Cấp số nhân – Chuyên đề Giải tích 11

Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:.. là cấp số[r]

CẤP SỐ NHÂN TÓM TẮT GIÁO KHOA

1) Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn) mà kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước số q không đổi, nghĩa là:

cấp số nhân

Số q gọi công bội cấp số nhân

2) Định lý 1: Nếu cấp số nhân kể từ số hạng thứ hai, bình phương

mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) tích hai số hạng

đứng kề dãy, tức là:

Hệ quả: Nếu a, b, c ba số khác 0, “ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành cấp

số nhân ”

3) Định lý 2: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội số hạng tổng

qt tính công thức:

4) Định lý 3: Giả sử ( ) cấp số nhân có cơng bội q Gọi

tổng cuản số hạng cấp số nhân) Ta có:

Nếu q=1

Nếu

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Chứng minh dãy cấp số nhân

PHƯƠNG PHÁP

Chứng minh q số khơng đổi

Nếu với ta lập tỉ số n

n

u T

u





 T số cấp số nhân có cơng bội qT

 T phụ thuộc vào n khơng cấp số nhân

Ví dụ 1: Xét dãy số số sau, dãy số cấp số nhân, (nếu có) tìm cơng bối cấp số nhân đó:

a) 2n

n

u  ( 3)  b) un  ( 1) 5n 3n 2 c) n n

u u  u

   

  

d)

n n

u

9 u

u 

 

 

  

LỜI GIẢI

 un   n 2,un un 1 q

 un

 

2

k k k u u  u  k2

2

b ac

1

u q0

n

u n

n

u u q 



n

u

n

n k n n

k

S u u u u (S



      Sn nu1

 q 1  

n n

u q S

1 q

 



 un

  n 1, un 1 u qn

 un 0 nN *

 un

a) Ta có n 2n 2n n

u ( 3)

( 3) u ( 3)

 





   

 (không đổi) Kết luận  un cấp số nhân với công bội

q 9

b) Ta có n n 3(n 1)

n 3n n

u ( 1)

1.5 125 u ( 1) 5

   





    

 (không đổi) Kết luận  un cấp số nhân với

cơng bội q 125

c) Ta có

2

u u 4, u3 u22 16, u4u23 256, suy

u

2 u  2

4

u 256 16 u  16 

2

u u

u u

 

Do  un khơng cấp số nhân

d) n n n

n n

n n

n

9

u u u

u u , n

9

u u

u

 

 



      Do có:

u1u3 u5  u 2n 1 (1)

Và u2 u4u6  u 2n  (2)

Theo đề có 1 2

1

u u

u

    (3)

Từ (1), (2) ,(3) suy u1u2 u3 u4 u5  u 2nu2n 1 Kết luận  un cấp số nhân

với công bội q 1

Ví dụ 2: Cho dãy số  un xác định

n n

u

, n u  4u

  

  

 

 

Chứng minh dãy

số  vn xác định un3, n 1  cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu

công bội cấp số nhân

LỜI GIẢI

Vì có vn un3 (1) vn 1 un 1 3 (2) Theo đề un 1 4un9un 1 34 u n3 (3)

Thay (1) (2) vào (3) được: n

n n

n

v

v 4v , n

v



      (không đổi) Kết luận  vn cấp

số nhân với công bội q 4 số hạng đầu v1u1 3

DẠNG 2: Xác định số hạng đầu công bội, xác định số hạng thứ k, tính tổng n số hạng đầu tiên:

PHƯƠNG PHÁP

Dựa vào giả thuyết, ta lập hệ phương trình chứa cơng bội q số hạng đầu u1, giải

hệ phương trình tìm q u1

Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: k

Để tính tổng n số hạng , ta sử dụng công thức:

n n

1 q

S u ,q

1 q



 

 Nếu q 1

1 n

u u u  u , Sn nu1

Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết:

a)

2

u u 51 u u 102

   



  



b)

4

u u u 135 u u u 40

    



   



c)

u S 43

   

  

LỜI GIẢI

a)    

   

4

1

1 1

5

2 1

u q 51

u u 51 u u q 51

u u 102 u q u q 102 u q q 102

   



    

  

 

  

   

    

  

Lấy 

 

   

4

4

u q q 102 51 u q

 

 

 

51 51

q u

17 q

     



Kết luận có công bội q 2 số hạng u1 3

Kết luận:u1 3 vàq 2

b)

2

1 1

3

4 1

u u u 135 u u q u q 135 u u u 40 u q u q u q 40



      

 



 

     

 

 

   

   

2

3

1

u q q 135 u q q q 40

    

  

   

 

Lấy 

 

   

3

1

2

u q q q 40 135 u q q

  

 

  

3

q q

27

   

1

135 1215

u

19 q q

  

 

Kết luận có cơng bội q

3

 số hạng u1 1215

19



c) 1

2

3 1

u q

u u q

S 43 u u u 43 u u q u q 43

 

   

  

 

  

      

  

 

   

1

2

u q

u q q 43

  

  

   

 

Lấy  

   

1

u q

43 u q q



 

   

 2 43q q q

    6q237q 0  q q

   

Vớiq6u11 Vớiq u1 36

6

  

Kết luận

1

q u

   

  

1

1 q

6 u 36

      

Ví dụ 2: Cho CSN  un có số hạng thỏa:

u u 51 u u 102

   



  



a) Tìm số hạng đầu công bội CSN

b) Hỏi tổng số hạng 3069? c) Số 12288 số hạng thứ mấy?

LỜI GIẢI

a) Ta có

4

1 1

5

2 1 1 1

u u 51 u u q 51 u (1 q ) 51 ( )

u u 102 u q u q 102 u q(1 q ) 102 ( )

 

       

  

 

  

 

     

  

Lấy

4

1

1

u q(1 q )

( ) 102

q u

( ) u (1 q ) 51

 

     

 

b) Có

n n

n

n

1 q

S 3069 u 3069 3069 1024 n 10

1 q

 

        

  Kết luận tổng 10

số hạng 3069

c).Có k k k 12

k

u 12288u q  122883.2  122882  40962

k 12 k 13

     Kết luận số 12288 số hạng thứ 13

Ví dụ 3: Tính tổng sau:

a) n

n

S 2 2 2   2

b) Sn 12 13 1n

2 2 2 2

      c)

2 2

n

n n

1 1

S

3 3

     

          

     

LỜI GIẢI

a) Ta có dãy số 2, , , , 22  n cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu

1

u 2

công bội q 22

2

  Do  

n n

n n

1 q

S u 2

1 q

 

   

 

b) Ta có dãy số 1, 2 , 13, , 1n

2 2  cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu

1 u

2



và công bội

1 q

1 2

  Do

n n

n n

1

2

1 q 1

S u

1

1 q 1

2

    

  

   





c)

2 2

n

n n

1 1

S

3

     

          

     

2n

2 2n

1 1

3 3

3 3

          

 2n

2 2n

n

1 1

3 3 2 2

3 3

 

               

  

 Có dãy số ,3 , , 32  2n cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u132 công bội

4

q

3

  Do  

n n

n 1

1 q 9

S u 9

1 q

 

   

 

 Có dãy số 12 , 14 , , 12n

3  cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu

1 u

3

 công

bội q

9

 Do

n n n

1 n n

1

1 q 9 1

S u

1

1 q 1 8.9

9



   

     

  



Vậy     

n n n

n

n n n

9

9

S 2n 2n

8 8.9 8.9



 



     

d) n

n so n

6

S 66 666 666 99 999 999 9

 

             

 

 

 

n

(10 1) (100 1) (1000 1) (10 1)

 

         

 

 

n

2 n n

2 10 20 2n

10 10 10 10 n 10 n 10

3 10 27

  

 

              

 

 

DẠNG 3: Dựa vào tính chất cấp số nhân, chứng minh đẳng thức:

Ví dụ : Cho a, b, c, d bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh:

 3  3

a) ab bc ca  abc a b c   2 2 2 2  2 b) a b b c  ab bc

   2

c) a b c a b c    a b c

d)   2  2 2  2

b c  c a  d b  a d

e) 2 3

3 3

1 1

a b c a b c

a b c

 

    

 

 

LỜI GIẢI

Vì a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân, nên có ac b2



a) Ta có abc a b c 3 b a b c3 3 ab b2 bc3 ab bc ca3

           (đpcm)

b) Ta có: a2 b2b2 c2 a b2 a c2 b4 b c2 a b2 2b4 b c2

        

a b2 2ab.bc b c2 ab bc2

     (đpcm)

c) Ta có a b c a b c  a c b a c b a c2 b2

             

a2 2ac c2 b2 a2 2b2 c2 b2 a2 b2 c2

           (đpcm)

d) Vì a, b, c, d lập thành CSN nên có: a.dbc,a.cb , b.d2 c2

Khai triển:   2  2 2 2 2

b c  c a  d b a 2b 2c d 2bc 2ca 2bd 

 

2 2 2

2

2

a 2b 2c d 2ad 2b 2c a 2ad d

a d

      

  

 

e) Có: 2 2 2 2

3 3

1 1 b c a c a b

a b c

a b c

a b c

 

    

 

  (1) Ta có

3 2

2 2

2

ac b c ac b a c b a a c b

     

 

  2 3 3 3

1 1 ac b a c

1 a b c a b c

a b c

a b c

 

         

  (điều phải chứng minh)

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1: Cho cấp số nhân un Tìm u1 q, biết rằng:

1)

 

2 i

35

u u u

2 u u 25 u i 1, ,

            

2)

1

u u u 65 u u 325

         

3)

3

u u u 42

u u 20

          

4)u1u6 165; u3u4 60 5)

1

2 2

1

u u u u 15

u u u u 85

            

6)

4

u u u 13 u u u 351

          

7)

3 3

8u 5u

u u 189

        

8) 3

u u u 1728 u u u 63

        

9)

2

u u

u u

        

10)

2 2

1

u u u

u u u 21

           LỜI GIẢI 1)  

2 i

35

u u u

2 u u 25 u i 1, , ,

                

1 1

4 1

35 u q u q u q

2 u u q 25

         

   2 2

1 1

5

2 u q u q u

q

      thay vào (1) được:

 3  2 2

5 35

q q q q q 79 2q 5q q

2

q              

1 q

2



Vớiq u1

4

   Vớiq u1 20

2

2)

u u u 65 u u 325

    



  



   

   

2

2

1

1 1

6

1 1

u q q 65 u u q u q 65

u u q 325 u q 325

   

   

 

 

   

 

 

Lấy:  

 

  

 

 

2

6 3

6

2 4

1 q q q

2 q 325

5 vi 1+q q 65

1 q q q q

  



     

   

2

1 q q q

       

Vớiq u1 652 4

1 2

   

  Với    2

65

q u

1 2

    

   

3)    

   

2

3

1

2 1

2

3 1

u q q q 42 u u u 42 u q u q u q 42

u u 20 u q u q 20 u q q 20

    



        

  

 

  

   

   

  

Lấy:  

   

2

2

2

1 q q 21

10 10q 10q 21q 21q 10

2 q q

 

        



4 2

2 21 10

10q 21q 10q 21q 10 10q 21q 10 10

q q

           

 

2

1

10 q 21 10

q q

   

        

 

 

Đặt:

2

2 2

2

1 1

t q t q q t

q q q

 

         

 

Điều kiện t 2

  10 t 2 21t 10 0 10t2 21t 10 0 t= t

2

              (loại)

Với 5

t q 2q 5q q q

2 q 2

               

 Nếu q u1 220 4 220 4 64

2 q q 1 1

2

     

    

          

 Nếu q u1 220 4 220 4

q q 2

     

 

        5 1

2

1 1

u q 165 u u q 165

u q u q 60 u q q 60

                 

Lấy  

   

  

 

2

2

1 q q q q q

1 q 11 11

4

2 q q q q

    



   

 

 4

4 q q q q 11q 4q 4q 7q 4q

           

 

4

2

2 2 2

4q 4q 7q 4q 1

0 q q

q

q q q q q q

                       Đặt:

2 2

2

1 1

t q t q q t

q q q

 

         

  Điều kiện:

t 2

  4 t 2 4t 7 0 4t2 4t 15 0 t

2

            t

2

   (loại)

Với t q 2q2 5q 2 0 q 2 q =1

2 q 2

          

 vớiq u1 1655 21655

1 q

    

   với

1 165 165

q u 160

2 q 1

1             

5)

2 2

1

u u u u 15

u u u u 85

            

1 1

2 2

1 1

u u q u q u q 15 u u q u q u q 85

                 

2

1

u q q q 15 u q q q 85

                     

2

1

2

1

u q q q 15

u q q q 85

             

Lấy 

 

 32

2

1 q q q

1 45

17

2 q q q

                2

2

1 q q q 45 17 q q q

                   2

1 q q 45

17

1 q q

   

 

 

  

 2 2

4

1 q q 45

17 q

 

 



 2 2

4

1 2q q q 45 17 q

  

 



 4  4 17 q 2q 2q q q 45 q

4

4

2 2 2

28q 34q 34q 34q 28

28q 34q 34q 34q 28 0

q q q q q

            (vì dễ dàng thấy q 0 )

 

2

2

34 1

28q 34q 34 28 14 q 17 q 17

q q q

   

              

 

 

Đặt

2

2 2

2

1 1

t q t q q t

q q q

 

         

 

Điều kiện: t 2

  14 t 2 17t 17 0 14t2 17t 45 0

          t

2

   t

  (loại)

Với t q 2q2 5q 2 0 q 2 q = 1

2 q 2

          

 vớiq2u1 1  vớiq u1 152 3

2 q q q

   

  

6)    

   

2

1

3

4 1

u q q 13 u u u 13

u u u 351 u q q q 351

    

   

 



 

  

    

 

Lấy  

 

3

1

13 13

q 27 q u

1 q q



       

 

  

7)  

3 3

8u 5u

u u 189

  

 

 

 

 

 

4

1

3

3

1

8u q 5u q

u u q 189

  

  

 

 

 

3 3

3

1

8 2

8 5q q q

5 5

189

u q 189 u 125 u

1 q

  

       

  

  

      

 



8)  

1

u u u 1728 u u u 63

 

 

   



   

   

3 3

1

1 1

2

2

1

1 1

u q 12 u q 12

u u q.u q 1728

u q q 63 u u q u q u q q 63

  

  

  

  

  

     

  

  

 

1 1

1

2

12

u 12 q 4 u 3

u q

q 1

12 1 q q 63 q u 48

12q 51q 12

q



     

 

  

  

  

        

 



9)

2

u u

u u

   



  



   

   

   

2

2 2

1

4

2

u q u q

u q u q



     

 

 

    

 

 

Lấy  

 

 22

4

1 q 9

5 q

 

 

  Đặt:

2

tq , t0

 2  2 2

5 t t 4t 10t t t =

          

Vớit2q 

1

3

q u

1 q

    



3

q u

1 q

     



Vớit q

2

   

1

2

q u

2 q

    



2

q u

2 q

     



10)

2 2

1

u u u

u u u 21

    



  



    

2

1 1

2

2

1 1

u u q u q

u u q u q 21

   

  

  

 

 

 

   

   

2

2 2

1

2 2

1

u q q u q q 49

u q q 21 u q q 21



       

 

 

      

 

 

Lấy  

  

  được:

 

   

2

2 4

2

1 q q 49

21 q q 2q 2q 2q 49 q q 21

1 q q

 

         

 

 4  4

21 2q 3q 2q q 49 q q 28q 42q 14q 42q 28

4

2

2 2 2

28q 42q 14q 42q 28 42 28

0 28q 42q 14

q

q q q q q q

           

 

2

1

28 q 42 q 14

q q

   

       

 

 

Đặt:

2

2 2

2

1 1

t q t q q t

q q q

 

         

 

Điều kiện:t 2

 2 28 t 2 42t 14 0 28t2 42t 70 0 t

2

              t 1(loại)

Vớit q 2q2 5q 2 0 q 2 q = 1

2 q 2

          

 q u1 2 1 q q

   

  

1

q u

2 q q

   

 

Câu 2: Tìm a, b biết rằng: 1, a, b số hạng liên tiếp cấp số cộng 1,a , b2 2 số

hạng liên tiếp cấp số nhân

LỜI GIẢI

Theo đề ta có hệ phương trình: b2 42a

b a

    

  

b 22a 1 

b a

     

   

Với b a 2 thay vào (1) 1 a 22aa22a 0  a 1 b 1

Với b a2 thay vào (1) 1 a 2aa22a 0  a  1 2a  1 2

 2

a  1 2b   1 b  3 2



 2

a  1 b   1 b  3 2



Kết luận a a a

b b 3 2 b 3 2

 

         

 

  

      

  

thỏa yêu cầu đề

Theo đề ta có: n n

S 728 u 486

   

  

 n

1 n

1

1

n n

1

u q

u u q 728(1 q) 728

u 486q 728(1 q) u q

u q 486q u q  486

 



     

        

 

 

 

1.123: Cho số tạo thành cấp số cộng có tổng 21.Nếu thêm 2, 3, vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành cấp số nhân Tìm số

LỜI GIẢI

Gọi u , u , u1 2 3 thành lập cấp số cộng

Theo đề bài:u12; u23; u39 ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân

Theo đề bài:

    

1

1

2

1

u u u 21 u u 2u

u u u

    



  



   



     

2

1

2

1

3u 21 u u 2u

u u u

   

   

   

 

    

2

1

3

u u 14 u

14 u u 100

  

  

     



Giải  :16 u 3u39100  u327u3440 u3 11 u 3  4 Vớiu3 11u13 Vớiu3  4 u1 18

2.123: Cho số dương có tổng 65 lập thành cấp số nhân tăng, bớt đơn vị số hạng thứ 19 đơn vị số hạng thứ ba ta cấp số cộng Tìm số

LỜI GIẢI

Gọi u , u , u1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân

Ta có:

1

u u u 65 u u 19 2u

    



    



1

1

u u u 65 u 2u u 20

    

 

  

 

2

1 1

2

1 1

u u q u q 65 u 2u q u q 20

   

  

  

 

   

   

2

2

u q q 65 u 2q q 20

   

  

  

 

Lấy  

 

2

1 q q 65 13 20 2q q

 

  

     

2

4 q q 13 2q q

     

2

9q 30q

    q q

   

Vì u , u , u1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn q3u1 5

Vậyu1 5; u215; u3 45

7.124: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x4 y 3.

 Tìm x, y

LỜI GIẢI

Ta có:x.y y

x

  

Thay vàox4 y 3 x4 3

x

   x5  3 34 x5  3 x 3

9

y 3

3

   Kết luận x

y 3

   

  

Cho tổng

n

A 11 111     111 1 Chứng minh  

n

10 n 1

A

81

   



LỜI GIẢI

Ta có 

n n

A 1 11 111   111 19A9 99 999    99

10 1 102 1 103 1 10n 1

         

 n

n

10 10 10 10 1 1

           

 n n 1

10 10 10 9n 10 n

1 10



  

  



Vậy  

n

10 n 1

A

81

   



Tính tổng

n

B 77 777     777 7

n

B 77 777     777 7

n

B 11 111 111 1

        

 

n

B

1 11 111 111

      



n

9B

9 99 999 99

      

       n 

9B

10 10 10 10

7

          

 n

n

9B

10 10 10 10 1

7

 

            



 n 10 10 9B

n 10



  



n

9B 10 9n 10

7



 

 

 n  10 9n 10 B

81



   

Cho cấp số nhân có số hạng đầu u10 q0,q 1 Gọi Sn tổng n số hạng đầu

tiên Chứng minh:    2

n 3n 2n 2n n

S S S  S S

       

n 3n 2n

1 1

n 3n 2n

u q u q u q VT S S S

1 q q q

 

  

 

   

 

  

 

           

 

n n

2

1

n 2n 3n n n n

1

2

u q q

u u

1 q q q q q q

1 q

1 q q

  

 

           

  

   

(1)

          

2 2

2n n

2 1 n n n

2n n

u q u q u

VP S S q q q

1 q q q

     

 

 

         

 

  

   

 

 

2

n n

1

u

q q q

 

  



  (2)

Kết luận từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Cho ba số dương a, b, c lập thành CSN Chứng minh:

   

1

a b c , ab bc ca , abc

3     lập thành CSN

LỜI GIẢI

Ta có ac b2

 (tính chất CSN)

Ta phải chứng minh:    

2

1

a b c abc ab bc ca

3

 

     

 

 

 3      

1 1

a b c b ab bc ca a b c b ab bc ca

3 3

           

       

1 1

ab b cb ab bc ca ab ac cb ab bc ca

3 3

            (đpcm)

Cho CSN (u )n số nguyên dương m, k m k

Chứng minh rằng:

k m k m k

u  u  u

LỜI GIẢI

Có k m k m 2k  k 12

k m k m 1 1 k

u u u q  .u q   u q  u q  u

Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh rằng:

2 2 2

(a b )(b c ) (ab bc) 

LỜI GIẢI Cho số a, b, c số hạng liên tiếp cấp số nhân

 Gọi q công bội cấp số nhân ta có b aq, c aq2

 (a2b )(b2 2c ) (a2  2a q )(a q2 2 2a q ) a q (1 q )2   2 (1)  (ab bc) (a.aq aq.aq ) 2a q (1 q )4  2 (2)  Từ (1) (2) ta suy (a2b )(b2 2c ) (ab bc)2   2

Cho a, b, c CSC thỏa a b c

4



   Chứng minh tan a, tan b, tan c theo thứ tự lập thành

CSN

LỜI GIẢI

Ta có a c 2b tính chất CSC Có a b c

4



   3b b

4

 

    Suy a c

2

  

Ta có tan a.tan c tan a.tan a tan a.cot a 1 tan2 tan b2

2

   

      

 

Vậy tan a.tan ctan b2 tan a, tan b, tan c theo thứ tự lập thành CSN

Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết:

a)

5

u u 72 u u 144

   



  



b)

1

u u u 65 u u 325

    



  



c)

2

u u 90 u u 240

   



  



d)

1

u u u 14 u u u 64

    



 



e)

1

1

u u u 21

1 1

u u u 12

    



  

 

f)

2 2

1

u u u u 30

u u u u 340

     



   

 

LỜI GIẢI

a)  

 

2

1

4 1

4 2

5 1

u q q 72 (1) u u 72 u q u q 72

u u 144 u q u q 144 u q q 144 (2)

  



    

  

 

  

   

   

Lấy (2):(1) được: q 2 , thay q 2 vào (1) u1 12

c)  

 

2

2

1

3 1

5

2 1

u q q 90 (1) u u 90 u q u q 90

u u 240 u q u q 240 u q q 240 (2)

  



    

  

 

  

   

   

  

Lấy  

 

    

4 2 2

1

2 2

1

u q q q q 1 q

(2) 240 8

(1) u q q 90 q q q

   

     

 

2

3q 8q q q

3

        

Với q

3

 thay vào (1) u1 729

Với q 3 thay vào (1) đượcu1 1

d)  

 

2

1

1 1

3

1 1 1

u q q 14 (1) u u u 14 u u q u q 14

u u u 64 u u qu q 64 u q 64 (2)

   



      

  

 

  

 

  

  

1

4 (2) u q u

q

    , thay vào (1) 41 q q2 14

q   

2

2q 5q q q

       

Với q2u1 2 Với

1

q u

2

  

e)

 2

2

1

1 1

2

2 2

1 1 1

u q q 21 (1) u u u 21 u u q u q 21

1 1 1 q q

(2)

u u u 12 u u q u q 12 u q 12

   



      



  

 

          



  

  

2

21 (1) q q

u

    , thay vào (2):  2

1

2 1

21

u q 36 u q

u u q 12    

Với

6 u

q

 thay vào (1): 61 q q2 21 2q2 5q q q

q           2

Nếu q2u13 Nếu q u1 12

2

Với

6 u

q

  thay vào (1): 61 q q2 21 2q2 9q 2 0 q 65 q 65

q 4

   

           

Nếu

9 65 27 65

q u

4

  

   Nếu

9 65 27 65

q u

4

  

  

f)

2

1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

u u u u 30 u u q u q u q 30 u u u u 340 u u q u q u q 340



        

 



 

       

 

 

 

 

2

2

1

u q q q 30 u q q q 340

    

  

   

 

  

  

2

2

1

u q q 30 u q q 340

   

  

  

 

   

  

2

2

1

2

1

u q q 900 (1) u q q 340 (2)

   

  

  

 

Lấy    

2 2

4

1 q q

(1) 45

(2) q 17

 

 

 , quy đồng rút gọn được:

4

14q 17q 17q 17q 14 0 

2

2 17 14

14q 17q 17

q q

     

2

1

14 q 17 q 17

q q

   

       

 

 

Đặt t q

q

  , điều kiện t 2

2

14t 17t 45 t t

2

         (loại)

Với 5

t q 2q 5q q q

2 q 2

           

Với q2u1 2 Với

1

q u 16

2

  

a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân Tìm số

b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân

LỜI GIẢI

Ta có 1

6

u 160 u 160

u 160

1

u u q q

2

   

 

  

 

  

  

 

  



Vậy số hạng cần thêm vào u2 u q1 80, u3 u q2 40, u4 u q3 20, u5 u q 104 

b) Có nghĩa ta cấp số nhân có sáu số hạng với số hạng đầu 243 số hạng cuối

Ta có 1

5

6

u 243 u 243

u 243

1

u u q q

2

   

 

  

 

  

  

 

  

Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216

LỜI GIẢI

Gọi ba số hạng liên tiếp cấp số nhân u , u , u1 2 3 với công bội q Theo đề ta có

hệ phương trình:

 

 2

2 1

1 1

1

3 3

1 1 1 1

u q q 19 ( ) u u q u q 19

u u u 19

6

u u u 216 u q 6 u q 6 u

q

    

    

   

  

 

  



    

  

 

Thay u1

q

 vào ( ) được: 6q2 13q 6 0 q

2

     q



Với q u1 4, u2 6, u3

    

Với q u1 9, u2 6, u3

    

b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889

LỜI GIẢI

Theo đề ta có

 n 

1 n

n 1

n

n n 1

1

u q

S 889 889 u q u 889(q 1) (1) q

u 448 u q 448q (2) u q  448

 

 

     

 

 

   

 

 

  

 

Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560

LỜI GIẢI

Theo đề ta có hệ phương trình: 1

2

3 1

u u q 35 u (1 q) 35 (1) u u 35

u u 560 u q u q 560 u q (1 q) 560 (2)

     

  

  

 

  

     

  

  

Thay (1) vào (2) ta q2 16 q 4

   

Với q 4 thay vào (1) u1 35

3

  ,u2 u q1 140

   , u3 560

3

  , u3 2240

3

 

Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, cịn sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân

Tìm số dương a b cho a, a + 2b, 2a + b lập thành cấp số cộng (b + 1)2,

ab + 5, (a + 1)2 lập thành cấp số nhân

LỜI GIẢI

Theo tính chất CSC ta có: a (2a b)  2(a 2b) (1)

Theo tính chất CSN ta có: (b 1) (a 1)  (ab 5) 2 (2)

Từ (1) khai triển rút gọn ta được: a3b, thay vào (2):

2 2 2

(b 1) (3b 1)  (3b 5) (b 1)(3b 1)   (3b 5)

Với b 3b 1   3b25b 1 a3

Với b 3b 1    3b256b24b 6 0 (vô nghiệm)