Đang tải... (xem toàn văn)
Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:.. là cấp số[r]
(1)CẤP SỐ NHÂN TÓM TẮT GIÁO KHOA
1) Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn) mà kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước số q không đổi, nghĩa là:
cấp số nhân
Số q gọi công bội cấp số nhân
2) Định lý 1: Nếu cấp số nhân kể từ số hạng thứ hai, bình phương
mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) tích hai số hạng
đứng kề dãy, tức là:
Hệ quả: Nếu a, b, c ba số khác 0, “ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành cấp
số nhân ”
3) Định lý 2: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội số hạng tổng
qt tính công thức:
4) Định lý 3: Giả sử ( ) cấp số nhân có cơng bội q Gọi
tổng cuản số hạng cấp số nhân) Ta có:
Nếu q=1
Nếu
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1: Chứng minh dãy cấp số nhân
PHƯƠNG PHÁP
Chứng minh q số khơng đổi
Nếu với ta lập tỉ số n
n
u T
u
T số cấp số nhân có cơng bội qT
T phụ thuộc vào n khơng cấp số nhân
Ví dụ 1: Xét dãy số số sau, dãy số cấp số nhân, (nếu có) tìm cơng bối cấp số nhân đó:
a) 2n
n
u ( 3) b) un ( 1) 5n 3n 2 c) n n
u u u
d)
n n
u
9 u
u
LỜI GIẢI
un n 2,un un 1 q
un
2
k k k u u u k2
2
b ac
1
u q0
n
u n
n
u u q
n
u
n
n k n n
k
S u u u u (S
Sn nu1
q 1
n n
u q S
1 q
un
n 1, un 1 u qn
un 0 nN *
un
(2)a) Ta có n 2n 2n n
u ( 3)
( 3) u ( 3)
(không đổi) Kết luận un cấp số nhân với công bội
q 9
b) Ta có n n 3(n 1)
n 3n n
u ( 1)
1.5 125 u ( 1) 5
(không đổi) Kết luận un cấp số nhân với
cơng bội q 125
c) Ta có
2
u u 4, u3 u22 16, u4u23 256, suy
u
2 u 2
4
u 256 16 u 16
2
u u
u u
Do un khơng cấp số nhân
d) n n n
n n
n n
n
9
u u u
u u , n
9
u u
u
Do có:
u1u3 u5 u 2n 1 (1)
Và u2 u4u6 u 2n (2)
Theo đề có 1 2
1
u u
u
(3)
Từ (1), (2) ,(3) suy u1u2 u3 u4 u5 u 2nu2n 1 Kết luận un cấp số nhân
với công bội q 1
Ví dụ 2: Cho dãy số un xác định
n n
u
, n u 4u
Chứng minh dãy
số vn xác định un3, n 1 cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu
công bội cấp số nhân
LỜI GIẢI
Vì có vn un3 (1) vn 1 un 1 3 (2) Theo đề un 1 4un9un 1 34 u n3 (3)
Thay (1) (2) vào (3) được: n
n n
n
v
v 4v , n
v
(không đổi) Kết luận vn cấp
số nhân với công bội q 4 số hạng đầu v1u1 3
DẠNG 2: Xác định số hạng đầu công bội, xác định số hạng thứ k, tính tổng n số hạng đầu tiên:
PHƯƠNG PHÁP
Dựa vào giả thuyết, ta lập hệ phương trình chứa cơng bội q số hạng đầu u1, giải
hệ phương trình tìm q u1
Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: k
(3)Để tính tổng n số hạng , ta sử dụng công thức:
n n
1 q
S u ,q
1 q
Nếu q 1
1 n
u u u u , Sn nu1
Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết:
a)
2
u u 51 u u 102
b)
4
u u u 135 u u u 40
c)
u S 43
LỜI GIẢI
a)
4
1
1 1
5
2 1
u q 51
u u 51 u u q 51
u u 102 u q u q 102 u q q 102
Lấy
4
4
u q q 102 51 u q
51 51
q u
17 q
Kết luận có công bội q 2 số hạng u1 3
Kết luận:u1 3 vàq 2
b)
2
1 1
3
4 1
u u u 135 u u q u q 135 u u u 40 u q u q u q 40
2
3
1
u q q 135 u q q q 40
Lấy
3
1
2
u q q q 40 135 u q q
3
q q
27
1
135 1215
u
19 q q
Kết luận có cơng bội q
3
số hạng u1 1215
19
c) 1
2
3 1
u q
u u q
S 43 u u u 43 u u q u q 43
(4)
1
2
u q
u q q 43
Lấy
1
u q
43 u q q
2 43q q q
6q237q 0 q q
Vớiq6u11 Vớiq u1 36
6
Kết luận
1
q u
1
1 q
6 u 36
Ví dụ 2: Cho CSN un có số hạng thỏa:
u u 51 u u 102
a) Tìm số hạng đầu công bội CSN
b) Hỏi tổng số hạng 3069? c) Số 12288 số hạng thứ mấy?
LỜI GIẢI
a) Ta có
4
1 1
5
2 1 1 1
u u 51 u u q 51 u (1 q ) 51 ( )
u u 102 u q u q 102 u q(1 q ) 102 ( )
Lấy
4
1
1
u q(1 q )
( ) 102
q u
( ) u (1 q ) 51
b) Có
n n
n
n
1 q
S 3069 u 3069 3069 1024 n 10
1 q
Kết luận tổng 10
số hạng 3069
c).Có k k k 12
k
u 12288u q 122883.2 122882 40962
k 12 k 13
Kết luận số 12288 số hạng thứ 13
Ví dụ 3: Tính tổng sau:
a) n
n
S 2 2 2 2
b) Sn 12 13 1n
2 2 2 2
c)
2 2
n
n n
1 1
S
3 3
(5)LỜI GIẢI
a) Ta có dãy số 2, , , , 22 n cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu
1
u 2
công bội q 22
2
Do
n n
n n
1 q
S u 2
1 q
b) Ta có dãy số 1, 2 , 13, , 1n
2 2 cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu
1 u
2
và công bội
1 q
1 2
Do
n n
n n
1
2
1 q 1
S u
1
1 q 1
2
c)
2 2
n
n n
1 1
S
3
2n
2 2n
1 1
3 3
3 3
2n
2 2n
n
1 1
3 3 2 2
3 3
Có dãy số ,3 , , 32 2n cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u132 công bội
4
q
3
Do
n n
n 1
1 q 9
S u 9
1 q
Có dãy số 12 , 14 , , 12n
3 cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu
1 u
3
công
bội q
9
Do
n n n
1 n n
1
1 q 9 1
S u
1
1 q 1 8.9
9
Vậy
n n n
n
n n n
9
9
S 2n 2n
8 8.9 8.9
d) n
n so n
6
S 66 666 666 99 999 999 9
n
(10 1) (100 1) (1000 1) (10 1)
n
2 n n
2 10 20 2n
10 10 10 10 n 10 n 10
3 10 27
(6)DẠNG 3: Dựa vào tính chất cấp số nhân, chứng minh đẳng thức:
Ví dụ : Cho a, b, c, d bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh:
3 3
a) ab bc ca abc a b c 2 2 2 2 2 b) a b b c ab bc
2
c) a b c a b c a b c
d) 2 2 2 2
b c c a d b a d
e) 2 3
3 3
1 1
a b c a b c
a b c
LỜI GIẢI
Vì a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, nên có ac b2
a) Ta có abc a b c 3 b a b c3 3 ab b2 bc3 ab bc ca3
(đpcm)
b) Ta có: a2 b2b2 c2 a b2 a c2 b4 b c2 a b2 2b4 b c2
a b2 2ab.bc b c2 ab bc2
(đpcm)
c) Ta có a b c a b c a c b a c b a c2 b2
a2 2ac c2 b2 a2 2b2 c2 b2 a2 b2 c2
(đpcm)
d) Vì a, b, c, d lập thành CSN nên có: a.dbc,a.cb , b.d2 c2
Khai triển: 2 2 2 2 2
b c c a d b a 2b 2c d 2bc 2ca 2bd
2 2 2
2
2
a 2b 2c d 2ad 2b 2c a 2ad d
a d
e) Có: 2 2 2 2
3 3
1 1 b c a c a b
a b c
a b c
a b c
(1) Ta có
3 2
2 2
2
ac b c ac b a c b a a c b
(7) 2 3 3 3
1 1 ac b a c
1 a b c a b c
a b c
a b c
(điều phải chứng minh)
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1: Cho cấp số nhân un Tìm u1 q, biết rằng:
1)
2 i
35
u u u
2 u u 25 u i 1, ,
2)
1
u u u 65 u u 325
3)
3
u u u 42
u u 20
4)u1u6 165; u3u4 60 5)
1
2 2
1
u u u u 15
u u u u 85
6)
4
u u u 13 u u u 351
7)
3 3
8u 5u
u u 189
8) 3
u u u 1728 u u u 63
9)
2
u u
u u
10)
2 2
1
u u u
u u u 21
LỜI GIẢI 1)
2 i
35
u u u
2 u u 25 u i 1, , ,
1 1
4 1
35 u q u q u q
2 u u q 25
2 2
1 1
5
2 u q u q u
q
thay vào (1) được:
3 2 2
5 35
q q q q q 79 2q 5q q
2
q
1 q
2
Vớiq u1
4
Vớiq u1 20
2
(8)2)
u u u 65 u u 325
2
2
1
1 1
6
1 1
u q q 65 u u q u q 65
u u q 325 u q 325
Lấy:
2
6 3
6
2 4
1 q q q
2 q 325
5 vi 1+q q 65
1 q q q q
2
1 q q q
Vớiq u1 652 4
1 2
Với 2
65
q u
1 2
3)
2
3
1
2 1
2
3 1
u q q q 42 u u u 42 u q u q u q 42
u u 20 u q u q 20 u q q 20
Lấy:
2
2
2
1 q q 21
10 10q 10q 21q 21q 10
2 q q
4 2
2 21 10
10q 21q 10q 21q 10 10q 21q 10 10
q q
2
1
10 q 21 10
q q
Đặt:
2
2 2
2
1 1
t q t q q t
q q q
Điều kiện t 2
10 t 2 21t 10 0 10t2 21t 10 0 t= t
2
(loại)
Với 5
t q 2q 5q q q
2 q 2
Nếu q u1 220 4 220 4 64
2 q q 1 1
2
Nếu q u1 220 4 220 4
q q 2
(9) 5 1
2
1 1
u q 165 u u q 165
u q u q 60 u q q 60
Lấy
2
2
1 q q q q q
1 q 11 11
4
2 q q q q
4
4 q q q q 11q 4q 4q 7q 4q
4
2
2 2 2
4q 4q 7q 4q 1
0 q q
q
q q q q q q
Đặt:
2 2
2
1 1
t q t q q t
q q q
Điều kiện:
t 2
4 t 2 4t 7 0 4t2 4t 15 0 t
2
t
2
(loại)
Với t q 2q2 5q 2 0 q 2 q =1
2 q 2
vớiq u1 1655 21655
1 q
với
1 165 165
q u 160
2 q 1
1
5)
2 2
1
u u u u 15
u u u u 85
1 1
2 2
1 1
u u q u q u q 15 u u q u q u q 85
2
1
u q q q 15 u q q q 85
2
1
2
1
u q q q 15
u q q q 85
Lấy
32
2
1 q q q
1 45
17
2 q q q
2
2
1 q q q 45 17 q q q
2
1 q q 45
17
1 q q
2 2
4
1 q q 45
17 q
2 2
4
1 2q q q 45 17 q
4 4 17 q 2q 2q q q 45 q
(10)4
4
2 2 2
28q 34q 34q 34q 28
28q 34q 34q 34q 28 0
q q q q q
(vì dễ dàng thấy q 0 )
2
2
34 1
28q 34q 34 28 14 q 17 q 17
q q q
Đặt
2
2 2
2
1 1
t q t q q t
q q q
Điều kiện: t 2
14 t 2 17t 17 0 14t2 17t 45 0
t
2
t
(loại)
Với t q 2q2 5q 2 0 q 2 q = 1
2 q 2
vớiq2u1 1 vớiq u1 152 3
2 q q q
6)
2
1
3
4 1
u q q 13 u u u 13
u u u 351 u q q q 351
Lấy
3
1
13 13
q 27 q u
1 q q
7)
3 3
8u 5u
u u 189
4
1
3
3
1
8u q 5u q
u u q 189
3 3
3
1
8 2
8 5q q q
5 5
189
u q 189 u 125 u
1 q
8)
1
u u u 1728 u u u 63
3 3
1
1 1
2
2
1
1 1
u q 12 u q 12
u u q.u q 1728
u q q 63 u u q u q u q q 63
(11)
1 1
1
2
12
u 12 q 4 u 3
u q
q 1
12 1 q q 63 q u 48
12q 51q 12
q
9)
2
u u
u u
2
2 2
1
4
2
u q u q
u q u q
Lấy
22
4
1 q 9
5 q
Đặt:
2
tq , t0
2 2 2
5 t t 4t 10t t t =
Vớit2q
1
3
q u
1 q
3
q u
1 q
Vớit q
2
1
2
q u
2 q
2
q u
2 q
10)
2 2
1
u u u
u u u 21
2
1 1
2
2
1 1
u u q u q
u u q u q 21
2
2 2
1
2 2
1
u q q u q q 49
u q q 21 u q q 21
Lấy
được:
2
2 4
2
1 q q 49
21 q q 2q 2q 2q 49 q q 21
1 q q
4 4
21 2q 3q 2q q 49 q q 28q 42q 14q 42q 28
(12)4
2
2 2 2
28q 42q 14q 42q 28 42 28
0 28q 42q 14
q
q q q q q q
2
1
28 q 42 q 14
q q
Đặt:
2
2 2
2
1 1
t q t q q t
q q q
Điều kiện:t 2
2 28 t 2 42t 14 0 28t2 42t 70 0 t
2
t 1(loại)
Vớit q 2q2 5q 2 0 q 2 q = 1
2 q 2
q u1 2 1 q q
1
q u
2 q q
Câu 2: Tìm a, b biết rằng: 1, a, b số hạng liên tiếp cấp số cộng 1,a , b2 2 số
hạng liên tiếp cấp số nhân
LỜI GIẢI
Theo đề ta có hệ phương trình: b2 42a
b a
b 22a 1
b a
Với b a 2 thay vào (1) 1 a 22aa22a 0 a 1 b 1
Với b a2 thay vào (1) 1 a 2aa22a 0 a 1 2a 1 2
2
a 1 2b 1 b 3 2
2
a 1 b 1 b 3 2
Kết luận a a a
b b 3 2 b 3 2
thỏa yêu cầu đề
(13)Theo đề ta có: n n
S 728 u 486
n
1 n
1
1
n n
1
u q
u u q 728(1 q) 728
u 486q 728(1 q) u q
u q 486q u q 486
1.123: Cho số tạo thành cấp số cộng có tổng 21.Nếu thêm 2, 3, vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành cấp số nhân Tìm số
LỜI GIẢI
Gọi u , u , u1 2 3 thành lập cấp số cộng
Theo đề bài:u12; u23; u39 ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân
Theo đề bài:
1
1
2
1
u u u 21 u u 2u
u u u
2
1
2
1
3u 21 u u 2u
u u u
2
1
3
u u 14 u
14 u u 100
Giải :16 u 3u39100 u327u3440 u3 11 u 3 4 Vớiu3 11u13 Vớiu3 4 u1 18
2.123: Cho số dương có tổng 65 lập thành cấp số nhân tăng, bớt đơn vị số hạng thứ 19 đơn vị số hạng thứ ba ta cấp số cộng Tìm số
LỜI GIẢI
Gọi u , u , u1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân
(14)Ta có:
1
u u u 65 u u 19 2u
1
1
u u u 65 u 2u u 20
2
1 1
2
1 1
u u q u q 65 u 2u q u q 20
2
2
u q q 65 u 2q q 20
Lấy
2
1 q q 65 13 20 2q q
2
4 q q 13 2q q
2
9q 30q
q q
Vì u , u , u1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn q3u1 5
Vậyu1 5; u215; u3 45
7.124: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x4 y 3.
Tìm x, y
LỜI GIẢI
Ta có:x.y y
x
Thay vàox4 y 3 x4 3
x
x5 3 34 x5 3 x 3
9
y 3
3
Kết luận x
y 3
Cho tổng
n
A 11 111 111 1 Chứng minh
n
10 n 1
A
81
LỜI GIẢI
Ta có
n n
A 1 11 111 111 19A9 99 999 99
10 1 102 1 103 1 10n 1
n
n
10 10 10 10 1 1
(15) n n 1
10 10 10 9n 10 n
1 10
Vậy
n
10 n 1
A
81
Tính tổng
n
B 77 777 777 7
n
B 77 777 777 7
n
B 11 111 111 1
n
B
1 11 111 111
n
9B
9 99 999 99
n
9B
10 10 10 10
7
n
n
9B
10 10 10 10 1
7
n 10 10 9B
n 10
n
9B 10 9n 10
7
n 10 9n 10 B
81
Cho cấp số nhân có số hạng đầu u10 q0,q 1 Gọi Sn tổng n số hạng đầu
tiên Chứng minh: 2
n 3n 2n 2n n
S S S S S
(16)
n 3n 2n
1 1
n 3n 2n
u q u q u q VT S S S
1 q q q
n n
2
1
n 2n 3n n n n
1
2
u q q
u u
1 q q q q q q
1 q
1 q q
(1)
2 2
2n n
2 1 n n n
2n n
u q u q u
VP S S q q q
1 q q q
2
n n
1
u
q q q
(2)
Kết luận từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Cho ba số dương a, b, c lập thành CSN Chứng minh:
1
a b c , ab bc ca , abc
3 lập thành CSN
LỜI GIẢI
Ta có ac b2
(tính chất CSN)
Ta phải chứng minh:
2
1
a b c abc ab bc ca
3
3
1 1
a b c b ab bc ca a b c b ab bc ca
3 3
1 1
ab b cb ab bc ca ab ac cb ab bc ca
3 3
(đpcm)
Cho CSN (u )n số nguyên dương m, k m k
Chứng minh rằng:
k m k m k
u u u
LỜI GIẢI
Có k m k m 2k k 12
k m k m 1 1 k
u u u q .u q u q u q u
(17)Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh rằng:
2 2 2
(a b )(b c ) (ab bc)
LỜI GIẢI Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân
Gọi q công bội cấp số nhân ta có b aq, c aq2
(a2b )(b2 2c ) (a2 2a q )(a q2 2 2a q ) a q (1 q )2 2 (1) (ab bc) (a.aq aq.aq ) 2a q (1 q )4 2 (2) Từ (1) (2) ta suy (a2b )(b2 2c ) (ab bc)2 2
Cho a, b, c CSC thỏa a b c
4
Chứng minh tan a, tan b, tan c theo thứ tự lập thành
CSN
LỜI GIẢI
Ta có a c 2b tính chất CSC Có a b c
4
3b b
4
Suy a c
2
Ta có tan a.tan c tan a.tan a tan a.cot a 1 tan2 tan b2
2
Vậy tan a.tan ctan b2 tan a, tan b, tan c theo thứ tự lập thành CSN
Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết:
a)
5
u u 72 u u 144
b)
1
u u u 65 u u 325
c)
2
u u 90 u u 240
d)
1
u u u 14 u u u 64
e)
1
1
u u u 21
1 1
u u u 12
f)
2 2
1
u u u u 30
u u u u 340
LỜI GIẢI
a)
2
1
4 1
4 2
5 1
u q q 72 (1) u u 72 u q u q 72
u u 144 u q u q 144 u q q 144 (2)
(18)Lấy (2):(1) được: q 2 , thay q 2 vào (1) u1 12
c)
2
2
1
3 1
5
2 1
u q q 90 (1) u u 90 u q u q 90
u u 240 u q u q 240 u q q 240 (2)
Lấy
4 2 2
1
2 2
1
u q q q q 1 q
(2) 240 8
(1) u q q 90 q q q
2
3q 8q q q
3
Với q
3
thay vào (1) u1 729
Với q 3 thay vào (1) đượcu1 1
d)
2
1
1 1
3
1 1 1
u q q 14 (1) u u u 14 u u q u q 14
u u u 64 u u qu q 64 u q 64 (2)
1
4 (2) u q u
q
, thay vào (1) 41 q q2 14
q
2
2q 5q q q
Với q2u1 2 Với
1
q u
2
e)
2
2
1
1 1
2
2 2
1 1 1
u q q 21 (1) u u u 21 u u q u q 21
1 1 1 q q
(2)
u u u 12 u u q u q 12 u q 12
2
21 (1) q q
u
, thay vào (2): 2
1
2 1
21
u q 36 u q
u u q 12
Với
6 u
q
thay vào (1): 61 q q2 21 2q2 5q q q
q 2
Nếu q2u13 Nếu q u1 12
2
(19)Với
6 u
q
thay vào (1): 61 q q2 21 2q2 9q 2 0 q 65 q 65
q 4
Nếu
9 65 27 65
q u
4
Nếu
9 65 27 65
q u
4
f)
2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
u u u u 30 u u q u q u q 30 u u u u 340 u u q u q u q 340
2
2
1
u q q q 30 u q q q 340
2
2
1
u q q 30 u q q 340
2
2
1
2
1
u q q 900 (1) u q q 340 (2)
Lấy
2 2
4
1 q q
(1) 45
(2) q 17
, quy đồng rút gọn được:
4
14q 17q 17q 17q 14 0
2
2 17 14
14q 17q 17
q q
2
1
14 q 17 q 17
q q
Đặt t q
q
, điều kiện t 2
2
14t 17t 45 t t
2
(loại)
Với 5
t q 2q 5q q q
2 q 2
Với q2u1 2 Với
1
q u 16
2
a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân Tìm số
b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân
LỜI GIẢI
(20)Ta có 1
6
u 160 u 160
u 160
1
u u q q
2
Vậy số hạng cần thêm vào u2 u q1 80, u3 u q2 40, u4 u q3 20, u5 u q 104
b) Có nghĩa ta cấp số nhân có sáu số hạng với số hạng đầu 243 số hạng cuối
Ta có 1
5
6
u 243 u 243
u 243
1
u u q q
2
Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216
LỜI GIẢI
Gọi ba số hạng liên tiếp cấp số nhân u , u , u1 2 3 với công bội q Theo đề ta có
hệ phương trình:
2
2 1
1 1
1
3 3
1 1 1 1
u q q 19 ( ) u u q u q 19
u u u 19
6
u u u 216 u q 6 u q 6 u
q
Thay u1
q
vào ( ) được: 6q2 13q 6 0 q
2
q
Với q u1 4, u2 6, u3
Với q u1 9, u2 6, u3
b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889
LỜI GIẢI
Theo đề ta có
n
1 n
n 1
n
n n 1
1
u q
S 889 889 u q u 889(q 1) (1) q
u 448 u q 448q (2) u q 448
(21)Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560
LỜI GIẢI
Theo đề ta có hệ phương trình: 1
2
3 1
u u q 35 u (1 q) 35 (1) u u 35
u u 560 u q u q 560 u q (1 q) 560 (2)
Thay (1) vào (2) ta q2 16 q 4
Với q 4 thay vào (1) u1 35
3
,u2 u q1 140
, u3 560
3
, u3 2240
3
Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, cịn sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân
Tìm số dương a b cho a, a + 2b, 2a + b lập thành cấp số cộng (b + 1)2,
ab + 5, (a + 1)2 lập thành cấp số nhân
LỜI GIẢI
Theo tính chất CSC ta có: a (2a b) 2(a 2b) (1)
Theo tính chất CSN ta có: (b 1) (a 1) (ab 5) 2 (2)
Từ (1) khai triển rút gọn ta được: a3b, thay vào (2):
2 2 2
(b 1) (3b 1) (3b 5) (b 1)(3b 1) (3b 5)
Với b 3b 1 3b25b 1 a3
Với b 3b 1 3b256b24b 6 0 (vô nghiệm)
(22)