của mình hay nói cách khác là bị biến dạng đi Ví dụ: ảnh chụp cuốn sách thường có một đầu to đầu nhỏ do cách đặt máy ảnh, ảnh chụp bề mặt trái đất từ vệ tinh bị méo do bề mặt cong của trái đất v.v Nói đến xử lý ảnh người ta sẽ hiểu ngay đây là quá trình hiệu chỉnh hay bằng cách nào đó để làm cho đối tượng được thu nhận thể hiện được đúng bản chất của mình trên ảnh Thông thường khâu đầu tiên của quá trình xử lý ảnh được gọi là khâu tiền xử lý với mục đích nắn chỉnh các điểm sai lệch trên ảnh sao cho kết quả được giống nhất so với đối tượng được thu nhận Nắn chỉnh biến dạng nhằm hiệu chỉnh các khuyết điểm của đối tượng là khâu tiền xử lý quan trọng trong xử lý ảnh

Khi sử dụng các thiết bị để thu nhận hình ảnh người ta đã phát hiện ra yếu tố sai lệch ở kết quả của hình ảnh thu được và để khắc phục điều này người ta đã tìm cách sửa chữa, nắn chỉnh nhằm có được kết quả tốt hơn Như vậy nắn chỉnh biến dạng ban đầu chỉ đơn thuần mang mục đích khắc phục các nhược điểm của ảnh do thiết bị thu nhận gây ra Sau đó nhờ chính những kết quả từ khâu nắn chỉnh đã đem lại những hướng phát triển mới quan trọng trong nhận dạng và đối sánh Chẳng hạn nhận dạng tội phạm tự động trong ngành công an

thay vì phải cầm ảnh của họ để đối chiếu với hàng trăm đối tượng đáng nghi khác có trong máy tính, hoặc xác định độ trùng khớp của một đối tượng với tập đối tượng cho trước trong khảo cổ học để nghiên cứu quá trình tiến hóa của sự vật, hiện tượng v.v Ngày nay, người ta còn dùng nắn chỉnh biến dạng để “cố tình” tạo ra các hình dạng theo ý muốn chủ quan Điển hình là các nhà làm phim, họ tạo ra các thước phim miêu tả sự thay đổi của một đối tượng theo thời gian, hoặc quá trình biến đổi từ đối tượng này đến đối tượng khác v.v nhờ các kỹ thuật nắn chỉnh biến dạng với chất lượng không thua kém gì các thước phim sử dụng thiết bị thu nhận Việc nghiên cứu các kỹ thuật nắn chỉnh biến dạng hình học là một việc làm không chỉ có ý nghĩa khoa học và còn mang đậm tính thực tiễn nhất là trong hoàn cảnh Việt Nam chưa có nhiều hệ thống xử lý ảnh trong khi thực tế đang đặt ra những yêu cầu đòi hỏi

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu về chủ đề này em đã mạnh dạn

lựa chọn đề tài: "Nắn chỉnh biến dạng hình học và ứng dụng"

Bố cục của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương chính, phần kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục Nội dung các chương được tổ chức như sau:

Chương 1: Khái quát về xử lý ảnh và nắn chỉnh biến dạng Chương này trình bày một số khái niệm trong xử lý ảnh, các vấn đề cơ bản của xử lý ảnh Trình bày khái niệm, cách phân loại và các ứng dụng cơ bản của nắn chỉnh biến dạng

Chương 2: Một số kỹ thuật nắn chỉnh biến dạng hình học Các kỹ thuật được trình bày dựa vào đặc trưng được xác định để phục vụ cho công việc nắn chỉnh Đặc trưng đó có thể dựa trên phân vùng ảnh, trên cơ sở tập các điểm đặc trưng, dựa trên cơ sở vector, dựa trên kỹ thuật nắn chỉnh khung lưới, v.v

Chương 3: Ứng dụng nắn chỉnh biến dạng Phần này trình bầy ứng dụng nắn chỉnh sách dựa trên các điểm đặc trưng Kèm theo là một số kết quả

Xử lý ảnh được đưa vào giảng dạy ở bậc đại học ở nước ta khoảng chục năm nay Nó là môn học liên quan đến nhiều lĩnh vực và cần nhiều kiến thức cơ sở khác Đầu tiên phải kể đến Xử lý tín hiệu số là một môn học hết sức cơ bản cho xử lý tín hiệu chung, các khái niệm về tích chập, các biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, các bộ lọc hữu hạn…Thứ hai, các công cụ toán như Đại số tuyến tính, Xác suất, thống kê Một số kiến thức cần thiết như Trí tuệ nhân tạo, Mạng nơ ron nhân tạo cũng được đề cập trong quá trình phân tích và nhận dạng ảnh

Các phương pháp xử lý ảnh bắt đầu từ các ứng dụng chính: Nâng cao chất lượng ảnh và phân tích ảnh Ứng dụng đầu tiên được biết đến là nâng cao chất lượng ảnh báo được truyền qua cáp từ Luân Đôn đến New York từ những năm 20 của thế kỉ XX Vấn đề nâng cao chất lượng ảnh có liên quan tới phân bố mức sáng và độ phân giải của ảnh Việc nâng cao chất lượng ảnh được phát triển vào khoảng những năm 50 của thế kỉ XX Điều này có thể giải thích được, vì sau thế chiến thứ hai, máy tính phát triển nhanh tạo điều kiện cho quá trình xử lý ảnh số thuận lợi Năm 1964, máy tính đã có khả năng xử lý và nâng cao chất lượng ảnh từ mặt trăng và vệ tinh Ranger 7 của Mỹ bao gồm: làm nổi đường biên, lưu ảnh Từ năm 1964 đến nay, các phương tiện xử lý, nâng cao chất lượng, nhận dạng ảnh phát triển không ngừng Các phương

pháp tri thức nhân tạo như mạng nơron nhân tạo, các thuật toán xử lý hiện đại và cải tiến, các công cụ nén ảnh ngày càng được áp dụng rộng rãi và thu nhiều kết quả khả quan

1.2 Một số khái niệm cơ bản trong xử lý ảnh 1.2.1 Ảnh số

Ảnh số được tạo nên từ hàng trăm ngàn cho đến hàng triệu ô vuông rất nhỏ - được coi là những thành tố của bức ảnh và thường được biết dưới tên gọi là pixels

1.2.2 Điểm ảnh

Ảnh trong thực tế là một ảnh liên tục về không gian và về giá trị độ sáng Để có thể xử lý ảnh bằng máy tính cần thiết phải tiến hành số hoá ảnh Trong quá trình số hoá, người ta biến đổi tín hiệu liên tục sang tín hiệu rời rạc thông qua quá trình lấy mẫu (rời rạc hoá về không gian) và lượng hoá thành phần giá trị mà về nguyên tắc bằng mắt thường không phân biệt được 2 điểm kề nhau Trong quá trình này người ta sử dụng khái niệm điểm ảnh được gọi từ picture element Như vậy, một ảnh là một tập hợp các pixel

Điểm ảnh hay còn gọi là pixel (picture element, pels, image elements) được xem như là dấu hiệu hay cường độ sáng tại một toạ độ trong không gian của đối tượng

Ảnh được xem như là một tập hợp các điểm ảnh Khi được số hoá nó thường được biểu diễn là ma trận 2 chiều a[i][j] mà mỗi phần tử có một giá trị nguyên hoặc là một véc tơ cấu trúc màu

1.2.3 Mức xám (gray level)

Mức xám là kết quả sự mã hoá tương ứng một cường độ sáng của mỗi điểm ảnh với một giá trị số - kết quả của quá trình lượng hoá

Cách mã hoá thường dùng là 16, 32 hay 64 mức Mã hoá 256 mức là phổ biến nhất do lý do kỹ thuật Vì, 28=256 (0,…,255) nên với 256 mức, mỗi pixel sẽ được mã hoá bởi 8 bit

1.2.4 Xử lý ảnh số là gì và tại sao chúng ta cần phải xử lý ảnh số

Trong các dạng truyền thông cơ bản: lời nói, văn bản, hình ảnh, âm thanh thì hình ảnh là dạng truyền thông truyền tải thông tin mạnh mẽ nhất

Bằng thị giác, con người có thể nhận biết và hiểu về thế giới xung quanh chúng ta Ví dụ: Những hình ảnh về trái đất, những hình ảnh trong dự báo thời tiết…

Có tới 99% lượng thông tin đã biết về thế giới xung quanh được nhận biết thông qua thị giác

Việc trang bị cho máy tính có khả năng thị giác như con người không phải là việc dễ dàng Chúng ta đang sống trong một không gian 3D, khi máy tính cố gắng phân tích đối tượng trong không gian 3D thì những bộ cảm biến có sẵn (camera) lại thường cho ảnh 2D Như vậy, việc mất mát thông tin của hình ảnh sẽ xảy ra Với những cảnh động thì sự di chuyển của đối tượng hay sự di chuyển của camera, tất cả những việc đó làm cho việc mất mát và sai lệch thông tin rất lớn

Ngày nay, cùng với sự phát triển của ngành CNTT, chúng ta mong muốn đưa được những hình ảnh mà con người có thể nhìn thấy được vào máy tính để thực hiện các mục đích khác nhau như: phân tích ảnh, phục hồi ảnh

Để máy tính có thể hiểu và phân tích ảnh thì ảnh cần được mã hoá và biểu diễn dưới dạng số gọi là ảnh số Việc xử lý ảnh trên máy tính nhằm mục đích phân tích ảnh và phục hồi các thông tin bị sai lệch của ảnh trong quá trình thu nhận

Như vậy, xử lý ảnh số là thực hiện các phép xử lý đối với ảnh số trên máy tính Việc hiểu ảnh, phân tích ảnh và thị giác máy nhằm mục đích nhân

bản hiệu quả của thị lực con người, giúp chúng ta nhận biết tốt hơn về thế giới xung quanh

1.3 Các vấn đề chung liên quan đến xử lý ảnh số

Người ta chia xử lý ảnh thành 2 mức: Xử lý ảnh mức thấp và xử lý ảnh mức cao (thị giác máy)

Phương pháp xử lý ảnh mức thấp thường sử dụng rất ít kiến thức (knowledge) về nội dung hay ngữ nghĩa ảnh

Xử lý ảnh mức cao dựa trên kiến thức, mục tiêu và kế hoạch trong việc làm thế nào để hoàn thành những mục tiêu đó Thị giác máy ở mức cao luôn cố gắng mô phỏng nhận thức của con người và có thể đưa ra những quyết định dựa vào những thông tin đã biết về ảnh

Xử lý ảnh mức thấp và thị giác máy ở mức cao khác nhau trong việc sử dụng dữ liệu ảnh Dữ liệu ảnh mức thấp bao gồm các ảnh gốc được biểu diễn dưới dạng ma trận ảnh, các phần tử của ma trận biểu diễn giá trị độ sáng của điểm ảnh Trong khi đó dữ liệu ảnh mức cao khởi đầu từ những ảnh tốt, nhưng chỉ những dữ liệu có liên quan đến các mục đích ở mức cao mới được đưa ra, việc giảm số lượng dữ liệu là đáng kể Dữ liệu ở mức cao diễn tả các thông tin về nội dung ảnh

1.3.1 Xử lý ảnh mức thấp

Các kỹ thuật xử lý ảnh mức thấp được thực hiện với việc thao tác trên các ảnh số Các phương pháp xử lý ảnh mức thấp được đưa ra vào những năm 1970 của thế kỉ XX Gần đây, các nhà nghiên cứu đang cố gắng tìm ra những giải thuật có hiệu quả hơn và thực hiện các giải thuật đó trên nhiều thiết bị tinh vi mang tính kỹ thuật cao Ví dụ, các máy tương tự (Parallel machines) đang được sử dụng giúp cho việc tính toán một khối lượng phép tính khổng lồ của quá trình hoạt động trên tập hợp dữ liệu ảnh trở nên dễ dàng hơn

Một vấn đề phức tạp và chưa giải quyết được là thứ tự các bước trong xử lý ảnh mức thấp như thế nào để giải quyết công việc được cụ thể và mục tiêu tự động hoá vấn đề đó vẫn chưa được thực hiện Những năm 1980 của thế kỉ XX, nhiều đề án tập trung cho vấn đề này sử dụng các hệ thống chuyên gia (expert systems), nhưng các hệ thống chuyên gia vẫn không giải quyết được vấn đề của chính họ

Trình tự các bước xử lý như sau đã được công nhận và phổ biến:

(1) Thu nhận ảnh: Một ảnh được thu vào bởi một bộ cảm biến (như TV camera), từ vệ tinh qua các bộ cảm ứng (sensor) hay ảnh, tranh được quét trên scanner Ảnh có thể được thu nhận từ nhiều thiết bị và bằng nhiều cách Sau đó ảnh được số hoá để biến đổi tín hiệu tương tự sang tín hiệu rời rạc (lấy mẫu) và số hoá bằng lượng hoá

(2) Quá trình xử lý: Là quá trình xây dựng lại ảnh, phục hồi ảnh, khử nhiễu và tăng cường ảnh

(3) Mã hoá và nén ảnh: Là bước quan trọng trong việc truyền ảnh

(4) Phân đoạn ảnh: Máy tính cố gắng tách các đối tượng ảnh riêng biệt ra khỏi ảnh nền

Mô tả và phân loại đối tượng trong một tổng thể ảnh đã được phân đoạn cũng được hiểu là một phần của quá trình xử lý ảnh mức thấp

1.3.2 Những khó khăn khi xử lý ảnh số

a Sự hiểu biết về hệ thống thị giác của con người còn hạn chế

Chúng ta không có một sự hiểu biết rõ về vấn đề khi con người quan sát, xử lý và lưu trữ thông tin trực quan như thế nào Chúng ta thậm trí không biết con người đo chất lượng ảnh trực quan và phân loại ảnh như thế nào Với cùng một bức ảnh thì sự quan sát ở mỗi người là khác nhau

Sự chú ý của bạn đến các vùng hay các đường viền khác nhau cũng có xu hướng làm thay đổi cảm nhận của bạn về bức ảnh

Thậm chí một ảnh được nhìn với một con mắt không thay đổi thì sự cảm nhận về bức ảnh đó của con người vẫn thay đổi cho dù là rất ít Các nhà nghiên cứu đã làm ổn định hình ảnh trực tiếp trên võng mạc để loại trừ bất kỳ một hiệu ứng nào xuất hiện từ sự di chuyển của mắt Và ngay cả trong những điều kiện đó, giác quan của con người cũng vẫn có thể thay đổi

b Sự diễn tả về bản chất của ảnh không thể hiểu được ngay lập tức

Ảnh tương tự được biểu diễn bằng một hàm 2 biến Sau khi số hoá, ảnh được biểu diễn dưới dạng ma trận ảnh 2 chiều và được gọi là ảnh số Máy tính có thể hiểu và xử lý ảnh số nhưng sự biểu diễn đó không thích hợp cho máy móc có thể hiểu được Những kiến thức về ảnh và những thông tin được rút ra từ ảnh là cần thiết trong việc cố gắng để hiểu được những mảng số đó Ví dụ:

Đọc và hiển thị ảnh như một hàm 2 chiều (dùng matlab script) Hiển thị ảnh dưới dạng ma trận ảnh (dùng matlab)

Hiển thị ảnh với các chương trình hiển thị ảnh (ACDsee trên hệ thống Windows) Cả hai sự biểu diễn hình ảnh đều chứa những thông tin chính xác như nhau, nhưng khi quan sát hình ảnh dưới 2 dạng biểu diễn đó thì rất khó để có thể tìm ra sự tương đồng

- Nhận dạng tiếng Anh - Nhận dạng tiếng việt - Kiểm tra sản phẩm

- So sánh mầu của sản phẩm mẫu với sản phẩm mới - Kiểm tra độ tròn của chai/lọ

- Nhận dạng công nghiệp, y học, thương mại, điều tra khoáng sản - Địa lý: véc tơ hoá bản đồ

- Các phần mềm chuyển đổi ảnh Raster sang ảnh vector: MapScan của Viện CNTT, TrixSystem R2V và V2R

- Hoạt hình: biến đổi hình học, bóp méo hình học

+ Nhận dạng vân tay, Water Marking

+ Nhận dạng khuôn mặt người, Nhận dạng tội phạm + Dấu thông tin trong ảnh

+ Chống bạo lực: dùng camera để phát hiện ra sự an toàn ở nơi công cộng, Siêu thị…

- Bar code: nhận dạng mã vạch - Các robot tự động phục vụ

- Thư viện: Dùng camera để điều khiển robot

Hình 1.1 Mô phỏng quá trình biến đổi hình học

Ngoài ra có ứng dụng trong y học làm nổi các ảnh, trong thiên văn học để khôi phục lại ảnh do tác động của khí quyển hay nén ảnh trong truyền đi xa hoặc lưu trữ

1.5 Quá trình xử lý ảnh số

a Phần thu nhận ảnh (Image Acquisition)

Ảnh có thể nhận qua camera màu hoặc đen trắng Thường ảnh nhận qua camera là ảnh tương tự (loại camera ống chuẩn CCIR với tần số 1/25, mỗi ảnh 25 dòng), cũng có loại camera đã số hoá (như loại CCD - Change Coupled Device) là loại photodiot tạo cường độ sáng tại mỗi điểm ảnh Camera thường dùng là loại quét dòng; ảnh tạo ra có dạng hai chiều Chất lượng một ảnh thu nhận được phụ thuộc vào thiết bị thu, vào môi trường (ánh sáng, phong cảnh)

b Tiền xử lý (Image Processing)

Sau bộ thu nhận, ảnh có thể nhiễu độ tương phản thấp nên cần đưa vào bộ tiền xử lý để nâng cao chất lượng Chức năng chính của bộ tiền xử lý là lọc nhiễu, nâng độ tương phản để làm ảnh rõ hơn, nét hơn

c Phân đoạn (Segmentation) hay phân vùng ảnh

Phân vùng ảnh là tách một ảnh đầu vào thành các vùng thành phần để biểu diễn phân tích, nhận dạng ảnh Ví dụ: để nhận dạng chữ (hoặc mã vạch) trên phong bì thư cho mục đích phân loại bưu phẩm, cần chia các câu, chữ về địa chỉ hoặc tên người thành các từ, các chữ, các số (hoặc các vạch) riêng biệt để nhận dạng

Đây là phần phức tạp khó khăn nhất trong xử lý ảnh và cũng dễ gây lỗi, làm mất độ chính xác của ảnh Kết quả nhận dạng ảnh phụ thuộc rất nhiều vào công đoạn này

Nếu thực hiện tách quá chi tiết thì bài toán nhận dạng các thành phần được tách ra trở nên phức tạp, còn ngược lại nếu quá trình phân đoạn được thực hiện

d Biểu diễn ảnh (Image Representation)

Biểu diễn ảnh là quá trình xử lý tiếp sau khâu phân đoạn hình ảnh Các vật thể sau khi phân đoạn có thể được mô tả dưới dạng chuỗi các điểm ảnh tạo nên ranh giới một vùng, hoặc tập hợp tất cả các điểm ảnh nằm trong vùng đó Phương pháp mô tả thông qua ranh giới vùng thường được sử dụng khi cần tập trung sự chú ý vào hình dạng bên ngoài của chi tiết ảnh như độ cong, các góc cạnh v.v Biểu diễn vùng thường được sử dụng khi chúng ta quan tâm tới đặc tính bên trong của vùng ảnh như đường vân (texture) hay hình dạng (skeletal)

Đầu ra ảnh sau phân đoạn chứa các điểm ảnh của vùng ảnh (ảnh đã phân đoạn) cộng với mã liên kết với các vùng lân cận Việc biến đổi các số liệu này thành dạng thích hợp là cần thiết cho xử lý tiếp theo bằng máy tính Việc chọn các tính chất để thể hiện ảnh gọi là trích chọn đặc trưng (Feature Selection) gắn với việc tách các đặc tính của ảnh dưới dạng các thông tin định lượng hoặc làm cơ sở để phân biệt lớp đối tượng này với đối tượng khác trong phạm vi ảnh nhận được Ví dụ: trong nhận dạng ký tự trên phong bì thư, chúng ta miêu tả các đặc trưng của từng ký tự giúp phân biệt ký tự này với ký tự khác

e Nhận dạng và nắn chỉnh bằng nội suy ảnh

Nhận dạng là quá trình phân loại vật thể dựa trên cơ sở các chi tiết mô tả vật thể đó (ví dụ các phương tiện giao thông có trong ảnh) Nhận dạng ảnh còn là quá trình xác định ảnh, quá trình này thường thu được bằng cách so sánh với mẫu chuẩn đã được học (hoặc lưu) từ trước Nắn chỉnh bằng nội suy là phán đoán theo ý nghĩa trên cơ sở nhận dạng Ví dụ: một loạt chữ số và nét gạch ngang trên phong bì thư có thể được nội suy thành mã điện thoại Có nhiều cách phân loại ảnh khác nhau về ảnh Theo lý thuyết về nhận dạng, các mô hình toán học về ảnh được phân theo hai loại nhận dạng ảnh cơ bản:

- Nhận dạng theo tham số - Nhận dạng theo cấu trúc

Một số đối tượng nhận dạng khá phổ biến hiện nay đang được áp dụng trong khoa học và công nghệ là: nhận dạng ký tự (chữ in, chữ viết tay, chữ ký điện tử), nhận dạng văn bản (Text), nhận dạng vân tay, nhận dạng mã vạch, nhận dạng mặt người…

f Cơ sở tri thức (Knowledge Base)

Như đã nói ở trên, ảnh là một đối tượng khá phức tạp về đường nét, độ sáng tối, dung lượng điểm ảnh, môi trường để thu ảnh phong phú kéo theo nhiễu Trong nhiều khâu xử lý và phân tích ảnh ngoài việc đơn giản hóa các phương pháp toán học đảm bảo tiện lợi cho xử lý, người ta mong muốn bắt chước quy trình tiếp nhận và xử lý ảnh theo cách của con người Trong các bước xử lý đó, nhiều khâu hiện nay đã xử lý theo các phương pháp trí tuệ con người Vì vậy, ở đây các cơ sở tri thức được phát huy

Các quá trình xử lý liệt kê ở trên đều được thực hiện dưới sự giám sát và điều khiển dựa trên cơ sở các kiến thức về lĩnh vực xử lý ảnh Các kiến thức cơ bản có thể đơn giản như vị trí vùng ảnh nơi có những thông tin cần quan tâm, như vậy có thể thu nhỏ vùng tìm kiếm

Trường hợp phức tạp hơn, cơ sở kiến thức có thể chứa danh sách tất cả những hư hỏng có thể gặp trong quá trình kiểm soát chất lượng thành phẩm hoặc các ảnh vệ tinh có độ chi tiết cao trong các hệ thống theo dõi sự thay đổi môi trường trong một vùng

g Mô tả (biểu diễn ảnh)

Ảnh sau khi số hoá sẽ được lưu vào bộ nhớ, hoặc chuyển sang các khâu tiếp theo để phân tích Nếu lưu trữ ảnh trực tiếp từ các ảnh thô, đòi hỏi dung lượng bộ nhớ cực lớn và không hiệu quả theo quan điểm ứng dụng và công nghệ Thông thường, các ảnh thô đó được đặc tả (biểu diễn) lại (hay đơn giản là mã hoá) theo các đặc điểm của ảnh được gọi là các đặc trưng ảnh (Image Features) như: biên ảnh (Boundary), vùng ảnh (Region) Một số phương pháp biểu diễn thường dùng:

Biểu diễn bằng mã chạy (Run-Length Code) Biểu diễn bằng mã xích (Chaine-Code)

Biểu diễn bằng mã tứ phân (Quad-Tree Code)

* Biểu diễn bằng mã chạy

Phương pháp này thường biểu diễn cho vùng ảnh và áp dụng cho ảnh nhị phân Một vùng ảnh R có thể mã hoá đơn giản nhờ một ma trận nhị phân: U(m, n) = 1 nếu (m, n) thuộc R

U( m, n) = 0 nếu (m, n) không thuộc R

Trong đó: U(m, n) là hàm mô tả mức xám ảnh tại tọa độ (m, n) Với cách biểu diễn trên, một vùng ảnh được mô tả bằng một tập các chuỗi số 0 hoặc 1 Giả sử chúng ta mô tả ảnh nhị phân của một vùng ảnh được thể hiện theo toạ độ (x, y) theo các chiều và đặc tả chỉ đối với giá trị “1” khi đó dạng mô tả có thể là: (x, y)r; trong đó (x, y) là toạ độ, r là số lượng các bit có giá trị “1” liên tục theo chiều ngang hoặc dọc

* Biểu diễn bằng mã xích

Phương pháp này thường dùng để biểu diễn đường biên ảnh Một đường bất kỳ được chia thành các đoạn nhỏ Nối các điểm chia, ta có các đoạn thẳng kế tiếp được gán hướng cho đoạn thẳng đó tạo thành một dây xích gồm các đoạn Các hướng có thể chọn 4, 8, 12, 24,… mỗi hướng được mã hoá theo số thập phân hoặc số nhị phân thành mã của hướng

* Biểu diễn bằng mã tứ phân

Phương pháp mã tứ phân được dùng để mã hoá cho vùng ảnh Vùng ảnh đầu tiên được chia làm bốn phần thường là bằng nhau Nếu mỗi vùng đã đồng nhất (chứa toàn điểm đen (1) hay trắng (0)), thì gán cho vùng đó một mã và không chia tiếp Các vùng không đồng nhất được chia tiếp làm bốn phần theo

thủ tục trên cho đến khi tất cả các vùng đều đồng nhất Các mã phân chia thành các vùng con tạo thành một cây phân chia các vùng đồng nhất

Trên đây là các thành phần cơ bản trong các khâu xử lý ảnh Trong thực tế, các quá trình sử dụng ảnh số không nhất thiết phải qua hết các khâu đó tùy theo đặc điểm ứng dụng Ảnh sau khi được số hóa được nén, lưu lại để truyền cho các hệ thống khác sử dụng hoặc để xử lý tiếp theo Mặt khác, ảnh sau khi số hóa có thể bỏ qua công đoạn nâng cao chất lượng (khi ảnh đủ chất lượng theo một yêu cầu nào đó) để chuyển tới khâu phân đoạn hoặc bỏ tiếp khâu phân đoạn chuyển trực tiếp tới khâu trích chọn đặc trưng sau đó thực hiện nâng cao chất lượng ảnh (tăng độ sáng, độ tương phản, lọc nhiễu) hoặc khôi phục ảnh (hồi phục lại ảnh thật khi ảnh nhận được bị méo) v.v…

1.6 Các thành phần cơ bản của hệ thống xử lý ảnh

Hình 1.2 Các thành phần chính của hệ thống xử lý ảnh

- Thiết bị thu nhận hình ảnh: Là thiết bị biến đổi quang-điện, cho phép biến đổi hình ảnh quang học thành tín hiệu điện dưới dạng analog hay trực tiếp dưới dạng số Có nhiều dạng cảm biến cho phép làm việc với ánh sáng nhìn thấy hoặc hồng ngoại Hai loại thiết bị biến đổi quang - điện chủ yếu thường được sử dụng là đèn ghi hình điện tử và chip CCD (Charge Couple Device - linh kiện ghép điện tích)

- Bộ nhớ trong và ngoài: Trong các hệ thống xử lý ảnh số thường có dung lượng rất lớn dùng để lưu trữ ảnh tĩnh và động dưới dạng số Ví dụ, để lưu một ảnh số đen trắng kích thước 1024x1024 điểm, mỗi điểm được mã hóa bằng 8 bits cần bộ nhớ ~ 1MB Để lưu một ảnh màu không nén, dung lượng bộ nhớ phải tăng lên gấp 3 Bộ nhớ số trong hệ thống xử lý ảnh có thể chia làm 3 loại:

1- Bộ nhớ đệm trong máy tính để lưu ảnh trong quá trình xử lý Bộ nhớ này phải có khả năng ghi/đọc rất nhanh (ví dụ: 25 hình/s);

2- Bộ nhớ ngoài có tốc độ truy cập tương đối nhanh, dùng để lưu thông tin thường dùng Các bộ nhớ ngoài có thể là ổ cứng, thẻ nhớ flash v.v

3- Bộ nhớ dùng để lưu trữ dữ liệu Loại bộ nhớ này thường có dung lượng lớn, tốc độ truy cập không cao Thông dụng nhất là đĩa quang ghi 1 lần (ROM) hoặc nhiều lần (ROM) như đĩa DVD có dung lượng 4.7GB (một mặt)

Ngoài ra trong hệ thống xử lý ảnh còn sử dụng các thiết bị cho phép lưu ảnh trên vật liệu khác như giấy in, giấy in nhiệt, giấy trong, đó có thể là máy in phun, in laser, in trên giấy ảnh đặc biệt bằng công nghệ nung nóng v.v

- Bộ xử lý ảnh chuyên dụng: Sử dụng chip xử lý ảnh chuyên dụng, có khả năng thực hiện nhanh các lệnh chuyên dùng trong xử lý ảnh Cho phép thực hiện các quá trình xử lý ảnh như lọc, làm nổi đường bao, nén và giải nén video số v.v Trong bộ xử lý ảnh thường tích hợp bộ nhớ đệm có tốc độ cao

- Màn hình hiển thị: Hệ thống biến đổi điện - quang hay đèn hình (đen trắng cũng như màu) có nhiệm vụ biến đổi tín hiệu điện có chứa thông tin của ảnh (tín hiệu video) thành hình ảnh trên màn hình Có hai dạng display được sử dụng rộng rãi là đèn hình CRT (Cathode-Ray Tube) và màn hình tinh thể lỏng LCD (Liquid Crystal Display) Đèn hình CRT thường có khả năng hiển thị màu sắc tốt hơn màn hình LCD nên được dùng phổ biến trong các hệ thống xử lý ảnh chuyên nghiệp

- Máy tính: Có thể là máy tính để bàn cũng như siêu máy tính có chức năng điều khiển tất cả các bộ phận chức năng trong hệ thống xử lý ảnh số

Một hệ thống xử lý ảnh cơ bản có thể gồm: Máy tính cá nhân kèm theo vỉ mạch chuyển đổi đồ hoạ VGA hoặc SVGA, đĩa chứa các ảnh dùng để kiểm tra các thuật toán và một màn hình có hỗ trợ VGA hoặc SVGA Nếu điều kiện cho phép, nên có một hệ thống như Hình 1.2 bao gồm một máy tính PC kèm theo thiết bị xử lý ảnh Nối với cổng vào của thiết bị thu nhận ảnh là một video camera, và cổng ra nối với một màn hình Thực tế, phần lớn các nghiên cứu của chúng ta được đưa ra trên ảnh mức xám (ảnh đen trắng) Bởi vậy, hệ thống sẽ bao gồm một thiết bị xử lý ảnh đen trắng và một màn hình đen trắng

Ảnh mức xám được áp dụng trong nhiều lĩnh vực như sinh vật học hoặc trong công nghiệp Thực tế chỉ ra rằng bất kỳ ứng dụng nào trên ảnh mức xám cũng ứng dụng được trên ảnh màu Với lý do đó, hệ thống ban đầu nên chỉ bao gồm các thiết bị thu nhận và hiển thị ảnh đen trắng Với ảnh màu, nên sử dụng một hệ thống mới trừ trường hợp bạn cần một camera, TV màu và một màn hình đa tần số (ví dụ như: NEC MultiSync, Sony Multiscan, hoặc Mitsubishi Diamond Scan) để hiển thị ảnh màu Nếu khả năng hạn chế, có thể dùng PC kèm theo, vỉ mạch VGA và màn hình VGA, để dựng ảnh được

1.7 Nắn chỉnh biến dạng

1.7.1 Khái niệm nắn chỉnh biến dạng

Nắn chỉnh biến dạng thực hiện việc biến đổi hình học giữa hai ảnh: ảnh nguồn và ảnh đích Sự biến đổi hình học định nghĩa mối quan hệ giữa các điểm ảnh nguồn và điểm ảnh đích Mối quan hệ này có thể được xác định bằng các hàm toán học được áp dụng trên toàn bộ ảnh hoặc chỉ trên một vùng ảnh nào đó Trong nhiều trường hợp ngoài việc xác định các hàm toán học để nắn chỉnh ảnh, còn phải xác định thêm các đặc trưng sử dụng trong quá trình nắn chỉnh

Xét về mặt tác động của thuật toán nắn chỉnh thì có hai khuynh hướng: tác động toàn cục và tác động cục bộ Để tạo ra tác động toàn cục ta áp dụng thuật toán, tiêu chí như nhau đối với mọi điểm ảnh Còn tác động cục bộ thì việc nắn chỉnh chỉ áp dụng trên một số vùng ảnh, các vùng khác giữ nguyên

Các thuật toán nắn chỉnh toàn cục có tốc độ xử lý tương đối nhanh Tuy nhiên chỉ áp dụng được đối với các yêu cầu đơn giản như co, giãn ảnh, bóp méo cả ảnh thành tứ giác hay một số hiệu ứng khác như mắt cá, kính núp v.v Thuật toán nắn chỉnh cục bộ cho kết quả ấn tượng hơn Tuy nhiên để có thể nắn chỉnh theo từng vùng, phải xác định thêm tập các đặc trưng Ngoài ra việc xây dựng thuật toán cũng tương đối phức tạp

Nắn chỉnh biến dạng bằng hình học thực chất là một khâu trong xử lý ảnh Với mỗi một dạng ảnh tuỳ theo mức độ, hiện trạng và chủng loại ảnh mà người ta sử dụng ứng dụng nào phù hợp nhất để xử lý

1.7.2 Một số kỹ thuật xử lý ảnh sử dụng trong nắn chỉnh biến dạng

Thông thường người ta phân kỹ thuật nắn chỉnh thành 4 loại cơ bản: - Kỹ thuật nắn chỉnh dựa trên phân vùng ảnh

- Kỹ thuật nắn chỉnh dựa trên các điểm đặc trưng - Kỹ thuật nắn chỉnh dựa trên vector

- Kỹ thuật nắn chỉnh dựa trên khung lưới

Hình 1.3 Ví dụ về nắn chỉnh biến dạng

a Kỹ thuật dựa trên việc phân vùng ảnh: trước tiên miền không gian của ảnh nguồn được chia thành một tập các vùng nhỏ Tương tự như vậy, ảnh đích cũng được chia thành tập các vùng nhỏ tương ứng Sau đó ảnh được nắn chỉnh bằng cách chuyển đổi tương ứng mỗi vùng của ảnh nguồn thành mảnh của ảnh đích Một trong những phương thức đầu tiên của kỹ thuật dựa trên phân mảnh là thuật toán nắn chỉnh 2-pass mesh Với phương thức này, mỗi chuyển đổi 2-pass sẽ thay thế một chuyển đổi 2-D thành một dãy các chuyển đổi 1-D trực giao Ngoài ra còn có các phương thức nắn chỉnh dựa trên phân vùng khác như phân vùng dựa trên phân hình tam giác v.v

b Kỹ thuật nắn chỉnh dựa trên các điểm đặc trưng: người ta dùng các điểm quan trọng làm ánh xạ cơ sở, tức là đã xác định được trước ánh xạ của các điểm đặc trưng Từ các cặp điểm đặc trưng tương ứng ở trên ảnh nguồn và ảnh đích ta xác định được ánh xạ của các điểm còn lại xuất phát từ vị trí của nó trên ảnh gốc Một số phương thức dựa trên điểm đặc trưng coi nắn chỉnh như là một hàm nội suy dữ liệu thưa Sử dụng hàm nội suy để nội suy tất cả các điểm còn lại

c Kỹ thuật nắn chỉnh dựa trên vector: kỹ thuật này sử dụng các cặp vector làm cơ sở để biến đổi ảnh Beier và Neely là những người đầu tiên đề xuất kỹ thuật này Mỗi cặp vector định nghĩa một ánh xạ tọa độ giữa chúng Độ dịch chuyển của bất kỳ điểm nào trong ảnh sẽ bằng tổng trọng số của các ánh xạ do tất cả các cặp vector đã được xác định

d Kỹ thuật nắn chỉnh dựa trên khung lưới: Sử dụng các hàm biến đổi

nhằm đưa ra cách thức xác định tất cả các điểm tương ứng với từng điểm ảnh thuộc ảnh A có khung lưới là Ma trong ảnh N có khung lưới là Mb Đây là công việc cần thiết khi thực hiện nắn chỉnh một ảnh hay đối tượng ảnh bất kỳ

1.7.3 Các điểm đặc trưng để nắn chỉnh

Trước hết phải xác định các đặc trưng tương ứng giữa ảnh nguồn và ảnh đích Đặc trưng có thể là vector, điểm điều khiển, hoặc phân ảnh thành các mảnh khác nhau v.v Đây là bước đầu tiên và cũng là bước rất quan trọng trong nắn chỉnh biến dạng vì hiệu quả của quá trình nắn chỉnh phụ thuộc rất nhiều vào việc xác định sự tương ứng giữa hai ảnh Việc xác định các đặc trưng của ảnh nhằm cung cấp các thông tin về đối tượng giúp cho sự việc nắn chỉnh được thực hiện thuận lợi Các công thức nắn chỉnh bao giờ cũng được đưa ra dựa trên các đặc trưng và xây dựng các công thức nắn chỉnh là đại diện cho một thuật toán nắn chỉnh biến dạng

Để đạt được chất lượng nắn chỉnh hình tốt, chúng ta phải nội suy từng phần của ảnh gốc sang các phần tương ứng bên ảnh đích Điều này có nghĩa là ta đã biểu diễn được thông tin của đối tượng và ánh xạ từng phần của chúng cho nhau Đây cũng chính là mục đích của giai đoạn xác định các đặc trưng

1.8 Phép toán hình thái (Morphology) trong nắn chỉnh biến dạng

- Hình thái là thuật ngữ chỉ cấu trúc của một đối tượng ảnh trong đó có phạm vi và mối quan hệ giữa các phần của đối tượng

- Với ảnh nhị phân IMxN, điểm ảnh tại vị trí (x,y) là I(x,y) được xác định: = 0 nếu đó là điểm nền

Trong đó:   B  | B

Ví dụ:

Hình 1.5 Minh họa phép co và giãn ảnh

Các điểm ảnh gốc là các điểm màu xám, các điểm thêm vào là các điểm có màu đen

- Phép đóng ảnh sẽ làm mất đi những khoảng trống nhỏ trong ảnh, làm mất đi nhiễu trong ảnh

* Một số kết quả

Các toán tử cấu trúc thường được áp dụng:

1 1 11 1 11 1 1

với B1 và B2 là giới hạn và rời rạc nhau B1B2  

(phép toán này còn được gọi là xác định viền mẫu, mẫu B1 cho đối

+ Đường viền các điểm kề 4:   AA E A N , 8

+ Đường viền các điểm kề 8:   AA E A N , 4

4 phần tử cấu trúc được sử dụng để tìm góc của ảnh trong phép toán HitAndMiss (thực chất là một phần tử quay theo 4 hướng khác nhau)

Sau khi tìm được góc theo các phần tử cấu trúc trên, ta kết hợp chúng lại để được kết quả là các góc lồi của ảnh

Như vậy, đối tượng ảnh ban đầu có thể được tái tạo lại từ các tập con

Công thức: Thin A B B , 1, 2 A HitMiss A B B , 1, 2

Tùy thuộc vào cách chọn B1, B2 mà ta có các thuật toán làm gầy ảnh khác nhau Một cách biểu diễn khác:

Phần tử cấu trúc được dùng để tìm xương ảnh (điểm gốc ở tâm của phần tử cấu trúc) Tại mỗi bước lặp, ảnh sẽ được làm gầy bởi phần tử cấu trúc bên trái, sau đó đến phần tử cấu trúc bên phải, tiếp theo với phép quay 90o

hai phần tử cấu trúc trên Quá trình được lặp đi lặp lại cho đến khi phép toán làm gầy không dẫn đến sự thay đổi nào nữa

Chương 2

MỘT SỐ KỸ THUẬT NẮN CHỈNH BIẾN DẠNG HÌNH HỌC

Như ta đã bàn trong chương 1, công việc nắn chỉnh thường có nhiều bước, nhưng mục đích cuối cùng là nắn chỉnh bề mặt của một vật (đối tượng) sao cho sau khi nắn chỉnh đối tượng sẽ không bị cong, bị vênh hay nhăn nheo, và hình ảnh trông sẽ đẹp hơn

Ta có thể định nghĩa: Nắn chỉnh ảnh là quá trình thao tác trên một đối tượng ảnh số, sao cho khi ảnh ở bất kỳ hình dạng nào như cong, vênh, bị bóp méo,… đều có thể được điều chỉnh

Công việc của nắn chỉnh ảnh thực chất là đi thay đổi hay di chuyển các Pixel (điểm ảnh) của hình ảnh từ vị trí này sang vị trí khác

Sau quá trình nắn chỉnh chúng ta sẽ áp dụng kỹ thuật nội suy ảnh để thu được ảnh có chất lượng tốt hơn cả về mầu sắc và độ tương phản

2.1 Nắn chỉnh trên cơ sở phân vùng ảnh

Trong trường hợp các điểm đặc trưng được sắp xếp để tạo thành một lưới bao phủ lên bề mặt ảnh, khi đó ảnh gồm nhiều phần ghép lại với nhau Để nắn chỉnh ảnh, chỉ cần nội suy các phần tương ứng của lưới Tùy thuộc vào lưới được tạo thành là lưới gì sẽ có kỹ thuật nắn chỉnh tương ứng Nếu là lưới tam giác ta có thuật toán biến đổi trên cơ sở phân hình tam giác, nếu là lưới tứ giác ta có thuật toán biến đổi trên cơ sở phân hình tứ giác v.v

Khi phân tích ảnh người ta dùng phương pháp phân vùng tam giác và phân vùng tứ giác Trong đó kỹ thuật nội suy thường sử dụng là nội suy tam giác (Affine Interpolation) và nội suy tứ giác (Trilinear Interpolation và Bilinear)

a Nội suy tam giác

Để biến đổi lưới tam giác này thành lưới tam giác kia ta thực hiện nội suy từng tam giác tương ứng cho nhau Cách đơn giản nhất là sử dụng kỹ thuật ánh xạ dựa trên hệ toạ độ Barycentric

Ở giai đoạn xác định các điểm đặc trưng (phần sau) chúng ta tạo ra xây dựng một lưới các tam giác cho ảnh gốc và ảnh đích thoả mãn điều kiện:

* Cơ sở lý thuyết

+ Khái niệm về toạ độ Barycentric

Với mỗi điểm M(xm,ym) nằm trong tam giác ABC thì chúng ta đều có thể biểu diễn toạ độ của nó theo toạ độ các đỉnh của tam giác như sau:

Giải hệ phương trình này ta được một nghiệm duy nhất:

u,v, w  0

Chúng ta nói rằng điểm M có toạ độ là (u, v, w) đối với tam giác ABC + Một số đặc điểm cần chú ý của toạ độ Barycentric

Đối với mỗi điểm toạ độ của nó là duy nhất

Toạ độ của một điểm phụ thuộc vào tỉ lệ các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác chứ không phải là khoảng cách tuyệt đối giữa chúng

Nếu khoảng cách tương đối của điểm cần biểu diễn đến điểm cơ sở nhỏ thì hệ số tương ứng với nó sẽ lớn Hình 2.1 sẽ minh hoạ cho khái niệm hệ toạ độ Barycentric

Đến đây thuật toán đã hoàn toàn rõ ràng Vậy các bước phải thực hiện đối với thuật toán này là:

Xây dựng lưới tam giác cho ảnh gốc và ảnh đích

Đối với mỗi cặp tam giác tương ứng với ảnh gốc và ảnh đích ta nội suy tam giác ở ảnh gốc thành tam giác ở ảnh đích

Một vấn đề nảy sinh là làm sao có thể tìm được tất cả các điểm thuộc tam giác ABC một cách hiệu quả?

Có nhiều phương án để giải quyết vấn đề này, phần sau đây sẽ giới thiệu một phương pháp khá hiệu quả

* Phương pháp xác định tất cả các điểm thuộc một tam giác

Phương pháp này gồm có các bước như sau:

Tìm các giá trị xmax, xmin, ymax, ymin đối với các đỉnh của tam giác

(0,1,0)

(1,0,0) (0,0,1)

Hình 2.1 Hệ toạ độ Barycentric

M

For a = ymin to ymax do

- Tìm giao điểm của đường thẳng y=a với 3 cạnh của tam giác

- Chỉ xét các giao điểm có hoành độ thuộc [xmin,xmax] và sắp xếp các giao điểm theo chiều tăng dần của hoành độ

- Các điểm nằm trên đường thẳng y=a và có hoành độ thuộc đoạn [x_min,x_max] là thuộc tam giác (với x_ thể hiện hoành độ giao điểm)

Sử dụng thuật toán tam giác người ta có thể xác định được tọa độ các điểm bị bóp méo dựa vào cặp điểm đặc trưng Các điểm này được xác định dựa vào việc xác định tam giác nào là cơ sở, cặp điểm nào là cơ sở Việc xác định cặp điểm đặc trưng có thể dựa vào thuật toán sau

Trước tiên định nghĩa một ánh xạ T cho các đỉnh của tam giác: M(A)=A', M(B)=B', M(C)=C' Các điểm còn lại sẽ được ánh xạ theo toạ độ Barycentric

b Phân vùng tứ giác

Nếu lưới xây dựng trên ảnh nguồn và đích tương ứng là lưới tứ giác, ta cần nội suy các tứ giác cho nhau Để thực hiện điều này ta dùng phép nội suy Bilinear Phép nội suy Bilinear xác định một hàm biến đổi từ một hình vuông kích thước 0,1x0,1 tới một tứ giác trong không gian (tứ giác này không nhất thiết phải đồng phẳng) Phép biến đổi được thực hiện tương đương với hai việc: Thứ nhất là nội suy trên các cạnh AD và BC thu được điểm P và Q

P = (1-v)A +vD Q = (1-v)B +vC

Việc tiếp theo là nội suy trên đoạn PQ sử dụng thông số u: B(u,v)=(1-u)P +uQ

2.2 Nắn chỉnh trên cơ sở tập các điểm đặc trưng

Thuật toán có hướng tiếp cận dựa trên cơ sở các cặp điểm đặc trưng như đã trình bầy ở trên Do vậy, điều quan trọng là làm sao có thể biểu diễn được một điểm bất kỳ theo tập các đặc trưng khi mà lực lượng của tập lớn Tuy nhiên, thuật toán lợi dụng tính chất phân vùng của đối tượng ảnh để

Hình 2.4 Nội suy Bilinear

Hình 2.3 Nội suy tam giác

giảm nhẹ lực lượng hệ cơ sở từ tập các đặc trưng ban đầu giúp cho việc biểu diễn là khả thi

Việc xác định các điểm đặc trưng của ảnh nhằm cung cấp các thông tin về đối tượng giúp cho sự việc nắn chỉnh được thực hiện thuận lợi Các công thức nắn chỉnh bao giờ cũng được đưa ra dựa trên các điểm đặc trưng và xây dựng các công thức nắn chỉnh là đại diện cho một thuật toán nắn chỉnh hình học Để đạt được chất lượng nắn chỉnh hình tốt, chúng ta phải nội suy từng phần của ảnh gốc sang các phần tương ứng bên ảnh đích Điều này có nghĩa là ta đã biểu diễn được thông tin của đối tượng và ánh xạ từng phần của chúng cho nhau Đây cũng chính là mục đích của giai đoạn xác định các điểm đặc trưng

Thông thường nắn chỉnh hình dạng người ta dùng phương pháp bình phương bé nhất hoặc giá trị trung bình nhỏ nhất trên cơ sở thông tin thu được từ các điểm đặc trưng Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) là một thủ thuật toán học được sử dụng để ước lượng mối tương quan giữa các biến khác nhau Kiểu tương quan đơn giản nhất là: Yi  b0 b X1 i ei

Kết quả quá trình ước lượng các hệ số b0 và b1 được gọi là b0 mũ và b1

Minh họa lên đồ thị

Minh họa ei lên đồ thị

Mục đích của phương pháp OLS là tối thiểu hóa tổng e e12, 22 và e32

Minh họa Yi lên đồ thị

Đường tuyến tính liên hệ X và Y được tính bằng phương pháp OLS là đáng tin cậy bởi vì nó tối thiểu hóa tổng bình phương các sai số Nghĩa là nó