Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương

Viện khoa học công nghệ việt nam viện toán học Hà Duy Hng TOáN Tử TíCH PHÂN CựC ĐạI TRÊN TRÊN trờng ĐịA PHƯƠNG Luận án tiến sĩ toán häc Hµ Néi - 201 2012 ViƯn khoa häc vµ công nghệ việt nam viện toán học Hà Duy Hng TOáN Tử TíCH PHÂN CựC ĐạI TRÊN trờng ĐịA PHƯƠNG Chuyên ngành: Phơng trình vi phân tích phân MÃ sè : 62 62 46 01 05 LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc GS TSKH TSKH KH Nguyễn Minh Chơng Hà Nội - 201 2012 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Hà Duy Hưng TÓM TẮT Trong luận án này, nghiên cứu bất đẳng thức trọng chuẩn loại yếu, mạnh, trường địa phương, cho toán tử cực đại Hardy1 |f (y)|dy f ∈ L1loc Các Littlewood M , M f (x) = sup dγ γ∈Z q x+Bγ kết nghiên cứu luận án nằm chương chương Trong chương 2, chứng minh số bổ đề phủ quan trọng trường địa phương; xây dựng lại lý thuyết hàm trọng Muckenhoupt A trường địa phương ứng dụng vào giải toán trọng tiếng tốn tử M , là: với điều kiện trọng ω M bị chặn từ L (ω) vào L (ω) Các kết mở rộng cho toán tử cực đại với giá trị véctơ, từ nhận bất đẳng thức trọng chuẩn Fefferman-Stein Chúng đưa điều kiện cần điều kiện đủ gần tương đương nhau, cho cặp hàm trọng để có bất đẳng thức ngược loại yếu cho toán tử cực đại Hardy-Littlewood M ; chúng tơi áp dụng kết cho lớp hàm L log+ L với trọng Zygmund Cũng chương 2, chúng tơi giới thiệu lớp tốn tử tích phân cực đại chứng minh ước lượng loại yếu cho Trong chương 3, chúng tơi giải toán trọng Muckenhoupt trường địa phương: tìm điều kiện cần đủ hàm trọng v để tồn hàm trọng u hữu hạn hầu khắp nơi cho toán tử M bị chặn từ L (u) vào L (v) ABSTRACT In this thesis, we investigate the weak and strong types of weighted norm inequalities for the Hardy-Littlewood maximal operator M , in which M f (x) = sup dγ |f (y)|dy, here f ∈ L1loc Our main results are given γ∈Z q x+Bγ in chapter and chapter In chapter 2, we prove some necessary covering lemmas on local fields; a theory of Muckenhoupt weights is systematically introduced and we use it to solve a famous problem of characterizing all weight functions ω for which the operator M is bounded from L (ω) to L (ω) Then, we prove the Fefferman-Stein weighted inequalities for vectorvalued maximal operator over local fields We go on to obtain a sufficient and an almost similar necessary condition on a pair of weight functions for which a reverse weak type norm inequality holds for the Hardy-Littlewood maximal operator M ; we apply our result to the weighted Zygmund class L log+ L Also in this chapter, we prove a weak type estimate for a new maximal integral operator In chapter 3, we obtain a necessary and sufficient condition on weight functions v such that the Hardy-Littlewood maximal operator M is bounded from L (u) to L (v) for some finite a.e function u This characterization answers completely to a local field version of a similar question posed by Muckenhoupt Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Viện Tốn học thuộc Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Nguyễn Minh Chương Thầy hướng dẫn truyền thụ cho tác giả kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Thầy Trong trình nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả ln nhân giúp đỡ, góp ý GS.TSKH Hà Huy Khối, GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí, PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, TS Nguyễn Văn Ngọc, TS Cung Thế Anh Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo anh chị em nghiên cứu sinh, cao học xemina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trường thực, p−adic", xemina Phịng Phương trình vi phân tạo mơi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý môi trường nghiên cứu sôi thân thiện, điều khơng thể thiếu q trình nghiên cứu, hoàn thành luận án tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học toàn thể cán bộ, cơng nhân viên Viện Tốn học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình thực luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả suốt thời gian làm nghiên cứu sinh thực Luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt cha mẹ, vợ trai người thân gia đình, giúp đỡ động viên tác giả suốt thời gian thực Luận án Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Tác giả Hà Duy Hưng BẢNG KÝ HIỆU Ký hiệu Diễn giải |x| : chuẩn phần tử x Kd , |x|p : chuẩn p − adic số p − adic x K/k : mở rộng đại số trường k, (K : k) : số chiều mở rộng đại số K/k, Kd : không gian véc tơ d chiều trường K, Qp : trường số p−adic Fq ((t)) : trường chuỗi số Laurent trường hữu hạn Fq , O : vành số nguyên K, P : ideal nguyên tố O, β : phần tử nguyên tố P, p : số nguyên tố đặc số trường O/P, q : số phần tử trường O/P, x + Bγ , Bγ : hình cầu đóng tâm x, tâm bán kính q γ , x + Sγ , Sγ : mặt cầu tâm x, tâm bán kính q γ , NK/k (α), TrK/k (α) : định thức, vết phần tử α ∈ K, M : toán tử Hardy-Littlewood, A : Lớp hàm trọng Muckenhoupt, CSp : tập tất dãy Cauchy Q ứng với metric p−adic dp , N ullp : tập tất dãy Q có giới hạn 0, dx : Độ đo Haar, L : tập hàm khả tích bậc Kd , Lloc : tập hàm khả tích địa phương bậc L (u) : tập hàm khả tích bậc Kd , Kd ứng với độ đo dµ = udx, D : tập hàm địa phương với giá compact, D : tập phiếm hàm tuyến tính liên tục D, χ : hàm đặc trưng nhóm cộng (K, +) với hạng 1, 1/r ∞ r |xk |r : không gian dãy phức x = (xk ) cho k=1 < ∞ Mục lục Lời cam đoan Tóm tắt Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Lời nói đầu 10 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 22 1.1 Trường địa phương 22 1.2 Độ đo tích phân trường địa phương 33 1.3 Biến đổi Fourier tích chập 39 1.4 Định lý nội suy Marcinkiewicz 41 TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY - LITTLEWOOD VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRỌNG CHUẨN TRÊN TRƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG 46 96 Suy |M f | vdx ≥ |E| q dγ v(x) dx (1 + |x|d ) (3.4) Kd Kd Do f ∈ L (u), nên từ bất đẳng thức (3.3) (3.4) ta nhận v thuộc lớp W Đảo lại, giả sử v hàm thuộc lớp W Kí hiệu v1 (x) = max{v(x), 1} Khi v1 hàm thuộc lớp W Vì v ≤ v1 , nên ta cần chứng minh tồn hàm u đo không âm, hữu hạn hầu khắp nơi số C = C( , q, d) > cho |M f | v1 dx ≤ C Kd |f | udx (3.5) Kd với f ∈ L (u) Đặt w(x) = (1 + |x|d )1− Ta chứng minh M (wv1 ) < ∞ hữu hạn hầu khắp nơi Lấy x ∈ Kd tùy ý, ta chọn số nguyên không âm γ0 cho x ∈ Bγ0 Với γ ∈ Z, ta xét hai trường hợp sau : ◦ Nếu γ ≥ γ0 q dγ v1 (y) + q dγ dy ≤ (1 + |y|d ) −1 q dγ wv1 dy ≤ dγ q x+Bγ x+Bγ v1 (y) dy (1 + |y|d ) x+Bγ v1 (y) dy < +∞ (1 + |y|d ) ≤2 Kd ◦ Nếu γ < γ0 q dγ wv1 dy ≤ x+Bγ q dγ v1 (y) dy ≤ (1 + |y|d ) −1 q dγ x+Bγ v1 (y) · χBγ0 dy x+Bγ 97 ≤ M (v1 χBγ0 )(x) Do M loại yếu (1, 1) nên M (v1 χBγ0 )(x) < ∞ hầu khắp nơi x Tóm lại với hầu khắp nơi x ∈ Kd     v1 (y) M (wv1 )(x) ≤ max dy, M (v1 χBγ0 )(x) < +∞   (1 + |y|d ) Kd Bây ta đặt u = w−3 · M (wv1 ) · χ(B−1 )c + |x|2d(1− ) · M (wv1 ) · χB−1 Ở B−1 = {x ∈ Kd : |x| ≤ q −1 } (B−1 )c phần bù B−1 Kd Hàm u xác định hiển nhiên đo được, không âm, hữu hạn hầu khắp nơi Kd Với số nguyên γ ta kí hiệu fγ = f · χSγ γ ≥ f−1 = f · χB−1 Theo bất đẳng thức đối ngẫu Fefferman-Stein (3.1), ta có |M fγ | · (wv1 ) · (1 + |x|d ) −1 |M fγ | v1 dx = |x|≤q γ |x|≤q γ ≤ C · + q dγ −1 · |fγ | M (wv1 )dx Kd Để tiếp tục ước lượng, ta chia hai trường hợp sau Trường hợp Nếu γ ≥ 0, |M fγ | v1 dx ≤ C · + q dγ −1 |fγ | u(1 + |x|d )3(1− ) dx · |x|≤q γ Kd ≤ C · + q dγ 2(1− ) · |f | udx Sγ |f | udx = Cq −2d|γ|( −1) · ≤ C · q 2dγ(1− ) · Sγ |f | udx Sγ 98 Trường hợp Nếu γ = −1, −1 |M fγ | v1 dx ≤ C · + q dγ |f | u · |x|2d( −1) dx · |x|≤q γ B−1 ≤ Cq −2d( −1) |f | udx = Cq −2d|γ|( −1) |f | udx Kd Kd Như ta vừa chứng minh với số nguyên γ ≥ −1, |M fγ | v1 dx ≤ Cq −2d|γ|( −1) |f | udx (3.6) Kd |x|≤q γ Tiếp theo, giả sử γ số nguyên x ∈ Kd mà |x| ≥ q γ+1 tùy ý Kí hiệu S = Sγ γ ≥ 0, S = B−1 γ = −1 Khi đó, y ∈ x + Bγ ∩ S , ta có q γ ≥ |x − y| ≥ |x| − q γ ≥ 1− |x| q Theo bt ng thc Hăolders M f (x) = sup γ ∈Z |fγ (y)|dy ≤ q dγ q q−1 d · · sup |x|d γ ∈Z x+Bγ (x+Bγ )∩Sγ 1/  ≤ q q−1 d · · |x|d |f (y)|dy |f (y)|dy ≤ C  · |x|d Sγ  |f | udx 1− u− · −1 dx Sγ Sγ với γ ≥ Trường hợp γ = −1, bất đẳng thức ta thay Sγ B−1 Do −1 |M fγ | v1 dx ≤ C |x|≥q γ+1 u− |f | udx · Sγ Sγ −1 · |x|≥q γ+1 v1 (x) dx |x|d 99 với γ ≥ với γ = −1 ta thay Sγ B−1 Vì γ ≥ −1 nên {|x| ≥ q γ+1 } nằm (B−1 )c = S0 (B0 )c Do v1 thuộc lớp W , nên v1 (x) dx |x|d theo bổ đề 3.2.1, biểu thức |x|≥q γ+1 bị chặn số C, C phụ thuộc vào , q, d Bây ta ước lượng số hạng −1 −1 − u −1 − với γ ≥ dx Sγ u −1 với γ = −1 dx B−1 Đầu tiên, ý từ y ∈ Sγ B−1 từ v1 (z) ≥ với z, ta nhận M (wv1 )(y) = sup γ ∈Z v1 (z)dz (1 + |z|d ) −1 q dγ y+Bγ ≥ q dγ v1 (z)dz ≥ d −1 (1 + |z| ) (1 + q dγ ) −1 Bγ Do M (wv1 )(y)− −1 ≤ + q dγ với y ∈ Sγ γ ≥ với y ∈ B−1 đồng thời γ = −1 Từ định nghĩa hàm u, ta xét hai trường hợp sau : Trường hợp Nếu γ ≥ 0,   −1   u− −1  dx ≤ + q dγ  −1  −1   + q dγ −3  dx Sγ Sγ = 1+q dγ 2(1− ) dγ( −1) q 1− d q −1 ≤ Cq dγ(1− ) 100 Trường hợp Nếu γ = −1,  −1  u−   −1 ≤ + q −d  dx  −1  −1  ≤ Cq −d( −1) ,  |y|2d dy   B−1 B−1 ta ý |y|2d dy = |y|2d dy = 1− γ≤−1 S B−1 qd γ γ≥1 q 3dγ < ∞ Vậy ta chứng minh với số nguyên γ ≥ −1 |M fγ | v1 dx ≤ Cq −d|γ|( −1) |x|≥q γ+1 |f | udx (3.7) Kd Các bất đẳng thức (3.6) (3.7) cho ta |M fγ | v1 dx ≤ Cq −d|γ|( −1) Kd |f | udx (3.8) Kd Theo bất đẳng thức Minkowski ∞ 1/ |M f | v1 dx 1/ ≤ Kd |M fγ | v1 dx γ=−1 Kd ∞ q −d|γ|( −1)/ ≤C γ=−1 · |f | udx ≤ C Kd |f | udx Kd Vậy (3.5) chứng minh định lý chứng minh hồn tồn Nhận xét 3.2.5 Trường hợp Rd , kí hiệu w(x) = (1 + |x|d )1− v1 = max{v, 1} hàm u mà Wo-Sang Young [49] sử dụng u = w−3 M (wv1 ) Trong đó, nhóm tác giả Angel E Gatto Cristian E Gutiérrez sử dụng hàm u(x) = M0 v + (1 + |x|)a a > d( − 1) M0 v(x) = 101 sup x∈Br r