Bài giảng Dao động kỹ thuật Bài 1: Dao động tự do không cản

Nếu một cơ hệ dao động sau khi chịu kích thích ban đầu thì dao động sau kích thích được gọi là dao động tự do. Nếu năng lượng dao động không bị mất mát hay tiêu tán do ma sát hay do các lực cản khác thì dao động được gọi là dao động không cản. Ngược lại, nếu có bất cứ một phần năng lượng dao động nào bị mất mát do các lực cản thì dao động được gọi là dao động có cản. Nội dung của chương I chúng ta chỉ nghiên cứu các hệ dao động một bậc tự do. Và cụ thể trong bài này sẽ nghiên cứu một số dạng dao động tự do không cản một bậc tự do quanh vị trí cân bằng tĩnh. Từ một số bài toán mẫu chúng ta rút ra dạng tổng quát phương trình chuyển động của các hệ dao động tự do không cản một bậc tự do. Tiếp theo chúng ta đi tìm nghiệm, đánh giá nghiệm. Trong bài cũng giới thiệu cách xác định tham số độ cứng của hệ dao động.

MỞ ĐẦU

Nếu một cơ hệ dao động sau khi chịu kích thích ban đầu thì dao động sau kích thích được gọi là dao động tự do

Nếu năng lượng dao động không bị mất mát hay tiêu tán do ma sát hay do các lực cản khác thì dao động được gọi là dao động không cản Ngược lại, nếu có bất cứ một phần năng lượng dao động nào bị mất mát do các lực cản thì dao động được gọi là dao động có cản

Nội dung của chương I chúng ta chỉ nghiên cứu các hệ dao động một bậc tự

do Và cụ thể trong bài này sẽ nghiên cứu một số dạng dao động tự do không cản một bậc tự do quanh vị trí cân bằng tĩnh Từ một số bài toán mẫu chúng ta rút ra dạng tổng quát phương trình chuyển động của các hệ dao động tự do không cản một bậc tự do Tiếp theo chúng ta đi tìm nghiệm, đánh giá nghiệm Trong bài cũng giới thiệu cách xác định tham số độ cứng của hệ dao động

I MỘT SỐ HỆ DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN

A CON LẮC LÒ XO

Cơ hệ bao gồm một vật nặng m treo vào một đầu lò xo có hệ số cứng c, đầu còn lại của lò xo được cố định (hình 1.1) Bỏ qua khối

lượng lò xo, bỏ qua cản ma sát và không khí Yêu

cầu thiết lập phương trình vi phân dao động của

hệ dao động

1 Sử dụng phương trình Lagrange

Trước hết ta cần xác định động năng và thế năng

của hệ Chọn tọa độ suy rộng của hệ là x.

- Động năng của hệ có dạng: 1 2

2mx

- Thế năng  của hệ là tổng thế năng của lò xo

và thế năng vật nặng m

+ Xác định thế năng của lò xo tại vị trí có tọa độ x.

Ta biết rằng tại vị trí cân bằng tĩnh (ứng với x =

0) lò xo biến dạng một lượng x Tại vị trí có tọa độ x lò xo biến dạng một lượng là0 0

x x Khi đó thế năng của lò xo tại vị trí x là :

2

1

2c x x

+ Thế năng của vật khối lượng m tại vị trí có tọa độ x là :  2 mgx

Ta có :   1 2

0

1

2c x x mgx

Mà tại vị trí cân bằng (x=0) ta có 0 1 2 1 02

cx mg   cx  cx

1

c x

m

Vị trí cân bằng tĩnh

Hình 1.1

Thay vào phương trình Lagrang II: d T T

 

   

   Hay d mx 0 cx

Ta được: m  xcx 0 (1.1)

2 Sử dụng định luật II Newton

Tại vị trí có tọa độ x các lực tác dụng lên vật m bao gồm:

Trọng lượng P=mg

Lực đàn hồi P đh =c(x o +x)

Trong đó: x o là độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng tĩnh, ta có cx o =mg

Viết phương trình định luật II Newton: ma P P  đh

Chiếu lên phương Ox: mx mg c x  ( o x)

Ta được m  xcx 0 (1.1)

B CON LẮC TOÁN HỌC

Hệ dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng tĩnh gồm

một vật nặng có khối lượng m treo vào một đầu sợi

dây, không giãn chiều dài l, đầu còn lại của sợi dây

được cố định Dây không giãn, khối lượng không

đáng kể (hình 1.2) Yêu cầu thiết lập phương trình vi

phân dao động Chọn tọa độ suy rộng của hệ là 

Động năng chất điểm:

Ở đó v – vận tốc dài của vật m, v l 

Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng tĩnh

Thế năng của hệ:  mg l l(  cos )

Thay vào phương trình Lagrang II ta được:

l

    

Nếu dao động là nhỏ: sin ,

Phương trình dao động nhỏ của con lắc có

dạng:

0

g

l

   (1.2)

C DAO ĐỘNG XOẮN

Xét dao động xoắn của một vật nặng Hệ dao

động gồm một đĩa tròn gắn chặt vào một trục

đàn hồi Đầu kia của trục đàn hồi ngàm chặt

vào tường cố định

Cho momen quán tính của vật nặng đối với trục quay là J

Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 2

P

l T



Vị trí cân bằng tĩnh

v

Hình 1.2

c J



Vị trí cân bằng tĩnh Hình 1.3

Độ cứng xoắn của trục đàn hồi là c.

Giả thiết momen quán tính của trục đàn hồi

đối với trục quay nhỏ hơn nhiều so với momen

quán tính của vật nặng đối với trục quay

Biểu thức động năng và thế năng của hệ 1 2 1 2

;

T  J   c Thế vào phương trình Lagrang II: Jc 0 (1.3)

II TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN

A TÌM NGHIỆM CỦA PTVP DAO ĐỘNG KHÔNG CẢN

Từ các phương trình (1.1) (1.2) và (1.3) ta thấy phương trình dao động tự do không cản có dạng:

o

q q Với o2 c

m

  với pt (1.1); o2 g

l

  với pt (1.2) hoặc o2 c

J

  với pt (1.3) Phương trình có nghiệm dạng:

1cos o 2sin o t

q C  t C  (1.4) Trong đó C1, C2 là các hằng số

C1, C2 được xác định từ các điều kiện đầu (khi t=0), ta có:

Đặt (0)q q q o, (0) qo

o

o

q



Đặt C1Asin , C2 Acos

Trong đó A và  là các hằng số được xác định theo các công thức sau:

2

0

q



 

 



2

o o o

tg

  

 Khi đó PT (1.4) có thể viết dưới dạng:

) sin(   

Từ (1.6) ta thấy dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do được mô tả bởi hàm điều hòa Vì vậy dao động tự do không cản còn được gọi là dao động điều hòa Dao động điều hòa có các đặc trưng sau:

A- Biên độ dao động;

o

 - Tần số riêng;



o t - Pha dao động;

 - Pha ban đầu;

o

T





2

 - Chu kỳ dao động

B NHẬN XÉT

Dao động điều hòa có các tính chất sau:

3

- Tần số riêng và chu kỳ dao động không phụ thuộc vào các điều kiện đầu

mà chỉ phụ thuộc vào các tham số của hệ

- Biên độ dao động là hằng số Biên độ dao động và pha ban đầu phụ thuộc vào điều kiện đầu và các tham số của hệ

Việc xác định tần số dao động riêng 02 m c là nhiệm vụ quan trọng nhất của bài toán dao động tự do Bảng (2.1) sách giáo trình thống kê một số công thức tính tần số riêng của một số hệ dao động đơn giản

C VÍ DỤ

Tay biên khối lượng m, dài l

Tìm tọa độ trọng tâm và mô men quán tính của tay biên đối với trục qua trọng tâm và vuông góc với mặt phẳng tay biên Các kích thước cho trên hình vẽ

Bài giải :

Gọi vị trí của trọng tâm là C

Ta làm 2 thí nghiệm xem tay biên là con lắc vật lí, lần lượt có các điểm treo

là A, B Khoảng cách từ trục quay A tới C là a, khoảng cách từ trục quay B tới C là

b Theo yêu cầu bài toán ta cần xác định a ( hoặc b) và JC

Viết PT dao động nhỏ quanh A :

0



 A

A

A mga

mga

J

A



 2

2





JA-Momen quán tính của tay biên đối với trục đi qua A

Tương tự :

mgb

J

B



 2

2



JB-Momen quán tính của tay biên đối với trục đi qua B

TA, TB được xác định bằng thực nghiệm

Mặt khác ta có 3 PT :

a+b=l ;

JA=JC+ma2 ; (định lý chuyển trục Huyghen)

JB=JC+mb2

Như vậy có 5 phương trình, 5 ẩn là JA, JB, JC, a, b

Giải ra ta được :

4

2 2

l T

T g

l gT

l b

B A

A











2

2

4 T mb mgb

III XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỘ CỨNG CỦA CÁC HỆ DAO ĐỘNG

Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 4

B

A

a

b

l C

m

Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường được giả thiết bỏ qua khối lượng Đại lượng đặc trưng cho phẩn tử đàn hồi tuyến tính có

độ cứng và kí hiệu là c Thứ nguyên của độ cứng c nói chung là khác nhau

Dưới đây trình bày một số công thức tính toán hệ số cứng c qui đổi

A ĐỘ CỨNG QUI ĐỔI CỦA THANH ĐÀN HỒI

1 Xét trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu kéo nén.

Từ giáo trình SBVL :

EA

Fl

l 



Trong đó : E là mô đun đàn hồi

A là diện tích mặt cắt ngang

l c l l

EA

F   



Vậy độ cứng qui đổi được xác định bởi công thức: c  EA l

2 Trong trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu xoắn.

Từ giáo trình SBVL:

P

x

GI

l M





Trong đó:

G-Modun trượt

IP-Momen quán tính cực mặt cắt ngang



  





l

GI

x

Vậy độ cứng qui đổi trong trường hợp thanh

xoắn có dạng:

l

GI

3 Trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) bị uốn.

Xét dầm chịu lực như hình vẽ

Giáo trình SBVL: f Fl EI

3

3

1

 EI- độ cứng chống uốn;

cf f l

EI

 33

Vậy độ cứng qui đổi c được xác định bởi công thức: 3 3

l

EI

c 

B TÍNH TOÁN LÒ XO TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC HỆ CÁC LÒ XO

1 Đối với hệ có hai lò xo mắc song song

Ta có công thức tính hệ số cứng lò xo

tương đương:

F=c1x+c2x=c*x 1 2



Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 5

l

F

l



Mx

l

C2

l

F f

Tổng quát: hệ có n lò xo mắc song song







n

j j c c

1

*

2 Đối với hệ có hai lò xo mắc nối tiếp

Ta có : F=c1x1+c2x2, x=x1+x2  F=c*x

1 1 1

2 1

*

* 2

F c

F c

F

x     



Tổng quát: hệ có n lò xo mắc nối tiếp







n

i c i

1 1

Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do 6

C2

C1

x

C*

KẾT LUẬN

Đây là bài đầu tiên của chương I về dao động tự do không cản một bậc tự do Học viên đã được nghiên cứu các ví dụ cụ thể, sau đó rút ra dạng tổng quát phương trình dao động của hệ dao động tự do không cản một bậc tự do Tiếp đó học viên tiến hành nghiên cứu, giải phương trình vi phân chuyển động và tìm ra nghiệm là qui luật chuyển động của phần tử dao động Bài học cũng giới thiệu cách xác định tham số độ cứng của hệ dao động

Nội dung của bài học giới thiệu trường hợp hệ dao động đơn giản nhất Là cơ

sở để học viên tiếp tục nghiên cứu các trường hợp phức tạp hơn trong các bài sau

Do đó ở bài này học viên cần nắm chắc phương pháp thành lập phương trình vi phân dao động, áp dụng kiến thức toán học để giải phương trình

HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU

Để thuận tiện cho việc tự nghiên cứu và học tập tại đơn vị các học viên cần thực hiện các nội dung sau:

A. Nắm chắc trọng tâm của bài mục II.A, III.B Nghiên cứu các phương pháp, các bước xây dựng phương trình vi phân ở mục I

- Nghiên cứu sách giáo trình “Dao động kỹ thuật” – Nguyễn Văn Khang trang [34-43];

- Tự lập phương trình và xác định tần số dao động cho các hệ dao động đơn giản trong bảng 2.1 trang [39-40] sách giáo trình;

- Nghiên cứu thí dụ 1.5, 1.6 và làm các bài tập 1.1.5, 1.1.6, 1.1.12, 1.1.13 sách bài tập

Ngày tháng năm 2015

NGƯỜI BIÊN SOẠN

Kalyrus

7