Các toán tử tích phân dạng fourer hữu hạn và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Trần Thị Tố Như CÁC TỐN TỬ TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG Luận văn thạc sỹ khoa học Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hồng Trí Đà Nẵng, năm 2011 ii MỤC LỤC Lời cam đoan iv Danh mục ký hiệu v Mở đầu Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Tốn tử tích phân Fredholm 1.1.2 Phương trình tích phân với hạch suy biến 1.1.3 Chuỗi Fourier 1.2 Phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn 11 1.2.1 Phép biến đổi tích phân Fourier hữu hạn 11 1.2.2 Phép biến đổi tích phân Fourier-sine Fouriercosine hữu hạn 13 1.2.3 Phép biến đổi tích phân cosine sine hữu hạn 16 1.2.4 Phép biến đổi tích phân Hartley hữu hạn 18 1.3 Tích chập phép biến đổi tích phân dạng Fourier 21 1.3.1 Tích chập tổng quát 21 1.3.2 Tích chập Fourier hữu hạn 22 1.3.3 Tích chập phép biến đổi Fourier-sine Fouriercosine 29 1.3.4 Tích chập phép biến đổi cosine sine 32 1.3.5 Tích chập phép biến đổi tích phân Hartley 48 Chương ỨNG DỤNG 56 2.1 Xây dựng cấu trúc vành định chuẩn 56 2.2 Phương trình vi phân thường 58 2.3 Phương trình đạo hàm riêng 61 2.4 Phương trình tích phân 68 iii 2.4.1 Phương trình tích phân dạng chập với nhân Toeplizt 68 2.4.2 Phương trình tích phân dạng chập với nhân Hankel 71 2.4.3 Phương trình tích phân dạng chập với nhân ToepliztHankel 73 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 Quyết định giao đề tài 85 iv LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả TRẦN THỊ TỐ NHƯ v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N : Tập hợp số tự nhiên Z : Tập hợp số nguyên Z∗ : Tập hợp Z \ {0} S : Không gian hàm f , khả vi vô hạn R thỏa mãn dn f sup sup(1 + x2 )m | n (x)| < ∞, (m, n = 0, 1, 2, ) dx n≤m x∈R L1 (E) : Không gian hàm f khả tích tuyệt đối Lebesgue E, với f |f (x)|dx = E L2 (E) : Khơng gian hàm f , bình phương khả tích Lebesgue E, với f 2 |f (x)|2 dx, f, g = = E f (x)g(x)dx E l2 (Z) : Không gian dãy số a = {an }n∈Z thỏa mãn |an |2 < +∞ với a = n∈Z |an |2 n∈Z c0 (Z) : Không gian dãy số a = {an }n∈Z thỏa mãn lim an = với a = sup |an | |n|→∞ n∈Z cas(x) : Hàm cos cộng sin : cas x = cos x + sin x MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong khoa học kỹ thuật ta thường gặp tượng tuần hoàn tức tượng lặp lại cũ sau khoảng thời gian xác định T , gọi chu kỳ, ví tượng chuyển động dừng máy nước sau quay vòng trở lại vi trí ban đầu, tượng dịng điện xoay chiều,v.v Các đại lượng khác nhau, liên quan đến tượng tuần hồn xét, chu kỳ T trơi qua lại nhận giá trị cũ, hàm tuần hoàn t đặc trưng đẳng thức ϕ(t + T ) = ϕ(t) Đồng thời, biểu diễn hàm tuần hồn ϕ(t) với chu kỳ T dạng tổng tập hợp hữu hạn vơ hạn hàm tuần hồn Khi hàm thuộc lớp khai triển thành "chuỗi lượng giác" ∞ ϕ(t) = A0 + An sin(nωt + αn ) (0.1) n=1 2π đó, Ai i = 0, 1, số ω = T 2πt x Nếu ta chọn x = = ωt ta hàm f (x) = ϕ tuần hoàn T ω với chi kỳ 2π Khai triển (1.28) có dạng ∞ f (x) =A0 + An sin(nx + αn ) (0.2) n=1 ∞ a0 + [an cos nx + bn sin nx] n=1 Vậy xuất phát từ tượng dao động tuần hoàn đại lượng liên quan đến chúng, ta khai triển hàm thành chuỗi lượng giác Muốn thiết lập khả khai triển lượng giác (0.2) cho hàm f (x) có chu kỳ 2π cần xuất phát từ việc xác định hệ số i = 0, Và cách để xác định hệ số Euler sử dụng vào cuối kỷ 18 độc lập với ông, Fourier sử dụng vào đầu kỷ 19 "Nếu hàm f (x) khai triển thành chuỗi lượng giác hội tụ đều, chuỗi chuỗi Fourier hàm f [12]" Chuỗi Fourier sở quan trọng mà sau dẫn Fourier đến phát triển tích phân Fourier phép biến đổi Fourier Nhiều vấn đề vật lý, kỹ thuật môi trường thường đưa đến việc giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng hay phương trình tích phân Do đó, tìm cách giải phương trình ln nhiều nhà tốn học quan tâm Một số lý thuyết toán học xây dựng nhằm tiếp cận đưa lời giải phương trình kể Trong số đó, lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân, áp dụng giải phương trình vi tích phân phương trình đạo hàm riêng nhiều tốn học nghiên cứu Năm 1940, Churchill khởi đầu nghiên cứu tích chập phép biến đổi tích phân ứng dụng (xem[7]) Năm 1967, Kakichev thiết lập phương pháp xây dựng tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân Tuy nhiên, đến năm 1997 đạt số kết tích chập, năm 1998 khái niệm tích chập suy rộng đưa Kakichev Nguyễn Xuân Thảo.Trong năm gần đây, nhiều báo đề cập đến tích chập suy rộng, đa chập ứng dụng chúng cơng bố (Xem [8], [9]) Có nhiều hướng tiếp cận dựa nhiều lý thuyết toán học khác việc giải vấn đề như: điều kiện tồn nghiệm, ổn định nghiệm, giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy rộng Vai trò đặc biệt quan trọng lý thuyết phải kể đến phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin đáng ý phép biến đổi Fourier hữu dụng việc giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân lý sau: Đầu tiên, phương thay phương trình đại số đơn giản, cho phép tìm nghiệm biến đổi Fourier hàm Nghiệm phương trình đầu tìm thơng qua phép biến đổi ngược Thứ hai, phép biến đổi tích phân Fourier nguồn gốc ban đầu để xác định nghiệm bản, minh họa cho ý tưởng tìm hàm Green sau này.Thứ ba, biến đổi Fourier nghiệm kết hợp với định lý tích chập cung cấp cách biểu diễn nghiệm tường minh cho toán biên với giá trị ban đầu Các phép biến đổi tích phân cosine, sine, Fourier-cosine, Fourier-sine, Fourier phép biến đổi tích phân Hartley gọi phép biến đổi tích phân dạng Fourier Trong số này, phép biến đổi tích phân Hartley có số ưu điểm vượt trội: Khi tính tốn số với hàm nhận giá trị thực phép biến đổi tích phân Hartley nhanh phép biến đổi tích phân Fourier biến đổi Hartley hàm nhận giá trị thực hàm nhận giá trị thực, biến đổi Fourier hàm nhận giá trị thực hàm nhận giá trị phức So với phép biến đổi tích phân cosine tích phân sine phép biến đổi tích phân Hartley khả nghịch phép biến đổi tích phân cosine tích phân sine lại không khả nghịch Hay so với phép biến đổi tích phân cosine tích phân sine phép biến đổi tích phân Hartley có tích chập tích chập phép biến đổi tích phân Fourier- cosine Fourier- sine lại khơng có Vì lý mà tác giả chọn đề tài "Các tốn tử tích phân dạng Fourier hữu hạn ứng dụng" chọn nghiên cứu tính chất tốn tử xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân dạng Fourier sử dụng chúng để giải số phương trình vi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng Mục đích nghiên cứu Xây dựng tích chập tốn tử tích phân kiểu Fourier hữu hạn Ứng dụng giải phương trình vi tích phân Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người tìm hiểu lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân Tốn tử Ta,b = aFc + bFs , (a, b) ∈ C mở rộng tốn tử tích phân biết như: Fc = T1,0 ; Fs = T0,1 ; F = T1,i Ta biết phép biến đổi tích phân Fs ; Fc ; F có tầm quan trọng định toán ứng dụng, điện tử học Trên sở tơi hy vọng vào tiềm ứng dụng tốn tử tích phân Ta,b Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương • Chương luận văn trình bày tóm tắt khái niệm, định lý liên quan đến tốn tử Fourier tích chập tốn tử Fourier • Chương luận văn tập trung trình bày ứng dụng tốn tử Fourier tích chập tốn tử Fourier vào việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân Tác giả mong muốn luận văn phục vụ thiết thực cho việc nghiên cứu lý thuyết tích chập tốn tử tích phân kiểu Fourier nhà trường, tương lai Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 1.1 Kiến thức chuẩn bị Phần tác giả xin nêu số kiến thức sở kiến thức chung cần thiết cho phần nội dung sau 1.1.1 Tốn tử tích phân Fredholm Một ứng dụng lý thuyết toán tử khơng gian Hilbert khảo sát nghiệm phương trình tích phân thường gặp nhất, gọi phương trình Fredholm loại II b ϕ(x) = f (x) + K(x, s)ϕ(s)ds a ϕ(x) hàm chưa biết, f (x), K(x, s) hàm cho trước Nếu f (x) = phương trình gọi Phương trình Fredholm loại I có dạng b f (x) = K(x, s)ϕ(s)ds a Phương trình tích phân Fredholm loại I đặt khơng chỉnh theo nghĩa, kích động nhỏ vế phải dẫn đến thay đổi lớn nghiệm, chí làm cho phương trình vơ nghiệm Bởi vậy, ta xét phương trình tích phân loại II Định nghĩa 1.1 (Tốn tử tích phân) Cho hàm hai biến K(x, s) bình phương khả tích [a, b] × [a, b], có nghĩa b b K (x, s)dsdx = N < ∞ a a 71 2.4.2 Phương trình tích phân dạng chập với nhân Hankel Xét phương trình λϕ(x) + √ 2π π q(x + u)ϕ(u)du = f (x), (2.35) −π đó, λ ∈ C, q, f cho trước, ϕ(x) hàm cần tìm hàm q biết hạch Hankel Do hàm liên tục liên tục khúc đoạn [−π, π] thác triển chu kỳ 2π giả sử hàm q liên tục khúc tuần hoàn chu kỳ 2π R Ta có, q˜s , q˜c ký kiệu hệ số tích phân sine tích phân cosine hàm q Đặt D(n) = λ2 − q˜s q˜s − q˜c q˜c (2.36) D1 (n) = q˜c f˜s + λf˜s − q˜s f˜c (2.37) D2 (n) = −˜ qc f˜c + λf˜c − q˜s f˜s (2.38) Định lý 2.3 Giả sử hàm q liên tục khúc tuần hoàn chu kỳ 2π hàm f có bình phương khả tích i) Nếu λ = 0, tồn số K ∗ dương cho D(n) = với n K∗ ii) Nếu D(n) = với n ∈ N, phương trình (2.35) tồn nghiệm khơng gian L2 [−π, π] với f ∈ L2 [−π, π] cho ∞ D1 (n) D2 (0) D2 (n) + cos(nx) + sin(nx)] [ ϕ(x) = D(0) D(n) D(n) n=1 (2.39) Chứng minh Phần (i) chứng minh hoàn toàn tương tự định lý (2.2) ii) Theo cơng thức tích chập phép biến đổi tích phân sine tích phân cosine ta có √ 2π π q(x + u)ϕ(u)du π = (q ∗ ϕ) + (q Tc = (q ∗ Ts ,Tc ,Ts ∗ Tc ,Ts ,Ts ϕ) + (q (2.40) g) ∗ Ts ,Ts ,Tc ϕ) 72 Áp dụng phép biến đổi tích phân cosine tích phân sine lên hai vế cơng thức (2.40) sử dụng nhân tử hóa tích chập ta Tc Ts √ 2π √ 2π π π q(x + u)ϕ(u)du = q˜c ϕ˜c + q˜s ϕ˜s (2.41) q(x + u)ϕ(u)du = q˜s ϕ˜c + q˜c ϕ˜s (2.42) π π Bây ta thành lập công thức nghiệm (2.39) Giả sử hàm ϕ hàm bình phương khả tích thỏa mãn phương trình (2.35) Áp dụng hai phép biến đổi tích phân cosine tích phân sine ta hệ hai phương trình sau [λ − q˜c (n)]ϕ˜s (n) + q˜s (n)ϕ˜c (n) = f˜s (n) q˜s (n)ϕ˜s (n) + [˜ qc (n) + λ]ϕ˜c (n) = f˜c (n) (2.43) ϕ˜c (n), ϕ˜s (n) hệ số Fourier ϕ nghiệm hệ phương trình với n > Định thức hệ phương trình 2.43 xác định (2.26) Vì D(n) = với n ∈ N nên hệ 2.43 có nghiệm ϕ˜s (n) = D1 (n) , D(n) ϕ˜c (n) = D2 (n) , n = 0, 1, · · · D(n) Mà, ta có ϕ D1 (0) = D(0) ∞ D1 (n) D(n) + n=1 D2 (n) + D(n) < +∞ Bởi hàm ϕ0 cho ∞ D2 (n) D1 (n) D2 (0) + [ cos(nx) + sin(nx)] ϕ0 (x) = D(0) D(n) D(n) n=1 thuộc không gian L2 [−π, π] ϕ0 (x) = ϕ(n) với hầu hết x ∈ [−π, π] Bây ta chứng minh nghiệm Giả sử f = phương trình (2.25); trở thành phương trình nhất; có nghiệm ϕ∗ ∈ L2 [−π, π] (chú ý tối thiểu có nghiệm tầm thường ϕ = 0) λϕ∗ (x) + √ 2π π q(x + u)ϕ∗ (u)du = −π 73 Áp dụng hai phép biến đổi Tc Ts ta có [λ − q˜c (n)]ϕ˜∗s (n) + q˜s (n)ϕ˜∗c (n) = f˜s (n) q˜s (n)ϕ˜∗s (n) + [˜ qc (n) + λ]ϕ˜∗c (n) = f˜c (n) (2.44) với ϕ˜∗c (n), ϕ˜∗s (n) hệ số Fourier ϕ∗ nghiệm hệ phương trình với n > Khi D(n) = với n ∈ N ta có ϕ˜∗s (n) = ϕ˜∗c (n) = ∀n Bởi tính phép biến đổi Fourier nên ϕ∗ = Vì phương trình (2.35) có nghiệm tầm thường nên theo định lý Fredholm, phương trình (2.35) có nghiệm Vậy nghiệm (2.39) nghiệm thỏa mãn phương trình (2.35) ∞ D2 (n) D1 (n) D2 (0) + [ cos(nx) + sin(nx)] ϕ(x) = D(0) D(n) D(n) n=1 2.4.3 Phương trình tích phân dạng chập với nhân ToepliztHankel Xét phương trình λϕ(x) + √ 2π π [p(x − u) + q(x + u)]ϕ(u)du = f (x), (2.45) −π đó, λ ∈ C, p, q, f cho trước, ϕ(x) hàm cần tìm hàm p, q hạch Toeplizt Hankel Do hàm liên tục liên tục khúc đoạn [−π, π] thác triển chu kỳ 2π; giả sử hàm p, q liên tục khúc tuần hoàn chu kỳ 2π R Ta có, q˜s , q˜c ký kiệu hệ số tích phân sine tích phân cosine hàm q Đặt D(n) = λ2 + 2λ˜ pc + (˜ pc + q˜c )(˜ pc − q˜c ) + (˜ ps + q˜s )(˜ ps − q˜s ) D1 (n) = λf˜s + (˜ pc + q˜c )f˜s − (˜ ps + q˜s )f˜c D2 (n) = λf˜c + (˜ pc − q˜c )f˜s + (˜ ps − q˜s )f˜c (2.46) 74 Định lý 2.4 Giả sử hàm p, q liên tục khúc tuần hoàn chu kỳ 2π hàm f có bình phương khả tích i) Nếu λ = 0, tồn số K ∗ dương cho D(n) = với n K∗ ii) Nếu D(n) = với n ∈ N, phương trình (2.45) tồn nghiệm không gian L2 [−π, π] với f ∈ L2 [−π, π] cho ∞ D2 (n) D1 (n) D2 (0) + [ cos(nx) + sin(nx)] ϕ(x) = D(0) D(n) D(n) n=1 (2.47) Chứng minh i) Theo định lý (1.1) lim q˜s = lim q˜c = n→∞ n→∞ lim p˜s = lim p˜c = n→∞ n→∞ nên lim D(n) = λ2 = n→∞ Do vậy, tồn số nguyên K∗ ∈ N cho D(n) = 0, ∀n ≥ K∗ ii) Theo cơng thức tích chập ta có √ 2π π q(x + u)ϕ(u)du −π = (q ∗ ϕ) + (q Tc = (q √ 2π ∗ Ts ,Tc ,Ts ∗ Tc ,Ts ,Ts ϕ) + (q (2.48) g) ∗ Ts ,Ts ,Tc ϕ) π p(x − u)ϕ(u)du −π = (p ∗ ϕ) − (p Tc = (p ∗ Ts ,Tc ,Ts ∗ Tc ,Ts ,Ts ϕ) + (p (2.49) g) ∗ Ts ,Ts ,Tc ϕ) 75 Áp dụng phép biến đổi tích phân cosine tích phân sine lên hai vế cơng thức (2.48), (2.49) sử dụng nhân tử hóa tích chập ta Tc Ts √ 2π √ 2π π p(x − u)ϕ(u)du = p˜c ϕ˜c − p˜s ϕ˜s (2.50) p(x − u)ϕ(u)du = p˜s ϕ˜c + p˜c ϕ˜s (2.51) q(x + u)ϕ(u)du = q˜c ϕ˜c + q˜s ϕ˜s (2.52) q(x + u)ϕ(u)du = q˜s ϕ˜c + q˜c ϕ˜s (2.53) −π π −π Và Tc Ts √ 2π √ 2π π −π π −π Bây ta thành lập công thức nghiệm (2.47) Giả sử hàm ϕ hàm bình phương khả tích thỏa mãn phương trình (2.45) Áp dụng hai phép biến đổi tích phân cosine tích phân sine sử dụng đồng thức (2.50)-(2.52) ta hệ hai phương trình sau  [λ + p˜c (n) − q˜c (n)]ϕ˜s (n) + [˜ ps (n) + q˜s (n)]ϕ˜c (n) = f˜s (n) [˜ ps (n) − q˜s (n)]ϕ˜s (n) + [˜ pc (n) + q˜c (n) + λ]ϕ˜c (n) = f˜c (n) (2.54) ϕ˜c (n), ϕ˜s (n) hệ số Fourier ϕ nghiệm hệ phương trình với n > Định thức hệ phương trình 2.54 xác định (2.46) Vì D(n) = với n ∈ N nên hệ 2.54 có nghiệm ϕ˜s (n) = D1 (n) , D(n) ϕ˜c (n) = D2 (n) , n = 0, 1, · · · D(n) Mà, ta có ϕ D1 (0) = D(0) ∞ + n=1 D1 (n) D(n) D2 (n) + D(n) < +∞ Bởi hàm ϕ0 cho ∞ D2 (0) D2 (n) D1 (n) ϕ0 (x) = + [ cos(nx) + sin(nx)] D(0) D(n) D(n) n=1 76 thuộc không gian L2 [−π, π] ϕ0 (x) = ϕ(n) với hầu hết x ∈ [−π, π] Bây ta chứng minh nghiệm Giả sử f = phương trình (2.45); trở thành phương trình nhất; có nghiệm ϕ∗ ∈ L2 [−π, π] (chú ý tối thiểu có nghiệm tầm thường ϕ = 0) λϕ∗ (x) + √ 2π π q(x + u)ϕ∗ (u)du = −π Áp dụng hai phép biến đổi Tc Ts ta có  [λ + p˜c (n) − q˜c (n)]ϕ˜∗s (n) + [˜ ps (n) + q˜s (n)]ϕ˜∗c (n) = f˜s (n) [˜ ps (n) − q˜s (n)]ϕ˜∗s (n) + [˜ pc (n) + q˜c (n) + λ]ϕ˜∗c (n) = f˜c (n) (2.55) với ϕ˜∗c (n), ϕ˜∗s (n) hệ số Fourier ϕ∗ nghiệm hệ phương trình với n > Khi D(n) = với n ∈ N ta có ϕ˜∗s (n) = ϕ˜∗c (n) = ∀n Bởi tính phép biến đổi Fourier nên ϕ∗ = Vì phương trình (2.35) có nghiệm tầm thường nên theo định lý Fredholm, phương trình (2.35) có nghiệm Vậy nghiệm (2.39) nghiệm thỏa mãn phương trình (2.35) ∞ D2 (0) D2 (n) D1 (n) ϕ(x) = + [ cos(nx) + sin(nx)] D(0) D(n) D(n) n=1 Ta tìm nghiệm phương trình (2.45) với việc áp dụng phép biến đổi Hartley Với p˜1 , p˜2 , q˜1 , q˜2 hệ số Hartley hàm p(x) q(x) Đặt A(n) := λ + p˜1 (n) + p˜2 (n) + q˜1 (n) − q˜2 (n) (2.56) B(n) := p˜1 (n) − p˜2 (n) + q˜1 (n) + q˜2 (n) D(n) := A(n)A(−n) − B(n)B(−n) D1 (n) := A(−n)f˜1 (n) − B(n)f˜2 (n) D2 (n) := A(n)f˜2 (n) − B(−n)f˜1 (n) Với cách tiếp cận hoàn toàn tương tự, ta có định lý tồn nghiệm sau 77 Định lý 2.5 Giả sử hàm p, q liên tục khúc tuần hoàn chu kỳ 2π hàm f có bình phương khả tích i) Nếu λ = 0, tồn số K ∗ dương cho D(n) = với K∗ n ii) Nếu D(n) = với n ∈ N, phương trình (2.45) tồn nghiệm không gian L2 [−π, π] với f ∈ L2 [−π, π] cho ∞ D2 (n) D1 (n) D2 (0) + [ cas(nx) + cas(−nx)] ϕ(x) = D(0) D(n) D(n) n=1 (2.57) Chứng minh i) Theo định lý (1.1) lim q˜j = lim p˜j = với j = 1; n→∞ n→∞ ta có lim D(n) = λ = Do đó, tồn số K ∗ ∈ N cho n→∞ D(n) = 0; ∀n K∗ ii) Theo cơng thức tích chập phép biến đổi Hartley ta có √ 2π π q(x + u)ϕ(u)du −π = (q ∗ ϕ) + (q H1 = (q ∗ ϕ) + (q H2 ∗ ϕ) − (q ∗ g) − (q H1 ,H2 ,H2 H2 ,H1 ,H1 ∗ ϕ) + (q ∗ g) + (q H1 ,H2 ,H1 H2 ,H1 ,H2 ∗ ϕ) ∗ g) H1 ,H1 ,H2 H2 ,H2 ,H1 (2.58) √ 2π π p(x − u)ϕ(u)du −π = (q ∗ ϕ) − (q H1 = (q ∗ ϕ) − (q H2 ∗ ϕ) + (q ∗ ϕ) − (q H1 ,H2 ,H2 H2 ,H1 ,H1 ∗ ϕ) + (q ∗ ϕ) + (q H1 ,H2 ,H1 H2 ,H1 ,H2 ∗ ϕ) ∗ ϕ) H1 ,H1 ,H2 H2 ,H2 ,H1 (2.59) Áp dụng phép biến đổi H1 H2 lên hai vế công thức (2.58), (2.59) sử dụng nhân tử hóa tích chập ta H1 √ 2π π p(x − u)ϕ(u)du =˜ p1 ϕ˜1 − p˜2 ϕ˜2 −π + p˜2 ϕ˜1 + p˜1 ϕ˜2 (2.60) 78 H2 √ 2π π p(x − u)ϕ(u)du =˜ p2 ϕ˜2 − p˜1 ϕ˜1 −π (2.61) + p˜2 ϕ˜1 + p˜1 ϕ˜2 H1 √ 2π π q(x + u)ϕ(u)du =˜ q1 ϕ˜1 + q˜2 ϕ˜2 −π (2.62) − q˜2 ϕ˜1 + q˜1 ϕ˜2 H1 √ 2π π q(x + u)ϕ(u)du =˜ q2 ϕ˜2 + q˜1 ϕ˜1 −π (2.63) + q˜2 ϕ˜1 − q˜1 ϕ˜2 Bây ta chứng minh công thức nghiệm (2.47) Giả sử hàm ϕ hàm bình phương khả tích thỏa mãn phương trình (2.45) Áp dụng hai phép biến đổi H1 H2 ta hệ hai phương trình sau (với n ≥ 0) = f˜1 (n) B(−n)ϕ˜1 (n) + A(−n)ϕ˜2 (n) = f˜2 (n) A(n)ϕ˜1 (n) + B(n)ϕ˜2 (n) (2.64) ϕ˜1 (n), ϕ˜2 (n) hệ số Hartley ϕ đồng thời nghiệm hệ phương trình với n Định thức hệ phương trình 2.64 xác định (2.56) Vì D(n) = với n ∈ N nên hệ 2.64 có nghiệm ϕ˜s (n) = D1 (n) , D(n) ϕ˜c (n) = D2 (n) , n = 0, 1, · · · D(n) Mà, ta có ϕ D1 (0) = D(0) ∞ + n=1 D1 (n) D(n) D2 (n) + D(n) < +∞ Bởi hàm ϕ0 cho ∞ D2 (0) D2 (n) D1 (n) ϕ0 (x) = + [ cas(nx) + cas(−nx)] D(0) D(n) D(n) n=1 79 thuộc không gian L2 [−π, π] ϕ0 (x) = ϕ(n) với hầu hết x ∈ [−π, π] Bây ta chứng minh nghiệm phương trình (2.45) dựa vào định lý loại trừ Fredholm (1.2) Giả sử f = phương trình (2.45); trở thành phương trình nhất; có nghiệm ϕ∗ ∈ L2 [−π, π] (chú ý tối thiểu có nghiệm tầm thường ϕ = 0) λϕ∗ (x) + √ 2π π q(x + u)ϕ∗ (u)du = −π Áp dụng hai phép biến đổi H1 H2 ta thu hệ phương trình tuyến tính hai ẩn = f˜1 (n) B(−n)ϕ˜∗1 (n) + A(−n)ϕ˜∗2 (n) = f˜2 (n) A(n)ϕ˜∗1 (n) + B(n)ϕ˜∗2 (n) (2.65) với ϕ˜∗1 (n), ϕ˜∗2 (n) hệ số Hartley ϕ∗ nghiệm hệ phương trình Với n > D(n) = với n ∈ N ta có ϕ˜∗s (n) = ϕ˜∗c (n) = ∀n Bởi tính phép biến đổi Fourier nên ϕ∗ = (Theo định lý (1.7)) Vì phương trình (2.45) có nghiệm tầm thường nên theo định lý Fredholm, phương trình (2.45) có nghiệm Vậy nghiệm (2.57) nghiệm thỏa mãn phương trình (2.45) ∞ D2 (n) D1 (n) D2 (0) + [ cas(nx) + cas(−nx)] ϕ(x) = D(0) D(n) D(n) n=1 Ví dụ 2.6 Tìm nghiệm phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến sau ϕ(x) + π π [sin 3(x − u) + cos(x + u)]ϕ(u)du = cos3 (x) (2.66) −π Đặt p(x) = sin(3x), q(x) = cos(x) f (x) = cos3 (x) Khi đó, phương trình (2.66) có dạng phương trình (2.66) với λ = 80 Như vậy, điều kiện Định lý 2.5 thỏa mãn nên phương trình (2.66) có nghiệm cho (2.66) là: ϕ(x) = cos3 (x) − cos(x) − sin(x) cos2 (x) + sin(x) Mặt khác, phương trình (2.66) giải phương pháp nhân biến thu nghiệm ϕ∗ (x) = cos3 (x) − sin(3x) − cos(3x) − cos(x) =4 cos3 (x) − cos(x) − sin(x) cos2 (x) + sin(x) = ϕ(x) (2.67) (2.68) Ví dụ 2.7 Tìm nghiệm phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến ϕ(x) + π π [cos(x − u) + sin(x + u)]ϕ(u)du = 3x (2.69) −π Sử dụng phương pháp nhân suy biến ta tìm nghiệm ϕ∗ phương trình (2.69) ϕ∗ (x) = 3x − sin x + 12 sin(2x) − cos(2x) 5 Mặt khác sử dụng định lý (2.5) ta thu nghiệm chuỗi phương trình (2.69) ∞ D1 (0) D1 (n) D2 (n) ϕ(x) = + cas(nx) + cas(−nx) D(0) D(n) D(n) n=1 ∞ = sin x − cos(2x) + sin(2x) − sin(nx) n n=3 Ví dụ 2.8 Tìm nghiệm phương trình tích phân tuyến tính với nhân khơng suy biến ϕ(x) + π Đặt √ −π π √ + ϕ(u)du = (2.70) sin(x − u) − cos(x + u) + √ √ p(x) = , q(x) = sin x − cos x + 2, f (x) = Khi đó, phương trình(2.70) có dạng (2.45) với λ = Ta có f˜1 (n) = f˜2 (n) = ∀n ≥ 1, 81 Suy D1 (n) = D2 (n) = ∀n ≥ Từ cơng thức nghiệm (2.57), ta có nghiệm phương trình (2.70) ϕ(x) = D1 (0) =1 D(0) Nhận xét 2.1 Phương trình ví dụ 2.8 không giải phương pháp nhân suy biến 82 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu học hỏi từ tài liệu có tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Trong khóa luận tơi trình bày tư tưởng nội dung, hệ thống tích chập tốn tử Fourier giải nghiệm số phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân với nhân Toeplizt-Hankel Đóng góp khóa luận bao gồm: Xây dựng tích chập Ts , Tc , H1 , H2 Định lý 2.1 không gian L1 [−π; π] trang bị thêm phép nhân chập tốn tử Hartley trở thành vành định chuẩn khơng có đơn vi Giải lại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tốn tử tích phân kiểu Fourier thay dùng tốn tử Fourier Titchmarsh Đưa điều kiện cần đủ để phương trình tích phân dạng chập với nhân Toeplitz - Hankel có nghiệm đưa cơng thức nghiệm tương minh Tiếp theo kết luận văn nhận thấy có số vấn đề cần nghiên cứu như: mở rộng kết nghiên cứu phép biến đổi cho lớp hàm không tuần hồn lớp hàm có hàm trọng Hermite hay mở rộng kết nghiên cứu lên không gian L1 (Rd ) 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG ANH [1] Ander Vertblad (2003), Fourier analysis anh Its Applications [2] G Arfken (1985), Mathematical methods for Physicists Academic Press [3] Bhatia R (2005), Fourier series, The Mathematical Association of America [4] Bracewell R.N (1986), The Fourier Transforms and Its Applications, McGraw-Hill, N Y [5] Bracewell R.N (1986), The Hartley transforms, Oxford University Press, Oxford [6] Debnath L., and Bhatta D (2007), Integral Transforms and Their Applications, Second Edition, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton [7] J.W Brown, and Ruelv Churchill (1941), Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw-Hill [8] Kakichew V.A and Nguyen Xuan Thao,On the generalized convolution for H-transforms, Izv Vuzon Mat-N.10-pp79-84, 2000 (in Russian) [9] Nguyen Xuan Thao, Kakichew V.A and Vu Kim Tuan,On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transforms, East-West J.Math-V.1-N.1-pp 31-40, 1998 (in Russian) [10] Stein E M., and Shakarchi R (2007), Fourier analysis An introduction Princeton Lectures in Analysis, I, Princeton University Press, Princeton and Oxford 84 [11] Enrique A Gonz, lez-Velasco (1995), Fourier analysis anh boundary value problem TIẾNG VIỆT [12] G.M.Fichtengon (1977), Cơ sở giải tích tốn học tập III, Nhà xuất Đại học Trung cấp chuyên nghiệp [13] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Viện tốn học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 85 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI ... đổi tích phân Hartley có tích chập tích chập phép biến đổi tích phân Fourier- cosine Fourier- sine lại khơng có Vì lý mà tác giả chọn đề tài "Các tốn tử tích phân dạng Fourier hữu hạn ứng dụng" ... đổi tích phân cosine tích phân sine phép biến đổi tích phân Hartley khả nghịch phép biến đổi tích phân cosine tích phân sine lại không khả nghịch Hay so với phép biến đổi tích phân cosine tích phân. .. 1.2 Phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn 11 1.2.1 Phép biến đổi tích phân Fourier hữu hạn 11 1.2.2 Phép biến đổi tích phân Fourier-sine Fouriercosine hữu hạn