Bài giảng Dao động kỹ thuật gồm 4 chương với những nội dung cơ bản như: Mô tả động học các quá trình dao động, dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do, dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do, dao động tuyến tính của hệ vô hạn bậc tự do. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.
Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG LỜI NĨI ĐẦU Chương Mơ tả động học trình dao động 1.1 Dao động điều hịa 1.2 Dao động tuần hồn 1.3 Dao động hầu tuần hồn khơng tuần hồn Chương Dao động tuyến tính hệ bậc tự 12 2.1 Dao động tự khơng cản 12 2.2 Dao động tự có cản 15 2.3 Dao động cưỡng bực hệ chịu kích động điều hòa 18 2.4 Dao động cưỡng hệ chịu kích động đa tần chịu kích động 25 tuần hoàn 2.5 Dao động cưỡng hệ chịu kích động khơng tuần hồn 27 Chương Dao động tuyến tính hệ nhiều bậc tự 31 3.1 Thành lập phương trình vi phân dao động 31 3.2 Dao động tự không cản 31 3.3 Dao động tự có cản 38 3.4 Dao động cưỡng 39 Chương Dao động tuyến tính hệ vô hạn bậc tự 43 4.1 Dao động uốn dây 43 4.2 Dao động dọc dao động xoắn thẳng 48 4.3 Dao động uốn dầm 56 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 LỜI NÓI ĐẦU Dao động tượng phổ biến tự nhiên kỹ thuật Như dao động máy, phương tiện giao thơng vận tải, tịa nhà cao tầng, cầu bắc ngang qua dịng sơng, …Đó hệ dao động kỹ thuật Cuốn giảng bao gồm chương như: Mô tả động học q trình dao động, Dao động tuyến tính hệ bậc tự do, Dao động tuyến tính hệ nhiều bậc tự do, Dao động tuyến tính hệ vơ hạn bậc tự Trong q trình biên soạn, giảng không tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận góp ý bạn đọc để sách ngày hồn thiện Bộ mơn Cơ học Trường Đại học Hàng Hải Hải Phòng 2016 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Chương MÔ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC QUÁ TRÌNH DAO ĐỘNG 1.1 Dao động điều hòa 1.1.1 Các tham số động học dao động điều hịa Dao động điều hịa mơ tả phương diện động học hệ thức y(t ) A sin(t ) Asin (t ) (1.1) Dao động điều hòa gọi dao động hình sin Đại lượng A gọi biên độ dao động Như biên độ dao động giá trị tuyệt đối độ lệch lớn đại lượng dao động y(t) so với giá trị trung bình Đại lượng (t) t gọi pha dao động Góc gọi pha ban đầu Đại lượng gọi tần số vòng dao động điều hòa, đơn vị rad/s 1/s Vì hàm sin có chu kỳ 2 nên dao động điều hịa có chu kỳ 2 T Tần số dao động, đơn vị 1/s Hz f T (1.2) (1.3) Từ cơng thức (1.1) ta thấy: dao động điều hịa xác định biết ba đại lượng A, Mặt khác, dao động điều hòa xác định biết tần số vòng điều kiện đầu Giả sử có dạng t = 0: y(0)= y0; y (0) y Khi phương trình (1.1) có y A sin ; Từ suy A y 02 y 02 y A cos arctg y y Để xác định pha ban đầu ta cần ý đến hệ thức sau (1.4) Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 arcsin y0 A (1.5) Người ta hay biểu diễn dao động điều hòa (1.1) dạng sau y(t ) C1 cost C2 sin t (1.6) So sánh biểu thức (1.6) biểu thức (1.1) ta có C1 = Asin; C2 = Acos Từ suy A C12 C 22 ; arctg (1.7) C1 C arcsin C2 A (1.8) Các số C1 C2 xác định từ điều kiện đầu C1 = y0; C2 y 1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hòa Hàm điều hòa y(t) xem phần ảo véc tơ phức z quay với vận tốc góc mặt phẳng số z Ae i (t ) Ae i eit A eit (1.9) y(t) = Im( z (t ) ) (1.10) Đại lượng A Ae i gọi biên độ phức Nhờ công thức Euler e i cos i sin Ta có y (t ) Im( z (t )) A Im(e i (t ) ) A sin(t ) 1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hòa phương tần số Cho hai dao động điều hòa phương tần số y1 (t ) A1 sin(t 1 ) ; y (t ) A2 sin(t ) Tổng hợp hai dao động điều hòa xác định hệ thức sau y(t ) A1 sin(t 1 ) A2 sin(t ) Sử dụng định lý cộng hàm số sin ta có y(t ) A1 sin t cos1 A1 cost sin 1 A2 sin t cos A2 cost sin (A1cos1 A cos )sint (A1sin1 A sin )cost Ta đưa vào ký hiệu A cos A1 cos1 A2 cos A sin A1 sin A2 sin Thì biểu thức có dạng Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 y(t ) Asin t cos A cost sin Asin(t ) (1.11) Như tổng hợp hai dao động điều hòa phương tần số dao động điều hòa với tần số tần số dao động điểu hòa thành phần, biên độ A góc pha ban đầu xác định hệ thức sau A ( A1 cos1 A2 cos ) ( A1 sin A2 sin ) A12 A22 A1 A2 cos(1 ) (1.12) arctg A1 sin A2 sin A1 cos A2 cos (1.13) arcsin A1 sin A2 sin A (1.14) Hoặc 1.2 Dao động tuần hoàn 1.2.1 Các tham số động học dao động tuần hoàn Một hàm số y(t) gọi hàm tuần hoàn, tồn số T > 0, cho với t ta có hệ thức y(t + T) = y(t) (2.1) Một q trình dao động mơ tả mặt động học hàm tuần hoàn y(t) gọi dao động tuần hoàn Hằng số T nhỏ hệ thức (2.1) thỏa mãn gọi chu kỳ dao động Chú ý hàm số y(t) có chu kỳ T hàm số u(t) = y(at) có chu kỳ T/a Thực T u (t ) a T y a(t ) y (at T ) y (at) u (t ) a Biên độ dao động tuần hoàn y(t) định nghĩa biểu thức sau Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 A max y(t ) y(t ) (2.2) Đối với dao động tuần hoàn, tham số động học đặc trưng cho chu kỳ, tần số, biên độ người ta sử dụng tham số giá trị trung bình theo thời gian hàm y(t) chu kỳ Ba loại giá trị trung bình hay sử dụng giá trị trung bình tuyến tính y tt T T y(t )dt (2.3) T giá trị trung bình hiệu dụng y hd T T y (2.4) (t )dt T Và giá trị trung bình hiệu chỉnh y hc T T y(t ) dt (2.5) T Trong cơng thức (2.3), (2.4), (2.5) khoảng lấy tích phân [-T/2, T/2] thay khoảng [t0, t0+T] 1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hịa có phương khác tần số với tỷ lệ hai tần số số hữu tỷ Cho hai dao động điều hòa thành phần y1 (t ) A1 sin(1t 1 ) ; Với 1 T2 p 1 T1 q y (t ) A2 sin( t ) (p, q = 1, 2, 3…) (2.6) Tổng hợp hai dao động điều hòa xác định hàm y(t ) y1 (t ) y (t ) A1 sin(1t 1 ) A2 sin(2 t ) Chu kỳ dao động T1 = 2/1; (2.7) T2 = 2/2 Từ công thức (2.6) ta suy chu kỳ dao động tổng hợp y(t) T= pT1=qT2 Vậy tổng hợp hai dao động điều hòa phương khác tần số với tỷ lệ hai tần số số hữu tỷ 1:2 = p:q dao động tuần hoàn chu kỳ T= pT1=qT2 Nếu p/q phân số tối giản T bội số chung nhỏ T1 T2 1.2.3 Phân tích Fourier hàm tuần hoàn Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Trong thực tế ta gặp dao động điều hòa túy mà thường hay gặp dao động phức tạp biểu diễn hàm tuần hoàn Một hàm tuần hoàn chu kỳ T=2/ với số giả thiết mà thực tế chấp nhận phân tích thành chuỗi Fourier y (t ) a0 (a k cos kt bk sin kt ) (2.8) k 1 Trong a0, ak, bk gọi hệ số Fourier xác định công thức T a0 y(t )dt T0 T bk y(t ) sin ktdt , k = 1,2, T 0 (2.9) T ak y(t ) cos ktdt T0 k= 1,2,… Chuỗi Fourier (2.8) viết dạng chuẩn dao động y (t ) a0 Ak sin(kt k ) (2.10) k 1 Với Ak a k2 bk2 k arctg ak bk (2.11) Việc phân tích hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier gọi phân tích điều hịa Hằng số a0 gọi giá trị trung bình dao động, số hạng A1sin(t+α1) gọi dao động bản, số hạng Aksin(kωt+αk) gọi dao động bậc k-1(với k>1) hay gọi điều hịa 1.2.4 Biểu diễn hàm tuần hồn miền tần số Ta chọn hệ tọa độ vuông góc, trục hồnh biểu diễn tần số (hoặc tần số f), trục tung biểu diễn độ lớn biên độ A điều hòa Việc biểu diễn hàm tuần hoàn y(t) mặt phẳng (, A) gọi biểu diễn hàm tuần hoàn y(t) miền tần số Tập hợp biên độ Ak khai triển Fourier (2.10) hàm tuần hoàn y(t) gọi phổ hàm tuần hoàn y(t) Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Việc cho biết biên độ Ak điều hịa chưa đủ thơng tin hàm y(t), ta chưa biết pha ban đầu điều hịa Tuy nhiên từ biên độ tần số ta giải nhiều vấn đề toán dao động cần nghiên cứu 1.2.5 Biểu diễn dao động tuần hoàn mặt phẳng pha Giả sử y(t) đại lượng dao động y (t ) đại lượng dao động Ta xem y(t), y (t ) cách biểu diễn dạng tham số hàm y ( y) Ta chọn hệ trục tọa độ vng góc với trục hồnh y, trục tung y Đồ thị hàm y ( y) hệ tọa độ vng góc gọi quỹ đạo pha hay đường cong pha Mặt phẳng ( y, y ) gọi mặt phẳng pha Trong mặt phẳng pha, dao động mô tả dịch chuyển điểm ảnh P( y, y ) Nếu đại lượng dao động tuần hoàn quĩ đạo pha đường cong kín Trường hợp đơn giản dao động tuần hoàn dao động điều hịa Từ phương trình dao động y Asin(t ) y A cos(t ) Khử t ta phương trình quỹ đạo pha dao động điều hòa 2 y y 1 A A y +A -A -A (2.12) y A A +A y y -A -A Phương trình (2.12) biểu diễn mặt phẳng pha elip với bán trục A A(Hình trên) Nếu chọn tỷ lệ xích trục hồnh trục tung cách thích hợp quỹ đạo pha dao động điều hịa đường trịn Đối với số q trình dao động tuần hồn ta khó biểu diễn phương trình quỹ đạo pha y f (y) dạng giải tích Trong trường hợp ta phải vẽ quỹ dạo pha cách tính trị số y(tk) y (t k ) Ngày với phát triển tin học việc vẽ quỹ đạo pha thuận tiện đơn giản Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 1.3 Dao động hầu tuần hồn khơng tuần hồn 1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hòa phương khác tần số với tỷ lệ hai tần số số vô tỷ Trong phần ta thấy tổng hợp hai dao động điều hòa phương khác tần số với tỷ lệ hai tần số số hữu tỷ 1 : p : q dao động tuần hoàn chu kỳ T = pT1 = qT2 Bây ta xét toán y(t ) y1 (t ) y (t ) A1 sin(1t 1 ) A2 sin(2 t ) (3.1) Trong tỷ số 1 : 2 số vơ tỷ Dao động tổng hợp y(t) dao động tuần hồn bội số chung nhỏ T1 2 / 1 T2 2 / khơng tồn Tuy nhiên biểu diễn 1 p 2 q (3.2) Với bé tùy ý Khi ta chọn T pT1 qT2 , dao động tổng hợp hàm hầu tuần hoàn Chú ý hàm y(t) gọi hàm hầu tuần hoàn với >0 cho trước bé tùy ý tồn số T* mà y (t T *) y (t ) Vậy tổng hợp hai dao động điều hòa phương khác tần số với tỷ lệ hai tần số số vô tỷ ta dao động hầu tuần hồn 1.3.2 Biểu diễn tích phân Fourier hàm khơng tuần hoàn Như biết hàm tuần hồn biểu diễn qua hàm điều hịa chuỗi Fourier Vấn đề biểu diễn hàm khơng tuần hồn y(t) qua hàm điều hòa với số khái niệm suy rộng chuỗi Fourier hay khơng? Giả sử y(t) hàm xác định toàn trục số, đoạn hữu hạn hàm y(t) liên tục có số hữu hạn điểm gián đoạn hàm y(t) tuyệt đối khả tích Điều có nghĩa tích phân suy rộng I y(t ) dt (3.3) Tồn có giá trị hữu hạn Khi tốn học chứng minh hàm y(t) biểu diễn dạng tích phân Fourier sau y (t ) a( ) cost b( ) sin t d (3.4) hàm a() b( ) xác định hệ thức sau a( ) 2 y( ) cosd (3.5) Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 b( ) 2 y( ) cosd Trong (3.5) hàm a() b() thành phần biên độ ứng với dải tần số vô bé d Các hàm a(), b() gọi mật độ phổ, hay gọi tắt mật độ A( ) a ( ) b ( ) (3.6) Được gọi phổ mật độ biên độ hay gọi tắt mật độ biên độ Bình phương mật độ biên độ gọi phổ mật độ công suất hay gọi tắt mật độ công suất A ( ) a ( ) b ( ) (3.7) Được gọi phổ mật độ công suất hay gọi tắt mật độ công suất Có tài liệu gọi A() A2() phổ biên độ phổ công suất Nếu y(t) hàm chẵn hàm lẻ, biểu diễn tích phân Fourier y(t) đơn giản nhiều Nếu y(t) hàm chẵn, y(-t)=y(t) nên b()=0 a( ) y( ) cosd (3.8) Biểu thức (3.6) có dạng A( ) a( ) (3.9) Nếu y(t) hàm lẻ, y(-t)=-y(t), ta có a()=0 b( ) y( ) sin d (3.10) Từ suy A( ) b( ) 1.3.3 Dao động họ hình sin Dao động họ hình sin mơ tả vể phương diện động học hệ thức y(t ) A(t ) sin (t )t (t ) (3.11) Trong A(t), (t) (t) đại lượng dao động thay đổi chậm theo thời gian Giả sử ta có dao động mà A(t)=A0, = 0 +g(t), = 0 +h(t) Khi áp dụng biến đổi lượng giác ta có y (t ) A0 sin[ t g (t )t h(t )] A sin( t ) cos[g (t )t h(t )] sin[ g (t )t h(t )] cos( t ) A1 (t ) sin( t ) A2 (t ) cos( t ) Như dao động với tần số pha biến đổi xem tổng hợp hai dao động với biên độ biến đổi 10 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 M M dx Q dx 2 dx M Q Q dx dJ x x t (3.4) Trong dJ mơmen qn tính khối phân tố trục y dJ = z dm* dầm đồng chất dm*=dAdx, ta có hệ thức dJ dx z dA I ( x)dx A Trong I(x)= z dA mơmen qn tính mặt trục y A Từ phương trình (3.3) (3.4) ta suy ( x) w Q p( x, t ) x t I ( x) (3.5) 2 M Q x t (3.6) Trong giáo trình sức bền vật liệu ta có hệ thức sau M EI ( x) x w x Q=k*GA(x) = k*GA(x) (3.7) (3.8) Trong đó: G môđun trượt, k* hệ số phân bố trượt Thế biểu thức (3.7) (3.8) vào phương trình (3.5) (3.6) ta nhận hệ hai phương trình đạo hàm riêng cấp hai độ võng w(x,t) góc xoay (x,t) mơ tả dao động uốn dầm Timoshenko ( x) 2w w k *G A( x) p( x, t ) x t x I ( x) 2 w k *GA( x) E I ( x) x x t x (3.9) (3.10) Để giải hệ hai phương trình cần biết điều kiện biên điều kiện đầu b Dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi Do A(x) I(x) số, từ hệ hai phương trình dao động dầm Timoshenko ta suy phương trình đơn giản w 2w p ( x, t ) x x t (3.11) 2 2 w Gk * A EI I x t x (3.12) Gk * A 58 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Đạo hàm phương trình (3.12) theo x cộng vào phương trình (3.11) ta 0 2w 3w 3 p ( x , t ) EI I t x t x (3.13) Mặt khác từ phương trình (3.11) ta suy w 2w p( x, t ) * x x Gk A t Gk * A Đạo hàm riêng phương trình theo x, theo t hai lần ta 3 w 4w p( x, t ) x x Gk * A t x Gk * A x 3 4w 4w p( x, t ) xt x t Gk * A t Gk * A t (3.14) Thế biểu thức vào phương trình (3.13) với ý A , ta có phương trình đạo hàm riêng cấp 4, mô tả dao động uốn dầm Timoshenko đồng chất thiết diện không đổi EI 4w E 4w 2w 2I 4w I 2 * x t k *G t k G x t (3.15) EI p( x, t ) I p( x, t ) p ( x, t ) * k GA x k *GA t c Dầm Euler-Bernoulli Đối với dầm Euler-Bernoulli, bỏ qua lực quán tính quay(I(x)=0) biến dạng trượt trục dầm (=0), từ công thức (3.2), (3.7), (3.6) ta suy w , x M EI ( x) , x Q M 0 x (1) Từ ta có Q 2 x x 2w EI ( x ) x (2) Thế (2) vào phương trình (3.5) ta phương trình dao động uốn dầm Euler-Bernoulli 2w 2 w ( x) EI ( x) p( x, t ) t x x (3.16) Đối với dầm Euler-Bernoulli đồng chất, thiết diện không đổi tử (3.16) ta suy EI 4w 2w p( x, t ) x t (3.17) 4.3.2 Dao động uốn tự dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện không đổi Trước hết ta xét dao động uốn tự dầm đồng chất thiết diện không đổi theo mơ hình Euler-Bernoulli Từ phương trình vi phân (3.17) ta có phương trình dao động uốn tự 59 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 4w 2w 0 x EI t (3.18) Áp dụng phương pháp Bernoulli, ta tìm nghiệm phương trình (3.19) dạng w( x, t ) X ( x)T (t ) (3.19) Thế biểu thức (3.19) vào phương trình (3.18) ta ( IV ) ( x) T (t ) X EI T (t ) X ( x) Từ suy T(t ) EI X ( IV ) ( x) T (t ) X ( x) (3.20) Do vế phải phương trình (3.20) hàm phụ thuộc vào x, vế trái hàm phụ thuộc vào t, hai vế số Do có chủ định trước, ta gọi số 2 Từ suy T(t ) 2T (t ) X ( x) (3.22) T (t ) A cost B sin t (3.23) X ( IV ) ( x) (3.21) EI Nghiệm (3.21) có dạng Trong phạm vi toán xác định tần số dao động riêng, ta phải tìm nghiệm phương trình (3.22) Để biểu diễn nghiệm cách gọn gàng, ta đưa vào đại lượng không thứ nguyên 4 EI l4 (3.24) Khi phương trình (3.22) có dạng ( x) X ( x) l X ( IV ) (3.25) Ta tìm nghiệm phương trình (3.25) dạng x x x x X ( x) C1 cos C sin C3 cosh C sinh l l l l ta nhắc lại định nghĩa tính chất sơ cấp hàm hyperbol sinh x e x ex cosh x e x ex tghx x e e x Sinh0 = 0; e x ex e x ex cot ghx x e e x cosh0 = 1; tgh0 = 0; cotgh0 = 60 (3.26) Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 sinh x' cosh x (cosh x) ' sinh x Các số C1, C2, C3, C4 biểu thức (3.26) xác định từ điều kiện biên Ở đầu dầm có gối tựa lề, độ võng mơmen uốn khơng, ta có d2X 0 dx X = 0, (3.27a) Ở đầu dầm bị ngàm chặt, độ võng góc xoay khơng, ta có dX 0 dx X = 0, (3.27b) Ở đầu dầm tự do, mômen uốn lực cắt khơng, d3X 0 dx3 d2X 0, dx (3.27c) Ở hai đầu dầm, có bốn điều kiện biên Từ điều kiện biên, ta xác định số hệ thức (3.26) Trong q trình đó, nhận phương trình đặc trưng Giải phương trình đặc trưng ta nhận tần số riêng j Ứng với tần số riêng j ta có trị riêng j, theo (3.26) ta có hàm riêng Xj(x) Ta xét tính chất trực giao hàm riêng Giả sử Xj(x), Xk(x) hai hàm riêng tương ứng với j, k Từ phương tình (3.25) ta suy d X j ( x) dx j l X j ( x) d X k ( x) k X k ( x) dx l Nhân phương trình thứ với Xk(x), phương trình thứ hai với Xj(x), trừ lấy tích phân theo x, ta 4j 4k l4 l d4X j d4Xk X ( x ) X ( x ) dx X ( x ) X ( x ) k k 0 j 0 j dx dx l dx Bằng cách tích phân phần, ta có 4k 4j l d X j dX k d X j dX j d X k d3Xk X ( x ) X ( x ) dx X X k k 0 j j dx dx dx dx dx dx l l 0 Chú ý đến điều kiện biên (3.27a), (3.27b), (3.27c) ta có vế phải phương trình ln khơng Vậy ta có điều kiện trực giao l X j ( x) X k ( x)dx Khi jk Nghiệm tổng quát phương trình (3.18) có dạng 61 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 w( x, t ) X k ( x) Ak cos k t Bk sin k t (3.28) k 1 Các số Ak, Bk xác định từ điều kiện đầu Vi dụ 1: Ta xét dao động uốn tự dầm hai đầu tựa lề hình vẽ A,EI Các điều kiện toán độ võng w(x,t) x mômen uốn M(x,t) triệt tiêu hai biên x= l x=l w(0, t ) M (0, t ) EIw(0, t ) w(l , t ) M (l, t ) EIw(l, t ) z Với điều kiện này, từ biểu thức nghiệm (3.26) ta suy phương trình để xác định số C1, C2, C3, C4 X (0) : C1 C3 X (l ) : C1 cos C sin C3 cosh C sinh X (0) : - C1 C X (l ) : - C1 cos C sin C cosh C sinh Từ phương trình sinh0 nên C1 = C3 = C4= Mặt khác C2 0, ta có phương trình đặc trưng sin=0 giải ta k k k ( k EI ) ; k 1,2, l (3.29) Các hàm riêng (3.26) có dạng X k ( x) C 2( k ) sin k x kx C 2( k ) sin l l (3.30) Khi k = 1,2 ta có 1 l EI 2 l 2 X k ( x) C2(1) sin , EI , x X ( x) C2( 2) sin l 2x l Biểu thức nghiệm tổng quát (3.28) thí dụ có dạng w( x, t ) sin k 1 kx ( Ak cos k t Bk sin k t ) l 62 (3.31) Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Trong ta lấy C 2( k ) Từ điều kiện đầu w(x,0) v0 ( x) t w( x,0) w0 ( x); Ta có biểu thức để xác định Ak Bk A k 1 k sin kx w0 ( x) l B k 1 k k sin kx v0 ( x) l Chú ý đến tính chất trực giao hàm riêng (3.26), từ biểu thức ta suy kx Ak w0 ( x) sin dx l l l Bk l v ( x) sin l k kx dx l Ví dụ 2: Xác định tần số riêng hàm riêng dầm đầu ngàm chặt, đầu tự Các điều kiện biên có dạng A, EI w(0, t ) ; M (l, t ) EIw(l, t ) w(0, t ) ; Q(l, t ) EIw(l, t ) x Với điều kiện biên từ biểu thức nghiệm (3.26) Ta suy hệ bốn phương trình tuyến tính l z X (0) : C1+ C3 = X (0) : C2 +C4 = X (l ) : C1 cos C sin C3 cosh C sinh X (l ) : C1 sin C cos C sinh C cosh Từ hai phương trình đầu hệ bốn phương trình ta suy C1 = -C3; C2 = -C4 Sau vào hai phương trình sau ta C1 (cos cosh ) C2 (sin sinh ) C1 (sin sinh ) C2 (cos cosh ) (3.32) Điều kiện cần C1 , C2 không đồng triệt tiêu định thức hệ số phải không cos cosh sin sinh 0 sin sinh (cos cosh ) Từ ta nhận phương trình đặc trưng cos cosh (3.33) 63 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Giải phương trình (3.33) phương pháp số phương pháp đồ thị ta nhận tập vô hạn nghiệm = i(i=1,2,…) Khi biết giá trị riêng i , từ công thức (3.23) ta xác định tần số riêng i i2 EI l (3.34) Ứng với trị riêng I, theo (3.26) ta có hàm riêng X i ( x) C1(i ) cos i x l C 2(i ) sin i x l C 2(i ) cosh i x l C 4(i ) sinh i x l (3.35) Từ hệ phương trình (3.32) ta suy C 2(i ) cos i cosh i ( i ) C1 sin i sinh i C 4( i ) C 2( i ) Do cos i cosh i ( i ) C1 sin i sinh i Mặt khác C3(i ) C1(i ) Thế C2(i ) ; C3(i ) ; C4(i ) xác định theo C1( i ) vào biểu thức (3.35) ta dạng cụ thể hàm riêng Xi(x) x x cos i cosh i x x X i ( x) C1(i ) cos i cosh i sin i sinh i l l sin i sinh i l l Giải số phương trình đặc trưng (3.33) ta 1 1,875 1 3,516 EI l 2 4,694 22,034 EI l (3.36) Biểu thức nghiệm tổng quát (3.28) trường hợp có dạng w( x, t ) X i ( x)( Ai cosi t Bi sin i t ) (3.37) i 1 Các số Ai, Bi tìm từ điều kiện đầu w( x,0) w0 ( x), w(x,0) v ( x) t Như thế, ta có X i ( x) Ai w0 ( x), i 1 X i 1 i i ( x) Bi v0 ( x) Nhân hai vế phương trình với hàm riêng Xk(x) lấy tích phân theo x từ đến l Chú ý đến tính chất trực giao hàm riêng, ta 64 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 l Ak l w0 ( x) X k ( x)dx Bk l X ( x)dx k v ( x)X k ( x)dx l k X k2 ( x)dx Thí dụ 3: Cho dầm đồng chất, thiết diện không đổi, đầu bên trái ngàm chặt, đầu bên phải tự mang khối lượng m Cho biết m / l / Hãy xác định tần số riêng tần số riêng bậc A, EI m w(l,t) x Q(l,t) l z m z Lời giải: Cũng giống trường hợp dầm bị ngàm chặt đầu, đầu tự trên, ta có ba điều kiện biên w(0, t ) 0, w(0, t) 0, M(l, t) -EIw(l, t) Để tìm điều kiện biên thứ tư, ta tưởng tách khối lượng m khỏi dầm Từ định luật Newton II khối lượng m ta có (l, t ) Q(l, t ) EIw(l, t ) mw (l, t ) mw Với điều kiện biên trên, từ biểu thức nghiệm (3.19), (3.23), (3.26) ta có C1 C C2 C4 C1 cos C sin C3 cosh C sinh C1 sin C cos C sinh C cosh (C1 cos C sin C3 cosh C sinh ) Từ hai phương trình đầu ta suy C1 = -C3, C2 = -C4 Thế vào hai phương trình sau ta C1 (cos cosh ) C2 (sin sinh ) C1 (sin cos sinh cosh ) C2 (cos sin cosh sinh ) Từ điều kiện cần C1, C2 không đồng triệt tiêu, ta nhận phương trình đặc trưng cosh cos (sinh cos cosh sin ) Khi = 3/4, giải phương trình phương pháp số ta có 1 1,320 1 1,742 EI l 65 (3.38) Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 EI l 2 4,060 16,48 (3.39) 4.3.3 Dao động uốn cưỡng dầm Euler-Bernoulli đồng chất thiết diện khơng đổi Đoạn ta xét tốn dao động uốn cưỡng dầm đồng chất thiết diện khơng đổi theo mơ hình Euler-Bernoulli, chịu tác dụng ngoại lực theo phương vng góc với trục dầm Phương trình vi phân dao động uốn cưỡng dầm Euler-Bernoulli có dạng EI 4w 2w p( x, t ) x t (3.40) a Biến đổi phương trình đạo hàm riêng (3.40) hệ phương trình vi phân thường Áp dụng phương pháp Bernoulli, tìm nghiệm phương trình (3.40) dạng w( x, t ) X i ( x)qi (t ) (3.41) i 1 Trong Xi(x) hàm riêng Thế biểu thức (3.41) vào (3.40) ta EIX i 1 ( IV ) i ( x)qi ( x) X i ( x)qi (t ) p( x, t ) Từ suy EI X i( IV ) ( x) p( x, t ) q ( t ) qi (t ) X i ( x) i X i ( x) i 1 Chú ý đến biểu thức (3.22) ta có EI X i( IV ) ( x) i2 X i ( x) (3.42) Thế (3.42) vào phương trình ta q (t ) i 1 i i qi (t ) X i ( x) p ( x, t ) Nhân hai vế phương trình với hàm riêng Xk(x) lấy tích phân dọc theo chiều dài q (t ) q (t ) X ( x) X i 1 l i i i i k ( x)dx l 0 p( x, t ) X k ( x)dx Do điều kiện trực giao hàm riêng ta suy l qk (t ) k2 q k (t ) p ( x, t ) X k ( x)dx l X ( x)dx hk (t ) k 66 (3.43) Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Như ta đưa việc giải phương trình đạo hàm riêng (3.40) việc giải phương trình vi phân thường (3.43) b Lực kích động tập trung điều hịa Xét dao động uốn dầm chịu lực kích động tập trung điều hịa F0 cos t hình vẽ Theo cơng thức (3.30) hàm riêng Xk(x) có dạng kx X k ( x) sin l Trước hết ta tính tích phân l l 0 2 X k ( x)dx sin a kx kx kx l l dx sin l k l l F=F0cost y F(t)=F0cost x ,A,l=const l/2 wmax l l z Để tích phân b) a) l p ( x, t ) X k ( x)dx trường hợp ta sử dụng khái niệm hàm Delta-Dirac Theo định nghĩa hàm Delta-Dirac xác định hệ thức ( x a) x a ( x a)dx (3.44) Hàm có tính chất f ( x) ( x a)dx (3.45) f (a) Áp dụng vào toán ta Từ biểu thức p( x, t ) F0 cos t ( x a ) Ta suy l l 0 F0 cos t ( x a) X k ( x)dx F0 cost X k ( x) ( x a)dx l F0 cos t sin kx ka ( x a)dx F0 cos t sin l l Phương trình (3.43) có dạng 67 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 qk (t ) k2 q k (t ) F0 cos t sin l ka ka F0 sin l l cos t l (3.46) Nghiệm dừng phương trình (3.46) theo chương có dạng ka l cos t q k (t ) l ( k ) F0 sin (3.47) Nghiệm tổng quát phương trình (3.40) trường hợp có dạng ka l sin kx cos t w( x, t ) X k ( x)q k (t ) 2 l k 1 k 1 l ( k ) F0 sin ka F cos t l sin kx w( x, t ) 2 l l k 1 k sin (3.48) Công thức (3.48) biểu thức tính độ võng vị trí x dầm thời điểm t Khi a = l/2, ta có k sin F cos t sin kx (3.49) w( x, t ) 2 l l k 1 k Chú ý k 2k EI l k 2 l2 EI Nếu ta đưa vào ký hiệu k2 k l EI Thì cơng thức nghiệm (3.48) có dạng ka F l cos t l sin kx w( x, t ) l EI k 1 k sin Để minh họa ta lấy a = l/2 l EI 0,7 Khi ta tính độ võng dầm cách tương đối đơn giản(Hình b) k sin F0 l cos t l w( , t ) EI k 1 k 0,49 68 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Chú ý 1 1 1,975 0,51 80,51 624,51 1295,51 k 1, 3, 5, k 0,49 Do F0 l l w( , t ) cos t 24,65EI Biên độ dao động dầm wmax F0 l 24,65EI Nếu dầm chịu tác dụng lực F(t)=F0=const dầm, theo sức bền vật liệu độ võng tĩnh dầm wt F0 l 48EI Như độ võng động cực đại dầm lớn gần gấp đôi độ võng tĩnh Ngồi ý k k Thì xảy tượng cộng hưởng c Lực di động có trị số khơng đổi Xét toán dao động uốn dầm hai đầu lề tác dụng lực F0 = const di chuyển với tốc độ v không đổi hình vẽ Ta biết hàm riêng dầm hai đầu chịu liên kết lề kx X k ( x) sin l Do X k ( x)dx F0 v x EI=const z l l l Sử dụng hàm Delta-Dirac, tải trọng p(x,t) tốn có dạng p ( x, t ) F0 ( x vt ) Do tính chất hàm Delta-Dirac(cơng thức 3.45) ta có l F 0 sin kx kv ( x vt)dx F0 sin t l l Phương trình (3.43) tốn có dạng qk (t ) k2 q k (t ) F0 sin k t l (3.50) Trong ta đưa vào ký hiệu 69 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 k kv l (3.51) Nghiệm tổng qt phương trình (3.50) tính tốn kỹ chương có dạng q k (t ) Ak cos k t Bk sin k t F0 sin k t l ( k2 2k ) (3.52) Các số Ak, Bk xác định từ điều kiện đầu Giả sử cho biết điều kiện đầu w0 ( x) w( x,0) X i ( x)qi (0) i 1 v0 ( x) w( x,0) X i ( x)q i (0) t i 1 (3.53) Do tính chất trực giao hàm riêng, từ điều kiện đầu (3.53) ta suy q k (0) 0, q k (0) 0, k 1,2, (3.54) Với điều kiện đầu (3.54), từ (3.52) ta dễ dàng xác định số Ak, Bk Bk Ak = 0, F0 k l k ( k2 2k ) (3.55) Thế (3.55) vào biểu thức (3.52) ta q k (t ) F0 k F0 sin t sin k t k l k ( k2 2k ) l ( k2 2k ) (3.56) Theo cơng thức (3.41) biểu thức tính độ võng dầm có dạng w( x, t ) X k ( x)qk (t ) k 1 F0 l k 1 k kx sin k t k sin k t sin k l k (3.57) Nếu ta đưa vào ký hiệu k Thì k (3.58) k F0 F0 F0 l 1 4 2 2 l k k l k k k EI k2 Biểu thức (3.57) viết lại dạng sau F0 l w( x, t ) EI k k 1 sin k t k sin k t sin kx l (1 k ) (3.59) Hiện tượng cộng hưởng xảy k k Chú ý đến biểu thức (3.29) (3.51) ta dễ dàng xác định vận tốc tới hạn vkth k k v kth k l EI (3.60) 70 Bài giảng Dao động kỹ thuật - 18403 Ở vùng cộng hưởng, độ võng dầm đạt giá trị lớn Ta xác định độ võng dầm v = vth Không giảm tính tổng quát ta giả sử 1 1 Khi tổng (3.59) ta cần giữ lại số hạng ứng với k=1 Để đơn giản cách viết ta bỏ số 1 1 Vậy ta có 2F l x wth ( x, t ) sin lim l EI sin t 1 biểu thức cần tính giới hạn có dạng 2F l x wth ( x, t ) sin lim l EI Thay l t cos t 2 sin t 2 2 Áp dụng qui tắc Loopital ta tính sin t F0 l x sin (sin t t cost ) l EI 2 vth (biểu thức 3.51) vào biểu thức ta wth ( x, t ) F0 l EI vth vth vth x sin l t l t cos l t sin l (3.61) Tìm cực trị hàm (3.61) theo t Muốn ta tính đạo hàm riêng theo t cho không wth ( x, t ) 0t t vth Từ ta có wth max ( x) F0 l x sin l EI (3.62) Khi x=l/2, độ võng cực đại điểm dầm l F l3 wth max ( ) EI (3.63) Từ giáo trình sức bền vật liệu, người ta tính độ võng tĩnh điểm dầm có lực F0=const tác dụng dầm wt F0 l 48EI Như độ võng cực đại (3.63) lớn gần gấp rưỡi độ võng tĩnh Khi v