Bài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a 3.. tính diện tích thiết diện[r]
(1)NỘI DUNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP KHỐI 12 Mơn : Tốn CƠ BẢN
I/ PHẦN GIẢI TÍCH :
1/ Khảo sát vẽ đồ thị hsố dạng :
y= a x3 + bx2 + cx + d ; y = ax4 +bx2 +c y =
ax b cx d 2.Các toán liên quan :
- Sự tương giao hai đồ thị - Ba dạng tiếp tuyến
- Biện luận theo m số nghiệm pt đồ thị - Tìm điểm (c ) có toạ độ số nguyên - Tìm m để hàm số có cđ ct
- Tìm m để hàm số đạt cực trị thoả đk cho trước
- Tìm m để (c1) (c2 ) txúc
- Tìm GTLN GTNN (trên khoảng đoạn ) - Tìm m để pt có n nghiệm
3/.Nguyên hàm tích phân :
- Tìm ngun hàm hàm số thường gặp
- Tính tích phân p2 đổi biến số pp tích phân phần
- Ứng dụng tích phân : tính diện tích hình phẳng , thể tích vật thể trịn xoay 4.Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ logarit :
- Giải phương trình mũ , bất phương trình mũ logarit - Giải hệ phương trình mũ logarit
5 Số phức :
- Môđun số phức , phép toán số phức - Căn bậc hai số phức
- Phương trình bậc hai với hệ số phức - Dạng lượng giác số phức II / PHẦN HÌNH HỌC :
1/.Hình học khơng gian tổng hợp :
- Tính thể tích khối lăng trụ , khối chóp - Tính thể tích khối trụ , khối nón , khối cầu
- Tính diện tích xung quanh hình nón , hình trụ , diện tích mặt cầu 2/ Phương pháp toạ độ không gian :
a/.Các tốn điểm vectơ :
Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện cho trước , trọng tâm tam giác , giao điểm đường thẳng mặt phẳng , giao điểm hai đường thẳng , hình chiếu điểm đường thẳng , mặt
phẳng , tìm điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng , mặt phẳng cho trước , tìm giao điểm đường thẳng mặt cầu
Chứng minh hai vectơ phương không phương , vectơ vng góc , vectơ đồng phẳng khơng đồng phẳng, tính góc hai vectơ , diện tích tam giác , thể tích tứ diện , chiều cao tứ diện , đường cao tam giác
b/.Các toán mặt phẳng đường thẳng :
(2)- Lập pt đường thẳng : Qua điểm , qua điểm song song với đt , qua điểm song song với mp cắt , qua điểm vng góc với mp , pt hình chiếu vng góc đt mp , qua điểm vng góc với đt , qua điểm cắt đường thẳng , qua điểm vuông góc với đt thứ cắt đt thứ hai
- Vị trí tương đối đt , đt mp c/ Khoảng cách :
- Từ điểm đến mp , điểm đến đt , đt. d/ Mặt cầu:
- Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình cho trước.
- Lập pt mặt cầu : Có đường kính AB , có tâm I tiếp xúc với mp , có tâm I qua điểm M , qua điểm không đồng phẳng ( ngoại tiếp tứ diện)
- Lập pt mặt phẳng : Tiếp xúc với mặt cầu điểm M thuộc mặt cầu , chứa đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu , song song với mp cho trước tiếp xúc với mặt cầu
e/ Góc :
- Góc vectơ - góc tam giác - góc đường thẳng - góc đường thẳng
- góc đường thẳng mặt phẳng
PHẦN I : GIẢI TÍCH
VẤN ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN. Bài 1: cho hàm số y =2x3 – 3x2
1/Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số
2/Tìm k để phương trình : 2x3 – k= 3x2 +1 có nghiệm phân biệt Đáp số :( - < k < -1)
3/Viết phương trình tiếp tuyến ( c ) biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ
Đáp số :
0
y
y x
Bài 2: Cho hàm số y= x4 +kx2-k -1 ( 1)
1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( c ) hàm số k = -1
2/ Viết phương trìh tiếp tuyến vơi ( c) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=
x
- Đáp số : y= -2x-2
3/ Xác định k để hàm số ( ) đạt cực đại x = -2 Bài 3: Cho hàm số y= (x-1)2 ( - x )
1/ Khảo sát vẽ đồ thị (c ) hàm số
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) điểm uốn (c ) Đáp số : y = 3x - 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) qua A( , ) Đáp số : y = y = -9x + 36 Bài 4: Cho hàm số y=
1
2x4 – ax2 +b
1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( c) hàm số a =1 , b = -3
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c ) giao điểm ( c ) với ox Đáp số :y4 3.x12 y4 3.x12
Bài 5: a/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số y=
1
2 x4 -3x2 +
(3)b/ Viết phương trình tiếp tuyến ( C) điểm uốn Đáp số : y = 4x+3 y = -4x +3
c/ Tìm tiếp tuyến (C ) qua diểm A ( 0,
3 2)
Đáp số : y = ; y =
3 x
2
Bài 6: Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +m -2 có đồ thị (Cm )
1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C) hàm số m=
2/ Gọi A giao điểm ( C) trục tung Viết phương trình tiếp tuyến d (C ) A 3/ Tìm m để (Cm )cắt trục hoành điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y= 2
x m
x
2
có đồ thị ( Cm ) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị( C ) hàm số với m= -1 2/ Xác định m để ( Cm) đạt cực tiểu x = -1
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y=
-5 2
x
Đáp số : y =
19 x
2
y =
4 x
2
Bài :1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số y= -
1
3x3 – 2x2 -3x +1 2/ Tìm giá trị m để pt :
1
3x3 +2x2 +3x +m =0 có nghiệm phân biệt 3/ Tìm m để pt :
1
3x3 +2x2 +3x -2 +m2 = có nghiệm 4/ Viết pttt ( C ) song song với đường thẳng y= -3x Bài9 : Cho hàm số y= mx3 – 3x
1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =
2/ Tìm giao điểm (C )với đường thẳng : y = -x +2 Bài 10 : Cho hàm số y= x3 – 3x +1
1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số
2/ Một đường thẳng d qua điểm uốn (C )và có hệ số góc Tìm toạ độ giao điểm d (C )
ĐS: ( 0, 1) (2, ) ( -2, -1 ) Bài 11 : Cho hàm số y= -
4
1
2
4x x 4
1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số
2/ Vẽ viết pttt với đồ thị (C ) tiếp điểm có hồnh độ x= ĐS: y= 3x+1
Bài 12 : 1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số : y = x3 -6x2 + 9x
2/ Với giá trị m , đường thẳng y = m cắt (C) điểm phân biệt Bài 13 : 1/ Tìm hệ số m n cho hàm số : y = -x3 + mx + n
đạt cực tiểu điểm x = -1 đồ thị qua điểm ( ; 4)
2/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số với giá trị m , n tìm Bài 14: 1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số : y = -x3 +2
3
x2 + 6x -3 2/ CMR phương trình -x3 +2
3
x2 + 6x -3 = có nghiệm phân biệt , có nghiệm dương nhỏ ½
Bài 15 : 1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số : y = -x4 +2x2 + 2 2/ Dùng đồ thị ( C) , biện luận theo m số nghiệm pt :
x4 -2x2 -2 +m =0
Bài 16: 1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số : y = x4 +x2 -3
(4)Bài 17 : 1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số : y = 2x
3 x
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung
3/ Viết phương trình tiếp tuyến ( C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) : 7x – y +2 =0
Bài 18 : 1/ Khảo sát vẽ đồ thị ( C) hàm số : y = x
1 x
2/ Viết phương trình tiếp tuyến ( C) biết tiếp tuyến qua điểm M( -1 ; 3) ĐS : y =
13 x
Bài 19 : Cho hàm số y =
3
1
( 1) ( 3)
3 x a x a x
1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số a =
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm uốn (C) ĐS : y =
11
3
x Bài 20 : Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx +1
1/ Tìm a b để đồ thị hàm số qua điểm A( ; 2) B( -2 ; -1) ĐS : a = ; b = -1
2/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a b tìm Bài 21 : Cho hàm số y = x4 + ax2 + b
1/ Tìm a b để hàm số có cực trị
3
2 x = 1
ĐS : a = -2 ; b =
5
2/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a =
1
b = 3/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Bài 22 : Cho hàm số y =
2 2 x
1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2/ Tìm giao điểm (C) đồ thị hàm số y = x2 + Viết phương trình tiếp tuyến của (C) giao điểm
ĐS : y =
1
2x ; y = 2x
Bài 23 : Cho hàm số y =
3
x x
1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2/ Tìm giá trị m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị (C) điểm phân biệt ĐS :
6 5;
0
m m
m
VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y=
2 3
1
x x
[2 ;4 ] Bài 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y= sinx -
3
4 sin
(5)1/ Trên đoạn [ , ] 2/ Trên đoạn [ ;
] 3/ Trên đoạn [ -
; ] 4/ Trên R
Bài : Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : y =
2
1
x x
đoạn [ -2 ; 0] ĐS :miny= 3 ; maxy =
1 3
Bài : Tìm giá trị nhỏ hàm số 3x 2x 3x
1
y
khoảng (1;+) ĐS :miny=
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ hàm số 3x 2x 3x
1
y
đoạn [2
3
;5] ĐS :miny=
35
Bài : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
5
2
x x x y
đoạn [2
5
;
7
] Bài 7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số x
x y
2
2
đoạn [2
5
; 3] : Bài 8: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số yx 4 x2 :
ĐS : maxy= 2 ; miny = -2
Bài : Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số y = 2sin2x +2sinx - với
;
2 x
: Bài 10: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số y x e 2x [ -1 ; ] :
ĐS : maxy=
1 ln
2
; miny = -1 – e-2
Bài 11 : Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số y x 2 2lnx [
1
e ; e2 ] : ĐS : maxy= e4 - ; miny = 1
VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn : y= x2- 3x+ , y= x -1, x = , x = 2 ĐS: S= 2
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x.ex , x=1 , y=0 ĐS: S= 1
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= sin2x +x , y=x ,x=0 , x= ĐS: S=
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y2 =2x y= 2x -2 ĐS : S=
9
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =
2 10 12
2
x x
x
đường thẳng y=0
ĐS: S= 63 -16 ln 8 Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn y2 = 2x +1 y= x-1
(6)Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn
2 3 1
, 0, 1,
1
x x
y x x y
x
Bài : Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh phép quay xung quanh Oy hình giới hạn Parabol
2
: ; 2;
2
x
P y y y
trục Oy
Bài 9: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn y=
1
x x
, trục toạ độ quay quanh trục 0x
ĐS : V= ( 3- ln2 )
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ V LOGARÍT Bài : Giải phương trình sau :
1/
2 2
3
x x
ĐS : x =1
2/ 5x + 5x + 1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 ĐS : x = 53
25 log
31
3/ 32x+2 – 28.3x + = 0 ĐS : x =1 ; x = -2
4/ log2x + log4(2x) = ĐS : x3
5/
1
2
log x 3log x 1
ĐS : x = ; x = 4 6/ 3x +2.31 – x -5 = 0 ĐS : x = ; x = log32
7/ 2log32x14log9x 3 ĐS : x 3;x27
8/ 1
3
7
x x
x
ĐS : x 1 9/
2 3
2 1 1
x x
ĐS :
3
2
x
10/ (7 2) x( 5)(3 2) x 3(1 2) 1x 0. ĐS: x = -2; 0; 11/ (2 3)x(7 3)(2 3)x 4(2 3) ĐS: x 0; 2.
12/ 125x + 50x = 23x+1 13/ 4x – 6x = 9x
14/ 25x + 10x = 22x+1 15/ 3 3
x x
16/ 8x + 18x = 27x Bi 2: Giải bất phương trình :
1/ 22x+6 + 2x+7 – 17 > 0 5/
2 1
1 1
3. 12
3 3
x x
2/
1
3x 3x
6/ logx[ log3 ( 3x -9) ] < 1
3/ 2x + 3x > 6x – 1 7/
2
0,5 0,5
log xlog x 2 0
4/
2
0
2
x x x
8/
2
0,3
log log 0
4
x x
(7)1/
9
2 8 2 2
1 1 1
log log (9 )
2 2 x y y
x 2/ 5
3 2 1152
log 2 x y x y
3/
log log
log log3
3 4 4 3 x y x y
VẤN ĐỀ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN. Bài : cho f(x) = sin2x , tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết F() = 0
Đáp số : F(x) =
1
sin
2x x
Bài : chứng minh F(x) = ln
2
1
x x c
nguyên hàm f(x)=
1
x Hướng dẫn : Chứng minh : F /(x) = f(x)
Bài 3: Tính tích phân sau : 1/
2
2
1
2
x x dx
; Đáp số :
2
(10 10 3)
9 2/
2 1 xdx x
; Đáp số : 5 3/ x dx x
; Đáp số :
2 4/
x x dx
; Đáp số : 9/28 5/
1
2
0
1 x x dx
Đáp số 16 Bài 4: Tính tích phân sau :
1/
0
cos 2xdx
; Đáp số :2
2/
0
sin 3xdx
; Đáp số : 3/ sin xdx
; Đáp số :
3 4/ cos xdx
; Đáp số :8/15
5/
6
0
cos sinx xdx
; Đáp số :2/63 6/
2 sin cos xdx x
; Đáp số :ln2
7/
0
cos sin
xdx x
; Đáp số : 1 Bài 5: Tính tích phân sau :
1/ sin cos x e xdx
; Đáp số :e-1 2/
3 x e x dx
; Đáp số :
1
3 3 e
3/ x e dx x
; Đáp số :2e2 – 2e 4/
4 ln
2
1
x e
dx x
; Đáp số :
1 ln11 5/
(x 2)e dxx
; Đáp số :
8
9e
(8)1/
0
(2x 1) cos 2xdx
; Đáp số :-1 2/
2
0
2 sin cosx x xdx
; Đáp số :
3/
0
sin
x xdx
; Đáp số : 2 4/
1
0
ln(x1)dx
; Đáp số :2ln2-1 5/
2
1
( 1) ln
e
x x xdx
; Đáp số :
3
2 31
9 36
e e
6/
2
lnx dx x
; Đáp số :
1 ln 2 2
7/
2
0
.cos
x xdx
; Đáp số :
2 1
16
8/
sin cosx xdx
; Đáp số :0
9/
2
0
(x sin x) cosxdx
; Đáp số :
2
10/
2
0
sin (1 cos )
xdx x
; Đáp số :1/2
VẤN ĐỀ 6: SỐ PHỨC
Bài 1: Cho số phức z1 = + i ; z2 = -2i Hãy tính số phức tìm mođun chúng : 1/ z12 2/ z1z23/ 2z1 – z2
4/ z z1 5/ z
z 6/
1 z Bài : Tính :
1/
2
( 3i) 3 i
2/
2
( 3i) 3 i
3/
3
( 3i) 3 i
4/
2
2
( )
( )
i i
*Bài : Tìm bậc hai số phức : - + 6i ; + 4i ; 1 2 i Bài : Giải phương trình :
1/ x2 – 3x + + i = Đáp số : x = +i ; x = - i *2/ x2 – (3 + i )x + + 6i = Đáp số : x = 2i ; x = - i *3/ x2 + ix + 2i -4 = Đáp số : x = -2 ; x = - i
4/ x2 - 4x + = Đáp số : x = ± 2i
*5/ x2 + ix -1 + i = Đáp số : x = -1 ; x = - i Bài : Tìm số thực x , y thỏa mãn đẳng thức :
x( + 5i ) + y( -2i)3 = + 14i Đáp số : x =
172
61 y = 61
*Bài : Viết dạng lượng giác số phức :
1/ 3i 2/ + i 3/ 2- 2i 4/ - i
5/ ( + i)5 6/ ( –i)4 7/ - itan
(9).1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD hình vuơng cạnh a, cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy , cạnh bên SB a Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a
Cho hình chĩp tứ gic S.ABCD có AB = a SA = b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b
3 Cho hình chĩp tứ gic S.ABCD có AB = a góc SAC 450 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD. Cho hình chĩp tam gic S.ABC cĩ đáy ABC tam giác vng đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Cho hình chĩp tứ gic S.ABCD có AB = a góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ cĩ thể tích V Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V Trên cạnh CD tứ diện ABCD lấy điểm M cho CD = 3CM Tính tỉ số thể tích hai tứ diện ABMD ABMC
8 Cho hình chĩp tam gic S.ABC có cạnh đáy 2a , góc cạnh bên mặt đáy 300 a/ Tính thể tích khối chĩp S.ABC
b/ Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC c/ Tính diện tích mặt cầu v thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC
9 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD hình vuơng cạnh a , cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy , cạnh bên SB a
a/ Tính thể tích khối chĩp S.ABC
b/ Chứng minh trung điểm cạnh SC tm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD
10 Cho hình chĩp tam gic S.ABC cĩ đáy ABC tam giác vuông B , cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a
a/ Tính thể tích khối chĩp S.ABC
b/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chĩp S.ABC
11 Cho hình chĩp tứ gic S.ABCD cĩ đáy ABCD hình vuơng cạnh a , cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy SA = AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD
12 Cho hình chĩp tam gic S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC
a/ Chứng minh SA BC
b/ Tính thể tích khối chĩp S.ABI theo a
13 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC tam giác vuông B , đường thẳng SA vng góc với mp(ABC) , biết AB = a , BC = a v SA = 3a
a/ Tính thể tích khối chĩp S.ABC
b/ Gọi I trung điểm cạnh SC , tính độ dài đọan thẳng BI theo a c/ Tính tổng diện tích cc mặt bn hình chĩp S.ABC
VẤN ĐỀ : HÌNH TRỤ
Bài : Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a đường sinh 2a
ĐS : Sxq = 4a2 ; V =
2
3
a
Bài : Cho hình lập phương cạnh a Tính thể tích diện tích xung quanh hình trụ ngọai tiếp hình lập phương
ĐS : Sxq = a2 2 ; V =
2
a
Bài : Cho hình trụ (T) có chiều cao 6cm , mặt phẳng qua trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện (S) có diện tích 48cm2
1/ tính chu vi thiết diện (S)
2/ Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ (T)
ĐS : 1/ 28cm 2/ Sxq = 48 (cm2) ; V = 96 (cm2 )
(10)1/ tính thể tích (T)
2/ Cho S = 25a2 , Tính diện tích thiết diện qua trục hình trụ (T). ĐS : 1/ aS 2/
2
25
a
Bài : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm, thiết diện song song với trục hình trụ , cách trục khoảng 6cm có diện tích 80cm2 Tính thể tích khối trụ (T)
ĐS : V = 500 (cm3)
Bài : Cho hình trụ (T) cao 10cm, mặt phẳng song song với trục hình trụ cách trục khoảng 2cm , sinh đường trịn đáy cung chắn góc tâm 1200
1/ tính diện tích thiết diện
2/ Tính thể tích diện tích xq (T)
ĐS : 1/ 40 (cm2 ) 2/ V = 160 (cm3) ; Sxq = 80 (cm2)
Bài : Cho hình trụ (T) có đáy đường tròn ( O ) (O/ ) Một điểm A thuộc (O) điểm B thuộc (O/ ) Gọi A/ hình chiếu A mp chứa đáy (O/ ) Biết AB = a , góc đường thẳng AB trục OO/ góc BO/A/
Tính thể tích diện tích xq (T) ĐS : V =
3
2
sin cos
4sin
a
; Sxq =
sin sin
a
Bài : Cho hình nón có bán kính đáy R đường cao 3R ngoại tiếp hình trụ (T) Tính bán kính chiều cao hình trụ (T) cho :
1/ (T) tích lớn 2/ (T) có diện tích xq lớn
ĐS : 1/ Bán kính
2
R
; chiều cao R 2/ Bán kính
R
; chiều cao
3
R
VẤN ĐỀ : HÌNH NĨN
Bài : Cho hình nón có bán kính đáy R góc đường sinh mp chứa đáy hình nón 1/ Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón
2/ Tính diện tích thiết diện qua trục hình nón ĐS : 1/ V =
3tan
3
R
; Sxq =
cos
R 2/ R2 tan
Bài : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh R thiết diện qua trục hình nón tam giác SAB có góc ASB 600
1/ Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón
2/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón 3/ Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón
ĐS : 1/ V =
3 3
24
R
; Sxq =
2
R
2/
3
R
3/
3
R
Bài : Một hình nón có diện tích xq 20 (cm2) diện tích tồn phần 36(cm2) Tính thể tích khối nón
ĐS : V =36 (cm3 ) Bài : Một khối nón tích V=
32
3 ( dm3) bán kính đáy hình nón (dm) 1/ Tính diện tích xq hình nón
(11)ĐS : 1/ Sxq =24 (dm2 ) 2/
9 5
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
VẤN ĐỀ 10 : TOẠ ĐỘ VECTƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN. Bài 1: Cho a
= ( -2 ,1, ), b
= ( 1, 3,-2 ), c
= (2,4,3 ) 1/ Tìm toạ độ d =
1
2 2a b 2c
Đáp số :
1 17
( 2, , )
2
d
2/ Cm a
, b
khơng phương 3/ Tìm toạ độb
/ = ( 2, yo, zo ), biết b
/ phương b
Đáp số :
' 2;6; 4
b Bài 2: Cho A( -2, ) , B( 5,-1,2 ), OC 3i4j k
1/ Cm: A, B C khơng thẳng hàng
2/ Tìm toạ độ M giao điểm đường thẳng BC với (0xy), M chia đoạn BC theo tỉ số nào?
Đáp số : M( -11,9,0 ) MB 2MC k 2 3/ Tìm toạ độ D , biết CD = ( 1,-2, -4 )
Đáp số : D ( -2,2,-3 ) 4/ Tìm toạ độ A/ đối xứng với A qua B
Đáp số : A/ ( 10,0, ) 5/ Tìm toạ độ E để ABED hình bình hành
Đáp số : E( 2,5,-1 ) Bài :Cho M( x, y, z ), tìm toạ độ điểm:
1/ M1 , M2 , M3 hình chiếu vng góc M mp ( 0xy ) ,( 0yz) ,( 0xz ) Đáp số : M1 ( x, y, o) , M2 ( o, y, z ) , M3 ( x, o, z )
2/ M/1 , M/2 , M/3 hình chiếu M Ox, Oy, Oz Đáp số : M/1 ( x,o,o ), M/2 ( o,y,o ),M/3( o,o,z ) 3/ A, B, C đối xứng với M qua ox, oy, oz
Đáp số : A( x,-y, –z ), B( -x, y,-z ), C( -x,-y,z ) 4/ D, E, F đối xứng với M qua mp ( oxy ), ( oyz ), ( oxz )
Đáp số : D( x, y, -z ), E (-x , y, z ), F ( x, -y, z ) Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật OABC O/ A/ B/C/ biết A( 2, 0, ), C( ,3, ) ,
0/ ( 0,0,4) Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình hộp chữ nhật Hướng dẫn:
(2,3,0)
OB OA OC B
( vẽ hình )
/ / /(2,0, 4)
OA OA OO A
, tương tự B/( 2,3,4 ) , C/ ( 0,3,4 )
VẤN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1/ n 0là vtpt (P) n( )P
(12)- Chú ý : Nếu a0,b0
; a b;
không phương a b;
có giá song song hay nằm mp(P) (P) có vtpt na b,
2/ Phương trình tổng quát mp(P) : Ax+By+Cz+D = vtpt nA B C, ,
3/ Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến
, ,
n A B C :
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =
4/ Nếu mp(P) // mp(Q) vtpt (P) vtpt (Q)
5/ Nếu mp(P) mp(Q) vtpt (P) song song hay chứa mp (Q) ngược lại. 6/ Phương trình mp(Oxy) : z =
Phương trình mp(Oxz) : y = Phương trình mp(Oyz) : x =
7/ Phương trình mp(P) qua A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) : x y z a b c Với A, B, C khác với gốc O
BÀI TẬP Bài 1: Cho A(3,-2,-2) , B(3,2,0) , C(0,2,1) , D( -1,1,2)
1/ Viết phương trình mp(BCD) Suy ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z -7 = 0
2/ Viết ptmp qua A // (BCD)
Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0 3/ Viết pt mp qua A vng góc với BC
Đáp số : -3x + z + 11= 0 Bài 2: Cho A(5,1,3) , B(1,6,2) ,C(5,0,4) , D(4,0,6)
1/ Viết pt mp qua A , B // CD
Đáp số :10x+9y+5z-74=0
2/ Viết ptmp trung trực CD , tìm toạ độ giao điểm E với Ox Đáp số :-2x+4z-11=0 ; E(-11/2 , ,0)
3/ Viết ptmp qua A // (Oxy)
Đáp số :Z – 3= 0 Bài 3: Cho A(4,-1,1) , B(3,1,-1)
1/ Viết phương trình mp qua A chứa trục Oy Đáp số : x-4z=0 2/ Viết ptmp qua A vng góc với trục Oy. Đáp số : y+1=0 3/ Viết ptmp qua A , // Oy ,
Đáp số : 4x+z-17=0 4/ Viết pt mp (P) qua B , (P) , (P) (Oxz)
Đáp số : 4x+z-11=0 Bài 4: Cho A(-1,6,0) , B(3,0,-8) , C(2,-3,0)
1/ Viết ptmp qua A , B ,C
Đáp số : 12x+4y+3z-12=0
(13)Đáp số : V= ; (MNP) : 12x+4y+3z-12=0
Bài : Lập phương trình mp qua G( ; -1 ; 1) cắt trục tọa độ điểm A , B ,C cho G trọng tâm tam giác ABC
Bài : Lập phương trình mp qua H( ; -1 ; -3) cắt trục tọa độ điểm A , B ,C cho H trực tâm tam giác ABC
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Tóm tắt lý thuyết :
1/ Cho mp :
1 1 1
2 2 2
:
:
A x B y C z D A x B y C z D
1 cắt 2 A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
1 1
1
2 2
// A B C D
A B C D
1 1
1
2 2
A B C D
A B C D
Bài 1: xác định n m để cặp mp sau song song :
1/ Cho : 2x + ny + 3z -5 =0
: mx -6y -6z +2 =0
Đáp số : m =4 , n =3 2/ Cho : 3x - y + nz -9 =0
: 2x +my +2z -3 =0
Đáp số : m = -2/3 ; n =
Bài 2: Cho mp :
1
: 2 3 1 0
: 5 0
x y z
x y z
1/ Viết pt mp (P) qua giao tuyến 1; 2 (P) 3: 3x y 1 Đáp số : -3x-9y+13z-33=0
2/ Viết pt mp (Q) qua giao tuyến 1; 2 (Q) song song với đường thẳng AB với A(-1,2,0) B(0,-2,-4)
Đáp số : 8x+5y-3z+31=0
VẤN ĐỀ 13: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Tóm tắt lý thuyết Cách lập phương trình đường thẳng d:
Tìm điểm M (x0 ; y0 ; z0) thuộc d vectơ phương u a b c; ;
(14) Pt tham số :
o
o
o x x a t y y bt z z ct
(1)
Pt tắc :
o o o
x x y y z z
a b c
(2) VỚI a , b , c khác
- Ghi nhớ : d( ) vtcp d vtpt ( ) ; vtpt ( ) vtcp d. BÀI TẬP
Bài 1: Viết phương trình tham số , pt tắc (nếu có ) d biết : 1/ d qua M (2,3,-1) d vng góc với mp: -x-y+5z+7=0
2/ d qua N(-2,5,0) d// d / :
6
x
y t
z t
3/ d qua A(1,2,-7) B(1,2,4)
Bài 2: Viết phương trình tham số , pt tắc (nếu có ) đt d giao tuyến mp :
:20 :210 Pxyz Qxyz
Bài 4:
1/ Viết pt mp() qua A(0,1,-1) ()
1
:
2
x t
d y t
z t
2/ Tìm toạ độ giao điểm M ( ) với trục Ox.
3/ Viết pt tham số giao tuyến d / ( ) với (Oxy).
VẤN ĐỀ 14: TÌM HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA M TRÊN MP , TRÊN d. TÌM M/ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA , QUA d.
1/ Tìm toạ độ hình chiếu vng góc H M toạ độ M’đối xứng M qua : Viết pt đt d qua M , d d qua M có véc tơ phương n
pttsố d H = d tọa độ H
M/ đốixứng M qua H trung điểm M M/ toạ độ M/ 2/ Tìm toạ độ hchiếu H M đt d tìm M/ đối xứng M qua đt d :
+ Viết ptmp qua M , d + H = d tọa độ H
+ M/ đxứng M qua d H trung điểm MM/ tđộ M/
Bài 1: Tìm toạ độ hchiếu vng góc H M( 2, -3, )trên mp() : -x+ 2y +z+ 1= Tìm toạ độ M/ đxứng M qua ( )
Đáp số : H (1, -1 , ) ; M/( 0, 1, 3)
Bài 2: Tìm toạ độ M/ đxứng với M( 2, -1, 3) qua đt d :
2
x t
y t
z
(15)VẤN ĐỀ 15: LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VNG GĨC d / CỦA d TRÊN MP (P)
*Phương pháp : Cách :
- Tìm điểm A B thuộc d
- Tìm A/ B/ hình chiếu A B mp(P) - Lập pt đường thẳng A/B/ đường thẳng d/
Cách :
- Lập pt mp (Q) chứa d vng góc với mp(P)
- Vì d/ = (P) (Q) nên ta lập pt d/
Bài 1: Viết pt hình chiếu vng góc d’ đt d :
1
x t
y t
z t
mp : x+y+2z-5=0 Bài : Viết pt hình chiếu vng góc d/ d :
1
1
x y z
mp:x-y+z+10=0
VẤN ĐỀ 16: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG d VÀ d/ Phương pháp :
+ d có vtcp u qua điểm M + d/ có vtcp u/
qua điểm M/ + Tính MM /
a/ d d/ trùng u , u/
MM/
b/ d // d/
/ /
u vaø u phương
u MM không phương
c/ d cắt d/
/
/ /
u vaø u không phương u,u MM
d/ d d/ chéo
/ /
u,u MM
* Chú ý : dd/ uu/ Bài 1: Xét vị trí tương đối đt :
d1:
1 3
x t
y t
z t
d2 :
x t
y 3t
z 4t
Đáp số : d1 // d2 Bài 2: Xét vị trí tương đối đt :
d1:
1
x t
y t
z t
d2 :
1
1
x y z
(16)d1:
4
1
x y z
d2 :
1
3 1
x y z
Đáp số : d1 chéo d2
Bài 4: cho đt d1 :
7 2 x t y t z t
d2 :
1
2
x y z
a/ Tìm toạ độ giao điểm d1 d2 Đáp số : A(1,-2,5) b/ Viết pt mp (P) chứa d1 d2 Đáp số : (P) : 2x-16y-13z+31=0
Bài : Xét vị trí tương đối đt : d1 :
1 x t y t z t
d2 :
/ / / 2 2 x t y t z t Đáp số : d1 // d2
Bài 6: Tìm toạ độ giao điểm đt d1 :
3 2 x t y t z t
và d2 : / / / t 20 z t y t x
Đáp số : A(3,7,18)
VẤN ĐỀ 17: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG d VÀ MẶT PHẲNG
1/ Cách 1: d có vtcp a, có vtpt n a/ Nếu a.n 0 d cắt
b/ Nếu a.n=0 d// hay d Tìm Md:
// M d M d
2/ Cách 2: Giải hệ pt d Hệ có nghiệm d cắt Hệ vô nghiệm d // Hệ vô số nghiệm d
Bài 1: Xét vị trí tương đối đt d :
1 2 x t y t z t
Và mp : x+2y+3z+3=0
Đáp số : d//
Bài 2: Cho đt d :
1
2 (2 1)
3
x mt
y m t
z t
và mp :x+3y-2z-5=0
a/ Tìm m để d cắt Đáp số : m1 b/ Tìm m để d// Đáp số : m=1
c/ Tìm m để d vng góc với Đáp số : m= -1 Bài 3: Xét vị trí tương đối đt d :
1
2
x y z
(17)Bài 4: Xét vị trí tương đối đt d :
2
x t
y t
z t
với mp : 2x+y+z-1=0
Đáp số : d cắt A(1, 0,-1)
Bài 5: Xét vị trí tương đối đt d :
1
1
x t
y t
z t
với mp : 5x-y+4z+3=0 Đáp số : d
VẤN ĐỀ 18: KHOẢNG CÁCH 1/ Khoảng cách từ điểm M đến mp :
0
2 2
, Ax By Cz D
d M
A B C
2/ Khoảng cách từ điểm M đến đt :
qua M0 có vtcp u
u, M M0
d M,
u
3/ Khoảng cách đt chéo : 1qua M1 có vtcp u1
2qua M2 có vtcp u2
2 2
1
u , u M M
d ,
u , u
*Chú ý:
Khoảng cách mp song song = Khoảng cách từ điểm mp thứ đến mp thứ hai
Khoảng cách đường thẳng song song = Khoảng cách từ điểm đt thứ đến đt thứ hai
Khoảng cách đường thẳng song song với mp = Khoảng cách từ điểm đt đến mp
Bài 1: Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) Viết pt mp qua điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC , thể tích khối tứ diện OABC
Đáp số : : x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)=
3
2 ; VOABC=
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M (1,2,-1) đến đt :
1 2
2
x y z
Đáp số :
221
Bài 3: Cho đt chéo :
1 :
2
x t
y t
z t
2:
1 2
x t
y t
z t
(18)Tính khoảng cách 1 2 Đáp số : 7/3
Bài 4: Cho đt 1:
1
2
x y z
2: t z t 2 y t x
Chứng minh 1 chéo 2 Tính khoảng cách 1 2. Đáp số :
5 14
VẤN ĐỀ 19 : GĨC
1/ Góc vectơ :
1 2 . cos , . u u u u u u
1/ Tìm góc đt 1 2: Tìm vtcp u1
u2
1 2
2 . cos . u u u u
2/ Tìm góc mp : Tìm vtpt : n1
n2
2 cos n n n n
Chú ý : n1 n2
3/ Tìm góc đường thẳng d mp : Tìm vtcp u
d Tìm vtpt n
u.n sin
u n
Bài 1: Tính góc đt d :
1
1
2
x y z
trục Ox Đáp số : =450
Bài 2: Tính góc đt d :
x t
y 2t
z t
mp : x 2y z 1 0 Đáp số : =300
Bài 3: Tính góc mp:
: 3y-z-9=0 ; : 2y+z+1=0
(19)1 :
4
1
x y z
2:
3
1
1
x t
y t
z mt
Đáp số : m = -1
VẤN ĐỀ 20: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 1/ Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R :
( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 (1) x2+y2+z2 +2ax + 2by + 2cz +d = (2) Với :
2 2
R a b c d
Tâm I ( -a ; -b ; -c ) 2/.
Vị trí tương đối mc(S) mp :
Cho (S) : ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 có tâm I bán kính R mp : Ax+By+Cz+D=0
a/ d I , R mp khơng có điểm chung với (S) b/ d I , R mp tiếp xúc với (S) ( tiếp diện )
c/ d I , R mp cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có pt :
2 2
Ax+By+Cz+D=0
( x -a ) + (y-b) +( z-c) = R
3/ Một số dạng toán mặt cầu:
a/ Viết pt mc (S) tâm I tiếp xúc với mp , tìm toạ độ tiếp điểm H
và (S):
R = d (I , ) pt (1)
H= với qua I
b/.Mặt cầu có đường kính AB tâm I trung điểm AB,R=
1
(1)
2AB pt
c/ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( hay mặt cầu qua điểm A,B,C,D không đồng phẳng ) :
Thế toạ độ A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2) A B C, , a , b ,c d/.Mặt phẳng tiếp xúc (S) A(S) (tiếp diện )
+ (S) có tâm I, qua A có vtpt IA pt ( )
e/ Cách tìm toạ độ tâm I/ , bán kính R/ đường tròn giao tuyến mp (S) :
(S) có tâm I , bán kính R , có vtpt n
2
/ ,
R R d I
Đường thẳng qua I , pt tham số I/ = Toạ độ I/
Bài 1: Cho A(1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2) 1/ Chứng minh : A,B,C,D đồng phẳng
2/ Gọi A/ hình chiếu vng góc A mp(Oxy) , Viết pt mặt cầu (S) qua A/ ,B,C,D Đáp số : A/(1,-1,0) ; ptmc(S) : x2+y2+z2 -5x -2y -2z +1 = 0
3/ Viết pt tiếp diện (S) A/.
Đáp số : : 3x+4y+2z+1=0 Bài 2: Cho điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , OB i 4j k
, C(2,4,3) , OD2i2j k
(20)Đáp số : V= 4/3
2/ Viết pt tham số đường vng góc chung đt AB CD Tính góc giữa (ABD)
Đáp số : a AB CD, 0, 4, 2
;
1 sin
5
3/ Viết pt mc (S) qua A , B, C, D Viết pt tiếp diện (S) song song với (ABD) Đáp số : (S) : x2+y2+z2 -3x -6y -2z +7 = ; 1: z +
21
2 =0 ; 2: z -
21
2 =0
Bài 3: Cho mp : x+y+z-1=0 đt d :
1
1 1
x y z
1/ Tính thể tích khối tứ diện ABCD với A,B,C giao điểm với Ox ,Oy ,Oz D = d
Oxy
Đáp số : V = 1/6
2/ Viết pt mc (S) qua A,B,C,D , tìm toạ độ tâm I/ bán kính R/ đường trịn giao tuyến (S) với mp (ACD)
Đáp số : (S) : x2+y2+z2 -x -y -z = ; I/
/
1 1
, , ;
2 2 R
Bài 4: cho A(3,-2,-2) mp : x+2y+3z-7 = 0
1/ Viết pt mc (S) tâm A tiếp xúc với , tìm toạ độ tiếp điểm H (S) . Đáp số : (S) : (x-3)2+(y+2)2+(z+2)2 = 14 ; H(4,0,1)
2/ Xét vị trí tương đối (S) với mp(Oyz)
Đáp số : (S) cắt mp(Oyz) Bài 5: Cho mp : 2x-2y-z+9=0 mc(S) : x2+y2+z2 -6x +4y -2z-86 = 0
1/ Tìm toạ độ tâm I , tính bán kính R (S)
Đáp số : I(3,-2,1) ; R = 10
2/ Chứng minh cắt (S) , viết pt đường tròn giao tuyến (C) (S).Tìm toạ độ tâm I/ , bán kính R/ ( C )
Đáp số : R/ =8 ; I/ (-1,2,3) Bài 6: Cho mc(S) : (x-5)2+(y+1)2+(z+13)2 = 77 đt
d1:
5 13
2
x y z
d2:
1
x t
y t
z
Viết pt mp tiếp xúc với (S) song song với d1 d2. Đáp số :
4 128
4 26
x y z
x y z
*VẤN ĐỀ 21: CÁCH VIẾT PT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG d CỦA ĐƯỜNG CHÉO NHAU d1 , d2
d1 có vtcp
a ,d2 có vtcp b
Lấy điếm A d1 tọa độ điểm A theo t1 Lấy điếm B d2 tọa độ điểm B theo t2
AB đường vng góc chung
AB a AB a
AB b AB b
(21)Bài 1: Cho đường thẳng : d1:
3
2
x t
y t
z t
d2 :
2
3
x y z
Viết pt đường vng góc chung d1 d2
Bài 2: Cho đường thẳng : d1:
1
x t
y t
z t
d2 :
1
x t
y t
z t 1/ Chứng minh : d1d2 d1 chéo d2.
2/ Viết pt đường vng góc chung d1 d2