[r]
(1)Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007 Đề II
Câu I: Cho hàm số y xx1
(C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân
Câu II:
1 Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = + tgx
2 Tìm m để hệ phương trình :
1 xy x
0 m y x2
có nghiệm
Câu III: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = đường thẳng
z
3 y
1 x :
d1
d2:x65 4y z 55
1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 (Q) (P)
2 Tìm điểm M d1, N d2 cho MN // (P) cách (P) khoảng Câu IV:
1 Tính
2
0
2cosxdx
x I
2 Giải phương trình: log22xx11x 2x Câu Va (cho chương trình THPT khơng phân ban):
1 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác
2 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0, 1) B(2, –1) đường thẳng: d1: (m – 1)x + (m – 2)y + – m =
d2: (2 – m)x + (m – 1)y + 3m – =
Chứng minh d1 d2 cắt Gọi P = d1 d2 Tìm m cho PAPB lớn Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1 Giải phương trình: 23x1 7.22x7.2x 20
2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM B1C tính d(BM, B1C)
(2)1 Khảo sát hàm số (Bạn đọc tự giải) Ta có
2
1
y ' 0, x
x
Từ đồ thị ta thấy để tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác vng cân ta phải có hệ số góc tiếp tuyến –1 tức là:
x 1 x 1 x 0, x
1
2
2
2
Tại x1 = y1 = phương trình tiếp tuyến y = –x Tại x2 = y2 = phương trình tiếp tuyến y = –x + Câu II:
1 Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = + tgx (1) Đặt: t = tgx 2
t
t x sin
Pt (1) thành
2t
1 t 1 t
1 t
2 2
1 t t (t 1)(1 t )
t hay t t 1 (1 t )2
t1 hay t 0
Do (1) tgx = hay tgx = –1
x = k hay x = 4 + k, k
Cách khác
(1) (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx (hiển nhiên cosx = không nghiệm)
cosx + sinx = hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) =
tgx = -1 hay cos2x = 1 x = 4 + k hay x = k, k
2 Tìm m để hệ sau có nghiệm
(I)
x1xy 0my x2 1xy x
0my x2
Với điều kiện:
1 x
0 xy
(3)(I)
2
y 2x m y 2x m
1 x
xy x y x
x
2
2 x
2x m x m x x
()
( hiển nhiên x = không nghiệm () ) Đặt f (x) x2 2 m x 1
, ( a = )
ycbt tìm m để phương trình () có nghiệm thỏa x af(1) < hay
f (1) 0(vn,do ac 0) c 1 1(VN)hay b 1
a 2a
m < m > Câu III:
1 d1 qua A(1, 3, 0), VTCP a2,3,2 Mặt phẳng (P) có PVT nP 1,2,2
M/phẳng (Q) chứa d1 (P) nên (Q) có PVT nQ a,nP 2,2,1 Vậy (Q) qua A có PVT nQ 2,2,1 nên phương trình (Q):
–2(x – 1) – 2(y – 3) – 1(z – 0) = 2x + 2y + z – = P/trình tham số d1:
x 2t y 3t z 2t
1
M d M 2t,3 3t, 2t P/trình tham số d2:
x 6t ' y 4t ' z 5t '
M d 2 N 6t ', 4t ', 5t '
Vậy MN6t'2t4,4t'3t 3,5t'2t 5
Mặt phẳng (P) có PVT nP 1,2,2 Vì MN // (P) MN.nP 0
1 6t ' 2t 4t ' 3t 5t ' 2t t t '
Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) d(M, P) MN // (P)
2
4
1 t 2 t 3 t
6 12t 6 12t hay 12t t 1hay t
(4)Câu IV: Tính
2
0
2cosxdx
x I
Đặt: u = x2 du = 2xdx ; dv = cosxdx , chọn v = sinx Vậy I =
2
2 2
0
0
x cosxdx x sin x xsin xdx
Ta có
2
2 2
0
x sin x
I1 =
2
xsin xdx
; Đặt u = x du = dx dv = sinxdx, chọn v = cosx I1 =
2
2
0
xsin xdx x cosx cosxdx
= 2
0
x cosx sin x
Vậy : I = 2
x cosxdx
4
Giải phương trình
x
x 22
log x (*)
x
Điều kiện
x x
2 2 x 0
x x
(*)
x
x 22
log x
x x >
log (22 x1) log x 2 2 xx x > (2x 1) + log
2(2x 1) = x + log2x (**)
Xét hàm f(t) = t + log2t đồng biến nghiêm cách t > Do f(u) = f(v) u = v, với u > 0, v >
(5)g'(x) = 2xln2 , g'(x) = x
2
1
2 log e
ln2
x log (log e) 0 2
Ta có g//(x) > với x nên g'(x) hàm tăng R /
2
g (x) 0, x log (log e)
g (x) 0, x log (log e)/ 2 2
g
giảm nghiêm cách ;log (log e)2 2
g tăng nghiêm cách log (log e);2
g(x)
có tối đa nghiệm ;log (log e)2 2 , có tối đa nghiệm trên
log (log e);2
bằng cách thử nghiệm ta có pt g(x) 0 (***) có nghiệm x = x = Vì x > nên (*) x =
Câu Va:
1/ Gọi n = a a a a1 số cần tìm Vì n chẵn a4 chẵn * TH1 : a4 = Ta có cách chọn a4
6 cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a3 Vậy ta có 1.6.5.4 = 120 số n
* TH2: a4 Ta có cách chọn a4 cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a4 Vậy ta có 3.5.5.4 = 300 số n
Tổng cộng hai trường hợp ta có : 120 + 300 = 420 số n Tọa độ giao điểm P d1, d2 nghiệm hệ phương trình
(m 1)x (m 2)y m
(2 m)x (m 1)y 3m
Ta có
2
m m
D 2m 6m m m
2 m m 2
Vì
2
3
D m m
2
nên d1, d2 luôn cắt Ta dễ thấy A(0,1) d1 ; B(2,1) d2 d1 d2
APB vng P P nằm đường trịn đường kính AB Ta có (PA + PB)2 2(PA2 + PB2) = 2AB2 = 2(2 2)2 16
(6)Vậy Max (PA + PB) = P trung điểm cung AB
P nằm đường thẳng y = x – qua trung điểm I (1 ;0) AB IP = P (2 ; ) hay P (0 ;- 1)
Vậy ycbt m = v m = Câu Vb:
1 Giải phương trình : 23x+1 7.22x + 7.2x = 0 2.23x 7.22x + 7.2x = 0 Đặt t = 2x > (1) thành
2t3 7t2 + 7t =0
(t 1)(2t2 5t + 2) = t = hay t = hay t = 1
2
Do pt cho tương đương 2x1hay2x 2 hay 2x 1
2 x = hay x = hay x = 1
2 Chọn hệ trục Oxyz cho
ta có A(0 ;0 ;0); A1(0,0,a); C ( - a ;0 ;0 ) B
a a 3, ,0
2 ;
B1
a a 3, ,a
2 ;M
a 0,0,
2
1
a a a a a
BM , , ;CB , ,a
2 2 2
2
1 a 3a a
BM.CB
4 BM B1C
Ta có B.B 1(0,0,a)
1
1
1
[BM.B C].BB a 30
d(BM,B C)
10 [BM.B C]
-@ -x