Viện Khoa học Công Nghệ Việt Nam Viện Toán Häc - Lª Xuân Dũng Chặn số quy castelnuovo-Mumford luận ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Hµ Néi - 2013 ViƯn Khoa học Công Nghệ Việt Nam Viện Toán Học ************ Lê Xuân Dũng Chặn số quy castelnuovo-Mumford Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mà sè: 62.46.01.04 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc C¸n bé hớng dẫn khoa học: GS TSKH Lê Tuấn Hoa Hà Nội - 2013 Tóm tắt Cho (A, m) vành địa phơng, I iđêan m-nguyên sơ M Amôđun hữu hạn sinh Luận án thiết lập đợc ba loại chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết: theo bậc mở rộng, theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng theo hệ số Hilbert Trong trờng hợp môđun M phân bậc, luận án thiết lập đợc chặn cho reg(GI (M )) theo reg(M ) Trong tr−êng hỵp chiỊu mét, luận án đa chặn chặt theo hệ số Hilbert đặc trng đợc đẳng thức xảy Luận án đa chặn cho chØ sè chÝnh quy CastelnuovoMumford cđa nãn ph©n thí theo bËc më réng Cuèi cïng luËn ¸n chØ đợc mối liên hệ hệ số Hilbert là: c¸c sè |ed−t+1 (I, M )|, , |ed (I, M )| bị chặn hàm phụ thuộc vào e0 (I, M ), e1 (I, M ), , ed−t (I, M ), t = depth(M ) Ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo, luận án chia làm năm chơng i Abstract Let (A, m) be a local ring, I an m-primary ideal and M a finitely generated A-module In this thesis, three upper bounds on the CastelnuovoMumford regularity of associated graded module are given in terms of the so-called extended degree, the lengths of certain local cohomology modules and Hilbert coefficients If M is a finitely generated graded module, an upper bound on reg(GI (M )) also is given in terms of reg(M ) In the case of dimension one, a sharp bound for reg(GI (M )) is given in term of Hilbert coefficients of M It is also investigated when the bound is attained Secondly, we give upper bounds on the Castelnuovo-Mumford regularity of fiber cone in terms of extended degree Third, we show that the last t Hilbert coefficients ed−t+1 (I, M ), , ed (I, M ) are bounded below and above in terms of the first d − t + Hilbert coefficients e0 (I, M ), , ed−t (I, M ), where t = depth(M ) The thesis is divided into five chapters ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác đà đợc trí đồng tác giả đa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực cha đợc công bố công trình khác Tác giả Lê Xuân Dũng iii Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy GS TSKH Lê Tuấn Hoa Thầy đà tận tình chu đáo dìu dắt từ bớc chập chững đờng khoa học Thầy không dạy bảo tri thức toán học, phơng pháp nghiên cứu toán mà giúp có quan điểm đắn sống Tác giả xin chân thành cảm ơn Viện Toán học, phòng chức năng, Trung tâm đào tạo sau đại học Viện Toán học đà tạo điều kiện tốt giúp học tập nghiên cứu Viện Toán học Đặc biệt tác giả xin chân thành cảm ơn GS TSKH Ngô Việt Trung, GS TSKH Nguyễn Tự Cờng GS TSKH Phùng Hồ Hải đà tạo điều kiện cho đợc tham gia sinh hoạt khoa học phòng Đại số Viện Toán học Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ ban Giám hiệu trờng Đại học Hồng Đức đà tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học cao học Đặc biệt, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đến ban Chủ nhiệm khoa Khoa học tự nhiên đồng nghiệp tổ Đại số đà tạo điều kiện thời gian giúp tác giả Hà Nội học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm, động viên anh chị em học tập nghiên cứu phòng Đại số phòng Lý thuyết số Viện toán học Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến bố, mẹ ngời thân gia đình, đặc biệt vợ đà cổ vũ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi tinh thần vật chất để an tâm học tập nghiên cứu Tác giả Lê Xuân Dũng iv Mục lục mở đầu Chơng Kiến thøc chuÈn bÞ 1.1 1.2 1.3 1.4 ChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford PhÇn tư läc chÝnh quy HÖ sè Hilbert Môđun lọc 9 11 13 14 Chơng Chặn theo bậc mở rộng độ dài môđun đối đồng điều địa phơng 2.1 2.2 2.3 Chặn theo bậc mở rộng Trờng hợp môđun phân bậc Chặn theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng Chơng Chặn theo hệ số Hilbert 3.1 3.2 Trờng hợp tỉng qu¸t Tr−êng hỵp chiỊu mét Chơng Chặn trờng hợp nón phân thớ 4.1 4.2 4.3 Nãn ph©n thí Chặn hƯ sè Hilbert cđa nãn ph©n thí ChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford nón phân thớ Chơng Sự phụ thuộc hệ số Hilbert 5.1 Chặn độ dài môđun đối đồng điều địa phơng 20 20 27 33 35 35 39 49 49 50 55 59 59 5.2 Mèi quan hƯ gi÷a c¸c hƯ sè Hilbert Tµi liƯu tham khảo 62 71 Mở đầu Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford bất biến quan trọng đại số giao hoán hình học đại số Nó cung cấp nhiều thông tin độ phức tạp cấu trúc đại số phân bậc Chỉ số quy CastelnuovoMumford đời từ công trình đờng cong xạ ảnh G Castelnuovo đợc D Mumford [30] phát biểu định nghĩa cho đa tạp xạ ảnh Bằng ngôn ngữ đối đồng điều địa phơng, khái niệm đà đợc tổng quát hóa cho môđun phân bậc hữu hạn sinh đại số phân bậc chuẩn Nếu E môđun phân bậc hữu hạn sinh đại số phân bậc chuẩn R số quy Castelnuovo-Mumford reg(E) E đợc định nghĩa lµ sè m nhá nhÊt cho HRi + (E)n = víi mäi n ≥ m − i + i 0, HRi + (E) đối đồng điều địa phơng E với giá R+ = ⊕i>0 Ri ChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford E chặn bậc cực đại hệ sinh tối tiểu E Nếu R đại số phân bậc chuẩn trờng k ta có mối liên hệ chặt chẽ số quy Castelnuovo-Mumford giải tự tối tiểu môđun E (xem [15]) Từ mối liên hệ ta biết đợc số quy R chặn cho tất bậc sinh môđun xoắn (syzygy) R Đó ý nghĩa quan träng cña chØ sè chÝnh quy CastelnuovoMumford Cho (A, m) vành địa phơng, I iđêan m-nguyên sơ M Amôđun hữu hạn sinh Ký hiệu I n M/I n+1 M vµ Fm (I) := GI (M ) := n≥0 I n /mI n n≥0 Ng−êi ta gọi GI (M ) môđun phân bậc liên kÕt cđa M øng víi I vµ Fm (I) lµ nón phân thớ I ứng với iđêan cực đại m Chó ý r»ng GI (A) vµ Fm (I) lµ vành phân bậc chuẩn Việc nghiên cứu số chÝnh quy CastelnuovoMumford cđa GI (M ) vµ Fm (I) sÏ cho chóng ta biÕt nhiỊu th«ng tin vỊ cÊu trúc M I Chẳng hạn sử dụng reg(GI (M )) ta ớc lợng đợc kiểu quan hƯ (relation type), sè mị rót gän vµ chØ sè chÝnh quy Hilbert (postulation number) cña M theo I (xem [46]), cßn sư dơng reg(Fm (I)) ta cã thĨ biÕt đợc dáng điệu số phần tử sinh I n n Do mục đích luận án giải hai toán sau: Bài toán Chặn số quy Castelnuovo-Mumford cho môđun phân bậc liên kết Bài toán Chặn số quy Castelnuovo-Mumford cho nón phân thớ Năm 2003, Rossi-Trung-Valla [37] giải Bài toán cho trờng hợp M = A I = m Sau đó, năm 2005 C H Linh [26] giải cho trờng hợp tổng qu¸t Ln ¸n tiÕp tơc theo c¸ch kh¸c nhau: mở rộng kết Rossi-Trung-Valla C H Linh cho môđun lọc, chặn theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng theo hệ số Hilbert Trong trờng hợp môđun M phân bậc, luận án thiết lập đợc chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết theo reg(M ) Đây việc làm mang tính tổng quát hay tơng tự hình thức Nhờ việc nghiên cứu Bài toán cho môđun lọc tùy ý, luận án đà giải đợc Bài toán (xem Chơng 4) Việc chặn theo hệ số Hilbert độ dài môđun đối đồng điều địa phơng giúp xác định đợc mối quan hệ hệ số Hilbert (xem Chơng 5) Kh¸i niƯm I-läc tèt M = {Mn }n≥0 cđa M đợc giới thiệu [4] [3] Khái niệm rộng so với khái niệm lọc tốt iđêan (xem Ví dụ 1.4.3 (ii)) Chúng chặn cho reg(G(M)) theo chiỊu, sè mị rót gän r(M) vµ bËc më réng D(I, M ) cđa M øng víi I (xem Định lý 2.1.4) Kết đạt đợc tổng quát nói chung tốt mét Ýt so víi kÕt qu¶ cđa [26, Theorem 4.4] Trờng hợp môđun phân bậc tuỳ ý, Chardin-Hà-Hoa [7] đà chặn đợc độ dài môđun đối đồng điều địa phơng môđun E vành đa thức, nhiên kết trờng hợp vành phân bậc chuẩn vành Artin đợc D T Hà trình bày phép chứng minh [1, Định lý 4.1.3] Mệnh đề 5.1.5 ([7, Theorem 4.5] [1, Định lý 4.1.3]) Cho E R- môđun phân bậc dơng, hữu hạn sinh với dim(E) = d ≥ Gi¶ sư ri = reg(E/(x1 , , xi )E) vµ x1 , , xd lµ mét d·y läc chÝnh quy cđa E ®ã víi mäi i ≥ 0, ta cã hiE (t) ≤ (E/(x1 , , xi )E) ri − − t i−1 ri + n − i n−i 5.2 Mèi quan hÖ hệ số Hilbert Sử dụng chặn số quy Castelnuovo-Mumford theo hệ số Hilbert đợc đa Bổ đề 3.1.2, (1)i1 ei (I, A) bị chặn theo mét hµm chØ phơ thc vµo e0 (I, A), , ei1 (I, A) Cụ thể nh sau: Định lý 5.2.1 Giả sử M A-môđun hữu hạn sinh với dim M = d ≥ vµ M = {Mn }n≥0 I-lọc tốt M Khi (i) e1 (M) e0 (M) (ii) Đặt i1 := max{e0 (M), |e1 (M)|, , |ei−1 (M)|} vµ r := max{1, r(M)} Víi mäi i ≥ 2, ta cã (−1)i−1 ei (M) ≤ ςi−1 (ςi−1 + r )i! + i i Chøng minh Ta quy n¹p theo d NÕu d = Ta cã e1 (M) ≤ e0 (M) tõ Bỉ ®Ị 3.2.6 NÕu d ≥ Tr−íc hÕt ta chøng minh mƯnh ®Ị ®óng víi i ≤ d − Cho M := M/Hm0 (M ) Từ đẳng thức ej (M) = ej (M) với mäi j ≤ d − 1, ta 62 cã thÓ gi¶ sư depth(M ) > Gi¶ sư x ∈ I \mI phần tử cho phẩn tử khởi đầu x G(M)-lọc quy Khi ta cã dim(M/xM ) = d − vµ sư dơng Bổ đề 4.2.2 ta nhận đợc ej (M) = ej (M/xM ) với j d1 Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp cho M/xM ta nhận đợc (ii) víi mäi i ≤ Cuèi cïng, cho i = d Do G(M) đợc sinh phần tử cã bËc lín nhÊt lµ r(M) ≥ 0, sư dơng Bổ đề 2.1.10 Bổ đề 3.1.2 ta nhận đợc reg(G(M)) = reg1 (G(M)) ≤ (ςd−1 + r )d! − =: Tiếp theo, áp dụng Bổ đề 2.1.11 Bổ đề 3.1.6, ta có reg(G(M)) max{reg1 (G(M)), r} + (Hm0 (M )) ≤ max{reg1 (G(M)), r} + PM (α) α+d−i ≤ α + d−1 + (−1)d ed (M) i=0 ei (M) d−i + (−1)d ed (M) ≤ ςd−1 α+d+1 d Sư dơng reg(G(M)) ≥ ta nhËn ®−ỵc d−1 (−1) ed (M) ≤ ςd−1 α+d+1 d = ςd−1 (ςd−1 + r )d! + d d KÕt cần kết chặn tất hệ số Hilbert M theo reg(G(M)) Chardin-Hà-Hoa [7] đà đa đợc chặn c¸c hƯ sè Hilbert e0 (M), |e1 (M)|, , |ed−1 (M)| nh sau: Bổ đề 5.2.2 ([7, Theorem 4.6]) Giả sử E R-môđun phân bậc dơng, hữu hạn sinh víi dim(E) = d ≥ vµ x1 , , xd dÃy lọc quy E Đặt B := (E/(x1 , , xd )E) vµ r := reg(E/HR0 + (E)) Khi ®ã víi mäi i ≥ 0, ta cã |ei (E)| ≤ B.(r + 1)i Chøng minh Chứng minh dới nh [7, Theorem 4.6] Đặt E := E/HR0 + (E) Chứng minh quy nạp theo d Chó ý r»ng ≤ e0 (E) ≤ B Suy toán với d = Giả sử toán với môđun phân 63 bËc chiỊu d − ≥ Cho E lµ môđun chiều d, đặt E1 := E/x1 E, ei (E) := ei (E1 ) víi mäi i ≤ d Do |ed1 (E)| = |ed1 (E)| nên không tính tổng quát ta giả sử E = E nghĩa HR0 + (E) = Theo Bổ đề 1.2.3 ta cã reg(E1 ) ≤ reg(E) vµ (E1 /x1 E1 ) = B nên theo giả thiết quy nạp ta chØ cÇn chøng minh |ed−1 (E)| ≤ B(r + 1)d1 Từ công thức Grothendieck-Serre Định lý 1.3.2, ta có (−1)d−1 ed−1 (E) = Cd − Dd , ®ã Cd := h1E (−1) + h3E (−1) + , vµ Dd := h2E (−1) + h4E (−1) + , Sö dụng Bổ đề 5.1.5 ta nhận đợc Cd 12j+1d r 2j r + d − 2j − d − 2j − =: B.Cd Chøng minh quy nạp theo d ta đợc Cd (r + 1)d1 Suy Cd ≤ B(r + 1)d−1 T−¬ng tù ta cã Dd ≤ B(r + 1)d−1 DÉn ®Õn |dd−1 (E)| ≤ max{Cd ; Dd } ≤ B(r + 1)d1 Bổ đề đợc chứng minh Nh vây, ta chặn hết đợc tất hệ số Hilbert M nh sau: Mệnh đề 5.2.3 Giả sử M A-môđun hữu hạn sinh với dim M = d ≥ vµ M = {Mn }n≥0 lµ I-läc tèt cña M Cho l1 , , ld I cho dạng 64 khởi đầu l1 , , ld GI (A) dÃy lọc quy G(M) §Ỉt B := (M/(l1 , , ld )M ) Khi ®ã (a) Víi mäi ≤ i ≤ d − 1, |ei (M)| ≤ B(reg1 (G(M)) + 1)i , (b) |ed (M)| ≤ B(d + 1)(reg(G(M)) + 1)d Chøng minh Bất đẳng thức (a) đợc suy từ Bổ ®Ị 5.2.2 víi chó ý r»ng reg(G(M)) = reg1 (G(M)) G(M) có bậc sinh không âm (b) Đặt a := reg(G(M)) ei := ei (M) Theo Bổ đề 1.4.9 ta cã HM (a) = PM (a) ¸p dơng Bổ đề 2.1.8 ta nhận đợc HM (a) = (M/Ma+1 ) ≤ (M/I a+1 M ) ≤ B Chó ý r»ng a+j j a+d d ≤ (a + 1)j Theo (a) ta nhận đợc a+di |ed | HM (a) + d−1 i=0 |ei | d−i d−1 a+d−i i ≤ B a+d + B i=0 d d−i (a + 1) d−1 ≤ B(a + 1)d + B i=0 (a + 1)d−i (a + 1)i = B(d + 1)(a + 1)d Trong phần lại mục ta lu«n sư dơng kÝ hiƯu sau: ξt (M) := max{e0 (M), |e1 (M)|, , |ed−t (M)|}, ®ã ≤ t ≤ d V× vËy ξ0 (M) = ξ(M) Trong Bổ đề 5.1.1, reg(G(M)) đợc chặn (M) r(M) B©y giê chóng ta chØ r»ng thùc sù t (M) (t = depth(M )) r(M) chặn đợc reg(G(M)) Định lý 5.2.4 Cho M I-lọc tốt cđa M víi dim(M ) = d ≥ Gi¶ sư r»ng depth(M ) = t Khi ®ã reg(G(M)) ≤ [2(d + 1)ξt (M)]3d! [ξt (M) + r(M) + 4]3d!(d+1−t)! Chứng minh Cho dÃy phần tử x1 , , xd ∈ I \ mI cho d·y c¸c phần tử khởi đầu x1 , , xd GI (A) lµ G(M)-d·y läc chÝnh quy vµ d ≥ Đặt 65 M(i) := M/(x1 , , xi )M Mi := M/(x1 , , xi )M §Ĩ cho gän ta viÕt ξt := ξt (M) vµ r := r(M) Nếu depth(M ) = d M môđun Cohen-Macaulay Theo kí hiệu Định lý 2.3.1 ta có B(I, M ) = e0 (I, M ) = ξd (M) vµ µ(I, M ) = Suy reg(G(M)) ≤ ξd + r (ξd + r + 1)3(d−1)!−1 − d nÕu d = 1, nÕu d ≥ 2; ®ã, 0! = Gi¶ sư r»ng depth(M ) = t < d Đặt := reg(G(Mi )) Sử dụng Bổ đề 4.2.2 ta nhận đợc ei (Mt ) = ei (M) víi mäi i ≤ t Suy ξ(Mt ) = t áp dụng Bổ đề 5.1.2 cho M(t) ta đạt đợc à(I, M(t) ) (d t)ξt (at + 2)d−t Theo MƯnh ®Ị 5.1.4 ta cã B(I, M(t) ) ≤ (d − t + 1)ξt (at + 2)d−t ≤ (d + 1)ξt (at + 2)d−t (5.1) Do vậy, theo Định lý 2.3.1 ta có reg(G(M)) ≤ [B(I, M ) + µ(I, M ) + r(M) + 1]3(d−1)!−1 − d < [B(I, M ) + µ(I, M ) + r + 1]3(d−1)! ≤ [(2d + 1)ξt (at + 2)d + r + 1]3(d−1)! Sö dụng Bổ đề 5.1.1 ta nhận đợc at [t (Mt ) + r(Mt ) + 2](d−t+1)! (5.2) Bëi vËy reg(G(M)) ≤ [(2d + 2)ξt ((ξt + r + 2)(d−t+1)! + 2)d ]3(d−1)! ≤ [2(d + 1)ξt ((ξt + r + 4)(d−t+1)! )d ]3(d−1)! ≤ [2(d + 1)ξt ((ξt + r + 4)(d−t+1)! )d ]3d! ≤ [2(d + 1)ξt (t + r + 4)]3d!(dt+1)! 66 (5.3) Định lý 5.2.5 Cho M lµ mét I-läc tèt cđa M Giả sử dim(M ) = d depth(M ) = t ≥ Khi ®ã |ed (M)|, |ed1 (M)|, , |edt+1 (M)| đợc chặn hàm chØ phơ thc vµo e0 (M), |e1 (M)|, , |ed−t (M)| vµ r(M) Cơ thĨ lµ |ej (M)| < [2(j + 1)ξt (M)]3j!+2 [ξt (M) + r(M) + 4)]4j!(j+1−t)! Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh cho i = d Cho dÃy phần tử x1 , , xd I \ mI cho dÃy phần tử khởi đầu x1 , , xd GI (A) G(M)-dÃy lọc quy Khi áp dụng (5.1) (5.2) ta nhận đợc B := B(I, M(t) ) (d + 1)ξt [(ξ + r + 2)(d−t+1)! + 2]d ≤ (d + 1)ξt (ξ + r + 4)d(d−t+1)! Từ Mệnh đề 5.2.3 theo Định lý 5.2.5 ta cã |ed (M)| ≤ B(d + 1)(reg(G(M)) + 1)d ≤ (d + 1)2 ξt (ξt + r + 4)d(d−t+1)! [2(d + 1)ξ]3d! (ξt + r + 4)3d!(d−t+1)! < [2(d + 1)ξt ]3d!+2 (ξt + r + 4)4d!(d−t+1)! (5.4) B©y giê cho d−t+1 ≤ j ≤ d−1 Tõ depth(M ) = t, theo Bổ đề 4.2.2 ta nhận đợc ej (M) = ej (Md−j ) Chó ý r»ng dim(M(d−j) ) = j, depth(M(d−j) ) = t + j − d r(Mj ) r(M) Từ ta cã ξt+j−d (Md−j ) = ξt (M) = ξt áp dụng (5.4) cho Mdj ta nhận đợc |ej (M)| = |ej (Md−j )| ≤ [2(j + 1)ξt ]3j!+2 (ξt + r + 4)4j!(j+1−t)! NÕu läc M = {I n M }n0 r(M) = Trong trờng hợp M môđun Cohen-Macaulay, nh hệ tức Định lý 5.2.5 mở rộng kết cđa V Trivedi [42] 67 HƯ qu¶ 5.2.6 Gi¶ sư dim(M ) = d ≥ vµ depth(M ) = t ≥ Khi ®ã víi mäi d − t + ≤ j ≤ d, ta cã |ej (I, M )| ≤ [2(j + 1)ξt ]3j!+2 (ξt + 4)4j!(j+1−t)! , ®ã ξt := max{e0 (I, M ), |e1 (I, M )|, , |ed−t (I, M )|} Hay nãi c¸ch kh¸c, |ej (I, M )| víi d − t + j d đợc chặn theo đại lợng e0 (I, M ), e1 (I, M ), , ed−t (I, M ) TiÕp theo chóng t«i đa kết hữu hạn hàm HilbertSamuel Định lý 5.2.7 Cho d t 0, e0 , , edt số nguyên Khi tồn số hữu hạn (nếu có) hàm Hilbert-Samuel tơng ứng với môđun M với chiều d iđêan I m-nguyên sơ cho depth(M ) = t vµ ej (I, M ) = ej víi mäi ≤ j ≤ d − t Chøng minh Theo Hệ 5.2.6 tồn hữu hạn đa thức HilbertSamuel PI,M (n) cho ej (I, M ) = ej víi mäi ≤ j ≤ d − t Sư dơng Bỉ ®Ị 1.4.9 ta cã HI,M (n) = PI,M (n) víi n ≥ reg(GI (M )) := a Theo Định lý 5.2.4 a đợc chặn đại lợng e0 , e1 , , edt vµ d Ngoµi ta cã HI,M (n) = với n < 0, HI,M (n) hàm tăng dần với n PI,N PI,M với n a Từ điều ta thấy số hàm đợc chặn theo đại lợng e0 , e1 , , edt d Cuối nhắc lại ví dụ V Srinivas vµ V Trivedi VÝ dơ 5.2.8 ([39, Section 4]) Cho R = k[[T1 , , T6 ]] víi k trờng n 1, đặt pn := (T1 T4 − T2 T3 , T23 − T12 T3 , T33 − T2 T42 , T1 T32 − T22 T4 , T1 − T5n , T4 − T6n ) Khi ®ã, [39, Section 4] ®· chøng minh ®−ỵc r»ng R/pn ∼ = k[[T2 , T3 , u, v]] , (un v n − T2 T3 , T23 − u2n T3 , T33 − T2 v 2n , un T32 − T22 ) 68 víi dim(R/pn ) = vµ depth(R/pn ) = víi mäi n đa thức Hilbert R/pn pR/pn (t) = 2t2 + (n − 2)t − (1/2)(n2 + 3n − 2) t+2 t+1 n2 + 5n − 10 =4 − (8 − n) − 2 Do đó, e0 (R/pn ) = e1 (R/pn ) = − n víi mäi n ≥ NhËn xÐt 5.2.9 Tõ VÝ dô 5.2.8 ta thÊy r»ng giảm bớt đợc số hệ số Hilbert "độc lập" Định lý 5.2.5 69 Kết luận Tóm lại, luận án đà thu đợc kết sau đây: - Thiết lập đợc ba loại chặn cho số quy CastelnuovoMumford môđun phân bậc liên kết lọc môđun tuỳ ý: theo bậc mở rộng; theo độ dài môđun đối đồng điều địa phơng theo hệ số Hilbert Trong trờng hợp môđun M phân bậc, đa đợc chặn cho số quy Castelnuovo-Mumford môđun phân bậc liên kết theo reg(M ) Trong trờng hợp chiều một, thiết lập đợc chặn chặt theo hệ số Hilbert đặc trng đợc đẳng thức xảy - Thiết lập đợc chặn cho số quy CastelnuovoMumford nón phân thớ lọc môđun tuỳ ý theo bậc mở rộng - Tìm đợc mối liên hệ hệ số Hilbert là: số |edt+1 (I, M )|, , |ed (I, M )| bị chặn hµm chØ phơ thc vµo e0 (I, M ), e1 (I, M ), , ed−t (I, M ), ®ã t = depth(M ) tồn số hữu hạn hàm Hilbert-Samuel (nếu có) môđun cho trớc chiều d, độ sâu t ≤ d vµ d − t hƯ sè Hilbert e0 , , edt 70 Các công trình liên quan đến đề tài luận án [1 ] L X Dung and L T Hoa, Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules and fiber cones of filtered modules, Comm Algebra 40 (2012), 404-422 [2 ] L X Dung and L T Hoa, Dependence of Hilbert coefficients, Preprint [3 ] L X Dung Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules in dimension one, Acta Math Vietnam (to appear) Các kết luận án đà đợc báo cáo tại: Xemina Phòng Đại số, Viện Toán học Hà Nội Xemina môn Đại số, Khoa Khoa học Tự nhiên, Đại Học Hồng Đức Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học, 10/2009, 10/2010, 10/2011 Hội nghị khoa học trờng Đại học Hồng Đức, 5/2010, 5/2012 Đại hội toán học toàn quốc, Quy nhơn, 8/2008 Hội nghị Đại số - Tô pô - Hình học, Huế, 9/2009 Thái Nguyên, 11/2011 Hội Thảo liên kết Nhật Bản-Việt Nam Đại số giao hoán, Hà Nội, 01/2010 Quy Nhơn, 12/2011 71 Tài Liệu Tham Kh¶o TiÕng ViƯt [1] D T T Ha, ChØ sè quy Castelnuovo-Mumford số lớp môđun Luận án Tiến sĩ, Trờng Đại học Vinh, 2010 [2] L T Hoa, ChØ sè chÝnh quy Castelnuovo-Mumford vµ øng dơng Ln ¸n TiÕn sÜ Khoa häc, Trung T©m Khoa Häc Tù Nhiên Công Nghệ Quốc gia, 1995 Tiếng Anh [3] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 [4] N Bourbaki, Commutative Algebra, Hermann, Paris, 1972 [5] M Brodmann and R.Y Sharp, Local cohomology - an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [6] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings Cambridge Studies in Advanced Math 39, Cambridge, 1993 72 [7] M Chardin, D T Ha and L T Hoa, Castelnuovo-Mumford regularity of Ext modules and homological degree, Trans Amer Math Soc 363 (2011), no 7, 3439-3456 [8] CoCoA: a system for doing Computations in Commutative Algebra, Available at http://cocoa.dima.unige.it [9] T Cortadellas and S Zarzuela, On the structure of the fiber cone of ideals with analytic spread one, J Algebra 317(2007), no 2, 759–785 [10] L R Doering, T Gunston and W Vasconcelos, Cohomological degrees and Hilbert functions of graded modules, Amer J Math, 120(1998), 493-504 [11] L X Dung Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules in dimension one, Acta Math Vietnam (to appear) [12] L X Dung and L T Hoa, Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules and fiber cones of filtered modules, Comm Algebra 40 (2012), 404-422 [13] L X Dung and L T Hoa, Dependence of Hilbert coefficients, Preprint [14] D Eisenbud, Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995 [15] D Eisenbud, and S Goto, Linear free resolutions and minimal multiplicity, J Algebra, 88(1984), 89-133 [16] J Elias, Upper bounds of Hilbert coefficients and Hilbert functions, Math Proc Cambridge Philos Soc, 145(2008), no 1, 87–94 [17] J Elias, On the first normalized Hilbert coefficient, J Pure Appl Algebra, 201(2005), no 1-3, 116–125 [18] J Elias and G Valla, Rigid Hilbert functions, J Pure Appl Algebra 71(1991), 19-41 73 [19] J Elias, M E Rossi, G Valla, On the coefficients of the Hilbert polynomial, J Pure Appl Algebra, 108(1996), no 1, 35–60 [20] L T Hoa, Reduction numbers of equimultiple ideals, J Pure Appl Algebra, 109(1996), 111-126 [21] L T Hoa and N D Tam, On some invariants of a mixed product of ideals Arch Math (Basel) 94(2010), no , 4, 327–337 [22] L T Hoa and S Zarzuela, Reduction number and a-invariant of good filtrations, Comm Algebra, 22(1994), 5635-5656 [23] A V Jayanthan and R Nanduri, Castelnuovo-Mumford regularity and Gorensteinness of fiber cone, Comm Algebra (to appear) [24] A V Jayanthan and J K Verma, Hilbert coefficients and depth of fiber cones, J Pure Appl Algebra, 201(2005), 97-115 [25] D Kirby and H A Mehran, A note on the coefficients of the HilbertSamuel polynomial for a Cohen-Macaulay module, J London Math Soc, (2) 25 (1982), 449-457 [26] C H Linh, Upper bound for Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules, Comm Algebra, 33 (2005), 1817-1831 [27] C H Linh, Castelnuovo-Mumford regularity and degree of nilpotency, Math Proc Cambridge Philos Soc, 142(2007), 429-437 [28] T Marley, The coefficients of the Hilbert polynomial and the reduction number of an ideal, J London Math Soc, (2) 40(1989), 1-8 [29] H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 [30] D Mumford, Lectures on curves on an algebraic surfaces, Princeton Univ Press, Princeton 1966 74 [31] U Nagel, Comparing Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree: the borderline cases, Trans Amer Math Soc, 357(2005), 3585-3603 [32] M Narita, A note on the coefficients of Hilbert characteristic functions in semi-regular local rings, Proc Cambridge Philos Soc, 59 (1963), 269-275 [33] N G Northcott, A note on the coefficients of the abstract Hilbert function, J London Math Soc, 35 (1960), 209-214 [34] D G Northcott and D Rees, Reductions of ideals in local rings, Proc Camb Phil Soc, 50(1954), 145-158 [35] C P L Rhodes, The Hilbert-Samuel polynomial in a fitered module, J London Math Soc, (1) (1971), 73-85 [36] M E Rossi and G Valla, Hilbert functions of filtered modules Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana, 9, Springer, Heidelberg, 2010 [37] M E Rossi, N V Trung and G Valla, Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree, Trans Amer Math Soc, 355(2003), 17731786 [38] J J Rotman, An introduction to homological algebra, Academic Press, 1979 [39] V Srinivas and V Trivedi, A finiteness theorem for the Hilbert functions of complete intersection local rings, Math, 225 (1997), no 4, 543-558 [40] V Srinivas and V Trivedi, On the Hilbert function of a CohenMacaulay local ring, J Algebraic Geom, (1997), 733-751 [41] J Stă uckrad and W Vogel, Buchsbaum rings and applications An interaction between algebra, geometry and topology Springer-Verlag, Berlin, 1986 75 [42] V Trivedi, Hilbert functions, Castelnuovo-Mumford regularity and uniform Artin-Rees numbers, Manuscripta Math, (4) 94 (1997), 485-499 [43] V Trivedi, Finiteness of Hilbert functions for generalized CohenMacaulay modules, Comm Algebra, 29 (2001), no 2, 805-813 [44] N V Trung , Towards a theory of generalized Cohen-Macalay modules, Nagoya Math J 102(1986), 1-49 [45] N V Trung, Reduction exponent and degree bound for the defining equations of graded rings, Proc Amer Math Soc, 101(1987), 223-236 [46] N V Trung, Castelnuovo-Mumford regularity of the Rees algebra and the associated graded rings, Trans Amer Math Soc, 350(1998), 28132832 [47] W V Vasconcelos, Computational methods in commutative algebra and algebraic geometry With chapters by D Eisenbud, D.R Grayson, J Herzog and M Stillman Algorithms and Computation in Math 2, Springer-Verlag, Berlin, 1998 TiÕng §øc [48] N T Cuong, P Schenzel and N V Trung, Uă ber verallgemeinerte Cohen-Macaulay Modunlen, Math Nachr, 85 (1978), 57-73 76 ... Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo- Mumford Trong chơng này, nhắc lại số kiến thức sở số kết đà biết số chÝnh quy Castelnuovo- Mumford, phÇn tư läc chÝnh quy, hƯ sè Hilbert môđun lọc... trọng đại số giao hoán hình học đại số Nó cung cấp nhiều thông tin độ phức tạp cấu trúc đại số phân bậc Chỉ số quy CastelnuovoMumford đời từ công trình đờng cong xạ ảnh G Castelnuovo đợc D Mumford. .. 34 (2.10) Ch−¬ng Chặn theo hệ số Hilbert Mục đích chơng chặn cho số quy Castelnuovo- Mumford G(M) theo hệ số Hilbert Đặc biệt, môđun có chiều một, tìm đợc chặn chặt đặc trng chặn đạt đợc 3.1 Trờng