Tính giải lồi và bài toán levi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN TRẦN THỊ HIÊN TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TOÁN LEVI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN TRẦN THỊ HIÊN TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TỐN LEVI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ TÀI THU Hà Nội - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Lê Tài Thu, luận văn chun ngành Tốn giải tích với đề tài:”Tính giả lồi tốn Levi” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, 05 tháng 06 năm 2016 Học viên Trần Thị Hiên Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Tài Thu, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để tơi hồn thành luận văn Do thời gian khả cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý thầy giáo, cô giáo bạn Hà Nội, 05 tháng 06 năm 2016 Học viên Trần Thị Hiên Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.1.1 Khái niệm hàm chỉnh hình 1.1.2 Các tính chất đơn giản hàm chỉnh hình 1.1.3 Miền hội tụ chuỗi lũy thừa 1.2 Định lý Hartogs 13 1.3 Miền chỉnh hình lồi chỉnh hình 18 1.3.1 Miền chỉnh hình 18 1.3.2 Miền lồi chỉnh hình 22 Tính giả lồi toán Levi 2.1 26 Miền giả lồi 26 2.1.1 Hàm đa điều hòa 26 2.1.2 Bao đa điều hòa 28 2.2 Bài toán Levi gốc 31 2.3 Đa tạp Stein 32 2.4 Tập mở Stein địa phương 34 2.5 Dãy tăng tập mở Stein 42 ii 2.6 Bài toán Serre 44 2.7 Biên giả lồi yếu 57 2.8 Điều kiện đường cong 64 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 69 iii Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích phức hướng nghiên cứu toán học Một số nhà toán học tiếng nghiên cứu lĩnh vực Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass nhiều nhà tốn học khác kỷ 20 Giải tích phức hay gọi lý thuyết hàm biến phức nhánh toán học nghiên cứu hàm số hay nhiều biến Giải tích phức có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, có lý thuyết số tốn ứng dụng Một hướng nghiên cứu giải tích phức tính giả lồi tốn Levi Bài tốn Levi nghiên cứu nhiều, nhiên vài dạng chung toán Levi chưa đươc giải Vì thế, tơi chọn đề tài “TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TOÁN LEVI” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính giả lồi tốn Levi Mục đích nghiên cứu Luận văn tìm hiểu sâu định lý, định nghĩa tính chất vấn đề liên quan tới tính giả lồi tốn Levi Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ luận văn thảo luận phát triển lý thuyết hàm nhiều biến phức phát sinh từ vấn đề Levi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Miền chỉnh hình nhiều biến, miền giả lồi, điều kiện đường cong, Đóng góp đề tài Luận văn trình bày hệ thống miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình, tính giả lồi, tốn Levi, Serre tính chất liên quan Phương pháp nghiên cứu Áp dụng số phương pháp giải tích phức, vận dụng kết hình học giải tích, giải tích phức nhiều biến Hà Nội, ngày 05/06/2016 Học viên TRẦN THỊ HIÊN Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.1.1 Khái niệm hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1 Hàm l : Cn −→ C gọi R - tuyến tính (tương ứng C - tuyến tính) (a) l(z + z ) = l(z ) + l(z ), ∀z , z ∈ Cn , (b) l(λz) = λ(z), ∀λ ∈ R (tương ứng ∀λ ∈ C Hiển nhiên hàm l : Cn −→ C, R - tuyến tính C− tuyến tính l(iz) = i(lz), ∀z ∈ Cn Trong trường hợp l(λz) = λ(z) ta nói C - phản tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Hàm f : Ω −→ C, Ω mở Cn , gọi R khả vi (tương ứng C - khả vi) z ∈ Ω f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h) (1.1) l R - tuyến tính (tương ứng C - tuyến tính) 0(h) −→ h −→ h Hàm l (nếu tồn nhất) gọi R - đạo hàm (tương ứng C - đạo hàm f z) kí hiệu f (z) hay df (z) Bằng cách viết zj = xj + iyj ; z j = xj − iyj , j = 1, n Ta có dzj + dz j · dzj − dz j dz j = dxj − idyj ⇒ dyj = · 2i dzj = dxj + idyj ⇒ dxj = Do n df = j−1 Ta có n df = j−1 ∂f ∂zj = ∂f ∂xj ∂f − i ∂y j ∂f ∂f dxj + dy · ∂xj ∂y j j ∂f ∂f dzj + dz j ∂zj ∂z j ∂f ∂z j = ∂f ∂xj (1.2) ∂f + i ∂y , j = 1, n j Nếu tổng thứ vế phải (1.2) kí hiệu ∂f cịn tổng thứ kí hiệu ∂f df = ∂f + ∂f (1.3) Định lý 1.1.1 Hàm R - khả vi z ∈ Cn - khả vi ∂f = (1.4) B n (r) hình cầu Cn với bán kính r tâm Cho r˜ số dương đủ lớn cho B n (˜ r) chứa bao lồi chỉnh hình ∪j gj (B n (r)) Cn Khi đó, MV0 (r, w0 ) hàm tăng chặt r V0 khác số , nên r˜ ≤ r2σ với r đủ lớn Mâu thuẫn tự đẳng cấu gj đủ xoắn thay đổi dạng B n (r) Chẳng hạn, n = 2, N = 8, gj (z1 , z2 ) = (z1 , z2 exp(αj , z1 )), gj+4 (z1 , z2 ) = (z1 exp(αj , z2 ), z2 ), ≤ j ≤ 1, αj nghiệm thứ đơn vị 2.7 Biên giả lồi yếu Một câu hỏi đặt là: Một miền với biên giả lồi trơn giả lồi chặt điểm biên có lồi chỉnh hình khơng? Ta đưa ví dụ để đưa câu trả lời phủ định cho câu hỏi Ví dụ 2.7.1 Cho R đa tạp đại số xạ ảnh compact với H (R, O) = Cho G phân thớ đường thẳng chỉnh hình âm R Cho Y ⊂ G tiết diện giao với G Bằng cách thêm vào hữu hạn điểm vào thớ G, ta thu phân thớ chỉnh hình α : X −→ R với P1 thớ Cho β : X −→ X ánh xạ xuống Y điểm X không gian đại số xạ ảnh Cho L phân thớ thẳng chỉnh hình âm X Ta cho L metric Hermitan mà dạng đường cong âm chặt Cho P phân thớ thẳng chỉnh hình R cho P topo tầm thường lũy thừa tensor P tầm thường chỉnh hình (Ví dụ R hình xuyến, P điểm biến đổi Picard mà phép nhân tích phân khác 0) Do hàm chuyển P chọn hàm giá trị tuyệt đối Nên ta trang bị cho P metric Hermitan mà dạng đường cong đồng 57 Cho γ : F −→ X phân thớ đường thẳng chỉnh hình β ∗ (L) ⊗ α∗ (P ), mang metric Hermitian cảm sinh L P Cho Ω tập vecto F với chuẩn nhỏ Khi biên Ω giả lồi hầu khắp nơi giả lồi chặt điểm ∂Ω − γ −1 (Y ) Ta cần Ω ∩ γ −1 (Y ) khơng nhận hàm chỉnh hình khác số khơng thể lồi chỉnh hình Với α cảm sinh ánh xạ song chỉnh hình từ Ω ∩ γ −1 (Y ) vào tập mở D P chứa tất vecto có chuẩn nhỏ P Nếu có hàm chỉnh hình khác số Ω ∩ γ −1 (Y ) có hàm chỉnh hình f khác số D Bây ta mở rộng f chuỗi lũy thừa tới thớ P Hệ số fk thứ k chuỗi lũy thừa tiết diện giao chỉnh hình P −k R Do lớp Chern P −k = P −k tầm thường khơng chỉnh hình với k = 0, suy fk đồng với k = 0, mâu thuẫn với f khác số Định lý 2.7.1 Cho Ω tập mở Stein địa phương đa tạp X Nếu biên Ω điểm b trơn giả lồi chặt Ω Stein Chứng minh Giả sử Ω không Stein Theo kết Hirschowwitz, có đường cong tích phân Γ Ω Ta nối điểm a ∈ Γ với b đường cong trơn γ : [0, 1] −→ X cho γ(t) ∈ Ω với ≤ t < Ta tìm đường cong trơn σ : [0, 1] −→ G cho σ(0) phần tử đơn vị G γ(t) ảnh σ(t)a a σ(t) Ta cần chứng minh σ(t)Γ ⊂ Ω với ≤ t < Tức chứng minh t 58 tiến tới t∗ [0, 1) từ bên phải cho σ(tν )Γ ⊂ Ω σ(t∗ )Γ ⊂ Ω Theo kết Hirschowitz ta xây dựng hàm khoảng cách d tới X − Ω cho − log d đa điều hòa Ω Cho c cận γ(tν ) Do σ(tν )Γ ảnh chỉnh hình compact tương đối C nên hàm đa điều hòa − log d số σ(tν )Γ σ(tν )Γ ⊂ {d ≥ c} Do σ(t∗ )Γ ⊂ Ω Nó suy từ 0≤t Do ta mở rộng chuỗi lũy thừa g z có dạng g(z) = az p + 0(|z|p+1 ) với p ≥ a = Dễ dàng thử lại trực tiếp ρ(z, g(z)) âm vài nơi lân cận mở 0, mâu thuẫn với rời {f = 1} Ω Thực tế, khơng có hàm giá chỉnh hình f lân cận mở U C theo nghĩa, h(0) = U ∩ Ω rời với {h = 0} Bằng cách điều chỉnh ví dụ Kohn - Nirenberg, Fornaess thu miền Ω C xác định Re w + |zw|2 + |z|6 + |z|2 Re z < 61 với biên giả lồi chặt ngoại trừ khơng nhận hàm tối đại yếu địa phương f khác số 0, chí cịn f C lân cận mở U chỉnh hình U ∩ Ω Tuy nhiên câu trả lời chưa biết Định nghĩa 2.7.1 Cho Ω miền Cn xác định r < với r lớp C∞ dr = biên M Ω Giả sử Ω giả lồi yếu điểm M Cho T tập tất trường vecto tiếp xúc lớp C∞ M có dạng n ∂ i=1 ∂zi Quy nạp cho L1 = T + T (T tập phần tử liên hợp T ) Lµ đoạn Lie [X, Y ] với X ∈ L1 Y ∈ Lµ−1 Một điểm P M gọi loại m ∂r(P ), X(P ) = 0, ∀X ∈ Lm , Y ∈ Lm+1 , ∂r(P ), Y (P ) = Theo kết Bloom - Grahan, điều tương đương với điều kiện đa tạp phức số đối chiều lân cận mở P Cn tiếp xúc tới M P tới bậc m khơng có bậc cao Nói cách khác, điều kiện hệ tọa độ địa phương có tâm P, r = Re zn + ϕ, ϕ triệt tiêu P tới bậc lớn bậc thấp số hạng chuỗi lũy thừa mở rộng ϕ P không nâng lên lũy thừa zn m + khơng có hệ tọa độ địa phương khác P chúng thay m số lớn Giả sử gốc Cn thuộc M r = Re zn + 0(|z|2 ) gần Định lý 2.7.2 (Hakim - Sibony) Nếu m - loại với m hữu hạn tồn hàm tối đại địa phương khác số lớp C∞ Ω chỉnh hình Ω, tồn đa thức chỉnh hình g(z1 , , zn−1 ) 62 Cn−1 cho đa thức (giải tích thực) khác chuỗi lũy thừa mở rộng r(z, , zn−1 , g) không âm hầu khắp nơi Cn−1 Định lý 2.7.3 Nếu có đa tạp phức lân cận mở số đối chiều lân cận mở Cn giao với Ω 0, tồn hàm tối đại (mạnh) liên tục Theo Behnke - Thullen, có miền Stein bị chặn mà bao đóng topo khơng có sở lân cận Stein Một ví dụ đơn giản miền |z| < |w| < C2 , miền Stein chứa chứa gốc phải chứa song đĩa Nó câu hỏi mở Diederich Fornaess xây dựng ví dụ quan mà bao đóng topo miền Stein bị chặn Cn với biên trơn nhận sở lân cận Stein Trong ví dụ họ, miền Ω C xác định |w + exp(i log |z|2 )|2 + λ(|z|−2 − 1) + λ(|z|2 − r2 ) < r số đủ lớn λ hàm không âm trơn R cho λ(x) = với x < , λ (x) > với x > λ đủ lồi {x > 0} Mỗi miền Stein chứa Ω chứa tập {eπ < |z| < e2π , |w| < 2} không chứa Ω Điều xảy với a ∈ [1, eπ ], tập sau {|z| = a, |w + exp(ia2 )| ≤ 1}, {|z| = ae2π , |w + exp(ia2 )| ≤ 1}, {a ≤ |z| ≤ ae2π , w = 0} 63 chứa ∂Ω Hợp tập "khung" dấu hiệu Hartog Do hàm chỉnh hình lân cận mở tập mở rộng tới hàm chỉnh hình lân cận mở Ka := {a ≤ |z| ≤ ae2π , |w + exp(ia2 )| ≤ 1} Tập {eπ < |z| < e2π , |w| < 2} chứa ∪{Ka |1 ≤ a ≤ eπ } Định lý 2.7.4 Bao đóng topo miền Stein bị chăn Cn với biên giải tích thực trơn có sở lân cận Stein 2.8 Điều kiện đường cong Điểm tốn Levi để chứng minh tính Stein giả thiết tính Stein địa phương tính giả lồi biên tồn hàm vét cạn đa điều hòa Dưới ta ta chứng minh tính Stein từ điều kiện hình học vi phân, điều kiện đường cong Định lý 2.8.1 Giả sử Ω miền (hoặc khoảng trên) Cn với biên giải tích thực Nu nhn mt metric Kăahler y thỡ l Stein Định lý khơng cịn khơng có điều kiện tính trơn biên Ω Grauert xõy dng metric Kăahler y trờn Cn nh sau Đặt x f (x) = x + ϕ(z) = f (|z|2 ) Khi dλ λ λ (µ − 1)2 dµ µ(log µ)2 ∂2ϕ i,j ∂zi ∂z j dzi ⊗ dz j 64 metric Kăahler cn tỡm Chng minh Ta s chng minh tính Stein Ω cách − log khoảng cách Euclidean tới biên Ω đa điều hịa Bằng cách sử dụng tính giải tích thực biên Ω, để rút gọn chứng minh ta có phát biểu sau "Nếu R1 (z1 ), R2 (z1 ) hàm lớp C {|z1 | < 1} với R1 (z1 ) < |z2 | < R2 (z1 ) miền D lớp C xác định |z1 | < 1, R1 (z1 ) < z2 < R2 (z1 ) mang mt metric Kăahler y thỡ log R2 (z1 ) điều hòa {|z1 | < 1}" Ta chứng minh phát biểu phản chứng Giả sử Laplacian − log R2 (z1 ) âm z10 Khơng tính tổng qt, giả sử z10 = Bng cỏch ly trung bỡnh metric Kăahler nhóm tác động Tθ : (z1 , z2 ) −→ (z1 , z2 eiθ ), (θ ∈ R), không mt tớnh tng quỏt, gi s metric Kăahler bt bin Tθ Xét miền ống G lớp C2 (với tọa độ w1 , w2 = u + iv) xác định |w1 | < log R1 (w1 ) < u < log R2 (w2 ) G phủ topo D qua ánh xạ z1 = w1 , z2 = ew2 Do ta có metric Kăahler hà dwà dw trờn G vi hà độc lập với v Chọn hàm lớp C2 R(w1 ) |w1 | < với R1 < R < R2 Ta cần có hàm ton b trờn G vi metric Kăahler cho ∂ϕ ∂u >0 {|w1 | < 12 , log R(w1 ) < u < log R2 (w2 )} Điều kin Kăahler ch rng dng w = h1,2 dw1 + h2,1 dw1 + 2h2,2 du đóng Chọn w0 ∈ G xác định ψ(w) = Từ điều kiện Kăahler, suy w1 w1 w w0 w + C (ở C = const) − h1,1 không phụ thuộc vào w2 Vì 65 ta tìm f G cho ∂ 2f ∂ 2ψ = − h1,1 ∂w1 ∂w1 ∂w1 ∂w1 Do h2,2 > suy ta chọn C đủ lớn để ϕ = ψ − f thỏa mãn điều kiện cần tìm Với r ∈ (0, 21 ), Laplacian − log R2 (w1 ) âm {|w1 | < r} Đặt ρ(w1 ) hàm trơn {|w1 | < r} cho ρ ≡ {|w1 | ≤ 2r } ρ(w1 ) < { 2r < |w1 | < 1} Cho σ = ρ log R2 , Laplacian σ(w1 ) dương {|w1 | < s} với s > 2r Cho H miền ống lớp C2 xác định {|w1 | < s} log R(w1 ) − σ(w1 ) < u < log R2 (w1 ) − σ(w1 ) Cho Φ(w1 , w2 ) = ϕ(w1 , w2 − σ(w1 )) Ta thử lại dễ dàng rằng, tính dương ∂2σ ∂w1 ∂w1 ∂ϕ ∂u , Φ ( wà w )dwà dw l metric Kăahler trờn H ν Hơn nữa, metric điểm biên H với |w1 | < s u = log R2 (w1 ) − σ(w1 ) khoảng cách vơ hạn tới điểm H Lấy r < λ < s số dương δ đủ nhỏ cho log R(w1 ) − σ(w1 ) < −δ với |w1 | < λ Áp dụng nh lý Stoke vi o hm ngoi dng Kăahler ca H với tập {|w1 | < λ, −δ ≤ u ≤ t, v = 0} với −δ < t < 0, ta thu với −δ < t < miền ∆t := {|w1 | < λ, w = t} 66 bị chặn tổng miền ∆−s {|w1 | = λ, −δ ≤ u ≤ 0, v = 0} số hữu hạn Điều mâu thuẫn ta cho t tiến tới từ bên phải, điểm tập mở {|w1 | ≤ 2r , w2 = 0} ∆0 điểm biên H mà có khoảng cách vơ hạn từ điểm H Do với miền tổng quát Cn , s tn ti ca metric Kăahler y khụng đảm bảo tính Stein nên ta cần thêm điều kiện Đó điều kiện đường cong Do đường cong tiết diện chỉnh hình (cũng song tiết diện) đa tạp phức nhỏ đường cong tiết diện chỉnh hình đa tạp xung quanh đa tạp Stein đa tạp phức không gian Euclidean phức, nên ta sử dụng tính âm đường cong điều kiện Định lý 2.8.2 (Griffiths-Shiffman) Giả sử M đa tạp Hermitian đầy với đường cong tiết diện chỉnh hình không dương Ω miền khoảng Cn Khi ánh xạ chỉnh hình từ Ω tới M mở rộng tới ánh xạ chỉnh hình từ bao chỉnh hình Ω tới M Tương đương, miền khoảng Cn Stein nhận metric Hermitian đầy đường cong tiết diện chỉnh hình khơng dương nh lý 2.8.3 (Greene-Wu) Cho M l a Kăahler đầy Khi M đa tạp Stien thỏa mãn điều kiện sau: 67 (i) M liên thông đơn đường cong tiết diện nhỏ (ii) M không compact, đường cong tiết diện lớn lớn ngồi tập compact (iii) M không compact, đường cong tiết diện lớn đường cong song tiết diện chỉnh hình lớn (iv) M khơng compact, đường cong Ricci lớn 0, đường cong tiết diện lớn phân thớ tắc tầm thường 68 Kết luận Luận văn em trình bày cách hệ thống kiến thức hàm chỉnh hình nhiều biến, tính giả lồi, toán Levi, toán Serre điều kiện đường cong Rất mong đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hồn thiện Em xin chân thành cám ơn! 69 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [2] A Andreotti and R Narasimhan (1964), “Oka’s Heftungslemma and the Levi problem for complex spaces”, Trans Amer Math Soc 111, [345-366] [3] Andreotti and E Vesentini (1965), Carleman estimates for the Laplacian-Beltrami equation on complex manifolds, Inst Hautes Etudes Sci Publ Math 25, [91-130] [4] E Bedford and J E Fornaess (1978), A construction of peak functions on weakly pseudiconvex domains,Ann Of Math [5] H Behnke and K Stein (1939), Konvergent Folgen von Regularitatsbereich und die Meromophiekonvexitat, Math Ann 116, [204-216] [6] J Nocedal, S J Wright (1999), Numerical Optimization, Springer-Verlag, New York 70 [7] Yum-Tong Siu (1978), "Pseudoconvexity and the problem of Levi", American Mathematical society, Volume 84, Number 4, July 71 ... biến Giải tích phức có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác tốn học, có lý thuyết số toán ứng dụng Một hướng nghiên cứu giải tích phức tính giả lồi toán Levi Bài toán Levi nghiên cứu nhiều, nhiên vài... chung toán Levi chưa đươc giải Vì thế, tơi chọn đề tài “TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TỐN LEVI? ?? để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Tính giả lồi tốn Levi. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN TRẦN THỊ HIÊN TÍNH GIẢ LỒI VÀ BÀI TỐN LEVI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG