Nghiên cứu và xây dựng ứng dụng bảo mật trên PDA

Nghiên cứu và xây dựng ứng dụng bảo mật trên PDA

KHOA CNTT –

ĐH KHTN Lời cảm ơn

Chúng em cảm ơn khoa Công nghệ Thông tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho chúng em thực hiện đề tài

Chúng con gởi tất cả lòng biết ơn và sự kính trọng của chúng con đến cha mẹ cùng toàn thể gia đình, những người đã sinh thành, dưỡng dục và là chỗ dựa vững chắc cho chúng con vượt qua mọi khó khăn

Chúng em trân trọng biết ơn thầy Dương Anh Đức, thầy Trần Minh Triết đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo chúng em để chúng em thực hiện tốt đề tài luận văn tốt nghiệp

Chúng em cảm ơn quý thầy cô đã giảng dạy, trang bị những kiến thức quý báu cho chúng em trong những năm học vừa qua

Xin chân thành cảm ơn các anh chị, bạn bè đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên chúng tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu

Mặc dù chúng em đã nỗ lực hoàn thành luận văn trong phạm vi và khả năng cho phép nhưng chắc chắn luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót Chúng em rất mong nhận được sự thông cảm, góp ý và tận tình chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn

Tp Hồ Chí Minh, 07/2004 Nhóm sinh viên thực hiện

Văn Đức Phương Hồng – Nguyễn Minh Huy

KHOA CNTT –

ĐH KHTN Lời mở đầu

Ngày nay, công nghệ thông tin và các sản phẩm công nghệ thông tin đã góp phần giúp cuộc sống của con người thoải mái hơn Liên lạc giữa các cá nhân và tổ chức trở nên thuận tiện, từ đó lượng thông tin, dữ liệu giao dịch tăng nhanh về số lượng lẫn chất lượng

Trước sự bùng nổ thông tin, việc bảo mật các dữ liệu nhạy cảm giữ vai trò rất quan trọng Với sự ra đời của các thiết bị di động cầm tay và các thiết bị hỗ trợ cá nhân kỹ thuật số, thông tin có thể được quản lý dễ dàng ở mọi lúc mọi nơi Sự cơ động của các thiết bị đem lại nhiều tiện lợi cho người sử dụng nhưng đồng thời cũng mang lại những rủi ro cao khi dữ liệu trong các thiết bị bị mất hoặc bị lấy cắp Do đó nhu cầu về ứng dụng mã hóa và bảo mật trên các thiết bị là cần thiết

Trên thực tế, việc bảo mật trên thiết bị di động chưa được quan tâm rộng rãi Các hệ thống bảo mật trên thiết bị di động chỉ giới hạn ở các chức năng bảo mật được cung cấp tích hợp trong phần cứng thiết bị Một số ít ứng dụng phần mềm mã hóa bảo mật trên thiết bị di động có giá thành cao nhưng độ bảo mật ở mức trung bình

Với lý do trên, chúng em đã thực hiện đề tài "Nghiên cứu và xây dựng ứng

dụng bảo mật trên PDA" nhằm nghiên cứu, thử nghiệm về các phương pháp, thuật

toán mã hóa bảo mật đồng thời cũng nghiên cứu khả năng đưa chức năng mã hóa vào ứng dụng trên thiết bị hỗ trợ cá nhân kỹ thuật số Dựa trên cơ sở lý thuyết đã nghiên cứu, chúng em thực hiện xây dựng bộ thư viện SPDA Cryptolib với các thuật toán được xem là mới và hiệu quả hiện nay Bộ thư viện là công cụ giúp các lập trình viên có thể thực hiện mã hóa bảo mật trên thiết bị Sử dụng thư viện đã xây dựng, chúng em thực hiện ứng dụng Pocket Secure Data với các chức năng giúp người dùng có thể thực hiện mã hóa, giải mã thông tin, tạo và xác nhận chữ ký điện tử một cách nhanh chóng và thuận tiện

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Nội dung luận văn được trình bày trong 10 chương; trong đó, 6 chương đầu trình bày các vấn đề về lý thuyết mã hóa và giới thiệu về thiết bị trợ giúp cá nhân kỹ thuật số; 4 chương cuối tập trung vào bộ thư viện SPDA Cryptolib và ứng dụng Pocket Secure Data

· Chương 1 Tổng quan: Giới thiệu về mã hóa và xác định mục tiêu đề tài

· Chương 2 Mã hóa quy ước: Giới thiệu tóm tắt một số phương pháp mã hóa

quy ước

· Chương 3 Mã hóa khóa công khai.: Trình bày một số phương pháp mã

hóa khóa công khai

· Chương 4 Các thuật toán hàm băm và chữ ký điện tử: Trình bày các

thuật toán trong chuẩn hàm băm an toàn và giới thiệu về chữ ký điện tử

· Chương 5 Tổng quan về PDA và môi trường phát triển NET Compact

Framework: Giới thiệu về thiết bị PDA và trình bày về môi trường phát

triển NET Compact Framework

· Chương 6 Xây dựng ứng dụng bảo mật trên PDA - vấn đề và giải

pháp: Trình bày các vấn đề gặp phải khi xây dựng ứng dụng bảo mật trên

PDA và các giải pháp đề nghị

· Chương 7 Xây dựng bộ thư viện SPDA Cryptolib: Giới thiệu bộ thư viện

SPDA Cryptolib

· Chương 8 Xây dựng ứng dụng Pocket Secure Data: Giới thiệu ứng dụng

Pocket Secure Data

· Chương 9 Cài đặt và triển khai ứng dụng

· Chương 10 Tổng kết: Tóm tắt vấn đề đã nghiên cứu thực hiện và hướng

phát triển trong tương lai

KHOA CNTT –

ĐH KHTN Mục lục

1.2 Mục tiêu của đề tài 3

Chương 2.Mã hóa quy ước 3

2.1 Giới thiệu mã hóa quy ước 3

2.1.1 Hệ thống mã hóa quy ước 3

2.1.2 Các thuật toán mã hóa quy ước 3

2.2 Các thuật toán ứng viên AES và Rijndael 3

2.2.1 Các thuật toán ứng viên AES 3

2.2.2 Thuật toán Rijndael 3

2.3 Đánh giá các phương pháp mã hóa quy ước 3

Chương 3.Mã hóa khóa công khai 3

3.1 Giới thiệu mã hóa khóa công khai 3

3.2 Phương pháp RSA 3

3.2.1 Mô hình mã hóa dữ liệu với RSA 3

3.2.2 Mô hình trao đổi khóa theo RSA 3

3.3 Phương pháp ECC (Elliptic Curve Cryptography) 3

3.3.1 Lý thuyết Elliptic Curve 3

3.3.2 Áp dụng lý thuyết Elliptic Curve vào mã hóa 3

3.4 Đánh giá các phương pháp mã hóa khóa công khai 3

3.4.1 Ứng dụng của mã hóa khóa công khai 3

3.4.2 So sánh giữa các phương pháp mã hóa khóa công khai 3

Chương 4.Các thuật toán hàm băm và chữ ký điện tử 3

4.1 Các thuật toán hàm băm 3

4.1.1 Giới thiệu hàm băm 3

4.1.2 Giới thiệu các chuẩn thuật toán hàm băm Secure Hash Standard(SHS) trong FIPS180-2 (02/2004) 3

4.1.3 Giới thiệu đề xuất hàm băm mới AES–HASH của Bram Cohen 3

4.2 Chữ ký điện tử 3

4.2.1 Mô hình chữ ký điện tử theo RSA 3

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

4.2.2 Thuật toán chữ ký điện tử DSA 3

4.2.3 Thuật toán chữ ký điện tử trên Elliptic Curve (ECDSA) 3

Chương 5.Tổng quan về PDA và môi trường phát triển NET Compact Framework 3

5.1 Tìm hiểu thiết bị PDA 3

5.1.1 Đặc điểm của PDA 3

5.1.2 Các hạn chế của PDA 3

5.2 Tổng quan về WindowCE và Pocket PC 3

5.2.1 Giới thiệu hệ điều hành Windows CE 3

5.2.2 Giới thiệu Pocket PC 3

5.3 Giới thiệu NET Compact Framework 3

Chương 6.Xây dựng ứng dụng bảo mật trên PDA - vấn đề và giải pháp 3

6.1 Các vấn đề khi xây dựng ứng dụng bảo mật trên PDA 3

6.1.1 Khả năng tính toán 3

6.1.2 Khả năng lưu trữ 3

6.1.3 Khả năng tương tác giữa người sử dụng và thiết bị 3

6.1.4 Mức độ hỗ trợ của các thư viện lập trình 3

6.2 Các giải pháp cụ thể 3

6.2.1 CryptoAPI 3

6.2.2 Xây dựng bộ thư viện SPDA Cryptolib 3

Chương 7.Xây dựng bộ thư viện SPDA Cryptolib 3

7.1 Phát biểu bài toán 3

7.2 Kiến trúc bộ thư viện 3

7.2.1 Sơ đồ kiến trúc bộ thư viện 3

7.2.2 Danh sách các lớp trong thư viện 3

Chương 8.Xây dựng ứng dụng Pocket Secure Data 3

8.1 Phát biểu bài toán 3

8.2 Phân tích yêu cầu 3

8.2.1 Bảng chú giải 3

8.2.2 Các yêu cầu chức năng 3

8.2.3 Các yêu cầu phi chức năng 3

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

8.6.2 Màn hình phân hệ server 3

8.6.3 Màn hình phân hệ client 3

Chương 9.Cài đặt và triển khai ứng dụng 3

9.1 Môi trường cài đặt 3

KHOA CNTT –

ĐH KHTN Danh sách hình

Hình 2-1: Mô hình hệ thống mã hóa quy ước 3

Hình 2-2: Sơ đồ quá trình mã hóa dữ liệu bằng phương pháp DES 3

Hình 3-1: Mô hình hệ thống mã hóa khóa công khai 3

Hình 3-2: Một ví dụ về elliptic curve 3

Hình 3-3: Điểm ở vô cực 3

Hình 3-4: Phép cộng trên elliptic curve 3

Hình 3-5: Phép nhân đôi trên elliptic curve 3

Hình 3-6: Mô hình CA tập trung 3

Hình 3-7: Mô hình CA phân cấp 3

Hình 3-8: Mô hình CA Web of Trust 3

Hình 3-9: So sánh mức độ bảo mật giữa ECC, RSA / DSA 3

Hình 7-1: Class diagram của thư viện SPDA Cryptolib 3

Hình 8-1: Usecase diagram của ứng dụng Pocket Secure Data 3

Hình 8-2: Class diagram trên phân hệ client 3

Hình 8-3: Class diagram trên phân hệ server 3

Hình 8-4: Sơ đồ thiết kế dữ liệu của Pocket Secure Data 3

Hình 8-5: Sơ đồ màn hình phân hệ server 3

Hình 8-6: Sơ đồ màn hình phân hệ client 3

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Hình 8-16: Màn hình Group Management 3Hình 8-17: Màn hình Find Contact 3Hình 9-1:Mô hình cài đặt thư viện và ứng dụng 3

KHOA CNTT –

ĐH KHTN Danh sách bảng

Bảng 2-1: Các hàm và ký hiệu sử dụng trong phương pháp Rijndael 3

Bảng 3-1: So sánh các phép toán trên elliptic trên tọa độ Affine và tọa độ chiếu 3

Bảng 3-2: So sánh kích thước khóa giữa mã hóa quy ước và mã hóa khóa công khai với cùng mức độ bảo mật 3

Bảng 3-3: So sánh kích thước khóa RSA và ECC với cùng độ bảo mật 3

Bảng 4-1:Các tính chất của các thuật toán băm an toàn 3

Bảng 7-1: Danh sách các lớp trong thư viện SPDA Cryptolib 3

Bảng 8-1: Danh sách các Usecase 3

Bảng 8-2: Chi tiết các màn hình ở phân hệ client 3

Bảng 9-1: Kết quả mã hóa thử nghiệm trên Desktop và PDA 3

Bảng 9-2: Kết quả thử nghiệm tạo khóa RSA và ECC 3

KHOA CNTT –

ĐH KHTN Một số khái niệm và thuật ngữ

PDA Thiết bị trợ giúp cá nhân kỹ thuật số - Personal Digital Assistant

NIST Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ Hoa Kỳ - National Institute of Standard and Technology

FIPS Federal Information Processing Standard Publications NSA National Security Agency

DES Chuẩn mã hóa dữ liệu – Data Encryption Standard

AES Chuẩn mã hóa nâng cao – Advanced Encryption Standard

SHA Thuật toán băm an toàn – Secure Hash Algorithm SHS Chuẩn băm an toàn – Secure Hash Standard

ECC Phương pháp mã hóa theo đưòng cong elip - Elliptic Curve Cryptography

ECDH Elliptic Curve Diffie – Hellman

DSA Thuật toán chữ ký điện tử - Digital Signature Algorithm ECDSA Elliptic Curve Digital Signature Algorithm

SSL Giao thức kết nối an toàn - Socket Secure Layer

Khóa công khai Public key – khóa được công bố rộng rãi cho mọi người, sử dụng trong mã hóa khóa công khai

Khóa riêng Private key – khóa của một cá nhân được giữ bí mật, có quan hệ với khóa công khai, sử dụng trong mã hóa khóa công khai

Khóa bí mật Secret key – khóa quy ước sử dụng trong mã hóa quy ước

Mã hóa quy ước Conventional cryptography - Còn gọi là mã hóa đối xứng (symmetric cryptography), hệ thống mã hóa sử dụng cùng một khóa cho mã hóa và giải mã

Mã hóa khóa công khai Public key cryptography – còn gọi là mã hóa bất đối xứng (asymmetric cryptography), hệ thống mã hóa sử dụng một cặp khóa để mã hoá và giải mã

Trao đổi khóa Key exchange – phương pháp để trao đổi các thông tin khóa bí mật giữa các đối tác

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Chữ ký điện tử Digital Signature - dãy bit phát sinh từ dữ liệu và khóa gởi kèm với dữ liệu khi trao đổi nhằm để xác nhận nguồn gốc dữ liệu, xác nhận tính toàn vẹn của dữ liệu

ECDLP Bài toán logarit rời rạc trên Elliptic curve - Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem

CryptoAPI Bộ thư viện các hàm mã hóa ứng dụng trên Windows CE - Cryptographic Application Programming Interface .NET CF NET Compact Framework

SPDA Security on Personal Digital Assistant

KHOA CNTT –

ĐH KHTN Phần 1:

Mở đầu

Đối tượng nghiên cứu của mật mã học là các kỹ thuật để mã hóa và bảo mật thông tin

1.1.2 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1: Một hệ thống mã hóa (cryptosystem) [8] là một bộ-năm (P, C, K,

E, D) thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Tập nguồn P là tập hợp hữu hạn tất cả các mẩu tin nguồn cần mã hóa có thể

có

2 Tập đích C là tập hợp hữu hạn tất cả các mẩu tin có thể có sau khi mã hóa 3 Tập khóa K là tập hợp hữu hạn các khóa có thể được sử dụng

4 Với mỗi khóa kÎK, tồn tại luật mã hóa ekÎE và luật giải mã dkÎD tương

ứng Luật mã hóa ek: P ® C và luật giải mã ek: C ® P là hai ánh xạ thỏa

Tính chất 4 là tính chất chính và quan trọng của một hệ thống mã hóa Tính chất này

bảo đảm việc mã hóa một mẩu tin xÎP bằng luật mã hóa ekÎE có thể được giải mã

chính xác bằng luật dkÎD

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Định nghĩa 1.2: Zm được định nghĩa là tập hợp {0, 1, , m-1}, được trang bị phép

cộng (ký hiệu +) và phép nhân (ký hiệu là ´) Phép cộng và phép nhân trong Zm

được thực hiện tương tự như trong Z, ngoại trừ kết quả tính theo modulo m

1.1.3 Các loại mã hóa

1.1.3.1 Mã hóa quy ước

Mã hóa quy ước (hay còn gọi mã hóa đối xứng ) là hệ thống mã hóa sử dụng cùng một khóa gọi là khóa bí mật (secret key / symmetric key) để thực hiện mã hóa hay giải mã thông tin Việc bảo mật thông tin tùy thuộc vào việc bảo mật khóa bí mật

Phương pháp mã hóa quy ước DES được đưa vào sử dụng từ năm 1977 đã không còn được xem là an toàn khi tốc độ xử lý tính toán của các bộ vi xử lý ngày càng tăng nhanh chóng Tháng 10/2000, Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ Hoa Kỳ NIST đã công bố chuẩn mã hóa mở rộng AES và quyết định chọn thuật toán Rijndael làm phương pháp mã hóa quy ước đại diện cho AES

1.1.3.2 Mã hóa khóa công khai

Mã hoá khóa công khai (hay còn gọi mã hóa bất đối xứng) là hệ thống mã hóa sử dụng một cặp khóa để mã hóa và giải mã thông tin Một khóa được công bố rộng rãi (khóa công khai) để mã hóa thông tin, khóa tương ứng còn lại được giữ bí mật (khóa riêng ) để giải mã thông tin

Lợi ích lớn nhất của mã hóa khóa công khai chính là giúp người sử dụng tránh các rủi ro khi trao đổi khóa Một số hệ thống mã hóa khóa công khai bao gồm: Diffie-Hellman (Whitfield Diffie - Martin Hellman ), RSA (Rivest – Shamir – Adleman), Elgamal (Tahel Elgamal), DSA (David Kravitz) và ECC (Neal Koblitz - Victor Miller) Trong số đó, RSA được sử dụng rộng rãi nhất và những năm gần đây, ECC đang thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giới

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Mã hóa khóa công khai là nền tảng của nhiều ứng dụng bảo mật có ý nghĩa quan trọng trong đời sống xã hội như: chữ ký điện tử, chứng nhận điện tử, an toàn trong truyền dữ liệu trên mạng (SSL)

1.2 Mục tiêu của đề tài

Ngày nay, các thiết bị trợ giúp cá nhân kỹ thuật số đang dần trở nên quen thuộc và được người sử dụng ưa chuộng Tuy nhiên, mức độ bảo mật của các thiết bị phụ thuộc rất nhiều vào nhà cung cấp phần cứng Dữ liệu của người sử dụng chưa được đảm bảo an toàn Những giải pháp phầm mềm cho công việc bảo mật trên PDA hiện tại trên thế giới có chi phí rất cao cùng với độ bảo mật chỉ ở mức trung bình

Đề tài "Nghiên cứu và xây dựng ứng dụng bảo mật trên PDA" được thực

hiện với mục đích tìm hiểu, nghiên cứu và thử nghiệm các phương pháp mã hóa quy ước và mã hóa khóa công khai cùng với các phương pháp ký và xác nhận chữ ký điện tử Đồng thời, chúng em cũng tìm hiểu các thuật toán mã hóa quy ước là ứng viên của chuẩn mã hóa nâng cao AES, thuật toán mã hóa khóa công khai ECC và các thuật toán hàm băm mới SHA-224, AES-Hash đang nhận được sự quan tâm của các nhà khoa học trong thời gian gần đây

Trên cơ sở lý thuyết nghiên cứu được, chúng em thực hiện xây dựng một bộ thư viện mã hóa SPDA Cryptolib trên thiết bị PDA Bộ thư viện SPDA Cryptolib sẽ cung cấp các thuật toán mã hóa thông dụng và mới nhất hiện nay bên cạnh khả năng hỗ trợ lập trình trên thiết bị PDA Sử dụng thư viện mã hóa SPDA Cryptolib, chúng em đã thực hiện ứng dụng Pocket Secure Data cung cấp các chức năng về mã hóa, chữ ký điện tử và quản lý khóa cho người sử dụng PDA Ứng dụng sẽ hoạt động trên hai phân hệ: máy tính cá nhân để bàn và máy PDA

KHOA CNTT –

ĐH KHTN Phần 2:

Lý thuyết mã hoá

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Chương 2 Mã hóa quy ước

Dẫn nhập: Chương 1 chúng ta đã tìm hiểu tổng quan về mật mã học, nội dung

chương 2 sẽ giới thiệu chi tiết hơn về hệ thống mã hóa quy ước với các thuật toán mã hóa quy ước Đặc biệt chương 2 sẽ đề cập cụ thể hơn về chuẩn mã hóa quy ước mở rộng AES và các thuật toán ứng viên của AES Chương 2 cũng sẽ trình bày đánh giá về các phương pháp mã hóa quy ước

2.1 Giới thiệu mã hóa quy ước

2.1.1 Hệ thống mã hóa quy ước

Hệ thống mã hóa quy ước là hệ thống mã hóa trong đó quy trình mã hóa và giải mã đều sử dụng chung một khóa gọi là khóa bí mật Việc bảo mật thông tin phụ thuộc vào việc bảo mật khóa

Xét mô hình hệ thống mã hóa quy ước sau:

Hình 2-1: Mô hình hệ thống mã hóa quy ước

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Dữ liệu nguồn x được người gởi A mã hóa bằng thuật toán mã hóa quy ước với khóa bí mật k được thống nhất trước giữa người gởi A và người nhận B Dữ liệu sau khi mã hóa y sẽ đuợc truyền cho người nhận B Người nhận B sử dụng khóa bí mật k để giải mã y để có được thông điệp nguồn x ban đầu

Nếu một người C có được khóa bí mật k thì C sẽ có khả năng giải mã tất cả dữ liệu A mã hóa bằng khóa k và gởi cho B Do đó vấn đề an toàn bảo mật thông tin được mã hóa phụ thuộc vào việc giữ bí mật nội dung mã khóa k

2.1.2 Các thuật toán mã hóa quy ước

Các thuật toán mã hóa quy ước được phân thành 2 loại: mã hóa theo ký tự và mã hóa theo khối

· Shift Cipher: Thông điệp được mã hóa bằng cách dịch chuyển (xoay vòng)

từng ký tự đi k vị trí trong Zn Trong trường hợp đặc biệt k = 3, phương pháp

Shift Cipher được gọi là phương pháp mã hóa Caesar

· Substitution Cipher: Khóa k Î K là tập hợp hoán vị các phần tử trong tập nguồn P Hàm mã hóa thực hiện ánh xạ một ký tự trong thông điệp nguồn

vào khóa k Hàm giải mã là ánh xạ ngược của hàm mã hóa

· Affine Cipher: Khoá k là một bộ (a, b) sao cho ax + b = y (mod n) có

nghiệm duy nhất Trong đó a và n nguyên tố cùng nhau Gọi f(n) là số phần

tử trong Zn, nguyên tố cùng nhau với n, ta có n khả năng xác định b, f(n) khả

năng xác định a nên không gian khóa K có n ´f(n) phần tử

2.1.2.2 Mã hóa theo khối

Mã hóa theo khối là phương pháp chia thông điệp cần mã hóa thành những khối thông điệp có độ dài cố định Một hàm mã hóa sẽ thao tác trên từng khối thông điệp để trả về thông điệp đã mã hóa

· Vigenere Cipher: Sử dụng từ khoá k là một dãy có m phần tử Phương pháp

Vigenere Cipher chính là áp dụng m phép Shift Cipher luân phiên nhau theo chu kỳ

· Hill Cipher: Mỗi phần tử xÎP là một bộ m thành phần, tập nguồn P = Zn ´

Zn Khóa k gồm m tổ hợp tuyến tính của m thành phần trong mỗi phần tử x Như vậy không gian khóa K chính là tập hợp các ma trận m ´ m khả nghịch

Thao tác mã hóa là thực hiện phép nhân ma trận:

1, , ,

( 2.3)

với x=(x1, x2, , xm) Î P

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Để giải mã cần tìm ma trận nghịch đảo k-1 của khóa k và thực hiện phép tính

toán sau: dk(y) = yk–1 Lưu ý là tất cả các phép toán số học đều được thực hiện trên Zn.

· Permutation Cipher: Mỗi phần tử xÎP là một bộ m thành phần, tập nguồn

P = Zn ´ Zn Khóa k Î K là tập hợp hoán vị m thành phần trong phần tử x Hàm mã hóa thực hiện ánh xạ một ký tự trong thông điệp nguồn vào khóa k

Hàm giải mã là ánh xạ ngược của hàm mã hóa

· Data Encryption Standard (DES):

Khoảng những năm 1970, tiến sĩ Horst Feistel đã đặt nền móng đầu tiên cho chuẩn mã hóa dữ liệu DES với phương pháp mã hóa Feistel Cipher Vào năm 1976 cơ quan bảo mật quốc gia Hoa Kỳ (NSA) đã công nhận DES dựa trên Feistel Cipher là chuẩn mã hóa dữ liệu DES được công bố trong tài liệu FIPS của NIST[20] Kích thước khóa của DES ban đầu là 128 bit nhưng tại bản công bố FIPS kích thước khóa được rút xuống còn 56 bit.[6]

DES có kích thước khối 64 bit DES thực hiện mã hóa dữ liệu qua 16 vòng lặp mã hóa, mỗi vòng sử dụng một khóa chu kỳ 48 bit thu được từ khóa 56 bit ban đầu DES sử dụng 8 bảng hằng số Sbox để thao tác Quá trình mã hóa của DES có thể được tóm tắt như sau:

Biểu diễn thông điệp nguồn xÎP bằng dãy 64bit Khóa k có 56bit Thực hiện mã

hóa theo 3 giai đoạn:

- Tạo dãy 64 bit bằng cách hoán vị x theo hoán vị IP

- Thực hiện 16 vòng lặp từ 64 bit thu được và 56 bit của khoá k (chỉ sử dụng

48 bit của khoá k trong mỗi vòng lặp) 64 bit kết quả thu được qua mỗi vòng lặp sẽ là đầu vào cho vòng lặp sau

- Sau 16 vòng lặp, áp dụng hoán vị ngược IP-1 cho 64bit thu được Kết quả

cuối cùng chính là khối dữ liệu đã mã hóa y

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Hình 2-2: Sơ đồ quá trình mã hóa dữ liệu bằng phương pháp DES

Quá trình giải mã chính là thực hiện theo thứ tự đảo ngược các thao tác của quá trình mã hóa

Do tốc độ tính toán của máy tính ngày càng tăng cao và DES đã được sự quan tâm chú ý của các nhà khoa học lẫn những người phá mã (cryptanalyst) nên DES nhanh chóng trở nên không an toàn Năm 1997, một dự án đã tiến hành bẻ khóa DES chưa đến 3 ngày với chi phí thấp hơn 250.000 dollars Và vào năm 1999, một mạng máy tính gồm 100.000 máy có thể giải mã một thư tín mã hóa DES chưa đầy 24 giờ.[6]

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Trong quá trình tìm kiếm các thuật toán mới an toàn hơn DES, Tripple DES ra đời như một biến thể của DES Tripple DES thực hiện 3 lần thuật toán DES với 3 khoá khác nhau và với trình tự khác nhau Trình tự thực hiện phổ biến là EDE (Encrypt – Decrypt – Encrypt), thực hiện xen kẽ mã hóa với giải mã (lưu ý là khóa trong từng giai đoạn thực hiện khác nhau)

· Advanced Encryption Standard (AES):

Để tìm kiếm một phương pháp mã hóa quy ước mới với độ an toàn cao hơn DES, NIST đã công bố một chuẩn mã hóa mới, thay thế cho chuẩn DES Thuật toán đại diện cho chuẩn mã hóa nâng cao AES (Advanced Encryption Standard) sẽ là thuật toán mã hóa quy ước, sử dụng miễn phí trên toàn thế giới Chuẩn AES bao gồm các yêu cầu sau[8]:

· Thuật toán mã hóa theo khối 128 bit

· Chiều dài khóa 128 bit, 192 bit và 256 bit

· Không có khóa yếu

· Hiệu quả trên hệ thống Intel Pentium Pro và trên các nền phần cứng và phần mềm khác

· Thiết kế dễ dàng (hỗ trợ chiều dài khóa linh hoạt, có thể triển khai ứng dụng rộng rãi trên các nền và các ứng dụng khác nhau)

· Thiết kế đơn giản: phân tích đánh giá và cài đặt dễ dàng

· Chấp nhận bất kỳ chiều dài khóa lên đến 256 bit

· Mã hóa dữ liệu thấp hơn 500 chu kỳ đồng hồ cho mỗi khối trên Intel Pentium, Pentium Pro và Pentium II đối với phiên bản tối ưu của thuật toán

· Có khả năng thiết lập khóa 128 bit (cho tốc độ mã hóa tối ưu) nhỏ hơn thời gian đòi hỏi để mã hóa các khối 32 bit trên Pentium, Pentium Pro và Pentium II

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

· Không chứa bất kỳ phép toán nào làm nó giảm khả năng trên các bộ vi xử lý 8 bit, 16 bit, 32 bit và 64 bit

· Không bao hàm bất kỳ phần tử nào làm nó giảm khả năng của phần cứng

· Thời gian mã hóa dữ liệu rất thấp dưới 10/1000 giây trên bộ vi xử lý 8 bit

· Có thể thực hiện trên bộ vi xử lý 8 bit với 64 byte bộ nhớ RAM

Sau khi thực hiện 2 lần tuyển chọn, có 5 thuật toán được vào vòng chung kết, gồm có: MARS, RC6, SERPENT, TWOFISH và RIJNDAEL Các thuật toán này đều đạt các yêu cầu của AES nên được gọi chung là các thuật toán ứng viên AES Các thuật toán ứng viên AES có độ an toàn cao, chi phí thực hiện thấp

2.2 Các thuật toán ứng viên AES và Rijndael

2.2.1 Các thuật toán ứng viên AES

Quá trình mã hóa của MARS bao gồm các công việc:

- Cộng khóa: cộng các từ của khóa với các từ của khối dữ liệu - 8 chu kỳ trộn tới không khóa

- 8 chu kỳ trộn tới có khóa - 8 chu kỳ trộn lùi có khóa - 8 chu kỳ trộn lùi không khóa

- Trừ khóa: trừ các từ của khóa với các từ của khối dữ liệu sau khi đã thực hiện trộn

Quá trình giải mã của MARS là nghịch đảo của quá trình mã hóa

SERPENT mã hóa một văn bản ban đầu P 128 bit thành một văn bản mã hóa C 128 bit qua 32 chu kỳ với sự điều khiển của 33 khóa chu kỳ 128 bit Quy trình mã hóa SERPENT được thực hiện như sau:

· Khởi tạo và phân bố khóa ban đầu thành 33 khóa chu kỳ

· Thực hiện phép hoán vị đầu

· Thực hiện 32 chu kỳ, mỗi chu kỳ bao gồm một phép trộn khóa, một lần áp dụng các S–box và một phép biến đổi tuyến tính (cho tất cả các chu kỳ trừ chu kỳ cuối) Ở chu kỳ cuối cùng, phép biến đổi tuyến tính này được thay thế bằng một phép trộn khóa

· Thực hiện phép hoán vị cuối

Quá trình giải mã SERPENT sử dụng các Sbox nghịch đảo, thực hiện các phép biến đổi tuyến tính nghịch đảo và các khóa chu kỳ được sử dụng cũng theo thứ tự ngược lại

2.2.1.3 RC6

Thuật toán RC6 được đề xuất bởi Phòng thí nghiệm RSA (RSA Laboratories), của các tác giả Ronald L Rivest, Matt Robshaw, Ray Sidney, Yiqun Lisa Yin.[11]

RC6 sử dụng các tham số hệ thống w bit từ, r chu kỳ mã hóa và kích thước khóa b (tính theo đơn vị byte) Tuy nhiên để phù hợp với các tiêu chuẩn của AES, RC6 chọn giá trị các tham số là w = 32, r = 20 và b = 16 / 24 / 32 bytes

· Cộng khóa chu kỳ S[0] và S[1] vào các từ B, C

· Thực hiện 20 chu kỳ mã hóa gồm các phép toán quay trái, phép cộng, nhân và xor giá trị từ

· Cộng khóa chu kỳ S[2r + 2] và S[2r + 3] vào các từ A, D

Quy trình giải mã của RC6 là nghịch đảo của quy trình mã hóa

2.2.1.4 TWOFISH

Thuật toán TWOFISH được đề xuất bởi Counterpane Systems, của các tác giả Bruce Schneier, John Kelsey, Doug Whiting, David Wagner, Chris Hall and Niels Ferguson.[11]

TWOFISH được thiết kế để thỏa mãn các tiêu chuẩn của AES TWOFISH hỗ trợ kích thước khóa tối đa 256 bit

Tóm tắt quy trình mã hóa TWOFISH:

· Khởi tạo và phân bố khóa: tạo 40 khóa chu kỳ và 4 Sbox, các Sbox phụ thuộc khóa

· Input Whitening: Khối dữ liệu ban đầu đựợc chia thành 4 từ 32 bit A,B,C,D Thực hiện XOR 4 khóa chu kỳ đầu tiên với A, B, C, D

· Thực hiện 16 vòng lặp, trong mỗi vòng lặp thực hiện các thao tác XOR, quay trái, quay phải dữ liệu đồng thời sử dụng các Sbox phụ thuộc khóa

· Output Whitening: XOR các từ dữ liệu với 4 khóa chu kỳ mở rộng

Quy trình mã hóa và giải mã của thuật toán TWOFISH tương tự như nhau Tuy nhiên, quy trình giải mã đòi hỏi áp dụng các khóa chu kỳ theo thứ tự đảo ngược

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

2.2.2 Thuật toán Rijndael

Tháng 11/2001, NIST công bố tài liệu FIPS-197, công nhận Rijndael là thuật toán đại diện cho chuẩn mã hóa mở rộng AES.[17] Rijndael đã vượt qua 4 thuật toán ứng viên còn lại (RC6, MARS, SERPENT, TWOFISH) để trở thành chuẩn mã hóa quy ước mới nhất hiện nay Thuật toán Rijndael do hai nhà khoa học Vincent Rijmen và Joan Daeman cung cấp

Phương pháp Rijndael mã hóa theo khối Kích thước khối và kích thước khóa thay đổi linh hoạt 128, 192, 256 bit nhờ vậy Rijndael thích hợp với nhiều hệ thống mã hóa khác nhau từ các máy tính cá nhân đến smart-cards

Thuật toán Rijndael được xem là thuật toán có độ an toàn rất cao và có nhiều ưu điểm nhưng với sự phát triển mạnh mẽ của ngành công nghiệp máy tính không loại trừ nguy cơ thuật toán Rijndael bị phá vỡ Do đó hiện nay các nhà khoa học đang tìm cách cải tiến mở rộng thuật toán Rijndael để tăng độ an toàn Các phiên bản mở rộng 256/384/512-bit[1][2][3][4][5] và phiên bản mở rộng 512/768/1024-bit đều được xây dựng trên cở sở lý thuyết của thuật toán Rijndael nguyên thủy nhưng có khả năng xử lý khóa và khối dữ liệu lớn hơn nhiều lần so với phiên bản gốc.[7]

Đơn vị thông tin được xử lý trong thuật toán Rijndael là byte Mỗi byte có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau: dạng nhị phân

({b7b6b5b4b3b2b1b0}), dạng thập lục phân ({h1h0}) hay dạng đa thức có các hệ số nhị phân å

iiixb

Các thao tác tính toán của thuật toán AES được thực hiện trên các ma trận hai

chiều gọi là trạng thái (state) Mỗi state gồm 4 hàng Nb cột trong đó Nb là kết quả

của phép chia kích thước khối dữ liệu cho 32 Đối với AES, Nb = 4

Khóa cũng được biểu diễn dưới dạng ma trận hai chiều gồm 4 hàng Nk cột trong đó Nk là kết quả chia kích thước khóa cho 32 Mỗi chu kỳ mã hóa / giải mã sử dụng một khóa phát sinh từ khóa chính gọi là khóa chu kỳ Có tất cả Nr + 1 khóa

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

chu kỳ Hàm phát sinh bảng mã khóa mở rộng (KeyExpansion) phụ thuộc vào

giá trị Nk, chi tiết hàm KeyExpansion được mô tả trong phụ lục A

Ý nghĩa

Phiên bản nguyên thủy Phiên bản mở rộng

1 AddRoundKey Thực hiện việc cộng mã khóa của chu kỳ vào trạng thái

hiện hành

2 SubBytes Thay thế phi tuyến từng byte trong trạng thái hiện hành Dùng bảng thay thế SBox

3 InvSubBytes Phép biến đổi ngược của SubBytes

4 MixColumns Trộn thông tin từng cột trong trạng thái hiện hành 5 InvMixColumn

s

Phép biến đổi ngược của MixColumn

6 ShiftRows Dịch chuyển xoay vòng từng dòng của trạng thái hiện hành với di số tương ứng khác nhau

7 InvShiftRows Phép biến đổi ngược của ShiftRows

Mã khóa chính Được biểu diễn bằng ma trận: 8 K

Nb = độ dài khối / 32 Nb = độ dài khối / 64

Số lượng các từ 32bit trong Mã khóa chính K

NkÎ{4,6,8} 10 Nk

Nk = Độ dài khóa / 32 Nk = Độ dài khóa / 64

11 Nr Số lượng chu kỳ Nr = max(Nb, Nk) + 6

12 RotWord Dịch chuyển xoay vòng 4 bytes thành phần của từ 32 bit 13 SubWord Nhận vào một từ 4 byte Áp dụng phép thay thế dựa vào

SBox cho từng byte Trả về từ 4 byte đã được thay thế 14 XOR Phép toán Exclusive-OR

15 Å Phép toán Exclusive-OR

16 Ä Phép nhân 2 đa thức (bậc < 4) modulo cho đa thức x4+1 17 · Phép nhân trên trường hữu hạn

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Bảng 2-1: Các hàm và ký hiệu sử dụng trong phương pháp Rijndael

2.2.2.1 Quy trình mã hóa Rijndael:

· Thực hiện thao tác AddRoundKey đầu tiên trước khi thực hiện các chu kỳ mã hóa

· Nr–1 chu kỳ mã hóa bình thường: mỗi chu kỳ bao gồm 4 bước biến đổi liên

tiếp nhau: SubBytes, ShiftRows, MixColumns, và AddRoundKey.

· Thực hiện chu kỳ mã hóa cuối cùng: trong chu kỳ này thao tác MixColumns được bỏ qua

v Thuật toán mã hóa Rijndael :

· Dữ liệu vào:

inputBlock: khối dữ liệu cần mã hóa

inputBlockSize: kích thước khối dữ liệu cần mã hóa

cipherKey: khóa chính

cipherKeySize: kích thước khóa chính

· Dữ liệu ra:

outputBlock: khối dữ liệu đã được mã hóa

Thuật toán 2.1: Thuật toán mã hoá theo phương pháp Rijndael

state = inputBlock

cycleCount = max(inputBlockSize, cipherKeySize) + 6 AddRoundKey(state, createCycleKey(cipherKey, 1)) For i = 1 to cycleCount - 1 do

SubBytes(state) ShiftRows(state) MixColumns(state)

AddRoundKey(state, createCycleKey(cipherKey, i)) end for

SubBytes(state) ShiftRows(state)

AddRoundKey(state, createCycleKey(cipherKey, cycleCount)) outputBlock = state

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

2.2.2.2 Quy trình giải mã Rijndael

Quy trình giải mã có thể được thực hiện theo với trình tự các phép biến đổi

ngược hoàn toàn tương đương với quy trình mã hóa[8] Các thao tác ShiftRows,

MixColumns, SubBytes lần lượt được thay thế bằng các thao tác InvShiftRows, InvMixColumns, InvSubBytes

Quá trình giải mã được tóm tắt như sau:

· Thực hiện AddRoundKey

· Thực hiện Nr-1 chu kỳ giải mã bình thường, mỗi chu kỳ gồm 4 bước biến đổi liên tiếp sau: InvShiftRows, InvSubBytes, AddRoundKey, InvMixColumns

· Thực hiện chu kì mã hóa cuối cùng, giống Nr-1 chu kỳ trên nhưng bỏ qua bước InvMixColumns

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

v Thuật toán giải mã Rijndael

· Input:

inputBlock: khối dữ liệu cần giải mã

inputBlockSize: kích thước khối dữ liệu cần giải mã

cipherKey: khóa chính

cipherKeySize: kích thước khóa chính

· Output:

outputBlock: khối dữ liệu đã được giải mã

Thuật toán 2.2: Thuật toán giải mã theo phương pháp Rijndael

2.2.2.3 Đánh giá phương pháp Rijndael

Phương pháp Rijndael có các ưu điểm sau[8]:

· Mã chương trình ngắn gọn, ít tốn bộ nhớ nên dễ dàng áp dụng vào các thiết bị có lượng bộ nhớ giới hạn như thẻ thông minh

· Quá trình mã hóa và giải mã có thể chạy tốt trên các hệ thống xử lý song song

· Kích thước khối dữ liệu linh hoạt 128 / 192 / 256 bit, có thể thay đổi cho phù hợp từng hệ thống cụ thể

state = inputBlock

cycleCount = max(inputBlockSize, cipherKeySize) + 6

AddRoundKey(state, createCycleKey(cipherKey, cycleCount)) For i = cycleCount - 1 to 1 do

InvShiftRows(state) InvSubBytes(state)

AddRoundKey(state, createCycleKey(cipherKey, i)) MixColumns(state)

end for

InvShiftRows(state) InvSubBytes(state)

AddRoundKey(state, createCycleKey(cipherKey, 1)) outputBlock = state

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

.Phương pháp Rijndael vẫn còn một số hạn chế:

· Thời gian giải mã dài hơn thời gian mã hóa

· Bảng Sbox của quá trình giải mã và quá trình mã hóa khác nhau nên cần tốn bộ nhớ để lưu

· Không tận dụng được các đoạn mã của quá trình mã hóa vào quá trình giải mã Điều này dẫn đến hạn chế khi cài đặt phương pháp Rijndael sử dụng phần cứng thiết bị

2.3 Đánh giá các phương pháp mã hóa quy ước

Mã hóa quy ước sử dụng cùng một khóa để mã hóa và giải mã thông tin, do đó để đảm bảo bảo mật thông tin chỉ những người có liên quan mới được biết khóa bí mật Mặc dù hệ thống mã hóa quy ước cung cấp khá nhiều thuật toán mã hóa có độ bảo mật rất cao nhưng mã hóa quy ước có các hạn chế sau:

· Hạn chế về khả năng trao đổi khóa: Do khóa để giải mã và mã hóa cần phải được biết giữa người gởi và người nhận thông tin nên phát sinh vấn đề an toàn khi truyền khóa Nếu khóa quy ước bị lấy cắp trong quá trình truyền khóa thì thông tin được mã hóa bằng khóa đó không còn được bảo mật an toàn Ngoài ra với mã hóa quy ước không thể đảm bảo nguồn gốc thông tin được gởi đến do không thể biết được khóa có bị mất cắp hay không

· Hạn chế về khả năng quản lý khóa: Đối với từng người cần liên lạc và với từng nội dung thông tin cần phải có một khóa quy ước để mã hóa và giải mã Do đó nếu trên một mạng liên lạc lớn, số lượng khóa cần phải lưu giữ rất nhiều nên nảy sinh vấn đề quản lý khóa quy ước và bảo mật thiết bị lưu trữ khóa quy ước

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Chương 3 Mã hóa khóa công khai

Dẫn nhập: Chương 3 giới thiệu về hệ thống mã hóa khóa công khai với hai thuật

toán mã hoá khóa công khai RSA và ECC Chương 3 đề cập đến lý thuyết toán học nền tảng của phương pháp mã hóa công khai Elliptic Curve cùng với việc ứng dụng lý thuyết này vào mã hóa Chương 3 cũng trình bày phần đánh giá, so sánh và ứng dụng của các phương pháp mã hóa khóa công khai

3.1 Giới thiệu mã hóa khóa công khai

Vấn đề phát sinh trong mã hóa quy ước là việc quy ước chung khóa bí mật k

giữa người gởi A và người nhận B Như vậy, bài toán bảo mật dữ liệu sẽ được đưa

về bài toán bảo mật khóa bí mật k khi liên lạc truyền khóa giữa A và B Tuy nhiên, rất khó có thể bảo đảm được sự an toàn của kênh liên lạc nên khóa k vẫn có thể bị

phát hiện bởi người C

Ý tưởng về khóa công khai được Martin Hellman, Ralph Merkle, and Whitfield Diffie tại Đại học Stanford vào năm 1976 Một hệ thống khóa công khai sử dụng hai loại khóa trong cùng một cặp khóa: khóa công khai được công bố rộng rãi và được sử dụng trong mã hóa thông tin, khóa bí mật chỉ do một người nắm giữ và được sử dụng để giải mã thông tin đã được mã hóa bằng khóa công khai Các

phương pháp mã hóa này khai thác những ánh xạ f mà việc thực hiện ánh xạ ngược

f –1 rất khó so với việc thực hiện ánh xạ f.[8]

Năm 1977, trên báo "The Scientific American", Ronald L Rivest, Adi Shamir và Leonard M Adleman đã giới thiệu phương pháp RSA là một phương pháp mã hóa khóa công khai sử dụng trong mã hóa và chữ ký điện tử RSA nhanh chóng trở thành chuẩn mã hóa khóa công khai trên toàn thế giới do tính an toàn và khả năng ứng dụng của nó

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Xét mô hình mã hóa khóa công khai sau:

Hình 3-1: Mô hình hệ thống mã hóa khóa công khai

Người gởi A sử dụng khóa công khai pk của người nhận B để mã hóa dữ liệu gốc x Dữ liệu sau khi được mã hóa y được truyền cho B Người nhận B sau khi nhận được y sẽ sử dụng khóa riêng sk của mình để giải mã dữ liệu và nhận lại dữ liệu nguồn x ban đầu

Nếu một người C có được dữ liệu đã mã hóa y và khóa công khai pk thì C vẫn không thể giải mã được y Do khóa riêng sk được giữ bí mật hoàn toàn, chỉ có người B biết được sk và sk không được giao dịch hay truyền đi nên rủi ro dẫn đến việc khóa riêng sk bị đánh cắp là rất thấp Đây chính là ưu điểm nổi bật của mã hóa khóa

công khai

v Quá trình tạo khóa công khai như sau:

· Tạo ngẫu nhiên hai giá trị số nguyên tố lớn khác nhau p và q

· Tính giá trị n = p´q và f(n) = (p–1) (q–1)

· Chọn số mũ công khai e (1 < e < f(n)) nguyên tố cùng nhau với f(n)

· Tính số mũ bí mật d sao cho e´d º 1 (mod f(n))

· Giá trị khóa công khai chính là (n, e) Giá trị khóa riêng là d

trong đó :

n RSA modulus

e số mũ mã hóa (encryption exponent)

d số mũ giải mã (decryption exponent)

Nếu hệ thống RSA sử dụng số n có chiều dài k bit thì được gọi là hệ thống RSA

k-bit

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

3.2.1 Mô hình mã hóa dữ liệu với RSA

Gọi (n, e) là khóa công khai, d là khóa riêng của người nhận B Người gởi A có nhu cần mã hóa và gởi thông điệp m cho người nhận B

v Quá trình mã hóa:

· A nhận giá trị khóa công khai của B

· Biểu diễn thông điệp m dưới dạng một số nguyên trong khoảng [0 n-1] Nếu thông điệp m quá dài, chia m thành từng khối có kích thước phù hợp để mã

hóa

· Tính giá trị c = me mod n

· A chuyển thông điệp đã mã hóa c cho B

v Quá trình giải mã:

· B nhận thông điệp c đã mã hóa

· Sử dụng khóa riêng d để tính giá trị m = cd mod n

3.2.2 Mô hình trao đổi khóa theo RSA

Một trong những ứng dụng của phương pháp RSA là dùng nó trong việc trao đổi khóa Trong mô hình này, giả sử A cần trao đổi khóa bí mật K với B, A sẽ tiến hành các bước như sau:

· A nhận khóa công khai (n, e) từ B

· A dùng khóa công khai này để mã hóa khóa bí mật K bằng phương pháp RSA:

Y = Kn

· Khóa bí mật đã được mã hóa Y được chuyển cho B

· B dùng khóa riêng d để giải mã Y bằng phương pháp RSA: mod

K Y= n

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

3.3 Phương pháp ECC (Elliptic Curve Cryptography)

3.3.1 Lý thuyết Elliptic Curve

Hệ thống mã hóa khóa công khai dựa trên việc sử dụng các bài toán khó giải quyết Vấn đề khó ở đây chính là việc số lượng phép tính cần thiết để tìm ra một lời giải cho bài toán là rất lớn Trong lịch sử 20 năm của ngành mã hóa quy ước đã có nhiều đề xuất khác nhau cho dạng bài toán như vậy, tuy nhiên chỉ có hai trong số các đề xuất đó còn tồn tại vững đến ngày này Hai bài toán đó bao gồm: bài toán logarit rời rạc (The discrete logarithm problem) và bài toán phân tích thừa số của số nguyên

Cho đến năm 1985, hai nhà khoa học Neal Koblitz và Victor S Miller đã độc lập nghiên cứu và đưa ra đề xuất ứng dụng lý thuyết toán học elliptic curve (đường cong elip) trên trường số hữu hạn (finite field)[21]

Elliptic curve – cũng như đại số hình học – được nghiên cứu rộng rãi trong vòng 150 năm trở lại đây và đã đạt được một số lý thuyết có giá trị.1 Elliptic Curve

được phát hiện lần đầu vào thế kỷ 17 dưới dạng công thức Diophantine:y2 – x3 = c với c Î Z

Tính bảo mật của hệ thống mã hóa sử dụng elliptic curve dựa trên điểm mấu chốt là độ phức tạp của bài toán logarit rời rạc trong hệ thống đại số Trong suốt 10 năm gần đây, bài toán này nhận được sự quan tâm chú ý rộng rãi của các nhà toán học hàng đầu trên thế giới Không giống như bài toán logarit rời rạc trên trường hữu hạn hoặc bài toán phân tích thừa số của số nguyên, bài toán logarit rời rạc trên elliptic curve chưa có thuật toán nào có thời gian thực hiện nhỏ hơn cấp lũy thừa Thuật toán tốt nhất được biết cho đến hôm nay tốn thời gian thực hiện cấp lũy thừa.[22]

Nội dung phần này đề cập đến một số lý thuyết về elliptic curve

1http://www.certicom.com/index.php?action=ecc_tutorial,ecc_tut_1_0

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

3.3.1.1 Công thức Weierstrasse và Elliptic curve

Gọi K là một trường hữu hạn hoặc vô hạn Một đường cong elliptic curve được định nghĩa trên trường K bằng công thức Weierstrass:

y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6 ( 3.1)

trong đó a1, a2, a3, a4, a6 Î K

Elliptic curve trên trường K được ký hiệu E(K) Số lượng các điểm nguyên trên E ký hiệu là #E(K), có khi chỉ đơn giản là #E Đối với từng trường khác nhau, công thức Weierstrass (1) có thể được biến đổi và đơn giản hóa thành các dạng khác nhau Một đường elliptic curve là tập hợp các điểm thỏa công thức ( 3.1)

Hình 3-2: Một ví dụ về elliptic curve

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

3.3.1.2 Elliptic Curve trên trường R2

Elliptic curve E trên trường số thực R là tập hợp các điểm dưới dạng (x, y) với x, y, a4,a6Î R thoả mãn công thức: y2 = x3 + a4x + a6 ( 3.2) cùng với một điểm đặc biệt O được gọi là điểm tại vô cực (cũng là phần tử identity) Cặp giá trị x, y đại diện cho một điểm trên elliptic curve và tạo nên mặt phẳng tọa độ 2 chiều (affine) R´R Elliptic curve E trên R2 được gọi là định nghĩa trên R, ký hiệu là E(R) Elliptic curve trên số thực có thể dùng để thể hiện một nhóm (E(R), +)

bao gồm tập hợp các điểm (x, y) Î R ´ R với phép cộng + trên E(R)

3.3.1.2.1 Phép cộng

Phép cộng điểm (ESUM, cũng được gọi là phép cộng curve) được định nghĩa

trên tập E(R) của các điểm (x, y) Điểm tại vô cực O là điểm cộng với bất kỳ điểm

nào cũng sẽ ra chính điểm đó

Như vậy,." P = (x, y) Î E(R), P + O = O + P = P:

" P(x, y) Î E(R) : ±y = x3 +a4x+a6 ( 3.3)

Như vậy, với 1 giá trị x ta sẽ có 2 giá trị toạ độ y

Điểm (x, -y) ký hiệu là -PÎE(R), được gọi là điểm đối của P với:

P + (- P) = (x, y) + (x, -y) = O ( 3.4)

Hình 3-4: Phép cộng trên elliptic curve

KHOA CNTT –

ĐH KHTN

Để tìm điểm R, ta nối R và Q bằng đường thẳng L Đường thẳng L sẽ cắt E

tại 3 điểm P, Q và -R(x, y) Điểm R(x, -y) sẽ có tung độ là giá trị đối của y

Thể hiện phép cộng elliptic curve dưới dạng đại số, ta có:

P = (x1, y1)

Q = (x2, y2) ( 3.5)

R = P + Q = (x3, y3) trong đó P, Q, R Î E(R) và:

x3 = q2 – x1 – x2

y3 = q (x1 + x3) – y1 ( 3.6)

q =

nếu P ≠ Q ( 3.7)

hoặc q =

yax +

nếu P = Q ( 3.8) v Thuật toán cộng elliptic curve có thể được thể hiện như sau:

Thuật toán 3.1: Thuật toán cộng điểm Elliptic Curve

INPUT: Đường elip E(R)với các tham số a4, a6 Î E(R) , Điểm P = (x1, y1)ÎE(R) và Q = (x2, y2)ÎE(R) OUTPUT: R=P+Q, R = (x3, y3)ÎE(R)

1 Nếu P = O , thì R < - Q và trả về giá trị R

2 Nếu Q = O , thì R <- P và trả về giá trị R 3 Nếu x1 = x2 thì

3.1 Nếu y1 = y2 thì

q <-

yax +

3.2 Ngược lại nếu y1 = - y2 thì R <- O và trả về R, Ngược lại

q <-

4 x3 = q2 – x1 – x2 5 y3 = q(x1 + x3) – y1

6 Trả về(x3, y3) = R