Đang tải... (xem toàn văn)
Cã bao nhiªu c¸ch thµnh lËp nhãm, mçi c¸ch cho bao nhiªu nhãm, mçi nhãm cã bao nhiªu ngêi vµ sè häc sinh mçi khèi trong mét nhãm lµ bao nhiªu.. § 14.[r]
(1)Đ 1- Tập hợp Tập hợp con
Đ.2- Tập hợp số tự nhiên Ghi số tự nhiên Ví dụ: Tìm hai số nguyên tố biÕt tỉng cđa chóng b»ng 601
Chun đề 1: So sỏnh hai lu tha
1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa so sánh hai luỹ thừa sốhoặc số mũ
- NÕu hai l thõa cïng c¬ sè (c¬ sè lín 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn
- Nếu luỹ thừa số mũ (số mũ lớn 0) luỹ thừa có số lớn lín h¬n
2 Ngồi cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta cịn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân (a < b a.c < b.c với c > 0)
Bỉ xung kiÕn thøc n©ng cao:
1 L thõa cđa luü thõa: (am)n = am.n
2 Luü thõa cña mét tÝch: ( a.b)n = anbn
VÝ dô: 25.55 = (2.5)5 = 105 = 100 000.
3 Luü thõa mét th¬ng: an :bn = (a:b)n , hay
VÝ dô : 147: 77 = (14 : 7)7 = 27 = 128
4 Luü thõa tÇng: Ví dụ : Bài 1: So sánh số sau:
a) 2711 vµ 818 b) 6255 vµ 1257
c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n
Bµi 2: So sánh số sau:
a) 523 6.522 b) 7.213 vµ 216 c) 2115 vµ 275.498.
Bài 3: So sánh số sau a) 19920 vµ 200315
b) 339 vµ 1121
Bµi 4: So sánh hai hiệu, hiệu lớn hơn? a) 7245 7243 7244 7243
Bài Tìm xN, biÕt:
a) 16x < 1284 b) 5x.5x+1.5x+2≤ 100 :218
18 chữ số Bài 6: Cho S = + 2+ 22 + 23 + + 29.
So s¸nh S víi 5.28.
Bài 7: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi chữ số HÃy so sánh m 10.98.
Bài 8: HÃy viết số lớn cách dùng chữ số 1,2,3 với điều kiện chữ số dùng lần
Chuyờn 2:
Ch÷ sè tËn cïng cđa mét tÝch cđa luỹ thừa: I/ Lý thuyết
1 Tìm chữ sè tËn cïng cđa mét tÝch - TÝch c¸c sè lẻ số lẻ
- Tích số lẻ có tận với số lẻ có tận - TÝch cđa mét sè ch½n víi bÊt kú sè tù nhiên số chẵn
2 Tìm ch÷ sè tËn cïng cđa mét l thõa
- Các số tự nhiên có tận 0,1,5,6 nâng lên luỹ thừa (khác ) giữ nguyên chữ số tận
NÕu a > b th× an > bn (n > 0)
NÕu m > n th× am > an (a >1)
:
n n n a a b
b
n
n m
m
a a
3 2
2
(2)- Các số tự nhiên có tận chữ số 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n có tận
34n = 1 74n = 1 94n = 1
- Các số tự nhiên có tận chữ số 2,2,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n ≠0) có tận
24n = 6 44n = 6 84n = 6
( Riêng số tự nhiên có chữ số tận 9, nâng lên luỹ thừa lẻ có chữ số tận nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận lần lợt 1.)
II/ Bài tập
Bài 1: Tìm chữ số tận cđa c¸c sè sau 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335
Bài 2: Tìm hai chữ số tËn cïng cđa sè 5n.(n>1)
Bµi 3: Chøng tá c¸c tỉng hiƯu sau chia hÕt cho 10 a) A = 98.96.94.92 – 91.93.95.97 b) B = 405n+ 2405 + m (m , n N ; n ≠ 0)
Bài 4: Tìm chữ số tận sè sau:
a) b)
Bài 5: Tìm số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số? Bài 6: Tích 2.22.23 210 52.54.56 514
TËn cïng b»ng chữ số 0? Bài 7: Cho S = + 31+ 32 + 33 + + 330
Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số phơng Chuyờn 3
Số nguyên tố Hợp số
Phân tích số thừa số nguyên tố KiÕn thøc n©ng cao.
1 Xác định số lợng ớc số:
Nếu M phân tích thừa số nguyên tố đợc M = ax.by cz số ớc M là
(x+1)(y+1) (z+1)
2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố víi sè mị ch½n
3 Tính chất chia hết liên qua đến số nguyên tố
NÕu tÝch ab chia hết cho số nguyên tố p a p b p Đặc biệt an p a p
III/ VÝ dơ: T×m hai sè nguyªn tè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 601 Cho A = + 52+53+ +5100.
a) Sè A số nguyên tố hay hợp số
b) Số A có phải số phơng không?
3 Số 54 có ớc? Viết tất íc cđa nã? IV/ Bµi tËp
114 Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 số nguyên tố nhỏ 30 115 Các số sau số nguyên tố hay hợp số?
a = 1.3.5.7 13 + 20 b = 147.247.347 – 13
116 Cho nN* Chøng minh r»ng sè 111 2111 hợp số
n chữ số1 n chữ số1 117 Tìm số bị chia thơng phép chia:
9**:17 = **, biết thơnglà mét sè nguyªn tè
upload.123doc.net Cho a,nN*, biÕt an Chøng minh a2+150 25
119 a) Cho n số không chi hết cho Chứng minh r»ng n2 chia d 1.
b) Cho p số nguyên tốa lớn Hỏi p2 + 2003 số nguyên tố hay hợp
số
Bài 120 Cho n> không chia hết cho Chøng minh r»ng hai sè n2 – vµ n2
+ khơng thể đồng thời số nguyên tố
7
5
234 579675
(3)Bài 121: Cho p số nguyên tố lín h¬n
a) Chøng tá r»ng p cã dạng 6k + 6k +
b) BiÕt 8p + cịng lµ mét sè nguyên tố, chứng minh 4p + hợp sè
Bài 122: Cho p p + số nguyên tố (p 3) Hỏi p + 100 số nguyên tố hay hợp số?
Phân tích số thừa số nguyên tố
Bài 123: Phân tích số sau thừa số nguyên tố cách hợp lý nhất:
a) 700; 9000; 210 000
b) 500; 1600; 18 000
Bài 124: Mỗi số sau có ớc:
90 ; 540 ; 3675
Bài 125: Tìm íc cña sè:
a) 119 b) 625 c) 200
Bài 126: Tính cạnh hình vuông biết diƯn tÝch cđa nã lµ: a) 5929m2; b) 32400m2
Bài 127: Tính cạnh hình lập phơng biÕt thĨ tÝch cđa nã lµ 1728cm3.
Bài 128: Chứng minh số tự nhiên khác 0, có số lợng ớc số lẻ số tự nhiên số phơng
Bµi129: T×m n N* biÕt:
a) + + + + 2n = 210
b) + + + + (2n – 1) = 225
Bµi tËp bỉ sung Chøng tỏ số sau hợp số:
A 676767 B 108 + 107 + 7 C 175 + 244 +
1321
D 311141111 E 10100-
2 Cho sè 360
a) Ph©n tÝch sè 360 thõa sè nguyªn tè b) Sè 360 có ớc
c) Tìm tất ớc 360 Các số sau số nguyên tè hay hỵp sè:
a) 1025 b) 113 + 123 + 133 + 143
4 Chứng minh bình phơng số nguyên tố khác chia cho 12 d
5 T×m sè n N*, cho n3 - n2 + n - số nguyên tố.
Đ 13 Ước chung ớc chung lớn I/ Kiến thức
II/ Kiến thức nâng cao.
III/ Ví dụ: Tìm hai số nguyên tố biÕt tỉng cđa chóng b»ng 601 IV Bµi tËp
Bài 130: Cho A tập hợp số nguyên tố B tập hợp hợp số
M tập hợp ớc 20 N tập hợp ớc 50 a) Tìm A B
b) Tìm M N
Bài 131: Cho C tập hợp số chia hết cho D tập hợp số chia hết cho Tìm C D
Bài 132: Tìm ƯCLN ¦C cđa ba sè 432; 504 vµ 720
Bài 133: Một phịng hình chữ nhật kích thớc 630 x 480 (cm) đợc lát loại gạch hình vng Muốn cho hai hàng gạch cuối sát hai tờng liên tiếp khơng bị cắt xén kích thớc lớn viên gạch bao nhiêu? Để lát phịng cần viên gạch?
(4)b) 2n + vµ 3n + (n N) Bµi 135: Cho (a, b) = 1, chøng minh r»ng:
a) (a, a – b) = b) (ab, a + b) =
Bµi 136: Cho a, b hai số tự nhiên không nguyên tè cïng nhau, a = 4n + 3; b = 5n + (n N) T×m (a, b)
Bài 137: ƯCLN hai số 45 Số lớn 270, tìm số nhỏ
Bài 138: Tìm hai số biết tổng chúng 162 ƯCLN chúng 18
Bài 139: Tìm hai số tự nhiên nhỏ 200 biết hiệu chúng 90 ƯCLN chúng 15
Bài 140: Tìm hai số biết tích chúng 8748 ƯCLN cđa chóng lµ 27
Bài 141: Cho a + 5b (a, b N) Chứng minh 10a + b Mệnh đề đảo lại có khơng?
Bài 142: Một số tự nhiên a lần số có tổng chữ số nh Chứng minh a :
Bài 143: Có 64 ngời tham quan hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi loại chỗ ngồi Biết số ngời vừa đủ số ghế ngồi, hỏi loại có xe?
Bài tập bổ sung Tìm số tự nhiên a, b để A = chia ht cho 12
2 Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng chúng 128 ƯCLN a,b 16 Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích chúng 216 ƯCLN a,b Cho hai số nguyên tố a vµ b
Chøng minh r»ng hai sè 11a + 2b 18a + 5b nguyên tố có ớc chung 19
5 Cho hai sè nguyen tè cïng Chøng inh r»ng tÝch ab vµ tỉng a + b cđa chóng hai số nguyên tố
6 Tìm số tự nhiên a b để A = chia hết cho 36 số B = chia hết cho 72
7 Trong buổi sinh họat ngoại khố có 252 em học sinh khối lớp ; 210 em khối 7; 126 em khối Ngời ta chia số học sinh khối vào nhóm Mỗi nhóm có đủ học sinh khối
Có cách thành lập nhóm, cách cho nhóm, nhóm có ngời số học sinh khối nhóm
Đ 14 Bội chung bội chung nhá nhÊt KiÕn thøc n©ng cao.
1 TÝch cđa hai sè b»ng tÝch cđa BCNN víi ¦CLN cđa chóng ab =BCNN(a,b).¦CLN(a,b)
2 NÕu lÊy BCNN(a,b) chia cho số a,b thơng chúng số nguyªn tè cïng
3 Nếu a m a n a BCNN(m,n) Từ suy ra:
- NÕu mét sè chia hÕt cho hai sè nguyªn tè cïng th× nã chia hÕt cho tÝch cđa chóng
- Nếu số chia hết cho số ngun tố đơi chia hết cho tích chúng
II/ VÝ dơ: T×m số tự nhiên nhỏ có chữ số chia cho 18 ; 30; 45; có số d lần lợt là: ; 20; 35
Giải
Gọi số phải tìm a Ta có: a + 10 chia hÕt cho 18; 30; 45 VËy a + 10 BC (18,30,45)
BC (18,30,45) = 2.32.5 = 90.
Suy a + 10 = 90k ( kN*) Hay a = 90k – 10
Víi k = a = 80 (mới có chữ số) Với k = 3thì a = 170 (có chữ số)
4a1b
25a2b a378b
(5)Vậy số cần tìm 170 IV Bài tËp:
Bài 144: Một xe lăn dành cho ngời tàn tật có chu vi bánh trớc 63cm, chu vi bánh sau 186cm Ngời ta đánh dấu hai điểm tiếp đất cảu han bánh xe Hỏi bánh trớc bánh sâuphỉ lăn vịng hai điểm đợc đánh dấu lại tiếp đất lúc
Bài 145: Ba học sinh, ngời mua loại bút Giá ba loại lần lợt 1200 đồng, 1500 đồng, 000 đồng Biết số tiền phải trả nh nhau, hỏi học sinh mua ớt nht bao nhiờu bỳt?
Bài 146: Tìm béi chung lín h¬n 5000 nhng nhá h¬n 10000 cđa c¸c sè 126 ; 140 ; 180
Bài 147: Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 d Tìm số biết xấp xỉ 1000
Bài 148: Khối trờng có cha tới 400 học sinh, xếp hàng 10; 12; 15 d nhng xếp hàng 11 khơng d Tính số học sinh khối
Bµi 149: Tìm hai số tự nhiên a b biết: BCNN (a, b) = 300 ; ¦CLN (a, b) = 15
Bài 150: Tìm hai số tự nhiên a vµ b biÕt tÝch cđa chóng lµ 2940 vµ BCNN chúng 210
Bài 151: Tìm hai số a b biết tổng BCNN với ƯCLN chúng 15
Bài 152: Tìm số tự nhiên a nhá nhÊt cã ch÷ sè cho chia cho 11 th× d 5, chia cho 13 th× d
Bµi 153: Chøng minh r»ng nÕu a lµ số lẻ không chia hết cho a2 – : 6.
Bµi 154: Chøng minh r»ng tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120 Bµi tËp bỉ sung
1.Tìm số tự nhiên bé chia cho 2; 5; 11 26 d Tìm số tự nhiên a, b bit
ƯCLN(a,b) = BCNN(ab) = 105
3 Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho d 6, chia cho 12 d 10, chia cho 15 d 13 vµ cxhia hÕt co 23
4 Tìm hai số có chữ số biết tổng chúng bội 504 thơng sè lín chia cho sè nhá lµ béi cđa
5 Cho BCN(a,b) = 60 vµ a = 12 T×m b?
6 Cho số A chia hết cho chia A ho hoặc d Tìm A biết A < 400
7 Tổng số học sinh khối cua trờng có khoảng từ 235 đến 250 em, chia cho d 2, chia cho d 3, chia cho d 4, chia cho d 5, chia 10 d tìm số học sinh khối
Chuyờn 4
Nguyên lý Điriclê toán chia hết
Bài 155: Chứng minh 11 sè tù nhiªn bÊt kú bao giê cịng cã Ýt nhÊt hai sè cã hai ch÷ sè tËn cïng gièng
Bµi 154: Chøng minh r»ng tån bội 13 gồm toàn chữ số Bµi 154: Cho d·y sè : 10; 102; 103; ;1020.
Chøng minh r»ng tån t¹i mét sè chia 19 d
Bài 158: Chứng minh tồn số bội 19 có tổng chữ số 19 Bài 159: Cho ba số lẻ Chứng minh tồn hai số có tổng chữ số 19 Bài 160: Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số cã tỉng hc hiƯu chia hÕt cho 12
Bài 161: Chứng minh ba số tự nhiên ln chọn đợc hai số có tổng chia hết cho
Bài 162: Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh ta chon đợc ba số có tổng chia hết cho
Bài 163: Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh ta ln chọn đợc ba số có tổng chia hết cho
(6)Bài 165*: Viết số tự nhiên vào mặt súc sắc Chứng minh ta gieo súc sắc xuống mặt bàn mặt nhìn thấy tìm đợc hay nhiều măt để tổng số chia hết cho
Ôn tập chơng I Bài 166: Thực phép tính cách hợp lý
a) 19 + 19 + +19 + 77 + 77 + +77
23 sè h¹ng 19 sè h¹ng
b) 1000! (456.789789 – 789.456456) Bµi 167: Cho biĨu thøc 252 – 84: 21 +
a) Tính giá trị biểu thức ú
b) Nếu dùng dấu ngoặc có giá trị khác Bài 168: Tìm x biÕt:
a) x + (x + 1) + (2+x) + +(x+30) = 1240 b) + + + +x = 210
Bài 169: Chiến thắng Đống Đa vào mùa xân năm 1978 Trong hệ đếm CAN CHI năm năm nào?
Bµi 170: Chøng minh:
a) 10n + 53 9 b) 4343 -1717 10
c) 555 chia hÕt cho 11 nhng khôngchia hết cho 125 2n chữ số
Bài 171: Tìm số tự nhiên nhỏ sso cho chia nã cho 17 d ; chia nã cho d 12
Bài 172: Ngày tháng năm 2003 ngày thứ
a) Hỏi ngày tháng ; ngày tháng năm ngày thứ mấy? b) Ngày tháng nămm 2004 ngày thứ mấy?
Bài 173: Cho A = + 42 + 43 + + 423 + 424 Chøng minh :
A 20 ; A 21 ; A 420
Bµi 174: Cho n = 29k với k N Với giá trị k n : a) Số nguyên tố
b) Là hợp số
Bài 175: Tìm x, y N biÕt (x+1)(2y-5) = 143
Bµi 176: Cho a hợp số, phân tích thừa số nguyên tố chứa hai số nguyên tố khác p1 p2 Biết a3 có tất 40 ớc hỏi a2 có ớc ?
Bài 177: T×m a N biÕt 355 chia a d 13 836 chia cho a d
Bi 178*: Một số tự nhiên chia cho d 5, chia cho 13 d Nếu đem số chia cho 91 d bao nhiêu?
Bµi 179: Cho c¸c sè 12 ; 18 ; 27
a) Tìm số lớn có chữ số chia hết cho số đó? b) Tìm số nhỏ có chữ số chia cho số d 1?
Tìm số nhỏ có chữ sè chia 12 d 10 ; chia 18 d 16 ; chia 27 d 25? Chơng II Số nguyên
Đ Tập hợp Z số nguyên Thứ tự Z Bµi 183: Cho A = {x Z | x > -9}
B = {x Z | x < - 4} C = {x Z | x ≥ - 2} T×m A B ; B C ; C A
Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp cú s
Bài 182: Số nguyên âm lớn có chữ số số nguyên âm nhỏ nhát có chữ số có phải số nguyên liên tiếp không?
Bài 186: Tìm giá trị thích hợp a b: a) > -111
(7)b) > - 600 c) < d)
Bài 187: Cho ba số nguyên a;b;0 biết a số âm a<b Hãy xếp số theo thứ tự tăng dần
Bài 188: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai? a) Nếu a = b | a | = | b |
b) NÕu | a | = | b | th× a = b c) NÕu | a | < | b | th× a < b Bài 189: Tìm x biết:
a) | x | + | - | = | 37 | b) | -6 |.|x| = 54
Bµi 190: T×m x, y, z Z biÕt : | x | + | y | + | z | = Bài 191: Tìm x Z, biết:
a) | x |< 10 c) | x | > -3 b) | x | > 21 d) | x | < -1
Đ Phép cộng hai số nguyên TÝnh chÊt phÐp céng hai sè nguyªn VÝ dơ: TÝnh tæng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149 IV Bµi tËp:
192 Cho x {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10} y { -1 ; 1; 0; 1; ; 5}
BiÕt : x + y = 193 TÝnh nhanh :
a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256 b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172) c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78 194 Tính tổng số nguyên x biÕt:
a) – 17 x 18 b) |x| < 25
195 Cho S1 = + (-3) +5 +(-7) + +17
S2 = -2 +4 +(-6) + +(-18)
TÝnh tæng S1 + S2
196 Cho x y số nguyên tố có chữ số Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tổng x + y
197 Chứng minh số đối tổng hai số tổng hai số đối chúng 198.Cho |x| = ; |y| = 11 Tính x + y
199* Cho x, y hai số nguyên dÊu TÜnh + y biÕt |x| + |y| = 10 200 TÝnh tæng :
a) S1 = a + |a| víi a Z
b) S2 = a + |a| + a + |a| + + a với a Z- có 101 số hạng
201* Cho 18 số nguyên cho tổng số số số âm Giải thích tổng 18 số số âm? Bài tốn cịn khơng thay 18 số 19 số
§ Phép trừ hai số nguyên Bài tập:
202 Cho a b giá trị bảng sau Tìm hiệu a b Không cần thực phép tÝnh cho biÕt b – a
a b a-b b-a
77 55
-29
-13 -6
a99
cb3
cba
(8)0 -19
203 T×m x biÕt (x + 153) – (48 – 193) = – – – 204 Cho |x| = ; |y| = 20 víi x, y Z TÝnh x – y
205 Cho |x| 3; |y| víi x,y Z BiÕt x – y = Tìm x y ?
206 Tìm x Z biÕt :
a) |x + 8| = b) | x+ a | = a víi a Z 207 T×m x Z , biÕt:
1 < | x – 2| <
208 T×m x, y Z, biÕt | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11| 209* Cho x < y < vµ |x| - |y| = 100 TÝnh x – y
210 Cho x {-2 ; -1; ; 1; ; 11}
y { -89; -88; - 87; ; -1; ; 11} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ x y 211 Cho x, y Z
a) Với giá trị x biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN, tìm GTLN b) Với giá trị y biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm GTNN c) Với giá trị x, y biểu thức
C = | x – 100 | + | y + 200 | - có GTNN, tìm GTNN Đ 4.Quy tắc chuyển vế Quy tắc dấu ngoặc 212 Tính hợp lý:
a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65 +374) 213 Đặt dấu ngoặc cách hợp lý để tính tổng đại số sau:
a) 942 – 2567 + 2563 – 1942
b) 12 - 12 + 11 + 10 - + - + - + + -1 214 T×m x biÕt:
a) 416 + ( x – 45) = 387 b) 11 – (x + 84) = 97 c) - (x + 84) + 213 = - 16 215 Chứng minh đẳng thức:
a) - (- a + b + c) + ( b + c – 1) = (b –c + 6) – ( – a + b) + c 216 Cho A = a + b – 5; B = - b – c +
C = b – c – 4; D = b – a
Chøng minh A + B = C – D 217 Cho a > b ; TÝnh |S| biÕt:
S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b)
218 Cho M = a + b – N = b + c – Biết M > N hỏi hiệu a – c dơng hay âm ? 219 Viết số nguyên vào đỉnh năm cánh cho tổng hai số hai đỉnh liền ln – Tìm s nguyờn ú?
Đ Phép nhân hai số nguyên I/ Kiến thức
II/ Kiến thức nâng cao.
1- Luỹ thừa bậc chẵn số nguyên âm số nguyên dơng - Luỹ thừa bậc lẻ số nguyên âm số nguyên âm a b ac ab nÕu c >
a b ac ab nÕu c <
3 Giá rị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối: | a b| = |a|.|b|
4 Víi a Z th× a2 ( dấu = xảy a = )
III/ VÝ dơ: T×m a, b Z biÕt a,b = 24 vµ a + b = - 10 Gi¶i
Ta thÊy ab > nªn a, b cïng dÊu
a + b = -10 nên a, b dấu âm
(9)VËy a = - 4; b = -6 hc a = - 6; b = -
VÝ dụ 2: Tìm tất cặp số nguyên cho tổng tích Giải
Gọi hai số cần tìm x y Ta có xy = x + y
xy – x – y = xy – x – y + = x(y – 1) – (y – 1) =
(y – 1)(x – 1) =
IV Bài tập:
220 Tìm x Z biÕt: a) x(x+3) =
b) (x – 2)(5 – x) = c) (x-1)(x2 + 1) = 0
221 Thu gän c¸c biĨu thøc sau:
a) 7x – 19x + 6x b) –ab – ba
222 Cho A = (5m2 – 8m2 – 9m2)(-n3 + 4n3)
Với giá trị m n A 223 Tìm x biết:
a) – 12(x – 5) + 7(3 – x) = b) 30(x + 2) – 6(x – 5) – 24x =100 224 T×m x Z biÕt:
a) | 2x – | = 13 b) 7x + 3| = 66 c) | 5x – 2| 225 T×m x Z biÕt:
a) (x – 3) (2y + 1) = b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55 226 T×m x Z cho :
(x- 7) (x + 3) <
227 Tính giá trị biểu thức sau cách hợ lý: a) 125.(-61).(-2)3.(-1)2n (n N*)
b) 136.(-47) + 36.(-304) c) (-48).72 + 36.(-304) 228 T×m x Z biÕt:
a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + + (x + 99) = b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 229 Cho m vµ n số nguyên dơng:
A = B =
Biết A < B hÃy so sánh m n
230* Cho 16 số nguyên Tích số ln số âm Chứng minh tích 16 số số dơng
231 Bỏ dấu ngoặc thu gọn biểu thức: a) (a + b)(a + b)
b) (a – b)(a – b) c) (a + b)(a – b)
232 Chứng minh số nguyên liên tiếp bình phơng số hn tich hai số đơn vị
233 Cho a = - 20 ; b – c = - 5, h·y t×m A biÕt A2 = b(a – c) – c(a – b)
234 Biến đổi tổng thành tích:
a) ab – ac + ad b) ac + ad – bc – bd
235 Cho a, b , c Z BiÕt ab – ac + bc – c2 = -1
1 1
1 1
y x y x
2;
0;
x y x y
2+4+6+ +2m m
(10)Chứng minh a b hai số đối 236* Tìm x, y Z biết :
a) xy + 3x – 7y = 21 b) xy + 3x – 2y = 11
§ Bội ớc số nguyên I/ Kiến thức
II/ Kiến thức nâng cao.
1 Các tính chất chia hết (hay khơng chia hết) số tự nhiên với số nguyên
2 Nếu alà bội b - a bội b Nếu b ớc a -b ớc a Do số nguyên m có k ớc tự nhiên có thêm k ớc âm (đó số đối ớc tự nhiên)
3 Chó ý:
- Trong tập hợp số Z , số chia d 1; d đợc biểu diễ công thức 3k + 1; 3k + gộp lại 3k
- Số lẻ đợc viết 2k + 2k – IV Bài tập:
237 C¸c sè sau cã bao nhiªu íc? a) 54 ; b) – 196
238 Chøng minh r»ng nÕu a b th× |a| |b| 239 Với n Z, số sau chẵn hay lỴ?
A = (n – 4)(n – 15) B = n2 – n –
240 Co a, b , x , y Z x , y không đối Chứng minh ax – by x+ y ay – bx x + y
241 Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ 10 x y cho 3x 4y = -21 (Phơng trình Điôphăng)
242 Cho S = – + 32 – 33 + + 398 – 399.
a) Chứg minh S bội – 20 b) Tính S, từ suy 3100 chia cho d 1.
243 Tìm số nguyên dơng n cho n + ớc 111 n – bội 11 244 Tìm n Z để;
a) 4n – n
b) -11 lµ béi cđa n – c) 2n – lµ íc cđa 3n + 245 T×m n Z cho :
n – bội n + n + bội n – 246* Tìm n Z để:
a) n2 – lµ béi cđa n + 3
b) n + lµ béi cđa n2 –
Đ Ôn tập chơng II Ví dụ: T×m x, y, z biÕt :
x – y = - ; y – x = 10 ; z + x = 11 VÝ dô: Cho x Z hÃy so sánh x2 x3
Chỳ ý: để so sánh A B ta thờng xét hiệu A – B
NÕu A – B > th× A > B ; NÕu A – B < A < B
Bài tập:
247 Tính giá trị biể thức A với x = - 43; y = 17 A = - 125(x + x + + x – y – y – – y)
(x cã sè h¹ng, y cã sè h¹ng)
248 Cho biểu thức B = 10 100 Hãy điền vào cá ô trống dấu phép tính cộng, trừ, nhân , chia thêm dấu ngoặc (nêu cần) để B số nguyên lớn nhất, số nguyên nhỏ
249 T×m x Z biÕt |x| 250 T×m x Z
(11)a) – 3x + = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20
251 Cho A = {6 ;7; 8; } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8} a) Cã hiệu dạng a b với a A; b B b) Cã bao nhiªu hiƯu chi hết cho
c) Có hiệu số nguyên âm ?
252 Số (-3)20 + có phải tích hai số nguyên liên tiếp không ?
253 T×m x Z biÕt (x + 5)(3x – 12) >
254 T×m x Z biÕt (x3+ 5)(x3 + 10)(x3 + 30) <
255 T×m x, y Z biÕt (x – 7)(xy + 1) = 256 Cho a, b, c, d Z
BiÕt tÝch ab lµ sè liỊn sau cđa tÝch cd vµ a + b = c + d Chøng minh r»ng a = b
257 Tìm hai số ngun mà tích chúng hiệu chúng Chun đề Phơng trình Điơphăng Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên x y cho
2x + 5y = 19 Cách 1: Vì x,y N 5y ≤ 19 y <
Mặt khác 19 số lẻ nên 2x + 5y số lẻ 2x số chẵn 5y số lẻ:
Do ú y = y = Với y = ta có: 2x + 5.1 = 19
2x = 14
x = Víi y = 3, ta cã: 2x + 5.3 = 19
2x = x = VËy víi x = vµ y = ; x = y = Cách 2: Tõ (1) ta cã:
x = = 10 - 3y +
Để x N N hay y = 2n + với n N, x = – 5n ≥ n = n = Tơng ứng ta đợc x, y
Ví dụ 2: Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ trâu già, ba bó Hỏi s trõu mi loi?
Chơng III Phân số
Bài Mở rộng khái niệm phân số Hai phân số
III/ Ví dụ: Tìm x, y Z biÕt : vµ x < y < IV Bài tập:
258 Trong số sau, số phân số:
; ; (a Z) ; (a Z) ;
(a Z)
259 Cho n N, hỏi sau n kim gìơ quay đợc vịng? Với giá trị n vịng quay số tự nhiên
260 Viết phân số dới dới dạng phân sè cã mÉu sè d¬ng, biÕt a Z
; víi a < ;
19 - 15y
y - y-1
2
x = 15 y -5
7
43
5
a -
9 a 5 7: 2a
10
3 -4
-
a -
(12)261 Từ ba số 2, 10, 50, có số đợc dùng hai lần viết cặp phõn s bng
262 Trong phân số sau, phân số nhau?
263 Tìm x Z , biÕt :
a) b)
264 Cho A =
Tìm x Z để A có giá trị ngun
265 Tìm n Z để phân số sau có giá trị nguyên:
266 T×m x Z, biÕt :
a) b) c)
267 T×m x, y Z biÕt:
a) vµ x > y b) vµ x < y <
268 T×m x, y Z biÕt:
vµ x – y =
Đ Chuyên đề
Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số Đ 14 Ôn tập chơng
1 Cho A = Tìm x :
a) Có giá trị số nguyên b) A có giá trị lớn
2 Tìm cặp số nguyên (x;y) biết;
a) b) x - y = -1
3 Cho A = Tìm x Z để:
a) A phân số ? b) A số nguyên c) Tìm x để A có giá trị lớn nhất, nhỏ nht?
4 Tìm số nguyên x biết;
15 -17 28 ; ; ; ; 60 15 -20 12 111 91
< x < 37 13
-84 108 < 3x <
14
3n - 5 n + 4
15 8
12 ; n ;
n-2 n+1
8 x - =
9 3 - x = 9 - 4 x
18 x =
4 x + 1
9 x =
7 y - = x y5
4 x - =
y - 3 3
2 x
5 x
2 y
1
1 -x
9 12
y 18
1 3x
1 2x
5 2x
(13)a) b) Chøng minh
a) b)
6 Cho S =
a) Chøng minh r»ng < S < b) Tõ c©u a h·y suy S Z
7 Cho A = Tìm n Z để: a) A số nguyên
b) T×m giá trị lớn nhất, nhỏ A? Tìm hai số nguyên a b biết :
9 a) Chøng minh:
S1 = S2 =
S3 =
10 T×m xN cho
11 Cho P =
Chøng minh P < 1, n N*
12 a) Chøng minh n N, n > ta cã
b) ¸p dụng câu (a) hÃy chứng minh
13 Tính giá trị biểu thức : S = áp dụng tính:
P = Q =
14 Tính giá trị biểu thøc sau:
A = 1+ B =
8 2x x 2 x x 26 12 6x 10 2x x 100 52 51 40 22 21 12 19 16 15 4n n b a n) a(a n n a a 100 99 2 1 2005 2001 5 1000 999 14 12 12 10 2006 2005 ) )( ( 11 6 x x ) )( ( 3 n n n 1 -n n n 1 -n
2
202 99 100 100 99 2
2
2005 2002 4 1 101 96 11 6 100 99 98 1 2006 2 2
2 3 100 101
(14)C =
15 Chøng minh r»ng:
a) b)
1 999
1 997
1 997
1 999
1 999
1
1 1
4 2007
1
1
1
2
2 5
1 2007
1
1
1
2
(15)Phòng GD
Quận Cầu giấy Đề KTCL Học sinh giỏi vòng II năm 2005 - 2006Môn Toán - thời gian 120 phút
Bài 1( 4đ):
Tính nhanh:
A = + - -7 + + 11 - 397 - 399 B = 2100 - 299 - 298 - - 22 - 21 - 1
Bài (4đ):
S 36 chia cho số nguyên a trừ a Lấy kết chia cho a trừ a Lại lấy kết chia cho a trừ a Cuối đợc số -a Tìm số a?
Bài 3(3đ):
Cho biết a + 4b chia hÕt cho 13, (a,bN) Chøng minh 10a + b chia hết cho 13 Bài ( 3đ):
Cho phân số Hãy tìm số nguyên cho tử số cộng với số
và mẫu số trừ số ta đợc phân số Bài ( 6đ):
Cho gãc BOC b»ng 750 A điểm nằm góc BOC BiÕt gãc BOA
b»ng 400.
a) TÝnh gãc AOC
b) Vẽ OD tia đối OA So sánh hai góc BOD COD
1) Cho biểu thức A = với n Z a) Với giá trị A A phân số b) Tìm giá trị A để A số nguyên Rút gọn phân số :
a) M = b) N =
3 Cho hai phân số (n Z n > 0) Chøng tá r»ng;
= -
¸p dơng tÝnh:
a) + + b) B = + + + + + +
85357 57643
6
4
2
n n
2
4
8 234 81
3 27
11 12
9
6
120
n
1 n
1 n
1 n
1
n
1 n
1
2.3
3.4
4.5
99.100
30
42
56
72
90
110