Gọi B là tập con của A có n phần tử và B chứa ba số tự nhiên liên tiếp.[r]
(1)http://math.vn DIỄN ĐÀN MATH.VN
http://math.vn
LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 02
Câu I 1)(1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm sốy=x3−3mx+2, với m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C)của hàm số với m=1
Lời giải:
m=1Hàm số lày=x3−3x+2có TXĐ làD=R
y0=3x2−3=3(x2−1)
y0=0⇔
x=−1 ⇒y=4
x=1 ⇒y=0
Giới hạn vô cực lim
x→+∞y= +∞; limx→−∞
y=−∞ Bảng biến thiên
x −∞ −1 +∞
y0 + − +
y −∞%
4
&0% +∞
hàm số đồng biến trên(−∞;−1);(1;+∞) hàm số nghịch biến trên(−1; 1)
Điểm cực đại(−1; 4), điểm cực tiểu(1; 0)
Đồ thị
Giao với trục tung:(0; 2)
Giao với trục hoành:(−2; 0),(1; 0)
−2 −1 2
4
0
Câu I 2)(1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm giá trị củamđể đồ thị hàm số có hai điểm cực trịA,Bsao cho4IABcó diện tích bằng√18, đóI(1; 1)
Lời giải:trantrongtai1234
Ta có:y0=3x2−3m=3(x2−m) Để hàm số có CĐ CT⇔m>0
gọiA,Blà cực trị thì:A(−√m; 2+2m√m);B(√m; 2−2m√m)
Phương trình đường thẳng qua AB là: y−(2+2m√m) =−4m
√
m
2√m (x+
√
m) ⇔y=2−2mx Khoảng cách từIđến đtABlàd(I;AB) = √|2m−1|
4m2+1, độ dài đoạnAB=
√
4m+16m3 mà diện tích tam giácIABlàS=√18⇔
2
|2m−1| √
4m2+1
√
4m+16m3=√18
⇔(4m+16m3)(2m−1)2= (4m2+1)4·18⇔m(2m−1)2=18
⇔4m3−4m2+m−18=0⇔(m−2)(4m2+4m+9) =0⇔m=2
Câu II.)(1 điểm) ———————————————————————————————— Giải phương trình 2√2
sinπ −
x
2
cos
π 8−
3x
2
−cosx
=2 sin 2x−3
Lời giải:
Cách 1:lonely_abba
PT ⇔√2 sin
π
4 −2x
+√2 sinx−2√2 cosx=2 sin 2x−3
⇔cos 2x−sin 2x+√2 sinx−2√2 cosx=2 sin 2x−3
⇔cos 2x−3 sin 2x+2 sin
x−π
4
−√2 cosx+3=0
Đặtt=x−π
4 Đưa đc:sin 2t+3 cos 2t−3 sint+cost−3=0
⇔ −6 sin2t+ (2 cost−3)sint+cost=0 (∗)
∆sinx= (2 cost−3)2+24 cost= (2 cost+3)2
(∗)⇔
"
sint=−2 sint=
3cost
Cách 2:ltq2408
(2)http://math.vn Phương trình tương đương với:√2 sin
π
4 −2x
+√2 sinx−2√2 cosx=2 sin 2x−3
⇔(cosx−sinx) (cosx+sinx) +3(1−sin 2x) +√2(sinx−2 cosx) =0
⇔2(cosx−sinx) (2 cosx−sinx)−√2(2 cosx−sinx) =0
⇔(2 cosx−sinx)2 cosx−2 sinx−√2=0
Câu III.)(1 điểm) ———————————————————————————————— Giải hệ phương trình sau trênR:
(
3x=p8y2+1
3y=√8x2+1. Lời giải:
Cách 1:canhochoi
Đầu tiên ta xét hàm f(t) =3t+√8t2+1để chứng tỏ rằngx=y
Xétg(x) =9x−8x2−1, g0(x) =9xln 9−16x, g00(x) =9xln 92−16,
g00(x) =0⇔x=log9
16 ln 92
=α Ta cóg0(α)≈ −1,44
Từ BBT ta dễ suy có sốz1,z2thỏa ptg0(x) =0.Từ dễ dàng lập BBT hàm số g(x) Từ BBT hàm số g(x), suy pt g(x)=0 có tối đa ba nghiệm, mà ta lại cóg(1) =g(0) =g
1
=0,
nên1,0,1
2 ba nghiệm PT
Cách 2:vokhachuyy
Ta có:p8y2+1≥1⇒(3x≥1)⇒x≥0. √8x2+1≥1⇒(3y≥1)⇒y≥0. Xét f(t) =√8t2+1 f(t)0= √ 8t
8t2+1 ≥0,t≥0 f(t)đồng biến giả sửx≥y⇒3x≥3y⇒p8y2+1≥√8x2+1⇒y≥x suy rax=y Xétg(x) =9x−8x2−1, g0(x) =9xln 9−16x, g00(x) =9xln 92−16,
g00(x) =0⇔x=log9
16 ln 92
=α Ta cóg0(α)≈ −1,44
Từ BBT ta dễ suy có sốz1,z2thỏa ptg0(x) =0.Từ dễ dàng lập BBT hàm số g(x) Từ BBT hàm số g(x), suy pt g(x)=0 có tối đa ba nghiệm, mà ta lại cóg(1) =g(0) =g
1
=0,
nên1,0,1
2 ba nghiệm PT
Câu IV.(1 điểm) ———————————————————————————————— Tính tích phân I=
Z
1
x+lnx
(1+x)2dx Lời giải:
Cách 1:canhochoi I=
Z
1
x+lnx
(1+x)2dx=
Z
1
1 1+xdx+
Z
1
lnx
(1+x)2dx−
Z
1
1 (1+x)2dx
Ta có: Z 1
1+xdx=ln|x+1|
1=ln
3 Z
1
lnx
(1+x)2dx=−
lnx
1+x
1+ln|x|
1−ln|x+1|
1=−
ln
3 +ln 2−ln Z
1
1
(1+x)2dx=−
1
x+1
1=
VậyI=2 ln
3 −
1
Cách 2:trantrongtai1234 Đặtu=x+lnx⇒du=x+1
x dx dv=
1
(x+1)2dx⇒v=
−1 (x+1)
Ta có:I= −(x+lnx) 1+x
1+ Z 1
xdx=
−(x+lnx) 1+x
1+ln|x|
1 VậyI=
2 ln
3 −
1
Câu V.(1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình chópS.ABCD có đáyABCDlà hình thoi AB=BD=a,SA=a√3, SA⊥(ABCD) GọiM
(3)http://math.vn điểm cạnhSB choBM=
3SB, giả sửN điểm di động cạnhAD Tìm vị trí điểm N để
BN⊥DMvà tính thể tích khối tứ diệnBDMN Lời giải:lonely_abba
VẽMEkSA(E∈AB); BH⊥AD(H ∈AD)
∆SAB:SAkME⇒ME SA =
MB SB
⇒ME=MB
SB ·SA=
2a√3
Ta có:MEkSA;SA⊥AB⇒ME⊥AB
⇒DElà hình chiếu vng góc củaDMtrên(ABCD)
Theo định lí đường vng góc, BN⊥DM⇒BN⊥DE
Ta có: BE BA =
MB
SB ⇒BE= MB
SB ·AB=
2a
3
Ta có:−AE→=
−→
BA−−→BD
−→
BN= x
a
−→
BA−a−x
a
−→
BD
−→
BA−→BD= a
2
2
BN⊥DE⇔−AE→−→BN=0
⇔2a
3aBA
2+
2(a−x) 3a −
x a
−→
BA−→BD−a−x
a BD
2=0
⇔2a.a
2
3a +
2(a−x) 3a −
x a
a2
2 −
a2(a−x)
a =0
⇔5
6ax− 3a
2=0⇔x= 4a
5
Ta có:∆ABDlà tam giác đều⇒SBDA= a2√3
4
SBDN SBDA =
DN DA =
4
5⇒SBDN =
a2√3
Thể tích khối tứ diệnMNDBlà: V =1
3ME.SBAN = 3·
2a√3 ·
a2√3
5 =
2a3
15
A
B
C D
S
H
E M
N
Câu VI.(1 điểm) ———————————————————————————————— Choa,b,clà độ dài ba cạnh tam giác nhọnABC Chứng minh
a3
cosA+ b3
cosB+ c3
cosC ≥12pR 2, plà nửa chu vi vàRlà bán kính đường trịn ngoại tiếp4ABC
Lời giải:CSS
Sử dụng công thức quen thuộc
cosA= b
2+c2−a2
2bc ,cosB=
c2+a2−b2
2ca ,cosC=
a2+b2−c2
2ab ,
2p=a+b+c,R2= a
2b2c2
2(a2b2+b2c2+c2a2)−(a4+b4+c4),
ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng a2
b2+c2−a2+
b2
c2+a2−b2+
c2
a2+b2−c2 ≥
3abc(a+b+c) 2∑a2b2−∑a4
Do tam giácABCnhọn nênmin{b2+c2,c2+a2,a2+b2}>max{a2,b2,c2},
điều cho phép ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau ∑
a2
b2+c2−a2 ≥
(a2+b2+c2)2
∑a2(b2+c2−a2)
= (a
2+b2+c2)2
2∑a2b2−∑a4
Vậy ta cần chứng minh(a2+b2+c2)2≥3abc(a+b+c),
hiển nhiên vì(a2+b2+c2)2≥(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)theo AM-GM
Câu VII.)(1 điểm) ———————————————————————————————— Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxycho tam giácABCcó phương trình đường cao
AH: 3x+2y−1=0, phân giác trongCK: 2x−y+5=0và trung điểmM(2;−1)của cạnhAC Tính chu vi diện tích của tam giácABC
(4)http://math.vn Lời giải:
Câu VIII.)(1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) tâm I(1;−2; 1); bán kính R=4 đường thẳng
(d): x =
y−1
−2 =
z+1
−1 Lập phương trình mặt phẳng(P)chứa(d)và cắt mặt cầu(S)theo đường trịn
có diện tích nhỏ
Lời giải:trantrongtai1234
GọiH hình chiếu củaIlên đường thẳng(d):
Gọi(Q)là mặt phẳng quaIvng góc với(d)⇒pt mp(Q): 2x−2y−z=5
như ta cóHthuộc(d)và(Q)⇒H(4 3;
−1 ;
−5 )
ta cóIH=√10<4=R⇒(d)cắt mặt cầu
Gọi(G)là mặt phẳng quaH vng góc vớiIH
Lập phương trình mặt phẳng cắt mặt theo đường trịn có diện tích nhỏ Tương đương khoảng cách từ tâm đến mp lớn
Bài tốn quay trở giống (A-2008)
⇒PT mp(P)đi quaH nhậnIH−→là véctơ pháp tuyến:x+5y−8z=13
Thật gọi(X)là mp chứa(d)vàA0là hình chiếu củaAlên(X)⇒AA0nhỏ bằngAH
TứcAHlà khoảng cách lớn từAđến mp chứa(d) Vậy PT:x+5y−8z=13chính pt mp(P)cần tìm
Câu IX.(1 điểm) ———————————————————————————————— Cho tậpA={1,2,3, ,2011}vàn∈A,n≤1006 GọiBlà tập củaAcónphần tử vàBchứa ba số tự nhiên liên tiếp Hỏi có tậpBnhư ?
Lời giải: