VËn dông tÝnh chÊt cña luü thõa bËc hai.[r]
(1)Vận dụng đẳng thức
vào giảI toán cực trÞ.
+ (a+b)2 = a2+ 2ab + b2
+ (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
VËn dông 1 VËn dông tÝnh chÊt cña luü thõa bËc hai A2 ³ 0 + (a+b)2³ 0
Suy ra: + (a+b)2+ K ³ K Þ Min[(a+b)2+ K] = K ; a = -b
+ K - (a+b)2 £ K Þ Max[K- (a-b)2] = K ; a = -b
+ (a-b)2 ³ 0
Suy ra: + (a-b)2+ K ³ K Þ Min [(a-b)2+ K] = K ; a = b.
+ K- (a-b)2 £ K Þ Max [K- (a-b)2] = K ; a = b.
Bài toá1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = -x x+2
Gi¶i: C = + -x 2 x+ -2 2= x+22- x+ + -2
=( x+ -2 1)2- 3³ - 3
Suy : Min C = -3 , x+ = Û2 x= -
Bài toán.2 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc.
A = (x + 2)2+ (x-1)2
Gi¶i:
A = x2+4x+4 + x2- 2x +1= 2(x2+x+5/2) = ( x2+ 2x.1/2+ 1/4+ 9/4)
= 2(x+1/2)2 + 9/2
2 ³
Suy Min A= 9/2 x = -1/2
Bài toán.3 Cho biÓu thøc P = x2 + xy + y2- 3x- 3y + 2009.
Với giá trị x ; y P có giá trị nhỏ , tìm giá trị nhỏ Giải
P = x2- 2x + 1+y 2- 2y + + xy- x- y + + 2006
= ( x- 1)2 + (y- 1)2+ (x-1)(y-1) + 2006.
= (x- 1)2+ 2(x- 1).1
2(y- 1)+ 4(y-1)
2 + 3
4(y-1)
2+ 2006
2
2
1
1 ( 1) 2006 2006
2
y
x y
æ - ửữ
ỗ
=ỗỗố - + ữữ+ - + ³
ø
Suy Min P= 2006 y = 1; x=
Bµi toán 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
P = (x- ay)2+ 6(x-ay) +x2 + 16y2- 8xy + 2x - 8y + 10 ; (x; y ; a : số
nguyên)
Gi¶i: P = [(x-ay)2+6(x-ay)+9] + (x2- 8xy + 16y2)+2(x-4y)+1
= (x-ay+3)2 + (x-4y)2+ 2(x-4y) + 1.
= (x-ay+3)2 +(x-4y+1)2 ³ 0
Suy Min P = vµ chØ 2;(1)
4 1;(2)
x ay ay y
x y x y
ì
ì - + = ï - =
ï ï
ï Û ï
í í
ï - + = ï =
-ï ï
ỵ ïỵ
(1) Û (a-4)y = ; x ; y ; a lµ sè nguyên nên ta có: (a-4;y)={(1;2),(2;1),(-1;-2),(-2;-1)
Thế vào ta có (x;y;a)={(3;1;6),(7;2;5),(-5;-1;2),(-9;-2;3)}
Bài toán 5 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc:
2
M = -x xy+ y- x +
(2)Gi¶i: M = -x xy+ + -y 2( x- y) 2- y+2y
( )2 2( ) 2 2 1
2
x y x y y y
= - - - + + - +
( 1)2 1(2 1)2 1
2 2
x y y
= - - + - - ³
Suy ra: Min M = -1/2, y= 1/4 ; x = 9/4
Bµi toán 6 Cho hàm số: f x( ) x2 2x2 2005
x
- +
= ; víi x khác
Tìm giá trị nhỏ hàm số Giải:
2 2
2 2005 1 1 2005
( ) 2005
2005 2005 2005
f x
x x x x
ổ ửữ
ỗ
= - + = ỗỗố - + ữữ- +
ứ
2
1 2004 2004 2005
2005 2005 2005
x
ỉ ư÷
ỗ
= ỗỗố - ữữứ +
Suy Min f(x) = 2004
2005 x= 2005
Bài toán 7 Tìm giá trị nhá nhÊt cña :
2
2 ( 1)
x x
D
x
+ + =
+
Gi¶i:
2
2
( 1) ( 1)
1
( 1) ( 1)
x x x
x x D
x x
+ + - + +
+ +
= =
+ +
2
2
1 1 1
1
1 ( 1) 1 4
x x x x
æ ửữ ỗ
= - + + + =ỗỗố + ÷÷ø - + + +
2
1 3
1 4
x
ổ ửữ
ỗ
=ỗỗố - ÷÷ø + ³ +
Suy Min D= 3/4 x =
Bài toán 8 Tìm x ; y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
D = 15- 10x- 10x2+ 24xy- 16y2.
Gi¶i:
D = - (16y2- 24xy + 9x2)- (x2 + 10x + 25) + 35.
= 35 – (4y- 3x)2- (x+ 5)2 £ 35.
Suy Max D = 35 x =-5 ; y = -15/4
Bài toán 9 Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: ( 1)2
x G
x
= +
Gi¶i:
12 1 2 1 2 1
( 1) ( 1) ( 1)
x G
x x x x x
ỉ
+ - ỗ ữữ
= = - = - ỗỗỗ - + ÷÷
+ + + è + + ø
2
1 1
4 x
ỉ ư÷
ỗ
= - ỗỗố + - ữữứ Ê
Suy Max G = 1/4 ; x=
Bài tốn 10.Tìm giá trị ngun lớn m cho BĐT sau luôn đúng " ẻx R
(3)(x+1)(x+2)2(x+3) ³ m.
Gi¶i: Ta cã A = (x+1)(x+2)2(x+3) = (x2+4x+3)(x2+4x+4).
= (x2+4x+3)2+(x2+4x+3) +1/4- 1/4
= (x2+4x+3+1/2)2- 1/4 ³ -1/4.
Suy Min A =-1/4 x2+4x+3 = -1/2 Û x = -2+
2 hc x = -2-
2
V× m £A , " ẻx R ị m Ê Min A = -1/4
Suy giá trị nguyên lớn m -1
Bài toán 11 Cho x + y + z =3 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc G = x2+ y2
+ z2
Gi¶i: Tõ x + y + z = Þ (x+y+z) 2 = 9
Hay x2+ y2+ z2+ 2(xy + yz + xz) = 9; (1)
Mµ (x-y)2 ³ 0 Û x2+ y2 ³ 2xy , dÊu “=” x¶y x = y.
(y-z)2 ³ 0 Û y2+ z2 ³ 2yz , dÊu “=” x¶y y = z.
(z- x)2³ 0 Û z2 + x2³ 2zx , dÊu “=” x¶y z = x.
Nªn : 2(x2 + y2+ z2) ³ 2(xy+yz+zx) hay x2+y2+z2 ³ xy + yz + zx; (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: = x2+ y2+ z2 + 2(xy+yz+zx) £ 3(x2+y2+z2)
Nªn x2+y2+z2 ³ 3.
VËy Min G = vµ chØ x = y = z =1
Bài toán 12 Cho hai số thực x, y thoả điều kiện: x2 + y2 = Tìm giá trị lớn
nhất giá trị nhỏ biểu thức M = x + y Giải: Với x, y ẻ R ta cã.
(x+y)2 + (x-y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2- 2xy + y2 = 2(x2+y2) = 2
Do (x-y)2 ³ 0, víi mäi x, y; dÊu “=” x¶y x = y.
Suy (x+y)2 £ 2 Û x+ £y 2Û - 2£ x+ £y 2
Khi x = y ta cã x2 = y2 = 1/2
2
x y
ị = =
2
x= = -y
VËy Max (x+y) = 2
x y
Û = =
Min (x+y) = 2
2
x y
- Û = =