Đang tải... (xem toàn văn)
toµn ®µn håi vµ xÈy ra vµo thêi ®iÓm lß xo cã chiÒu dµi nhá nhÊt... Va ch¹m lµ hoµn toµn ®µn håi..[r]
(1)BÀI TOÁN VA CHẠM TRONG DAO ĐỘNG VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG ĐỂ GIẢI
(Gửi em Phạm Thanh Toàn) Bài 1:
Cơ hệ dao động hình vẽ gồm vật M = 200g gắn vào lị xo có độ cứng k, khối lượng khơng đáng kể Vật M trượt không ma sát mặt ngang Hệ trạng thái cân người ta bắn vật m = 50g theo phương ngang với vận tốc v0 = 2(m/s) đến va chạm với M
Sau va chạm, vật M dao động điều hoà, chiều dài cực đại cực tiểu lò xo 28cm 20cm a) Tính chu kỳ dao động M
b) Tính độ cứng k lị xo Lời Giải a) Tìm chu kỳ dao động:
- áp dụng ĐLBTĐL: m v.0 m v M V. ; v V ; vận tốc m M sau va chạm Phương trình vơ hướng: m v 0 m v M V m v v.( 0 ) M V v v0 M V
m
(1) - ¸p dơng §LBTCN:
2 2 2 2 2
0 0
1 . 1 . 1 . .( ) . ( ) .
2 2
M
m v m v M V m v v M V v v V
m
(2)
LÊy (2) chia cho (1) ta cã: v0 + v =V (3)
LÊy (1) céng (3), ta cã:
0
2.v M m.V V m v 0,8( / )m s
m M m
Mặt khác ta có : 4
2
max l l
A cm
Vận tốc M sau va chạm vận tốc cực đại dao động vật M, ta có
2
0,314( )
80
A
V A A T s
T V
b) Tìm độ cứng k lò xo: k k M M.4.22 80( / )N m
M T
Bài 2:
Cho hệ dao động hình vẽ, khối lượng lị xo khơng đáng kể. k = 50N/m, M = 200g, trượt khơng ma sát mặt phẳng ngang.
1) Kéo m khỏi VTCB đoạn a = 4cm råi bu«ng nhĐ TÝnh VTB cđa M sau nã ®i qịang ®êng
2cm
2) Giả sử M dao động câu có vật m0 = 50g bắn vào M theo phương ngang với vận
tốcvo Giả thiết va chạm không đàn hồi xảy thời điểm lị xo có độ dài lớn Tìm độ lớn
o
v , biết sau va chạm m0 gắn chặt vào M dao động điều hoà với A' = 4 2 cm.
Lêi gi¶i
1 - TÝnh vËn tèc TB
Một dđđh coi hình chiếu chuyển động trịn chất điểm hình vẽ Khoảng thời gian vật từ x = đến x = (cm) khoảng thời gian vật chuyển động tròn theo cung M1M2
t =
a 3 víi = 0,2 50
m
k = 5 (Rad/s)
M
m v k
M k
o
v m0
M1 +
2 M2
(2)-> t =
15
1
(s) VTB = 30cm(s) t
S
2 - Theo câu 1, M có li độ x0 = a = cm lúc lị xo có chiều dài lớn + Ngay sau va chạm, hệ (M + m0) có vận tốc v
ĐLBT động lượng: (M + m0) v = m0.vo (1) + Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 2 cm tần số góc
' =
05 , ,
50
0
m M
k
= 10 2 (Rad/s)
L¹i cã v = ' ( A ')2 x02 = 40 2 (m/s)
Tõ (1) v0 =
05 ,
2 40 ) , , ( )
(
m v m M
= 200 2 (cm/s) Bài 3:
Một đĩa khối lượng M = 900g đặt lị xo có độ cứng k = 25(N/m).Một vật nhỏ m = 100g rơi không vận tốc ban đầu từ độ cao h = 20(cm) ( so với đĩa) xuống đĩa dính vào đĩa Sau va chạm hệ hai vật dao động điều hồ
1.Viết phương trình dao động hệ hai vật, chọn gốc toạ độ VTCB hệ vật, chiều dương hướng thẳng đứng từ xuống, gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm Lấy g = 10(m/s2).
2.Tính thời điểm mà động hai vật ba lần lò xo.Lấy gốc tính lị xo VTCB hai vật
Lêi Gi¶i
1 Chọn mặt phẳng qua đĩa làm mốc tính năng, ta có:
Gọi v0 vận tốc m trước va chạm, áp dụng ĐLBTCN, ta
0
2( / )
2
m v
m g h v g h m s
Do va chạm va chạm mềm nên sau va cham hệ chuyển động với vận tốc v ;
áp dụng ĐLBTĐL, ta có:
0
( ) m v 20( / )
m v M m v v cm s
M m
Khi hƯ ë VTCB, hƯ nÐn thªm đoạn là: m g k l l mg 4( )cm k
Phương trình có dạng: x A sin( t ); với k 5(rad s/ ) M m
ở thời điểm ban đầu, t = 0
.sin
20 /
x A cm
v A cos cm s
4rad A; 2cm
4 2.sin(5 )
4
x t cm
Nếu viết phương trình theo hàm cosin ta có: x Acos t ( )
ë thêi ®iĨm ban đầu, t = 0
.sin 20 /
x A cos cm
v A cm s
3 ; 4 2
4 rad A cm
3
4 (5 )
4
x cos t cm
m
M
(3)2 Tìm thời điểm mà Eđ = 3Et: Ta cã E = E® + Et =
2 k A mà Eđ = 3.Et nên thay ta có: 4Et = E
2
1
4
2 2
A k x k A x
(5 )
4
x cos t
(5 )
4
cos t
Khi (5 )
4
cos t
3
5
4
3
5
4
t n
t n
5 2
60
13 2
60
t n
t n
víi 1,2,3,4,
1,2,3,4,5,
n n
Khi (5 )
4
cos t
3
5
4
3
5
4
t n
t n
60 52
17 2
60
t n
t n
víi 1,2,3,4,5,
1,2,3,4,5,
n n
Bài 4:
Một đĩa nằm ngang, có khối lượng M = 200g, gắn vao đầu lò xo thẳng đứng có độ cứng k = 20(N/m) Đầu lị xo giữ cố định Đĩa chuyển động theo phương thẳng đứng Bỏ qua ma sát sức cản khơng khí
1 Ban đầu đĩa VTCB ấn đĩa xuống đoạn A = 4cm thả cho đĩa dao động tự Hãy viết phương trình dao động ( Lấy trục toạ độ hướng lên trên, gốc toạ độ VTCB đĩa, gốc thời gian lúc thả)
2 Đĩa nằm VTCB, người ta thả vật có khối lượng m = 100g, từ độ cao
h = 7,5cm so với mặt đĩa Va chạm vật đĩa hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm vật nảy lên giữ không cho rơi xuống đĩa
LÊy g = 10(m/s2)
a) Tính tần số góc dao động đĩa b) Tính biên độ A’ dao động đĩa. c) Viết phương trình dao động đĩa
Lêi Gi¶i
1 Phương trình dao động có dạng : x A cos t ( ) Trong đó: 20 10( / )
0,2
k rad s
M
;
theo ®iỊu kiƯn ban đầu ta có: t = 0
.sin
x A cos cm v A
4
sin
cos A
;A4cm VËy
ta ®ỵc x4.cos t(10 ) 4cos t cm(10 )
2 Gọi v vận tốc m trước va chạm; v1, V vận tốc m M sau va chạm Coi hệ kín, áp dụng ĐLBTĐL ta có: pt ps m v m v M V 1
chiếu lên ta được: -m.v = m.v1 M.V m v v.( 1)M V (1)
Mặt khác ta có: áp dụng ĐLBTCN : m.g.h = m 2
v v g h (2)
Do va chạm tuyệt đối đàn hồi nên: 12
2 2
m v
m v MV (3) Gi¶i hƯ (1), (2), (3), ta cã : v1,2( / )m s vµV 0,8( / )m s
áp dụng ĐLBTCN dao động điều hoà : E = Eđ + Et ( Et = ) nên E = Eđ
2
1 ' 1 . ' 0.082 8,2
2 k A M V A m cm
1 Phương trình dao động đĩa có dạng : x A cos t ' ( )
(4)Tại thời điểm ban đầu t = 0
0 '
' sin
x A cos
v V A
' 8,2
rad
A cm
Vậy phương trình đĩa : 8,2 (10 )
x cos t cm Bài 5:
Cho hệ dao động hình vẽ bên Lị xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng k 30N/m Vật M 200 g trượt khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật m100 g bắn vàoM theo phương nằm ngang với vận tốc v0 3m/s Sau va chạm hai vật dính vào dao động điều hồ Xác định vận tốc hệ
ngay sau va chạm Viết phương trình dao động hệ Chọn trục toạ độ Ox trùng với phương dao động, gốc toạ độ O vị trí cân bằng, chiều dương trục chiều với chiều v0 Gốc thời gian lỳc va chm
Giải
+ Va chạm mềm:
v m s cm s
m M V
V M m
mv / 100 /
1
0
0
VËntèccña hƯ ngaysau vach¹m:
+ Tần số góc hệ dao động điều hoà: 10( / )
1, ,
30 rad s
m M
k
+ Phương trình dao động có dạng: x Asin10t, vận tốc: v10Acos10t + Thay vào điều kiện đầu:
s / cm v
x t
t t
100 0
0
A (cm)
cos A sin A 10
+ Vậy phương trình dao động là: x10sin10t cm .
§S: V 100cm/s, x10sin10t cm .
Bài 6: Một lắc lò xo, gồm lò xo có khối lượng khơng đáng kể có độ cứng k 50N/m, vật M có khối lượng
g
200 , dao động điều hoà mặt phẳng nằm ngang với biên độ A0 4 cm Giả sử M dao động có
vậtmcó khối lượng 50 g bắn vào M theo phương ngang với vận tốc v0 2 m/s, giả thiết va chạm không đàn hồi xẩy thời điểm lị xo có độ dài lớn Sau va chạm hai vật gắn chặt vào dao động điều hồ
1) Tính động hệ dao động thời điểm sau va chạm 2) Tính dao động hệ sau va chạm, từ suy biên độ dao động hệ Giải;
+ Vì va chạm xẩy thời điểm lị xo có độ dài lớn nên vận tốc củaM trước lúc va chạm không Gọi V vận tốc hệ M m sau va chạm Sử dụng định luật bảo tồn động
lượng, ta có: v m s
m M V
V m M
mv 2 0,4 /
05 ,
2 ,
1
1
0
0
(5)1) §éng hệ sau va chạm: Ed M mV 0,04 J 2 , 05 , , 2
+ Tại thời điểm vật có li độ x A0 4 cm 0,04 m nên đàn hồi:
J kx
Et 2 50.02,04 0,04
2
2) Cơ dao động hệ sau va chạm: E Ed Et 0,08 J
+ Mặt khác: m cm
k E A
kA
E 0,04
50 08 , 2 2
ĐS: 1) Et Ed 0,04 J ; 2) E0,08 J ; A4 2 cm Bài 7: Một lắc lị xo, gồm lị xo, có độ cứng k 50N/m vật nặng M 500 g dao động điều hoà với biên độ A0 dọc theo trục Ox mặt phẳng nằm ngang Hệ dao động vật
g m
3 500
bắn vàoM theo phương nằm ngang với vận tốc v0 1m/s Giả thiết va chạm hoàn
toàn đàn hồi xẩy vào thời điểm lị xo có chiều dài nhỏ Sau va chạm vật M dao động điều hồ làm cho lị xo có chiều dài cực đại cực tiểu lmax 100 cm lmim 80 cm Cho
/ 2
10 m s
g
1) Tìm vận tốc vật sau va chạm 2) Xác định biên độ dao động trước va chạm Giải
1) Vào thời điểm va chạm lị xo có chiều dài nhỏ nên vận tốc vậtM trước va chạm không GọiV,v vận tốc vậtM vàm sau va chạm Vì va chạm hồn tồn đàn hồi nên sử dụng định luật bảo toàn động lượng bảo tồn lượng, ta có:
s / m , . v m Mm M v s / m , . v m M V MV mv mv MV mv mv 3 1 2 2 0 2 0
2) Tại thời điểm sau va chạm vật dao động có li độ vận tốc xA0 V 3m/s
nên đàn hồi động lúc là:
J MV E A A kx E d t 0625 , , , 25 50 2 2 2
+ Biên độ dao động điều hoà sau va chạm A l l 10 cm 01, m
2 80 100
min
max
nên dao động: E kA 0,25 J
2 , 50 2
+ Mµ 25 00625 025
0 , ,
A . E
E
Et d A , A 0,05 3 m 3 cm
25 1875
0
0
ĐS: 1) V 0,5m/s;v0,5m/s; 2) A0 5 3 cm Bài 8: Cho hệ dao động nhưhình vẽ bên Lị xo có
(6) g
M 400 trượt khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật m100 g bắn vàoM theo phương nằm ngang với vận tốc v0 3,625m/s Va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm vật M dao động điều hồ Chiều dài cực đại cực tiểu lị xo lmax 109 cm lmim 80 cm
1 Tìm chu kỳ dao động vậtM độ cứngk lò xo
2 Đặt vật m0 225 g lên vật M, hệ gồm vật m0 M đứng yên Vẫn dùng vật
g
m100 bắn vào với vận tốc v0 3,625m/s, va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm ta thấy hai vật dao động điều hồ Viết phương trình dao động hệ m0 M Chọn trục Ox hình vẽ, gốc toạ độ vị trí cân gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm
3 Cho biết hệ số ma sát m0 vàMlà0,4 Hỏi vận tốc v0 vậtmphải nhỏ giá trị để vật m0 đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động Cho
/ 2
10 m s
g
Gi¶i
1 Biên độ dao động A l l 14,5 cm
2 80 109
min
max
-+ Vì va chạm hồn tồn đàn hồi nên vận tốc M sau va chạm tính theo cơng thức:
2
2 0
MV mv
mv
MV mv
mv
s / cm s
/ m , ,
v m M
V 3625 145 145
4
2
2
0
(đây chÝnh lµ vËn tèc
cực đại dao động điều hoà)
+ Sau va chạm vật dao động điều hồ theo phương trình li độ x Asint, phương trình vận tốc: vAcost
+ Vậy vận tốc cực đại dao động điều hoà: rad s cm
s cm A
V V
A
v 10 /
5 , 14
/ 145
max
+ Chu kì dao động: T 0,628 s
2
+ Độ cứng lò xo: kM.2 0,4.102 40N/m.
2 Tương tự câu 1) vận tốc hệ m0 M sau va chạm tính theo cơng thức:
v m s cm s
m m M
V 7,25 / 200 /
1,
625 ,
2
2
'
0
(đây vận tốc cực đại dao
động điều hoà)
+ Tần số góc dao động: 8( / )
225 , ,
40
s rad m
M
k
+ Phương trình dao động có dạng: x Asin8t, vận tốc: v8Acos8t
+ Vận tốc cực đại dao động điều hoà: cm cm
s cm V
A V A
v 25
8 / 200 ' '
max
+ Pha ban đầu xác định từ điều kiện đầu:
s cm v
x t
t t
/ 200 0
0
0
1 cos
(7)+ Vậy phương trình dao động là: x25sin8t cm
3 Dùng vật m bắn vào hệ m0 M với vận tốc v0, va chạm hồn tồn đàn hồi vận tốc h
m0 M sau va chạm là: v v v m s m
m M
V /
29 25 ,
2
2
'
0
0
(đây vận tốc
cc i dao động điều hoà:
29 '
'
max A V A V v
v
)
+ Vậy phương trình dao động điều hồ có dạng: x v sin8t
290 , vµ gia tèc cđa hƯ lµ:
x A t v t
a sin
29 64 sin
'' Do gia tốc cực đại:
29 64 max
v
a
+ Vật m0đặt vật M chuyển động với gia tốc a, nên chịu tác dụng lực có độ lớn:
29 64 0 max
0
v m F
a m
Fqt qt
+ Để vật m0 ln đứng n M lực ma sát trượt Fms m0glớn lực cực đại, tức là:
29 64 10
0
0
0g m a g a , . v
m max max
v 3,625m/s
8 29
0
+ Vậy để vật m0 đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động vận tốc v0 vật m phải thoả mãn: v 3,625m/s
8 29
0
§S: 1) T 0,628 s
5
; k 40N/m;2) x25sin8t cm ; 3) v 3,625m/s
8 29
0
Bài 9: Một vật nặng có khối lượng M 600 g , đặt phía lị xo thẳng đứng có độ cứng k 200N/m nhưhình vẽ Khi vị trí cân bằng, thả vật m200 g từ độ cao h6 cm so với M Coi va chạm hoàn toàn mềm, lấy g 10m/s2;2 10.
1) Tính vận tốc củam trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm
2) Sau va chạm hai vật dao động điều hoà Giải:
1) Vận tốc vật m trước lúc va chạm:
m/s
, ,
. . gh
v0 210006 02
cm/ s
v0 20 (hướng xuống dưới)
+ Hệ M m lúc va chạm coi hệ kín, theo định luật bảo toàn động lượng (theo giả thiết va chạm hoàn toàn mềm): mv0 mMV Suy ra, vận tốc hai vật sau va chạm:
cm s
v m M
V /
1
0
(hướng xuống dưới)
2) T¹i VTCB cị cđaM, lò xo nén đoạn: m cm k
Mg 0,03 3
200 10 ,
0
(8) m cm
k g M
m 0,04 4
200 10 ,
'
+ Suy ra: OC l'l 431 cm
+ Chọn hệ toạ độ Ox nhưhình vẽ, gốc O trùng với vị trí cân hệ M m sau va chạm Do đó, sau va chạm hệ có toạ độ vận tốc là:
cm v V cm s
x1 1 , 5 /
+ Sau va chạm hệ dao động điều hoà xung quanh VTCB O với tần số góc:
M m rad s
k 5 /
2 , ,
200
+ Biên độ dao động:
cm
v x
A
5
1 2
2
2 2
1
ĐS: 1) v0 20 3m/s,V 5 3cm/s, 2) A2 cm Bài 10: Con lắc lò xo gồm vật nặng M 300 g , lị xo có độ cứng k 200N/m lồng vào trục thẳng đứng nhưhình vẽ Khi vị trí cân bằng, thả vật m200 g từ
độ cao h3,75 cm so với M Coi ma sát không đáng kể, lấy
/ 2
10 m s
g , va chạm hoàn toàn mềm
1 Tính vận tốc củam trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm
2 Sau va chạm hai vật dao động điều hoà Lấy t0là lúc sau va chạm Viết phương trình dao động hai vật hệ toạ độ O’X
h×nh vÏ, gèc O’ trïng víi vị trí cân C hệ M m sau va
ch¹m
3 Viết phương trình dao động hai vật hệ toạ độ ox hình vẽ, gốc O vị trí cân cũ củaM trước va chạm Gốc thời gian cũ Giải:
1) Vận tốc vật m trước lúc va chạm:
m s
gh
v /
2 10
75 , 10
2
0 (hướng xuống dưới) Hệ
M m lúc va chạm coi hệ kín, theo định luật bảo toàn động lượng (theo giả thiết va chạm hoàn toàn mềm): mv0 mMV Suy ra, vận tốc hai vật sau va chạm:
m/s cm/s
v m M
V 20
5
1
0
(hướng xuống dưới)
2) T¹i VTCB cị M (vị trí O), lò xo nén đoạn: m cm k
Mg 0,015 1,5
200 10 ,
0
+ T¹i VTCB míi C cđa hệ sau va chạm, lò xo nén đoạn:
m cm
k g M
m 0,025 2,5
200 10 ,
0
(9)+ Sau va chạm hệ dao động điều hoà xung quanh VTCB C O’ với tần số góc:
M m rad s
k 20 /
2 , ,
200
+ Phương trình dao động: X Asin20t, vận tốc: V X'20Acos20t
+ Chọn t0 lúc va chạm, nên:
s / cm V
cm OC
X t
t
3 20
1
0
6
1
20 20
1 A cm
tg sin A cos
A sin A
+ Suy ra, li độ vật hệ toạ độ O’X là: X t cm
6 20 sin
2
3) Theo (1) ta có phương trình dao động vật hệ toạ độ Ox là:
cm t
x hay X
x
6 20 sin ,
1
§S: 1) v m/s
2
0 ,V 20 3cm/s, 2) X t cm
6 20 sin
2 ,
3) x t 1 cm
6 20 sin
2
Bài 11: Một cầu khối lượng M 2 kg , gắn lị xo thẳng đứng có độ cứng
N m
k 400 / Một vật nhỏ m0,4 kg rơi tự từ độ cao h ,18 m xuống va chạm đàn hồi vớiM (xem hình vẽ) Sau va chạm vậtM dao động điều hồ Lấy g 10m/s2 a) Tính vận tốc củam trước va chạm vận tốc vật sau va chạm b) Viết phương trình dao động vậtM, chọn gốc tọa độ vị trí cân vật, chiều dương hướng thẳng đứng xuống, gốc thời gian lúc sau va chạm
ĐS: a) v0 6m/s;V 2m/s;v4m/s; b) x10sin20t cm Bài 12: Một cầu khối lượng M 200 g , gắn lị xo thẳng đứng có độ cứng
N m
k 20 / Một vật nhỏ m100 g rơi tự từ độ cao h45 cm xuống va chạm đàn hồi với M (xem hình vẽ) Sau va chạm vậtM dao động điều hoà Lấy g 10m/s2 a) Tính vận tốc củam trước va chạm
b) TÝnh vËn tèc cña hai vËt sau va ch¹m
c) Viết phương trình dao động vật M, chọn gốc tọa độ vị trí cân vật, chiều dương hướng thẳng đứng xuống, gốc thời gian lúc sau va chạm Giả sử Mđ
không bị nhấc lên khiM dao động Gốc thời gian lúc va chạm
d) Khối lượng Mđ phải thoả mãn điều kiện để khơng bị nhấc lên M
dao động
(10) cm
h20 (so với đĩa) xuống đĩa dính vào đĩa (hình vẽ) Sau va chạm hai vật dao động điều hoà a) Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc hai vật sau va chm
b) Vị trí cân cách vị trí cân cũ khoảng bao nhiêu?
c) Viết phương trình dao động hai vật, chọn gốc tọa độ vị trí cân hai vật, chiều dương hướng thẳng đứng từ tên xuống, gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm Cho g 10m/s2.
§S: a) v0 2m/s,V 0,2m/s, b)4 (cm), c) x t cm
4 sin
4
Bài 14: Cho hệ dao động hình vẽ Lị xo có khối lượng khơng đáng kể, độ cứng k Vật M 400 g trượt khơng ma sát mặt phẳng nằm ngang Hệ trạng thái cân bằng, dùng vật
g
m100 bắn vào M theo phương nằm ngang với vận tốc v0 1m/s Va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau
va chạm vật M dao động điều hồ Chiều dài cực đại cực tiểu lị xo 28 cm
cm
20
1) Tìm chu kỳ dao động vậtM độ cứngk lò xo
2) Đặt vật m0 100 g lên vậtM, hệ gồm hai vật m0 M đứng yên Vẫn dùng vật m bắn vào với vận tốc v0 1m/s, va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm ta thấy hai vật dao động điều hoà Viết phương trình dao động hệ m0 M Chọn gốc toạ độ vị trí cân bằng, chiều dương trục chiều với v0 gốc thời gian lúc bắt đầu va chạm
3 Cho biết hệ số ma sát m0 vàM là0,4 Hỏi vận tốc v0 vật m phải nhỏ giá trị để vật m0 đứng yên (không bị trượt) vật M hệ dao động Cho
/ 2
10 m s
g
§S: 1) T s,k 40N/m
5