Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở th[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI Năm học: 2011 – 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm)
Cho
x 10 x
A
x 25
x x
, với x x 25. 1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm giá trị A x = 3) Tìm x để A <
1 3. Bài II (2,5 điểm)
Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày?
Bài III (1,0 điểm)
Cho parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 2x – m2 + 9.
1) Tìm tọa độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) m =
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm nằm hai phía trục tung
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 d2 hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1, d2 M, N
1) Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ENI EBI MIN = 900. 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI
4) Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng
Bài V (0,5 điểm)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M =
2
4x 3x 2011
4x
BÀI GIẢI
Bài I: (2,5 điểm) Với x ≥ x 25 ta có :
1)
x 10 x
A
x 25
x x
=
( 5) 10 5( 5)
25 25 25
x x x x
x x x
=
5 10 25
25 25 25
x x x x
x x x
=
10 25
25
x x
x
=
2
( 5)
( 5)( 5)
x
x x
(2)=
5
x x
2) x = A =
9
4
3) A < 3
5
x x
<
1
3 3 x15 x5 x 20 x10 0 x 100
Bài II: (2,5 điểm)
Cách 1: Gọi x (ngày) (x N*) số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng Theo đề ta có:
140
5 (x 1) 140 10
x
140x + 5x2 – 140
x - = 150 5x2 – 15x – 140 = x = hay x = -4 (loại) Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch ngày
Cách 2: Gọi a (tấn) (a 0): số hàng ngày, b (ngày) (b N*) : số ngày
Theo đề ta có :
140
( 5)( 1) 140 10
a b
a b
140
5 15
a b b a
5b2 – 15b = 140 b = hay b = -4 (loại) Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch ngày Bài III: (1,0 điểm)
1) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) m = là:
x2 = 2x + x2 – 2x + = (x + 2) (x – 4) = x = -2 hay x = 4 y(-2) = 4, y(4) = 16
Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) m = : (-2; 4) (4; 16) 2) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x2 = 2x – m2 + 9
x2 – 2x + m2 – = (1)
Ycbt (1) có nghiệm phân biệt trái dấu a.c = m2 – < m2 < 9 m < -3 < m <
Bài IV: (3,5 điểm)
1) Xét từ giác MAIE có góc vng góc A, góc E (đối nhau) nên chúng nội tiếp đường trịn đường kính MI
2) Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường trịn đường kính IN Vậy góc ENI = góc EBI (vì chắn cung EI) Tương tự góc EMI = góc EAI (vì chắn cung EI) Mà góc EAI + góc EBI = 900 (EAD vng E) góc MIN = 1800 – (góc EMI + góc ENI)
= 1800 – 900 = 900
3) Xét tam giác vuông MAI IBN
Ta có góc NIB = góc IMA (góc có cạnh thẳng góc) chúng đồng dạng
M E
I
A O B
F G
(3)
AM AI
IB BN AM.BN AI.BI (1)
4) Gọi G điểm đối xứng F qua AB Ta có AM + BN = 2OG (2) (Vì tứ giác AMNB hình thang cạnh OG cạnh trung bình AM BN)
Ta có : AI = R
2 , BI = 3R
2
Từ (1) (2) AM + BN = 2R AM.BN = 3R
4 Vậy AM, BN nghiệm phương trình X2 – 2RX +
2 3R
4 = 0 AM =
R
2 hay BN = 3R
2 Vậy ta có tam giác vng cân MAI cân A và NBI cân B MI =
R R
2 NI =
3R 3R
2
S(MIN) =
2
1 R 3R 3R
2 2
Bài V: (0,5 điểm) M =
2
1
4( ) 2010
2
x x
x
1
2 2010 2011
4
x
x
khi x =
2 ta có M = 2011 Vậy giá trị nhỏ M 2011. Ths Hoàng Hữu Vinh