Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö sau: Böôùc 1 : Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái..[r]
(1)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài viết được chia làm phần lớn:
Phần I : Sơ lược toán liên quan đến đồ thị hàm số
Phần II : Hệ thống hóa dạng tốn thường gặp khảo sát hàm số
Phần I: SƠ LƯỢC CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.BÀI TỐN 1: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CĨ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TĨM TẮT GIÁO KHOA
Phương pháp chung:
Để vẽ đồ thị hàm số có mang dấu giá trị tuyệt đối ta thực sau: Bước 1: Xét dấu biểu thức chứa biến bên dấu giá trị tuyệt đối
Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối
Phân tích hàm số cho thành phần khơng có chứa dấu giá trị tuyệt đối ( Dạng hàm số cho nhiều công thức)
Bước 3: Vẽ đồ thị phần ghép lại( Vẽ chung hệ trục tọa độ)
* Các kiến thức thường sử dụng: Định nghĩa giá trị tuyệt đối :
< −
≥ =
0 A neáu
0 A neáu
A A A Định lý bản:
± = ≥ ⇔ =
B A B B
A
3 Một số tính chất đồ thị:
a) Đồ thị hai hàm số y=f(x) y=-f(x) đối xứng qua trục hoành b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
(2)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 2 * Ba dạng bản:
Bài tốn tổng quát:
Từ đồ thị (C):y=f(x), suy đồ thị hàm số sau: = = = ) ( : ) ( ) ( : ) ( ) ( : ) ( x f y C x f y C x f y C
Dạng 1: Từ đồ thị (C):y= f(x)→(C1): y= f(x) Cách giải
B1 Ta coù :
< − ≥ = = (2) f(x) neáu (1) f(x) neáu ) ( ) ( ) ( : ) ( 1 x f x f x f y C
B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C1) sau:
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) ) • Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C1)
Minh hoïa
Dạng 2: Từ đồ thị (C):y= f(x)→(C2):y= f(x)) ( hàm số chẵn) Cách giải
B1 Ta coù :
< − ≥ = = (2) x neáu (1) x neáu ) ( ) ( ) ) ( : ) ( 2 x f x f x f y C
B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C2) sau:
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( (1) ) • Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do tính chất hàm chẵn ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta đươcï (C2)
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-8 -6 -4 -2 x y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-8 -6 -4 -2 x y
(C): y = x3-3x+2
2 :
)
(
1 y= x − x+ C
y=x3-3x+2
(3)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 3 Minh hoïa:
x
Dạng 3: Từ đồ thị (C):y= f(x)→(C3): y = f(x)
Cách giải
B1 Ta coù :
− = =
≥ ⇔
=
(2)
(1)
) (
) ( ) ( )
( :
) ( 3
x f y
x f y
x f x
f y C
B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C3) sau:
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) ) • Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) ) • Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C3)
Minh họa:
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số : y=−x3 +3x (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm số sau:
x x y
a) = − +3 b)
x x
y=− +3 c) y =−x3 +3x f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-6 -4 -2
x y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-8 -6 -4 -2
x y
(C): y = x3-3x+2
2 :
)
(C2 y= x3− x+
y=x3-3x+2
y=x3-3x+2 x
y y
x
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-8 -6 -4 -2
x y
y = x3-3x+2
y=x3-3x+2
x
y f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=-(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-8 -6 -4 -2
x y
(C): y = x3-3x+2 2 3 :
)
(C3 y =x3− x+
x y
(4)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 4 Bài 2: Cho hàm số :
1 − + =
x x
y (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm số sau:
1 )
− + =
x x y
a b)
1 − + =
x x
y c)
1 − + =
x x
y d)
1 − + =
x x
y e)
1 − + =
x x y
2.BÀI TỐN : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán tổng quát:
Trong mp(Oxy) Hãy xét tương giao đồ thị hai hàm số :
2
(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)
=
=
(C1) vaø (C2) điểm chung (C1) (C2) cắt (C1) (C2) tiếp xúc
Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1)
* Khảo sát nghiệm số phương trình (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2)
Ghi nhớ: Số nghiệm pt (1) = số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2)
Chú ý :
* (1) vô nghiệm ⇔ (C1) (C2) điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm ⇔ (C1) (C2) có n điểm chung
Chú ý :
* Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ điểm chung (C1) (C2)
Khi tung độ điểm chung y0 = f(x0) y0 = g(x0)
x
y y y
x x
O O
O
) (C1
) (C2
) (C1
) (C2
1
x x2
1
M y2 M2
y M0
) (C2
) (C1
x y
0 y
0
(5)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 5 Áp dụng:
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C):
1
+ − =
x x
y đường thẳng (d):y=−3x−1
Minh hoïa:
`
b Điều kiện tiếp xúc đồ thị hai hàm số : Định lý :
(C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ : ' ' f(x) g(x) f (x) g (x)
=
=
có nghiệm
Áp dụng:
Ví dụ: Cho (P): y=x2 −3x−1 vaø
1 :
) (
2 −
− + − =
x x x y
C Chứng minh (P) (C) tiếp xúc Minh họa:
f(x)=(2*x-1)/(x+1) f(x)=-3*x-1 x(t )=-1 , y(t )=t f(x)=2
-20 -15 -10 -5 10 15 20 25
-20 -15 -10 -5 10 15
x y
1 : ) (
+ − =
x x y C
1 :
)
(d y =− x−
M
O ∆
) (C1
) (C2 y
x
f(x)=x^2-3*x-1 f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)
-20 -15 -10 -5 10 15 20 25 -5
5 10 15
x y
)
(6)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 6 BAØI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số y=(x−1)(x2+mx m+ ) (1)
Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 2: Cho hàm số y=2x3−3x2−1 (C)
Gọi (d) đườngthẳng qua điểm M(0;-1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) ba điểm phân biệt
Baøi 3: Cho hàm số y= x3 −3x+2 (C)
Gọi (d) đườngthẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) ba điểm phân biệt
Bài : Cho hàm số y=x4 −mx2+m−1 (1)
Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 5: Cho hàm số 2
2
x x
y
x
− +
=
− (1)
Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt Bài 6: Cho hàm số
1
+ − − =
x x x
y (1)
Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số
2 4 1
x x
y x
+ +
= +
Tìm giá trị m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị
Baøi 8: Cho hàm số
2
mx x m
y
x
+ + =
− (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương
Bài 9: Cho hàm số
2 1
x mx
y
x
+ −
=
− (1)
Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B cho OA⊥OB
Bài 10: Tìm m để tiệm cận xiên hàm số
2 1
x mx
y
x
+ −
=
− cắt trục toạ độ hai điểm A,B cho diện tích tam giác OAB
Bài 11: Cho hàm số
2 3
x y
x
+ =
+
Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2;2
5) cho (d) cắt đồ thị (C) hai điểm
phân A,B M trung điểm AB Bài 12: Cho hàm số
) (
3
− − + − =
x x x
y (1)
Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A,B cho AB=1 Bài 13: Cho hàm số y=(x−1)(x2 +mx m+ ) (1)
(7)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 7 Baøi 14: Cho hàm số
1 −
+ − =
x x x
y Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) tiếp xúc với đồ thị hàm số
Baøi 15: Cho hàm số
2
− + − =
x x x
y (C)
Tìm (C) tất cặp điểm đối xứng qua điểm ;1) (
I
Bài 16: Cho hàm số
1 2
− + − =
x x x
y (C) hai đường thẳng (d1):y=−x+m&(d2):y=x+3 Tìm tất giá trị m để (C) cắt (d1) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua (d2)
Bài 17: Cho hàm số
x x
y = +4 (1)
Chứng minh đường thẳng (d):y=3x+m cắt (C) hai điểm phân biệt A,B Gọi I
trung điểm đoạn thẳng AB, tìm m để I nằm đường thẳng (∆):y =2x+3
3.BÀI TỐN 3: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG a Dạng 1:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) điểm M (x ; y ) (C)0 0 0 ∈
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0;y0) có dạng:
y - y0 = k ( x - x0 )
Trong : x0 : hồnh độ tiếp điểm
y0: tung độ tiếp điểm y0=f(x0)
k : hệ số góc tiếp tuyến tính cơng thức : k = f'(x0)
Áp dụng:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y= x3 −3x+3 điểm uốn (C): y=f(x)
0
x x
0 y
y
0
(8)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 8 `b Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau
Bước 1: Gọi M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C tiếp điểm tiếp tuyến với (C)
Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình : f x'( )0 =k, từ suy y0 = f x( )0 =?
Bước 3: Thay yếu tố tìm vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta pttt cần tìm
Chú ý : Đối với dạng người ta cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến songsong, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước
Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau:
Định lý 1: Nếu đường thẳng (∆) có phương trình dạng : y= ax+b hệ số góc (∆) là: k∆ =a
Định lý 2: Nếu đường thẳng (∆) qua hai điểm A x y( ;A A) B(x ;B yB) với xA ≠ xB hệ số góc (∆) :
B A
B A
y y
k
x x
∆
− =
−
Định lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) (∆1 ∆2) Khi đó:
1
1 2
// k k k k
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ⇔ =
∆ ⊥ ∆ ⇔ = −
Áp dụng:
(C): y=f(x)
0
x x
0 y
y
0
M ∆
(C): y=f(x) ∆
x y
a k =−1/
O
b ax y= + ∆2 :
(C): y=f(x)
x y
a k =
b ax y= +
1 ∆
(9)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 9 Ví dụ1: Cho đường cong (C): 2
3
y= x + x − x−
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2 Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
1
+ + =
x x
y
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆):y=−3x
c Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA;yA)
Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A có hệ số góc k cơng thức:
y y− A =k x x( − A) ⇔ y=k x x( − A)+yA (*)
Bước 2: Định k để (∆) tiếp xúc với (C) Ta có:
tiếp xúc (C) hệ f(x)=k(x-x )' A có nghiệm (1) f ( )
A
y
x k
+
∆ ⇔
=
Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm vào (*) ta pttt cần tìm
Áp dụng:
Ví dụ1: Cho đường cong (C): y= x3 +3x2 +4
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-1) Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
2
x y
x
− =
−
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0) BAØI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị (C) hàm số y x 2x 3x
3
1 3− +
= điểm uốn chứng minh ∆ tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ
Bài 2: Cho đường cong (C):
2
+ − + =
x x x
y
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆):y =x−2 Bài 3: Cho hàm số
1
+ + + =
x x x
y (C)
Tìm đồ thị (C) điểm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d y x
3 : )
( =
x y
A A A
A k x x y k x x y
y
y− = − ⇔ = − +
∆: ( ) ( )
O
) ; (xA yA A
) ( :
)
(10)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 10 Bài 4: Cho đường cong (C):
2 1
x x
y x
+ + =
+
Tìm điểm (C) mà tiếp tuyến với (C) vng góc với tiệm cận xiên (C) Bài 5: Cho hàm số
1
− − + =
x x x
y (C)
Tìm điểm đồ thị (C) mà tiếp tuyến điểm với đồ thị (C) vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu (C)
Baøi 6: Cho haøm soá
3
3
1 + +
= x mx
y (Cm)
Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ -1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song
song với đường thẳng 5x-y=0
Bài 7: Cho đường cong (C): = −3 +2 x x
y
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;-7)
4.BÀI TỐN 4: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Cơ sở phương pháp:
Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
Nghiệm x0 phương trình (1) hồnh độ giao điểm (C1):y=f(x) (C2):y=g(x)
Dạng : Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình : f(x) = m (*) Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị:
( ) : ( ) : (C) đồ thị cố định
( ) : : ( ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;m)
C y f x
y m
• =
• ∆ = ∆
Bước 2: Vẽ (C) (∆) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm (∆) (C) Từ suy số nghiệm phương trình (*)
y
x
x
) (C1
(11)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 11
Minh hoïa:
Dạng 2: Bằng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình : f(x) = g(m) (* *) Phương pháp: Đặt k=g(m)
Bước 1: Xem (**) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị:
( ) : ( ) : (C) đồ thị cố định
( ) : : ( ) đường thẳng di động phương Ox cắt Oy M(0;k)
C y f x
y k
• =
• ∆ = ∆
Bước 2: Vẽ (C) (∆) lên hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm (∆) (C) Dự a vào hệ thức k=g(m) để suy m Từ kết luận số nghiệm phương trình (**)
Minh họa:
Áp dụng:
Ví dụ: 1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y=2x3−9x2 +12x−4
2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x3−9x2 +12x−4−m=0 3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 2x3 −9x2 +12x =m
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình :
a
1
x m
x− = b
2
1
x
m
x − =
Bài 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
3 3 3 0
x x k k
− + + − =
x y
∆ y =k
) ; ( k K
1 M O
2 K
y
x
) ( :
)
(C y = f x
) ; ( m
1
m
2
m
m y = ∆
(12)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 12 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất:
3 3 2 0
x − mx+ =
Bài :Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
2
2x −4x− +3 2m x−1 0=
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:
3
2
3 log
x x m
− + − − =
Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm phương trình :
3 2 3
x
x x
e
e e m
− + =
Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
2
1 1
9 + −t (a 2).3+ −t 2a
− + + + =
5 BÀI TỐN 5: HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TỐN TỔNG QT:
Cho họ đường cong (Cm):y = f(x,m) ( m tham số )
Biện luận theo m số đường cong họ (Cm) qua điểm M0(x0;y0) cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Ta coù :
Họ đường cong (Cm) qua điểm M0(x0;y0) ⇔ y0 = f(x0,m) (1) Xem (1) phương trình theo ẩn m
Tùy theo số nghiệm phương trình (1) ta suy số đường cong họ (Cm) qua M0
Cụ thể:
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt có n đường cong họ (Cm) qua M0
• Nếu phương trình (1) vơ nghiệm đường cong họ (Cm) khơng qua M0
• Nếu phương trình (1) nghiệm với m đường cong họ (Cm) qua M0
Trong trường hợp ta nói M0 điểm cố định họ đường cong (Cm)
Áp dụng:
Ví dụ: Gọi (Cm) đồ thị hàm số
m x
m m
x y
+ − + + − =
2
1 Tìm m để tiệm cận xiên (Cm) qua điểm
A(2;0)
Ví dụ: Cho hàm số y= x3 −3mx2 +9x+1 (1) Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y=x+1
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TỐN TỔNG QT:
(13)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 13 PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Gọi M0(x0;y0) điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) qua Khi phương trình:
y0 = f(x0,m) nghiệm ∀m (1) Bước 2: Biến đổi phương trình (1) dạng sau: Dạng 1: Am+B=0 ∀m
Daïng 2: Am2+Bm+C =0 ∀m
Áp dụng định lý: Am+B=0
= = ⇔ ∀
0 B A
m (2)
= = = ⇔ ∀ = + +
0 0
2
C B A m C
Bm
Am (3)
Bước 3: Giải hệ (2) (3) ta tìm (x0;y0)
6 BÀI TỐN 6: TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ Bài 1: Cho hàm số
2 3 6
x x
y x
+ +
= +
Tìm đồ thị hàm số tất điểm có toạ độ nguyên Bài 2: Cho hàm số 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ đến trục hồnh hai lần khoảng cách từ đến trục tung
Bài 3: Cho hàm số
1
x y
x
+ =
+
Tìm đồ thị hàm số điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ Bài 4: Cho hàm số 2
1
x x
y
x
+ −
=
−
Tìm điểm M đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận nhỏ
Bài 5: Cho hàm số
2 4 5
x x
y
x
+ +
= +
Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng y+3x+6=0 nhỏ
Bài 6: Cho hàm số y=2x4 −3x2+2x+1
Tìm đồ thị hàm số điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 nhỏ
Bài 7: Cho hàm số
1
y x
x
= +
− (C)
(14)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 14 Bài 8: Cho hàm số
2 2
x x
y x
+ + =
−
Tìm đồ thị hàm số hai điểm đối xứng qua điểm (0; )5
I
Bài 9: Cho hàm số
1
x y
x
= −
Tìm đồ thị hàm số hai điểm đối xứng qua đường thẳng y=x-1 BÀI TỐN 7: CÁC BÀI TỐN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG Bài 1: Cho hàm số
1
− + − =
x x x
y (C) Chứng minh (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng xiên làm tâm đối xứng
Baøi 2: Cho hàm số 2 2
1
x m x m
y
x
+ +
=
+ (Cm)
Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc
toạ độ
Bài 3: Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x+ −1 m2 (Cm)
Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc
tọa độ
Bài 4: Cho hàm số
2
x mx m
y
x
− +
=
− (Cm)
Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc
toạđộ
Phần II : HỆ THỐNG HĨA CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán :Viết PTTT với đồ thị ( C ) điểm M0(x0;y0) thuộc ( C )
- PTTT coù daïng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0)
- Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 ⇒ y0 ⇒f’(x0)
f’(x0) ⇒ x0 ⇒ y0
- Thế vào tìm (d)
Bài tốn : Viết PTTT với đồ thị ( C ) qua điểm A(xA;yA)
- Pt đường thẳng (d) qua điểm A có hệ số góc k : (d) : y – yA = k (x – xA)
- (d) tiếp xúc với ( C ) {
⇔
=
= (đốivới hàmđathức)
thức) phân hàm với đối ( kép nghiệm
có (d) ) C
( trình hồnh độđiểm chung phương
) x ( g ) x ( f
) x (' g ) x (' f
(15)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 15
Bài tốn : Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x) đường x = a , x = b
B1 : Ta coù S = f(x) g(x).dx
b
a
∫ −
B2 : Khử dấu GTTĐ ( cách sau :dựa vào đồ thị ; xét dấu biểu thức dấu GTTĐ ;
đưa dấu GTTĐ khỏi dấu tích phân ) B3 : Tính
* Chú ý : Kết số dương
Chưa đủ đường tìm cho đủ cách lập pt hoành độ điểm chung ( pt tung độ điểm chung )
Bài tốn : Tính diện tích hình trịn xoay
Hinh phẳng :
x O truïc quanh Quay
b x
a x
có) phải c bắt buộ (
0 y : Ox
) x ( f y : ) C (
= =
= =
Coù thể tích : V = π∫( )
b
a
2dx
) x ( f
Hình phẳng :
( ) : ( )
: ( bắt buộc phải có) y a
y b
quanh truïc O y
C x f y
Oy x
Quay
=
=
= =
Có thể tích : V = π∫( )
b
a
2dy
) y ( f
* Bình phương hàm số f(x) tính
Bài tốn : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình g(x) =
B1 : Đưa phương trình g(x) = dạng f(x) = m ( f(x) = m + C ) (1) với f(x) đồ thị ( C ) hàm số vừa khảo sát
B2 : (1) pt hoành độ điểm chung ( C ) đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C ) Số nghiệm (1) = số giao điểm ( C ) (d)
B3 : Dựa vào đồ thị ta có : trường hợp ( sử dụng giá trị yCT , y CĐ BBT )
(16)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 16
* Có thể hỏi trường hợp ( VD : dựa vào đồ thị tìm giá trị m để phương trình có
nghiệm phân biệt)
Bài tốn : Biện luận số giao điểm hai đường y = f(x) y = g(x) B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại
B2 : Biện luận
*Nếu (1) PT : ax + b = Biện luận trường hợp :
a = :⇒ giá trị tham số m, vào PT, kết luận nghiệm ⇒ số giao điểm
a≠ :⇒ giá trị m ⇒ ngiệm ⇒ giao điểm
*Nếu (1) PT : ax2 + bx + c = Biện luận trường hợp :
a = :⇒ giá trị tham số m, vào PT, kết luận nghiệm ⇒ số giao điểm
a≠ :⇒ giá trị m ; tính ∆ ( ∆’) ; xét dấu ∆ ( ∆’) ⇒ số giao điểm
Bài tốn :Tìm m để hàm số tăng ( giảm ) R hay khoảng xác định B1 : TXĐ
B2 : Tính y’
B3 : Để hàm số tăng giảm R
⇒ < ∆
⇒ ≤ ∆ ⇔
< >
≤ ≥
⇔
m tìm BPT giải
m tìm BPT giải
lại hàm với đối ) y' ( y'
ba bậc hàm với đối ) y' ( ' y
Bài toán : Xác định m để hàm số có cực trị ( có CĐ CT ) B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị PT y’ = có nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > ( ∆’ > 0) B4 : Giải BPT tìm m ( bậc chuyển vế , bậc xét dấu ∆ ( ∆’)
Bài tốn : Xác định m để hàm số có cực trị ( có CĐ CT ) B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị PT y’ = có nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > ( ∆’ > 0) B4 : Giải BPT tìm m ( bậc chuyển vế , bậc xét dấu ∆ ( ∆’)
Bài tốn 10 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) nhận điểm uốn có hoành độ x0 B1 : TXĐ
B2 : Tính y’ , y’’
B3 : Để đồ thị có điểm uốn x0 y’’ (x0) = : giải PT tìm m
(17)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 17
Bài tốn 11 : Tìm m để đồ thị nhận điểm I(x0 ;y0) làm điểm uốn B1 : TXĐ
B2 :y’ ; y’’
B3 : I(x0 ;y0) điểm uốn
= = ⇔
0
0
y ) x ( y
0 ) x ( '' y
Giải hệ tìm m
Bài tốn 12 : Tìm m để đồ thị ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) điểm phân biệt (đối với Hàm bậc )
B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm nghiệm đặc biệt x0
B2 : Chia đa thức đưa dạng :(x – x0)( Ax2 + Bx + C ) = (1) ⇔⇔⇔⇔
= + +
= −
(2) C Bx Ax
0 x x
2
B3 : ( Cm ) cắt d điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm pb ⇔ (2) có nghiệm khác x0
> ∆
≠
≠ + +
⇔
0 A
0 C Bx
Ax20 0
Bài tồn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có cực trị ( có cực trị) - TXĐ @ Tính :y’
- Để hs có cực trị ( có cực trị ) pt y’ = có nghiệm ( có nghiệm pb) - Giải phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc thành tích pt bậc pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có cực trị a b trái dấu ( a.b < 0) Để hs có cực trị a b dấu ( a.b > 0)
Bài tốn 14 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) điểm phân biệt (đối với Hàm bậc 4)
- PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Đưa PT trùng phương (1) - Đặt t = x2 (t ≥ 0) PT trở thành at2 + bt + c = (2) - ( Cm ) cắt đường thẳng d điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm pb
(18)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 18 ⇔ > − = > = > ∆ a b S a c P
B4 : Giải hệ BPT tìm m
Bài tốn 15 : Tìm tát điểm đồ thị có toạ độ nguyên (x, y số nguyên) ( hàm phân thức)
* Chia tử cho mẫu để dạng :y = Ax + cx+d B
* Để x, y số nguyên cx+d phải số nguyên B ⇒ (cx + d) ước B ⇒ x ⇒ y ⇒ điểm
M(x ; y) VD :
1 x
4
− số nguyên ⇒ (x – 1) ước ⇒ ⇒ ⇒ − = − ⇒ ⇒ = − ⇒ ⇒ − − − ⇒ ⇒ = − ⇒ ⇒ − = − ⇒ ⇒ = − y x x y x x y x x y x x y x 1 x y x 1 x
Bài tốn 16 :Tìm tập hợp điểm
* Tìm toạ độ điểm M cần tìm
= ⇒ = = = ⇒ = = = ⇒ = = y) F(x, : đường M điểm hợp tập , m Khử ) m ( g y ) m ( f x M c y thẳng đường M điểm hợp Tập c y ) m ( f x M c x thẳng đường M điểm hợp Tập ) m ( f y c x M
Bài toán 17 : Xác định m để hàm số có cực trị ( có CĐ CT ) M(x0 ; y0)
B1 : TXÑ B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị ( có CĐ CT ) M :
0
'( ) ( )
y x
y x y
=
=
B4 : Giải hệ PT tìm m
(19)Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 19
Bài toán 18 : Xác định m để (Cm) lồi ( lõm) :( hàm trùng phương) * TXĐ
* Tính :y’ ; y’’
* Để đồ thị hs lồi (hoặc lõm) : y’’≤ , ∀x ( y’’≥ , ∀x ) ⇒∆≤ ( ∆≥ 0) ; ∆ y’’ * Giải bpt tìm m
Bài tồn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có cực trị ( có cực trị) * TXĐ
* Tính :y’
* Để hs có cực trị ( có cực trị ) pt y’ = có nghiệm ( có nghiệm pb) * Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc thành tích pt bậc pt bậc 2) * Cách khác : Để hs có cực trị a b trái dấu ( a.b < 0)
Để hs có cực trị a b dấu ( a.b > 0)
Bài toán 20 : Chứng minh từ điểm M (a ; b) đồ thị (C) có tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận (C) số ( không phụ thuộc vào M) :
+ Viết pt đường tiệm cận dạng tổng quát : Ax + By + C = + Aùp dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ : d (M, ∆) =
2
M M
B A
C y B x A
+ + +
tính khoảng cách từ M đến đường tiệm cận + Tính tích : d1.d2 ( khoảng cách trên)
+ Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( toạ độ điểm M vào hàm số ) + Thay vào tích : d1.d2 rút gọn thành số
* Mở rộng toán : Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận (C) đạt giá trị lớn :
+ Làm
+ Thêm bước : Aùp dụng BĐT Côsi cho số d1 d2 : 1 2
d d
d d
+
≤
Vì d1.d2 số nên (d1 + d2 ) đạt giá trị mlớm = d d1