Với việc phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho mình về trình đ[r]
(1)I NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CƯ KUIN TRƯỜNG THCS NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU
-
-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC THCS
********
Họ tên: MAI TRỌNG MẬU Tổ : Toán -lý-Tin
(2)1 Lý viết sáng kiến kinh nghiệm
1.1- Cơ sở lý luận:
Các tốn hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ tốn khó với học sinh THCS Bởi để giải tốn dạng khơng u cầu học sinh nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi học sinh cần có kỹ giải tốn định, có sáng tạo định Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hố, đặc biệt hố, Hay nói cách khác giải toán phải kẻ thêm đường phụ sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đường phụ để giải tốn hình mặt phương pháp biểu mức độ cao kỹ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý hay cịn gọi quy lạ quen Ở khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt tốn hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh
1.2- Cơ sở thực tiễn:
Giải tốn hình có kẻ thêm đường phụ địi hỏi phải thực nhiều thao tác tư Vì địi hỏi học sinh phải rèn luyện mặt tư hình học thuật phát triển Do định lý sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ sách giáo khoa (SGK) đề cập đến, việc làm ví dụ tốn lớp có loại tốn dạng Tuy nhiên tập SGK đưa nhiều dạng toán tập nâng cao tốn khó hay lại toán giải cần phải kẻ thêm đường phụ
Trên thực tế, học sinh giải tốn dạng cần phải có nhiều thời gian nghiên cứu Do việc sâu vào nghiên cứu tìm tịi cách giải tốn có vẽ thêm đường phụ học sinh cịn Cịn đa số học sinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽ đường kẻ phụ kiến thức số loại đường phụ hạn chế Các tài liệu viết riêng loại toán việc tham khảo học sinh cịn gặp nhiều khó khăn
Vì với trình bày đề tài nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên sở cho giáo viên dạy tốt loại tốn hình có kẻ thêm đường phụ
2 Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm:
(3)các kiến thức cho học sinh Với việc phân dạng tốn hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời sâu vào hướng dẫn số toán cụ thể tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho trình độ kiến thức, góp phần gợi phương pháp giải toán cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp việc kẻ thêm đường phụ
II NỘI DUNG
A Các bước tiến hành.
1 Điều tra:
Trước đưa vào thực sáng kiến tiến hành điều tra hiểu có kỹ giải tốn hình có lời giải vẽ thêm đường phụ học sinh sau:
- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 9A+9B THCS Nguyễn đình Chiểu – Cư Kuin năm học 2011-2012
- Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 28/8/2011 - Tổng số học sinh điều tra: 67 em
- Thống kê điều tra sau:
01 Số học sinh nắm sơ lược loại đường phụ thường sử dụng giải Tốn THCS có: 20 em chiếm 30 %
02 Số học sinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải tốn THCS có: 15 em chiếm 22,4%
03 - Số học sinh dựng đường kẻ phụ hợp lý giải số tốn chương trình tốn lớp 8, gồm có: 10 em chiếm 15%
04 Số học sinh lúng túng, chưa giải tốn hình học có vẽ thêm đường phụ giải Tốn THCS có: 33 em chiếm 50 %
05. Số học sinh thành thạo dạng toán, có kỹ tốt giải
tốn tương đối khó : em chiếm 0%
2 Quá trình thực hiện:
Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy nắm vững yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ
2.1 Các yêu cầu vẽ đường phụ.
(4)Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh tốn Muốn phải kết phân tích tổng hợp, tương tự hố, mày mị dự đốn theo mục đích xác định gắn kết mối quan hệ kiến thức có với điều kiện cho tốn kết luận phải tìm Do khơng vẽ đường phụ cách tuỳ tiện (cho dù mày mị, dự đốn) đường phụ khơng giúp ích cho việc chứng minh làm cho vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải Vì vẽ đường phụ phải tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ có đạt mục đích muốn khơng?" Nếu "không" nên loại bỏ
02- Đường phụ phải đường có phép dựng hình phải xác định được.
03 Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ:
Đường phụ thườngthỏa mãn tính chất , việc lựa chọn đường phụ quan trọng.Tuy đường phụ vẽ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác
04.Một số loại đường phụ thường sử dụng giải tốn hình ở chương trình THCS.
a) Đường phụ điểm:
Vẽ điểm chia hay chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số thích hợp
Xác định giao điểm đường thẳng đường thẳng với đường tròn
b) Đường phụ đường thẳng, đoạn thẳng:
Kéo dài đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý Nối hai điểm cho trước hai điểm xác định
Từ điểm cho trước dựng đường song song với đường thẳng xác định
Từ điểm cho trước dựng đường vng góc với đường thẳng xác định
Dựng đường phân giác góc cho trước
(5)Từ điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường trịn cho trước Hai đường trịn giao dựng dây cung chung
Hai đường tròn tiếp xúc ta kẻ tiếp tuyến chung đường nối tâm
Vẽ tia đối tia
Dựng đường đặc biệt tam giác ( Trung tuyến , trung bình, phân giác , đường cao )
c) Đường phụ đường tròn:
*Vẽ thêm đường trịn cung chứa góc dựa điểm có *Vẽ đường trịn tiếp xúc với đường trịn đường thẳng có *Vẽ đường tròn nội ngoại tiếp đa giác
Trên sở, yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ, giáo viên cần phân dạng toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ
2.2 Các sở để xác định đường phụ :
Ta đưa dựa sở sau để xác định đường phụ vễ đường ? vẽ từ đâu ?
01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải toán
02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải toán
03- Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán
04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
05 Kẻ thêm đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tương đương để giải toán
2.3 Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đường phụ:
01 Dựa vào toán biết:
(6)Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE trung tuyến tam giác ABC CMR: CE = CD
Ta phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ
Phân tích: Từ kết luận tốn gợi ý cho ta xét đến trung điểm CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác cách làm chia đôi đoan thẳng chuyển toán chứng minh hai đoạn thẳng
Gọi M trung điểm CD ta có CM = MD, ta phải chứng minh CE=CM CE=DM Chọn CE = CM
Từ phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy chứng minh EBC = MBC ta có CE=CM điều phải chứng minh
Đến điều cần chứng minh rõ ràng phải chứng minh EBC =
MBC, hai tam giác theo trường hợp c.g.c
Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào phân tích trên, ta đưa cho học sinh câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
- Với M trung điểm CD, em cho biết CE CM cạnh tam giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ chứng minh điều gì?
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì?
02 Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán:
Đối với trường hợp (dạng này) thường toán chứng minh đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vng góc, đường trung tuyến tam giác, tam giác cân có đường cao đồng thời đường trung tuyến
A
C M
D
(7)Ví dụ2: Bài tốn: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm đường chéo AC cho BNM 90 0 Gọi F điểm
đối xứng A qua N, chứng minh:FB AC
Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ gợi ý chứng minh
Phân tích: Ta thấy BFC là góc BFC, đối chiếu với định lý:
"Tổng góc tam giác 180O có FBC BCF BFC 180 , nhưng
ta chưa thể tính FBC BCF bằng độ nên suy được
số đo góc BFC Vậy khơng thể vận dụng định lý để chứng minh
- Nhưng toán cho ta giả thiết liên quan đến góc vng trung điểm đoạn thẳng , ta liên kết giả thiết lại với để chứng minh tốn cách nào?
Đó câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt cho học sinh hướng dẫn em tự đặt câu hỏi
Liệu BF có đường cao BNC không?
Để chứng minh BF đường cao tam giác BNC ta phải chứng minh BF qua điểm đặc biệt tam giác?
Dựa vào ta hiểu phải chứng minh BF qua trực tâm
BNC
Do phân tích - tổng hợp ta đến việc dựng NE BC E
Gọi giao điểm NE với BF I Ta suy chứng minh CI // MN suy CI vng góc với BN (Vì MNBN) tức CI
đường cao BNC
Vậy I trực tâm BNC (Vì I NE CK) Do suy điều
phải chứng minh là: BF AC
Tóm lại việc kể thêm NE BC E nhằm tạo điểm I NE BF
để chứng minh I trực tâm BNC
Từ phân tích ta dựa vào đề hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn sử dụng câu hỏi như:
C
B E
M I
K
F
D A
(8)- Để chứng minh BF vng góc với AC ta chứng minh BF đường BNC?
- Để chứng minh BF qua trực tâm BCN ta phải có
điểm nào?
- Ta phải kẻ thêm đường phụ để có điểm giao BF với đường cao BNC?
- Với NE đường cao BNC NE BF I, ta phải chứng
minh I điểm có tính chất gì?
Ví dụ3: Cho ABC M điểm Nối M với đỉnh A, B, C
cắt cạnh đối diện A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ K H
Chứng minh rằng: MK = MH
Đây tốn tương đối khó với học sinh
? Sau tìm nhiều cách chứng minh khơng có kết Ta ý đến giả thiết toán cho tacác yếu tố đồng quy song song Giả thiết định lý gần với nhất?
Câu trả lời mong đội đâylà định lý Talet
- Ở KH // BC Đoạn thẳng BC chia thành đoạn nhỏ ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA’ CA’,BC - Cần phải xác định thêm điểm nào?
- Điểm P Q giao KH với AB AC
Ta có lời giải sau
Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Ta có: Theo định lý Talét
K H
M A
B C
A'
B' C'
(9)' '
; ;
' '
' '
' '
MH CA MQ BC MP BA MP CB MK BA MQ CA
MH MQ MP CA CB BA MH
MH MK MP MK MQ CB BA CA MK
03 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ
Ví dụ 4: Cho ABC có A2B Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB
Hướng dẫn: - Các định lý tính chất giúp ta công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ?
Câu trả lời định lý Pitago cơng thức gần với công thức , GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago khơng tạo góc vng có liên quan đến độ dài ba cạnh
- Ngồi định lý Pitago cịn cách khác không?
Câu trả lời mong đội định lý ta lét tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa dạng tỷ số để gắn
vào tam giác đồng dạngBC2 AC2AC AB BC2 AC AC AB
Đến GV u cầu học sinh đưa tốn quen thuộc việc chứng minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB+AC
-Từ học sinh đưa hai cách vẽ đường phụ đặt liên tiếp cạnh AB doạn AC đặt cạnh AC đoạn AB
? Nên đặt dựa điểm ? Chọn đặt kề cạnh đẻ vận dụng giả thiết A2B?
Câu trả lời mong đợi lấy tia đối tia AC đoạn AB Từ ta có lời giải
Giải:
Trên tia đối tia AC lấy D cho AD = AB Khi ABC cân A nên:
2 2
BAC ABD ADB
Xét ABC BDC có:
1
2 BDCABC BAC
B C
D
(10)
C chung nên ABC đồng dạng với BDV (g.g)
AB AC AC AB AC AC AD AC AC CD AC BC BC AC CD BC ) ( ) ( 2
Như việc dạy cho học sinh biết cách giải tốn mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không đơn đưa số giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ đường phụ, sau phân dạng tốn đưa vào gợi mở học sinh tìm lời giải cho toán cụ thể Trong q trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đường phụ giải toán hình học
2.4 Một số tập hướng dẫn học sinh giải
Bài 1: Tính cạnh hình thoi ABCD biết bán kính đường trịn ngại tiếp cac tam giác ABC ABD
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân A Đường cao BH Chứng minh :
2 AB AC CH BC
Bài 3: Cho tam giác ABCcân A có A200
Chứng minh :
2
AB BC BC AB
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh :
2 ABC AC tg p AC
với p nửa chu vi tam giác ABC
Bài 5 :Cho góc nhọn xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm M N
cho OM +ON = 2a không đổi
a ) Chứng minh : Khi M ,N chạy Ox , Oy trung điểm MN ln nằm đoạn thẳng cố định A
b ) Xác định vị trí M N để tam giác OMN có diện tích lớn
Bài 6: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) gọi D;E;F thứ tự trọng điểm
BC;AC AB Kẻ đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy
Bài : Cho đường tròn (O) điểm A bên đường trịn kẻ cát tuyến BAC
Gọi (P) đường tròn qua A tiếp xúc với (O) B (Q) đường tròn qua A tiếp xúc với (O) C a) Tứ giác APOQ hình ?
(11)Bài 8: Cho góc vng xOy Các điểm P, Q thứ tự di chuyển tia Ox Oy cho OP + OQ = 2007 Vẽ đường tròn (P; OQ) (Q; OP)
a) Chứng minh hai đường tròn (P) (Q) cắt
b) Gọi M, N giao điểm hai đường tròn (P) (Q) chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định P Q thay đổi
B KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :
Qua thời gian áp dụng kiến thức phương pháp dạy vừa trình bày (Từ 28/8/2011 đến nay) 67 em học sinh lớp 9A -9B trường THCS Nguyễn đình Chiểu – Cư Kuin thu kết sau:
01. Số học sinh nắm loại đường phụ thường sử dụng giải toán THCS có: 67 em chiếm 100%
02 Số học sinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải tốn THCS có: 60 em chiếm 90%
03 Số học sinh vẽ (dựng) đường phụ hợp lý giải số tốn hình chương trình Tốn lớp có: 47 em chiếm 70%
04. Số học sinh thành thạo dạng tốn, có kỹ tốt giải
tốn tương đối khó : 17 em chiếm 25%
Trong trình dạy học sinh theo phương pháp , thu nhiều kết tốt
Bảng kết thi khảo sát sau cho thấy rõ điều đó:
Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém
Đầu năm 67 10 33 22
KH I 67 26 33
Giữa KHII 67 12 32 23 III KẾT LUẬN KINH NGHIỆM RÚT RA
Các tốn hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tốn khó lại tốn hay, giúp cho tư logic học sinh phát triển, giúp rèn luyện lúc nhiều thao tác tư cho học sinh
(12)Khi áp dụng đề tài giáo viên cần phải lưu ý trước hết phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ sau phân dạng tốn đưa hướng dẫn số toán cụ thể theo dạng chia Việc củng cố kỹ cho học sinh phép dựng hình cần thiết nội dung thực
Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu phạm vi rộng chưa thể trình bày hết phương pháp dạy dạng toán nêu gới hạn đề tài
Rất mong đồng nghiệp nghiên cứu tiếp đề tài với nội dung phong phú Mong góp ý chân thành bạn đọc./
Ngày 12 tháng 12 năm 2011 Người viết