(Trường hợp đặc biệt: hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông thì cạnh đó chính là đường kính của đường tròn).. Độ dài đường tròn, cung tròn.[r]
(1)đề cơng ơn tập học kì toán A Phần Đại số
I kiÕn thøc
1 Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn
- Giải hệ PP thế: nắm vững quy tắc thế
Ví dụ: Giải hệ
5 3 8 2 4 y x y x
- Giải hệ PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số
VÝ dơ: Gi¶i hƯ
4 1 1 24 1 538 428 538 24 x y yx y yx yx yx yx
- Giải hệ PP đặt ẩn phụ
VÝ dơ: Gi¶i hƯ
1 2 x y x y
(*) HD: Đặt
1 1 2 1 y v x u
(*) 3 5
2 3
u v u v u u
u v u v u v v
1
2
2
1 1 1
1 x x x y y y 2 Giải toán cách lập hệ PT
- Toán tìm số
Vớ d 1: Cho mt số có hai chữ số biết tổng hai chữ số 14 Nếu viết theo thứ tự ngợc lại đợc số lớn số ban đầu 18 Tìm số
Giải: Gọi số cần tìm xy Chữ số hàng chục x, chữ số hàng đơn vị y ĐK: x y, 1;2;3 9
Tỉng hai ch÷ sè cđa nã b»ng 14, ta cã PT x y 14 1
Số ban đầu: xy10x y Số viết theo thứ tự ngợc lại: yx10y x
Số viết theo thứ tự ngợc lại lớn số ban đầu 18 nªn ta cã PT: (10y x ) (10 x y ) 18
Hay 9x9y18 x y 2 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT 14 x y x y
Giải hệ ta đợc 6( ) x TMDK y Vậy số cần tìm 68
VÝ dơ 2: Giải toán sau cách lập hệ phơng trình:
(2)mẹ bạn Linh mua trứng gà trứng vịt hết 22000 đồng Hỏi số tiền mua trứng gà trứng vịt trớc tăng giá bao nhiêu?
Giải: Gọi x (đồng) số tiền mua trứng gà, y (đồng) số tiền mua trứng vịt trớc tăng giá ĐK: x > 0, y >
Trớc tăng giá: x + y = 5000
Sau tăng giá: 3(x+1000) + 4(y+500) = 22000 Hay 3x + 4y = 17000
Theo ta có hệ phơng trình
17000 4 3 5000 y x y x
Giải hệ ta đợc
2000 3000 y x
Vậy số tiền mua trứng gà trớc tăng giá 3000 đồng, số tiền mua trứng vịt trớc tăng giá 2000 đồng
- Tốn chuyển động
Ví dụ 1: Hai địa điểm A B cách 350km Xe máy ôtô khởi hành lúc chạy ngợc chiều sau hai xe gặp Nếu hai xe chạy chiều từ A đến B xe máy khởi hành trớc ôtô sau kể từ lúc ơtơ xuất phát, hai xe gặp Tính vận tốc xe.
Giải: Gọi vận tốc xe máy x (km/h), vận tốc ôtô y (km/h) ĐK: x, y >
Xe máy ôtô khởi hành lúc chạy ngợc chiều sau hai xe gặp nên ta có PT: 5x + 5y = 350 hay x + y = 70 (1)
Nếu hai xe chạy chiều từ A đến B xe máy khởi hành trớc ôtô sau kể từ lúc ơtơ xuất phát (nghĩa xe máy đợc giờ), hai xe gặp nên ta có PT
4x = 3y hay 4x – 3y = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT 70
4
x y x y
Giải hệ ta đợc 30 40 x y (TMĐK) Vậy vận tốc xe máy 30km/h, vận tốc ôtô 40km/h
VÝ dô 2: Hai vòi nớc chảy vào bể sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy trong 10 phút vòi thứ hai 12 phút đầy 2
5 bể Hỏi vòi chảy phải bao lâu đầy bể.
HD: Gọi thời gian chảy đầy bể vòi I, II lần lợt x, y (x, y > 80)
Ta cã hƯ:
80 80
x y
10 12
x y 15
Giải hệ ta đợc: x 120 y 240 (TMĐK)
Đáp số: Thời gian để vòi chảy đầy bể 120 phút (2 giờ), thời gian để vịi chảy đầy bể l 240 phỳt (4 gi),
- Toán suất, làm chung -làm riêng
Vớ d: Hai th xõy xây đoạn hàng rào bốn ngày xong Nếu ngời thứ xây chín ngày ngời thứ hai đến xây ngày xong việc Hỏi ngời làm xong việc.
Giải : Gọi x (h) thời gian để ngời thứ làm xong việc, y (h) thời gian để ngời thứ hai làm xong việc ĐK: x > 4, y >
Hai ngời làm chung xong nên ta cã PT 1 xy (1)
Ngời thứ làm ngày ngời thứ hai đến làm ngày xong việc nên ta có PT 1
xxy hay 10
1 x y (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ
1 1
4 10 1 x y x y
(*) Đặt 1 u x v y (*) 10 u v u v Gi¶i hƯ: 1 12 4
10 10
6 u
u v u
u v u v v
(3)Vậy làm ngời thứ làm xong công việc 12 giờ, ngêi thø hai lµm xong viƯc giê
3 Hµm sè y = ax2 (a0)
- TÝnh chÊt cđa hµm sè y = ax2 (a0)
- Tính chất đồ thị hàm số y = ax2 (a0)
- Vẽ đồ thị số y = ax2 (a0)
Ví dụ: Đồ thị hàm số y = -1 2x
2
LËp b¶ng
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = -1 2x
2 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
4 Phơng trình bËc hai mét Èn
- Dạng tổng quát, dạng khuyết PT, xác định hệ số a, b, c PT - Giải PT dạng ax2+ bx = 0; PT dạng ax2 + b = 0
5 Công thức nghiệm tổng quát công thức nghiÖm thu gän
Cho PT bËc hai ax2 + bx + c = (1) (a 0)
Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn
Đặt (Delta) = b2 4ac
+ NÕu > 0, PT (1) cã hai nghiÖm p.b : x1 =
2 b
a
; x =
2 b
a + NÕu = 0, PT (1) cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 =
2 b a
+NÕu < 0, PT (1) v« nghiƯm
Đặt b = 2b ' = b2 – ac.
*NÕu ' > 0, PT (1) cã hai nghiÖm p.b: x1 = b' '
a
; x
2= b' ' a *NÕu ' = 0, PT (1) cã nghiÖm kÐp : x1 = x2 =
' b a
*NÕu ' < phơng trình vô nghiệm
6 Hệ thức Vi-et øng dông
a NÕu PT bËc hai ax2 + bx + c = (a 0) cã hai nghiệm x
1 x2
a c x x
a b x x
2
2
.
NhÈm nghiÖm PT bËc hai theo hƯ thøc Vi-et
VÝ dơ: Cho PT x2 - 7x + 10 = cã hai nghiÖm
10 .
7
2
x x
x x
nªn x1 = 5; x2=
b Cho PT ax2 + bx + c = (a 0)
(4)+ NÕu a - b + c = th× PT cã hai nghiƯm: x1 = -1; x2 = -c a
VÝ dô: PT 2x2 - 7x + = cã + (-7) + = nªn cã x
1 = 1; x2 =
2 PT x2 - 3x - = cã - (-3) - = nªn cã x
1 = -1; x2 =
c Tìm hai số biết tổng tích
Nếu hai số u v cần tìm có tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P (víi S2 - 4P 0)
chúng nghiệm PT: x2 - Sx + P =
VÝ dơ: T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = -8 vµ tích u.v = 15 Giải: Hai số u v lµ nghiƯm cđa PT: x2 - (-8)x + 15 =
hay x2 + 8x + 15 = Gi¶i ta cã x
1 = -3, x2 = -5 Nªn u = -3, v = -5 7 Gi¶i PT quy vỊ PT bËc hai
a PT trïng ph¬ng ax4 + bx2 + c = (a 0)
PP giải: Đặt x2 = t (t 0) ®a PT vỊ Èn t: at2 + bt + c =
VÝ dơ: Gi¶i pt: x4 - 13x2 + 36 =
Đặt x2 = t (t 0) Ta đợc pt: t2 – 13t + 36 = 0
= (-13)2 – 4.1.36 = 25 nªn
=
t1 = 13
2
= (TM§K); t2 = 13
2
= (TM§K) +) Víi t1 = x2= x = 3
+) Víi t2 = x2 = x = 2
Vậy pt cho có nghiệm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = 8 Giải toỏn bng cỏch lp PT
Nêu bớc giải toán cách lập PT? Các bớc giải toán cách lập phơng trình
B1: Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn B2: Lập phng trỡnh
B3: Giải phơng trình
B4: Kt luận: đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với đk ban đầu rút kết luận
Ví dụ 1: Chuẩn bị cho ơn tập học kì 2, bạn Nga lập kế hoạch làm 70 btập số ngày định Để hoàn thành sớm dự kiến, ngày bạn Nga làm thêm btập so với dự định nên tr-ớc đến hạn ngày bạn làm đợc 60 btập Hỏi theo kế hoạch ngày bạn Nga làm đợc btập
Giải: Gọi số btập bạn Nga làm ngày theo kế hoạch x (đk x > 0) Thời gian để bạn Nga làm xong hết số btập theo kế hoạch
x
70
(ngày) Trên thực tế ngày bạn Nga làm đợc x + (btập)
Nên thời gian để bạn Nga làm xong 60 tập 60
x (ngµy)
Thời gian để bạn Nga làm xong 60 b.tập trớc thời gian đến hạn ngày nên ta có PT
x
70 -
2 60
x = x
2- 3x - 70 =
x1 = -7 (loại); x2 = 10 (TMĐK)
Vậy số btập bạn Nga làm ngày theo kế hoạch 10 Ví dụ 2: (Đề KSCL HK II năm học 10 - 11)
Mt ôtô quảng đờng dài 220km Khi đợc 100km ơtơ tăng vận tốc thêm 10km/h hết quảng đờng cịn lại Tính vận tốc ban đầu ôtô biết thời gian ôtô hết quảng đờng l gi
HD: Gọi vận tốc ban đầu ôtô x (km/h), (x > 0) Thời gian 100km đầu 100
x gi, thi gian hết quảng đờng lại 120
(5)Ta cã PT: 100 120 10
x x Giải ta đợc x = 50 Vậy vận tốc ban đầu ôtô 50 km/h
II Bµi tËp
Bµi 1 : Giải hệ PT sau :
a 4 2 3 2 y x y x Gi¶i: 4)3 2(2 32 42 3 2 x x xy yx yx 2 32 465 32 x xy x xy 1 2 y x
b
6
x y x y HD
5 3
6 11
3 x x y x y y
c 2( ) 3( )
( ) 2( )
x y x y
x y x y
d
1 1
4 1 x y x
HD : Đặt
y v x u 1 1
Bài 2: Một ngời xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An Nếu với vận tốc 45 km /h đến nơi sớm dự định 13phút 20giây Nếu với vận tốc 35km/h đến nơi chậm so với dự định 2/7 h Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An vận tốc dự định ?
HD giải:Thơng thờng tốn giải cách lập hệ PT có hai giả thiết; giả thiết giúp ta lập đợc PT bậc hai ẩn Trong toán chuyển động cần nhớ công thức liên hệ giữa quảng đờng, vận tốc thời gian là: s = v.t; ý đến đơn vị đại lợng (thông thờng s tính km, v km/h cịn t giờ(h); ta cần phải đổi đơn vị cho phù hợp với toán).
Gọi x (km) quảng đờng Chu Lai - Hội An (đk: x > 0) y (km/h) thời gian dự định (đk: y > 0) Chú ý: Đổi 13phút 20giây =
9 3600 20 60 13 h
Các em dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình Điều kiện Quảng đờng Vận tốc Thời gian Quan hệ
Dự định x x/y y
§iỊu kiƯn 1 x 45
45 x 45 x
y (Do đến sớm hơn)
§iỊu kiƯn 2 x 35
35
x
7 35
x
(6)Ta cã hÖ PT : 7 2 35 9 2 45 x y x y
Giải hệ ta đợc : y = ; x = 80 (TMĐK)
Vậy quảng đờng Chu Lai - Hội An 80 km; thời gian dự định
Bài 3: Hai đội công nhân làm chung hồn hành cơng việc đắp đoạn đờng 8h; nếu đội thứ làm h đội thứ hai làm tiếp h xong đợc 4
cơng việc Hỏi đội làm riêng sau hồn thành cơng việc ?
HD gi¶i: GV híng dÉn HS lµm nh sau :
Gọi thời gian đội làm xong việc x(h); thời gian đội làm xong việc y (h) (đk: x, y > )
Mỗi đội làm đợc 1/x (công việc) Mỗi đội làm đợc 1/y (công việc) Mổi hai đội làm đợc 1/8 (cơng việc) Ta có PT:
8 1 y x
Mặt khác đội làm 3h; đội đến làm 4h xong 0,8 (=4/5) cơng việc nên ta có PT:
5 4 4 y x y x x
Ta cã hÖ PT: 5 4 4 7 8 1 1 1 y x y x Đặt y b x a 1 1
Ta cã hƯ míi :
8, 0 4 7 8 1 b a b a
Gi¶i ta cã : a= 1/10; b= 1/40 Suy : x = 10; y = 40 (thoà mÃn toán)
Vậy đội làm sau 10 h xong cơng việc, đội làm sau 40 h xong cơng việc
Bài 4: Sự tơng giao đt y = ax + b đờng cong y = ax2
4.1 Cho hai hàm số y = 2x + và y = 2x2
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này cùng một mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
c) Gọi A và B là giao điểm của hai đồ thị Tính SAOB ?
4.2 Cho parabol y = x2và đờng thẳng y = 2(m-1)x + m2+4 (m tham số) Tìm m để:
a) Đờng thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt b) §êng th¼ng tiÕp xóc víi parabol
c) §êng th¼ng không cắt parabol
Bài 5: Giai phng trinh sau:
a x2 - x - =
b 3x2 + 2x - =
c x2 + x - =
d 3x2 - 4x - =
e 2x2 - x - =
f x2 - 2x - = Bµi 6: Giải phương trình sau:
a -3x2 + 14x – = 0 b -7x2 + 4x = 3 c 9x2 + 6x +1 = 0
d 2x2 – = 0 e 3x2 – 7x =
Bµi 7: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
Bµi 7.1 a 2x2 - 5x + =
b x2 + 7x + =
c 2x2 - 5x + =
d x2 + 4x + =
e x2 - 3x - =
Bµi 7.2
a 23x2 – 9x – 32 = 0
b 4x2 – 11x + = 0
c x2 – 3x – 10 = 0
d x2 + 6x + = 0
e x2 – 5x + = 0
Bài 8: Tìm hai số u v trờng hợp sau:
a u + v = 8; u.v = 15 b u + v = -7; u.v = -18
(7)Bài 9: Giải phơng trình quy phơng trình bậc hai sau Bài 9.1: PT trïng ph¬ng
a x4 – 9x2 + = b x4 - 29x2 + 100 = 0 c x4 - 7x2 - 18 = 0
Bµi 9.2: PT chøa Èn ë mÉu a
2
4
1 ( 1)( 2)
x x
x x x
b ( 2)( 4)
8 2
x x
x x
x x
x
Bµi 9.3: PT tÝch
a 3x3 + 6x2 - 4x = b x3 3x2 2x 6 0
c x3 – 7x2 + = d (4x-5)2 – 6(4x-5) + =
Bài 10: Các toán có liên quan đến tham số m
Bµi 10.1 Cho phơng trình 2( 1)
m x m
x víi m tham số
a. Giải phơng trình với m = -2
b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x1x2 5 Hớng dẫn giải :
a Khi m = PT đợc viết lại 6 4 0
x x ) ( '
PT cã hai nghiÖm ph©n biƯt
5 ;
5
3
1 x
x
b ' ( 1)2 2
m m m
Để PT có hai nghiệm phân biệt th×
2 1 '
m m
c Để phơng trình có hai nghiệm x1 x2
m
Theo hƯ thøc Viet th× 1 2 2(m 1)
a b x
x
Mặt khác để )
2 TMDK ( , ) ( 2
1x m m m m
x
Bµi 10.2 Cho phương trình: 3x2 – 4x + m + = 0
a. Giải phơng trình với m = -
b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 cho
7 1 x x
Híng dÉn gi¶i
a Khi m = - PT đợc viết lại
x
x cã 3+ (-4) + = 0
Nhẩm nghiệm ta đợc
3 ;
1 2 1 x
x
b ' ( 2)2 3( 5) 11
m m
Để PT có hai nghiệm phân biƯt th×
3 11 11 '
m m
c Víi
3 11
m PT cho có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Viet
3 ; 2 m a c x x a b x x
Mặt khác để 2
2 1 2 ) ( 7 1 x x x x x x x x x
x
) 11 TMDK ( 12 ) ( 28 4
7
m m m m m
Bµi 10.3 Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + 2m - = 0 a Giải phơng trình với m =
b Chứng tỏ phơng trình lu«n cã nghiƯm víi mäi m
c Gäi x1 x2 hai nghiệm phơng trình Tìm GTNN cđa biĨu thøc Px12x22
(8)a Khi m = PT đợc viết lại
x
x cã 1+ (-4) + = 0
Nhẩm nghiệm ta đợc x11; x23
b ' ( 1)2 (2 3) 4 ( 2)2
m m m m m víi mäi m
Suy PT cho ln có nghiệm với m c Ta có Px12 x22 (x1x2)2 2x1x2
Theo Vi-et ta cã: P2(m 1)2 2(2m 3)4m2 12m10
2 ) 4 ( ) (
2
2
m m m m m
P
V× P víi mäi m nên giá trị nhỏ P 1 Bµi 10.4 Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m - = 0
a. Giải phơng trình với m =
b. Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt c Gọi x1 x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m để 14
2 2
1 x
x
Bµi 10.5 Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – = 0 a Giải phương trình m =
b Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép, vơ nghiệm c Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
x12 + x22 = 20
x1 - x2 =10
Bµi 10.6 Cho phương trình: (m -1)x2 – 2m2x – 3(m+1) = 0 a Tìm m biết phương tình có nghiệm x = -1
b Khi tìm nghiệm cịn lại của phương trình Bài tập tơng tự
BT1: Cho phng trinh: 5x2 + 2x – 2m – = Giải phương trình m =
2 Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó? BT 2: Cho phương trình: x2 + mx + = 0
1 Tìm m để phương trình có nghiệm?
2 Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại? BT 3: Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x + k – =
1 Giải phương trình k =
2 Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi k BT 4: Cho phương trình: x2 – 2x + m =
Tìm m biết phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại BT 5: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – = 0
1.Giải phương trình m = -
2.Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với mọi m BT 6: Cho phơng trình : x2 + 4mx + 4m - = 0 Giải phơng trình víi m = -2
2 Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x12 x22 4 BT 7: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0
1 Giải phơng trình với m = -3
2 Với giá trị m phơng trình có nghiệm x = - Với giá trị m phơng trình cho vơ nghiệm BT 8: Cho phơng trình : x2 - 2(m - ) x + m + = 0 Giải phơng trình với m = -
2 Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt
BT 9: Biết phơng trình : x2 - 2(m + )x + m2 + 5m - = 0 (víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm x = Tìm nghiệm lại
BT 10: Biết phơng tr×nh : x2 - 2(3m + )x + 2m2 - 2m - = (víi m lµ tham sè) cã mét nghiƯm x = -1 T×m nghiệm lại
BT 11: Cho phng trỡnh: x2 - mx + 2m - = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
(9)BT 12: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m =
Tìm m để phơng trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại BT 13: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = -
b) Khi phơng trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm lại
Bài 11 Giải Bài toán sau cách lËp PT
Bài 11.0 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 5m, diện tích hình chữ nhật 300m2 Tính chiều dài chiu rng.
ĐS: 15m 20m
Bài 11.1 Lớp 9A phân công trồng 120 xanh Lớp dự định chia cho số học sinh,
khi lao đợng có bạn vắng nên bạn có mặt phải trờng thêm mợt xong Tính sớ học sinh lớp 9A?
Híng dÉn: PT
6 120 120
x x
Giải PT ta đợc x = -24 (loại) x = 30 (TMĐK)
Bµi 11.2 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng của chúng là 89 Tìm sớ Híng dÉn: PT x(x+1) – (x+x+1) = 89
ĐS: 10 11
Bài 11.3 Mụt tam giac vng có chu vi 30cm, cạnh huyền 13cm Tính cnh gúc vuụng Hớng dẫn: áp dụng đlí Pitago cho tam giác vuông
ĐS: 5cm, 12cm, 13cm
Bài 11.4 Mợt khu vườn hình chữ nhật có diện tích 54m2, tăng chiều dài 2m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích giảm 10m2 Tính chiều dài và chiều rợng của khu vườn.
Híng dÉn: Bµi dễ, tự làm nhé.
Bài 11.5 Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc Nếu đội thứ làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai làm nớt phần việc cịn lại thì hết tất cả 25 ngày Hỏi đội làm một mình thì xong công việc.
Hớng dẫn : Bài giải cách lập hệ PT lập PT bậc hai đợc Gọi thời gian để đội I làm xong việc x (ngày), 12 < x < 50.
Đội I làm hết công việc x/2 ngày, đội II làm hết cơng việc 25 - x/2 ngày => công việc 2(50-x/2)
Mỗi ngày đội I làm đợc
x
1
cơng việc cịn đội II làm đợc
) 25 (
1
x
c«ng viƯc
Vì hai đội làm 12 ngày xong việc nên ngày hai đội làm đợc 1/12 công việc Ta có pt:
x
1 +
) 25 (
1
x
= 12
12 50
1
x
x 50 60
) 50 ( 12 ) 50 ( 12 :
2
x x
x x x x ra
Suy
Gi¶i ta cã: x = 20, x = 30 (TMĐK)
Bài 11.6: Khoang cach gia hai bến sông A và B là 30km Một ca nô từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút bến B rồi quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến tới bến A hết tất cả Tìm vận tốc của ca nơ lúc nước n lặng, biết vận tớc dịng nước là 3km/h
LËp PT:
3 30 30
x
x Giải đợc vận tốc v = 12 km/h
(10)+ ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường trịn
+ TC: Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung
Số đo cung lớn 3600 trừ số đo cung nhỏ
(có chung hai điểm mút)
O O'
O O'
1 §êng kính vuông góc với dây
2 Tip tuyn đờng tròn
x
O A
I
O A
B
C
Ax tiếp tuyến AxOA A Các t/c hai tiếp tuyến cắt AB AC hai tiÕp tuyÕn cña (O) + AB = AC
+ OAB = OAC + AOB = AOC
+ OA đờng trung trực BC
3 Vị trí tơng đối hai đờng tròn
Cho hai đờng tròn (O; R) (O’; R’) a Hai đtròn cắt
b Hai đtròn tiếp xúc
c Hai đtròn không giao
4 Góc tâm
5 Góc nội tiếp:
+ ĐN: Là góc có đỉnh nằm đ.trịn và hai cạnh chứa hai dây cung của đ.trịn
+ TC: Trong mợt đ.trịn, sớ đo của góc nợi tiếp nửa số đo của cung bị chắn
2 sdBC BAC
OI CD IC = ID
CD không qua tâm (CD không đờng kính) IC = ID OI CD
I
I
O A O A
C
D
C
D
O O' A
+ OO’ ®i qua A
+ Tiếp xúc trong: OO’ = R – R’ + Tiếp xúc ngoài: OO’ = R + R’ + OO’ đờng trung trực AB + R – R’ < OO’ < R + R’
A
O O'
B A
O O'
B A
O O'
(11)x
O A
B
+ Hệ quả: Trong mợt đường trịn
- Các góc nợi tiếp chắn các cung - Các góc nợi tiếp cùng chắn một cung
hoặc hai cung thì - Các góc nợi tiếp khơng quá 900 có sớ đo
nửa sớ đo của góc tâm cùng chắn mợt cung - Góc nợi tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng
6 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung:
+ TC: Số đo của góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung
nửa số đo của cung bị chắn
2 sdAB BAx
+ Hệ quả: Trong mợt đường trịn,
góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung và góc nợi tiếp cùng chắn một cung thì
7 Góc có đỉnh ngồi đường trịn:
+ Sớ đo của góc có đỉnh bên đ.trịn nửa tổng sớ đo của hai cung bị chắn
+ S o c a góc có ố đ ủ đỉnh bên ngo i tròn b ng n a hi u s o c a hai cung bở à đ ằ ử ệ ố đ ủ ị ch n.ắ
2 sdAC sdBD
BED
2
sdAB sdCD
BED
8 Tứ giác nội tiếp
+ Định nghĩa: Mợt tứ giác có bớn đỉnh nằm mợt đ.trịn thì gọi là tứ giác nợi tiếp đường
trịn (đường trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác).
Tứ giác ABCD nội tiếp (O)
A + C =1800 (B + D =1800)
+ Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối diện 1800.
+ Định lý đảo: Nếu mợt tứ giác có tổng sớ đo hai góc đới diện 1800 thì tứ giác nợi tiếp
được mợt đường trịn
+ Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp:
- Cách1: Chứng minh điểm A, B, C, D cách mợt điểm O nào OA = OB = OC = OD
- Cách 2: * Chứng minh tổng hai góc đới diện của tứ giác 1800
ˆ ˆ 1800 C
A hoặc ˆ ˆ 1800
D
B
* Chứng minh góc góc ngoài của đỉnh đới diện
- Cách 3: Chứng minh đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn mợt cạnh hai góc
O C
A
(12)(Trường hợp đặc biệt: hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc vng cạnh đó đường kính đường trịn).
9 Độ dài đường trịn, cung trịn Diện tích hình trịn, hình quạt trịn
a) Cơng thức tính độ dài đường trịn: C = 2R (R: bán kính đường trịn) Cơng thức tính diện tích hình trịn: S = R2
b) Cơng thức tính độ dài cung trịn n0 :
180 n R
l (R: bán kính đường trịn) Cơng thức tính diện tích quạt tròn n0:
2 360
Rn lR Sq c) Công thức tính diện tích hình viên phân: SVP= Squat - S
10 Hình khơng gian
a) Hình trụ:
+ Diện tích: Sxq= 2rh; Stp = Sxq + Sđ = 2rh + 2r2
+ Thể tích hình trụ : V = Sđ.h = r2h
(Trong đó: r bán kính đáy; h chiều cao hình trụ; Sđ diện tích đáy)
b) Hình nón:
+ Diện tích: Sxq = rl Stp = Sxq + Sd = rl + r2
+ Thể tích hình nón : V =
Sđ.h =
3
r2h
(Trong đó: r bán kính đáy; h chiều cao hình nón; l độ dài đường sinh)
c) Hình cầu:
+ Diện tích mặt cầu: S = d2 = 4R2 + Thể tích hình cầu : V =
3
R
(Trong đó: R bán kính; d đường kính hình cầu) 11 Một số cơng thức liên quan đến tam giác đường tròn.
a) Bán kính đường trịn nợi tiếp và ngoại tiếp tam giác cạnh a + Đường cao của tam giác h
3
a
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a + Bán kính đường trịn nợi tiếp: r =
3
a
b) Độ dài cạnh của các đa giác nợi tiếp đường trịn (có bán kính R): + Cạnh tam giác đều: a = R
+ Cạnh hình vuông: a = R + Cạnh lục giác đều: a = R
c) Công thức tính diện tích tam giác:
+ Diện tích tam giác : S =(a.h):2( a độ dài cạnh, h chiều cao tương ứng). + Diện tích tam giác vuông: S = a.b (a, b độ dài cạnh góc vng) + Diện tích tam giác : S =
4
2
a (a độ dài cạnh tam giác đều)
II Bµi tËp
Phần tập Trắc nghiệm - củng cố kiến thức
CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN
1.Cho tam giác MNP hai đường cao MH, NK Gọi (O) đường trịn nhận MN làm đường kính Khẳng định sau không đúng ?
(13)C.Bốn điểm M, N, H, K không cìng nằm đường trịn (O) D.Bớn điểm M, N, H, K cùng nằm đường tròn (O)
2 Đường tròn l hình:à
A.khơng có trục đới xứng B.có mợt trục đới xứng C.có hai trục đới xứng D.có vơ số trục đối xứng 3.Khi không xác định đường trịn ?
A.Biết ba điểm khơng thẳng hàng B.Biết một đoạn thẳng là đường kính C.Biết ba điểm thẳng hàng D.Biết tâm và bán kính
4.Cho đường thẳng a điểm O cách a khoảng 2,5 cm Vẽ đường trịn tâm O, đường kính cm. Khi đường thẳng a
A.khơng cắt đường tròn (O) B.tiếp xúc với đường tròn (O)
C.cắt đường tròn (O) D.kết quả khác
5.Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng nằm ở
A.đỉnh góc vng B.trong tam giác C.trung điểm cạnh huyền D.ngoài tam giác 6.Cho ABC vng A có AB = 18; AC = 24 Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác bằng
A 30 B 20 C 15 D 15 2.
7.Cho (O; cm) dây AB = cm Khoảng cách từ tâm O đến AB bằng A 1
2 cm
B 3 cm
C 3
2 cm D
1 3 cm
8.Cho đường tròn (O; 5) Dây cung MN cách tâm O khoảng Khi đó:
A MN = B MN = C MN = D.kết quả khác
9.Nếu hai đường trịn (O); (O’) có bán kính cm cm khoảng cách hai tâm cm hai đường trịn
A.tiếp xúc ngoài B.tiếp xúc
C.khơng có điểm chung D.cắt hai điểm
10.Trong câu sau, câu n o sai ?à
A.Tâm của đường trịn là tâm đới xứng của
B.Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O) và đường thẳng a qua O
C.Đường kính vuông góc với dây cung thì chia dây cung thành hai phần D.Bất kỳ đường kính nào là trục đới xứng của đường trịn
11.Cho ∆ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Phát biểu sau ? Tiếp tuyến với đường tròn A đường thẳng
A.đi qua A và vng góc với AB B.đi qua A và vng góc với AC C.đi qua A và song song với BC D.cả A, B, C sai
12.Cho (O; cm), M điểm cách điểm O khoảng 10 cm Qua M kẻ tiếp tuyến với (O) Khi đó khoảng cách từ M đến tiếp điểm l :à
A cm B cm C 2 34 cm. D 18 cm
13.Cho hình vng MNPQ có cạnh cm Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng đó bằng
A cm B 2 2 cm. C 2 3 cm. D 4 2 cm.
14.Đường trịn l hình cóà
A.vơ sớ tâm đới xứng B.có hai tâm đới xứng C.mợt tâm đới xứng D.khơng có tâm đới xứng
15.Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Trung tuyến AM cắt đường tròn D Trong khẳng định sau khẳng định n o sai ?à
A.ACD = 900 B.AD là đường kính của (O)
C AD BC D CD ≠ BD
16.Cho (O; 25cm) Hai dây MN PQ song song với có độ dài theo thứ tự 40 cm, 48 cm Khi đó:
16.1.Khoảng cách từ tâm O đến dây MN là:
A 15 cm B cm C 20 cm D 24 cm
16.2.Khoảng cách từ tâm O đến dây PQ bằng:
(14)16.3.Khoảng cách hai dây MN và PQ là:
A 22 cm B cm C 22 cm hoặc cm D kết quả khác 17.Cho (O; cm) dây MN Khi khoảng cách từ tâm O đến dây MN có thể l :à
A cm B cm C cm D cm
18.Cho tam giác MNP, O giao điểm đường trung trực tam giác H, I, K theo thứ tự trung điểm cạnh NP, PM, MN Biết OH < OI = OK Khi đó:
A.Điểm O nằm tam giác MNP B.Điểm O nằm cạnh của tam giác MNP C.Điểm O nằm ngoài tam giác MNP D.Cả A, B, C sai
19.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 5) Khi đường tròn (M; 5)
A.cắt hai trục Ox, Oy B.cắt trục Ox và tiếp xúc với trục Oy C.tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy D.không cắt cả hai trục
20.Cho tam giác DEF có DE = 3; DF = 4; EF = Khi đó
A.DE là tiếp tuyến của (F; 3) B.DF là tiếp tuyến của (E; 3) C.DE là tiếp tuyến của (E; 4) D.DF là tiếp tuyến của (F; 4) 21.Hãy nối ý cột A với ý cột B để khẳng định đúng.
Bảng
A B
1.Nếu đường thẳng a và đường tròn (O; R) cắt A.thì d R 2.Nếu đường thẳng a và đường tròn (O; R) tiếp xúc B.thì d < R 3.Nếu đường thẳng a và đường trịn (O; R) khơng giao C.thì d = R D.thì d > R Bảng
A B
1.Tâm của đường trịn nợi tiếp tam giác A.là giao điểm của các đường trung tuyến 2.Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác B.là giao điểm của hai đường phân giác các góc
ngoài B và C 3.Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác
góc A
C.là giao điểm của các đường phân giác của tam giác
4.Tâm của đường trịn bàng tiếp tam giác góc B
D.là giao điểm của đường phân giác góc B và đường phân giác ngoài C
E.là giao điểm các đường trung trực của tam giác Bảng
A B
1.Nếu hai đường tròn ngoài A.thì có hai tiếp tuyến chung 2.Nếu hai đường trịn tiếp xúc ngoài B.thì khơng có tiếp tuyến chung 3.Nếu hai đường trịn cắt C.thì có mợt tiếp tuyến chung 4.Nếu hai đường trịn tiếp xúc D.thì có bớn tiếp tuyến chung 5.Nếu hai đường trịn đựng E.thì có ba tiếp tuyến chung 22 Hãy điền từ (cụm từ) biểu thức vào ô trống cho đúng.
Bảng 1.Xét (O; R) và đường thẳng a, d là khoảng cách từ O đến a
Vị trí tương đối d R
Tiếp xúc cm
4 cm cm
Không giao cm
Bảng 2.Xét (O; R); (O’; r); d = OO’ v R > r.à
Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức
Cắt
d = R + r
Đựng
d = 0
(15)Cho c¸c h×nh vÏ sau:
(h.4) O D
A
B C
(h.3) O A
C
B (h.2)
O M
Q
P N
(h.1) O
C D
B
A
1 Trong hình 1, biết AC đường kính, góc BDC = 600 Số đo góc ACB bằng
A 400. B 450. C 350. D 300.
2 Trong hình 2, góc QMN 600, số đo góc NPQ bằng
A 200. B 250. C 300. D 400.
3 Trong h.3, biết AB đường kính đ.trịn, góc ABC = 600.
khi số đo cung BmC =?
A 300. B 400. C 500. D 600.
4 Trong h.4, biết AC đường kính đ.trịn, góc ACB = 300
Khi số đo góc CDB =?
A 400. B 500. C 600. D 700.
Cho hình vẽ sau:
I
(h.8) O
P M
Q
N x
(h.7) O
B
M A
(h.6) O D
C B A
(h.5) O
M C
D
B A
5 Trên h.5, biết số đo cung AmD = 800, số đo cung BnC = 300 Số đo góc AED =?
A 250. B 500. C 550. D 400.
6 Trong h.6, số đo góc BIA = 600, số đo cung nhỏ AB = 550 Số đo cung nhỏ CD là
A 750. B 650. C 600. D 550.
7 Trên hình 7, có MA, MB tiếp tuyến A B (O) Số đo góc AMB 580 Khi số
đo góc OAB là
A 280. B 290. C 300. D 310.
8.Trên hình 8, số đo góc QMN = 200, số đo góc PNM = 100 Số đo góc x bằng
A 150. B 200. C 250. D 300
Cho hình vẽ sau:
(h.12 (h.11)
(h.10) (h.9)
O A
D
B
C O
B
D C
A
E
F O
M
A C B
O
A
M D
9.Trên hình 9, số đo cung nhỏ AD = 800 Số đo góc MDA bằng
(16)10.Trong hình 10, MA, MB tiếp tuyến (O), BC đường kính, góc BCA = 700 Số đo góc AMB
bằng
A 700. B 600. C 500. D 400.
11 Trong h.11, có góc BAC = 200, góc ACE = 100, góc CED = 150 Số đo góc BFD bằng
A 550. B 450. C 350. D 250.
12.Trong hình 12, có AD//BC, góc BAD = 800, góc ABD = 600 Số đo góc BDC bằng
A 400. B 600. C 450. D 650.
13.Hãy chọn tứ giác nội tếp đường tròn tứ giác sau
j
(D)
80
70 130
D
C
B
A (C)
75 60
D C
B A
(B)
65 65
D C
B A
(A)
60 90
D A
C B
14.Cho hình 14 Trong khẳng định sau, chọn khẳng định sai:
A Bớn điểm MQNC nằm mợt đường trịn
(h.14) M
B C
Q N A
B Bớn điểm ANMB nằm mợt đường trịn
C Đường trịn qua ANB có tâm là trung điểm đoạn AB D Bớn điểm ABMC nằm mợt đường trịn
15.Tứ giác sau không nội tiếp đường tròn ?
(D) (C)
(B) (A)
90
90 55
55 50
130 90
90
16.Tứ giác sau nội tiếp đường tròn ?
A Hình bình hành B Hình thoi C Hình chữ nhật D Hình thang 17.Hãy chọn khẳng định sai Một tứ giác nội tiếp nếu:
A Tứ giác có góc ngoài mợt đỉnh góc của đỉnh đới diện B Tứ giác có tổng hai góc đới diện 1800.
C Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại mợt góc α D Tứ giác có tổng hai góc 1800.
18.Độ dài cung 600 đường trịn có bán kính 2cm l :à
A 13 cm B
3 cm C
3
2 cm D 2 cm 19.Độ dài cung tròn 1200 đường tròn có bán kính cm l :à
A cm B 2 cm C 3 cm D Kết quả khác
20.Nếu chu vi đường tròn tăng thêm 10cm bán kính đường trịn tăng thêm:
A 5
cm B 5
cm C 5 cm D 1
5 cm
21.Nếu bán kính đường trịn tăng thêm 1
cm chu vi đường trịn tăng thêm:
A 1
2cm B cm C 2cm D
1 cm
(17)A 25 cm2. B 25
2
cm2. C 5
2
cm2. D 25
4
cm2.
23.Diện tích hình quạt trịn cung 600 đường trịn có bán kính bằng cm l :à
A 2
3
cm2. B 2
3 cm
2. C
3
cm2. D 3
cm
2.
23.Một cung trịn đường trịn bán kính R có độ dài l (m) Khi diện tích hình quạt trịn ứng với cung đó l :à
A . 4 l R
m2. B .
2 l R
m2. C
2.
4
l R m2.
D 2 l R
m2.
24.Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính R r (R > r) Diện tích phần nằm hai đường trịn – hình vành khăn tính thế n o ?à
A r2 R2 B R2 r2 C R2 r2 D Kết quả khác 25.Cho hình vng cạnh a, vẽ vào phía hình vng cung trịn 900 có tâm
các đỉnh hình vng Hãy cho biết diện tích phần tạo cung trịn đó v hình à vng ?
A 1
2
a
B
2 1
4
a
C
2 1
a D
4
a
CHƯƠNG IV HÌNH KHƠNG GIAN
1 Trong bảng sau, gọi h đường cao, l đường sinh, R bán kính đáy hình nón Hãy nối mỗi ý cột A với ý cột B để khẳng định đúng.
A B
1.Công thức tính thể tích hình nón cụt là
2.Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt là 3.Cơng thức tính thể tích hình nón là
4.Cơng thức tính diện tích toàn phần hình nón là 5.Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón là 6.Cơng thức tính đợ dài đường sinh hình nón là
A) Rl B) Rl R2
C) R2 h2
D) R h2 3 E) R1R l2
D) 12 22 2
1
h R R R R
3
2 Trong bảng sau, gọi R bán kính, d đường kính hình cầu. Hãy viết hệ thức cột B vào vị trí tương ứng phù hợp cột B.
A B
1.Công thức tiính diện tích mặt cầu là
2.Công thức tính thể tích hình cầu là A) 43R3 B) 1 R2
3
C) 4 R2
D) d2
3 Hãy nối ý cột A với ý cột B để khẳng định đúng.
A B
1.Khi quay hình chữ nhật mợt vịng quanh cạnh cớ định của ta
2.Khi quay tam giác mợt vịng quanh mợt cạnh góc vng cớ định của ta
3.Khi quay nửa hình trịn mợt vịng quanh đường kính cớ định của ta
4.Khi quay mợt hình thang vng mợt vịng quanh cạnh bên cớ định
(18)vng góc với hai đáy của ta
4 Gọi R là bán kính của đường tròn đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ Hãy nối mối ý cột A với một A cột B cho
A B
1.Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là 2.Công thức tính diện tích hai đáy của hình trụ là 3.Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ là 4.Công thức tính thể tích hình trụ là
A) R h2
B) 4 R2
C) 2 R2
D) 2 Rh R2
E) 2 Rh Phần tập Tự luận
1) Cho hai đường tròn (O; 4cm); (O’; 3cm), biết OO’ = 7cm Cho biết vị trí tương đối của hai đường trịn
2) Cho đường trịn (O; 13) Biết khoảng cách từ tâm O đến dây AB Tính độ dài dây AB
3) Cho ∆MNP có cạnh 5 3cm.Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
4) Cho hình vng ABCD có cạnh 2cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nợi tiếp của
5) Trên (O), lấy các điểm A, B, C, D liên tiếp cho cung AB = 400, cung BC = 1000 , sđ cung CD
= 1200 Tính sớ đo góc ABD
6) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trịn Biết góc MAB = 700 Tính sớ đo góc AOB.
7) Cho tứ giác ABCD nợi tiếp đường trịn (O) Gọi K là giao điểm của AB và CD Biết sđ cung AD = 1500 , sđ cung BC = 700 Tính số đo góc AKD.
8) Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nợi tiếp đường trịn : Hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi Giải thích vì ?
9) Cho góc nợi tiếp AMB và góc tâm AOB của đường trịn (O) Biết góc AOB = 1200, tính góc
AMB
10) Cho góc nợi tiếp BAC của đường trịn (O) Biết sớ đo cung BAC 2800 Tính sớ đo góc nợi
tiếp BAC
11) Cho hai đường trịn đờng tâm O có bán kính là 3cm và 5cm Tính diện tích hình vành khăn tạo hai đường trịn
12) Diện tích hình tròn thay đổi nào bán kính a) Tăng gấp lần b) Giảm lần 13) Cho ∆ABC có Â = 800 nợi tiếp đường trịn (O; R)
Tính diện tích hình quạt tròn OBC theo R
14) Hình nón có bán kính đáy 6cm và có đường sinh 10cm Tính thể tích hình nón
15) Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Kẻ HM AB ( M AB ), HN AC (N AC) Chứng minh :
a) Tứ giác AMHN nội tiếp b) AM.AB = AN.AC c) AMN ACB d) Tứ giác BMNC nợi tiếp
16) Cho ABC có ba góc nhọn nợi tiếp đường trịn (O), kẻ đường cao BN và CM (NAC, MAB) Chứng minh :
a) Tứ giác BMNC nội tiếp b) AMN ACB c) OA MN
(19)17) Từ mợt điểm A bên ngoài đường trịn (O; 3cm) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) ( B, C (O) )
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn
b) Qua A vẽ cát tuyến AMN Chứng minh AB2 = AM AN
c) Tính diện tích hình trịn và đợ dài đường tròn ngoại tiếp ABC, biết AB = 4cm
18) Cho ABC vuông A ( AB > AC ), đường cao AH Đường tròn đường kính BH cắt AB E, đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh :
a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật b) BH.HC = EF2
c) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn d) Tứ giác BEFC nợi tiếp
19) Cho hai đường trịn (O; 16cm) và (O’; 9cm) tiếp xúc ngoài A Gọi BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( B (O); C(O’) ) Tiếp tuyến A cắt BC M
a)Chứng minh ABC vuông A b) Tính sớ đo góc OMO’ c) Tính đợ dài BC
20)Cho ABC nhọn nợi tiếp đường trịn (O) đường kính AD Các đường cao BE, CF cắt H a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp
b) Chứng minh AE.AC = AF.AB
c) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành
d) Gọi I là giao điểm của AD và EF Chứng minh tứ giác BDIF nội tiếp
21) Cho tam giác nhọn ABC nợi tiếp đường trịn (O) đường kính AD Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC K và cắt đường tròn (O) E
a) Chứng minh DE//BC
b) Chứng minh AB AC = AK.AD
c) Gọi H là trực tâm của ∆ABC Chứng minh tứ giácBHCD là hình bình hành
22) Tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, vẽ đường tròn đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt đường tròn S CMR:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp
b) CA là tia phân giác của góc BCS
c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính MC với cạnh BC là H.CMR đường HM, BA, CD đồng quy
d) Cho biết AC =12cm, AB = 9cm Tính chu vi và diện tích đ.tròn nội tiếp tứ giác ABCD
23)Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp (O) Tiếp tuyến B và C của đường tròn cắt tia AC và AB D và E CMR:
a) BD2 =AD.CD.
b) Tứ giác BCDE nội tiếp c) BC // DE
24) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tâm O BD,CE là các đường cao của tam giác, chúng cắt đường tròn tâm O D’, E’ CMR:
a) Tứ giác BEDC nội tiếp b) DE song song D’E’ c) OA vng góc DE
25)Cho hình vng ABCD, điểm E tḥc BC Qua B kẻ đường vng góc với DE, cắt DE H và cắt DC K
a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính góc CHK
c) CM: KH.KB = KC.KD
26)Cho (O), kẻ hai đường kính AB,CD vng góc với Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác B và D), dây CM cắt AB N, tiếp tuyến của đ.tròn M cắt AB K, cắt CD F a) CMR: Tứ giác ONMD nội tiếp
b) CM: MK2 =KA.KB.
(20)27)Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn P là điểm chính của AB (phần không chứa C và D) Hai dây PC và PD cắt dây AB E, F Các dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC, PD kéo dài cắt K CMR:
a) góc CID = góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK song song AB
d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD
28)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Từ B và C kẻ tiếp tuyến với đ.tròn, chúng cắt D Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ.tròn E, F và cắt AC I
a) CM: góc DOC = góc BAC
b) CM: điểm O, I, C, D nằm mợt đường trịn c) CM: IE =IF