Tr−êng hîp nµy hÖ v« nghiÖm.[r]
(1)−−−−−−−−−−−−− đáp án −thang điểm đề thi thức Mơn thi : tốn Khối A
Nội dung điểm
Câu 2®iĨm
1) Khi
2 1 1
1
1
x x
m y x
x x
− + −
= − ⇒ = = − −
− −
+ Tập xác định: R\{ } +
2
2
0
1
' '
2 ( 1) ( 1)
x x x
y y
x
x x
= − +
= − + = = ⇔
=
− −
+ [ ] = ⇒
− =
− −
∞ → ∞
→
1 lim ) ( lim
x x
y
x
x tiệm cận xiên đồ thị là: y=−x =∞⇒
→ y
x 1lim tiệm cận đứng đồ thị l: x=1 Bng bin thiờn:
Đồ thị không cắt trục hoành Đồ thị cắt trục tung ®iÓm (0; 1)
1 ®iÓm
0,25 ®
0,5 ®
0, 25 ®
x − ∞ + ∞
y’ − + + −
+∞ +∞ −3
y CT C§
1 − ∞ − ∞
y
x
O
−3
−1
(2)2)
§å thị hàm số
1
2
+ + =
x m x mx
y cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ d−ơng ⇔ ph−ơng trình f x( )=mx2+ + = có nghiệm d−ơng phân biệt khác x m
2
0
1
(1) 1
0,
m m f m
m
S P
m m
≠
∆ = − >
⇔ = + ≠
= − > = >
0
1
1
2
m m
m m
m
≠ <
⇔ ⇔ − < <
≠ − <
Vậy giá trị m cần tìm là: m − < <
1 ®iĨm
0,25 ®
0,75 ®
C©u 2điểm
1)
Điều kiện
sin
cos (*) tg
x x x
≠
≠
≠ −
Khi ph−ơng trình cho sin (sin cos ) cos
sin
sin cos
1 sin
cos 2
x x x x
x x x
x
x + −
+ − =
− ⇔
cos sin cos (cos sin ) sin (sin cos ) sin
x x x x x x x x x
−
⇔ = − + −
2
(cosx sin )(1 sin cosx x x sin x)
⇔ − − + =
2
cos sin sin cos sin
x x x x x
− =
⇔
− + =
TH1: sin cos tg π π ( )
4
x= x⇔ x= ⇔ = +x k k∈ Z tháa m·n ®iỊu kiƯn (*) TH2: 1 sin cos sin2 1sin sin2 :
2
x x x x x
− + = ⇔ − + = vô nghiệm
Vậy nghiệm phơng trình là: ( )
x= +k k∈Z
2) Gi¶i hƯ
3
1 (1) (2)
x y x y y x
− = −
= +
+ §iỊu kiƯn xy≠
+ Ta cã (1) ( )(1 )
1
x y x y
xy xy
=
⇔ − + = ⇔
= −
TH1: 3 3 2
2 ( 1)( 1)
x y x y x y
y x x x x x x
= = =
⇔ ⇔
= + = + − + − =
1
2
x y x y x y
= =
− +
⇔ = =
− − = =
1 ®iĨm
0, 25 ®
0, 25 ®
0, 25 ® 0, 25 ®
1 ®iĨm
0, 25 ®
0,5 ®
(3)TH2: 3
3 4
1 1
1 (3)
2
2 1 2 (4).
y
xy x y
x
y x x x x
x
= −
= − = −
⇔ ⇔
= +
− = + + + =
Ta chứng minh phơng trình (4) vô nghiệm Cách
2
4 2 1 0,
2 2
+ + = − + + + > ∀
x x x x x
Cách Đặt
3
1
( ) ( ) ( )
4
∈
−
= + + ⇒ ≥ = >
x
f x x x f x f x f
R
Tr−êng hỵp hệ vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phơng trình lµ:
1 5 5
( ; ) (1;1), ; , ;
2 2
x y = − + − + − − − −
0, 25 ®
Câu 3điểm
1)
Cách Đặt AB= Gọi H hình chiếu vuông góc cđa B trªn A’C, suy BH ⊥ a
A’C, mà BD ⊥ (A’AC) ⇒ BD ⊥ A’C, A’C ⊥ (BHD) ⇒ A’C ⊥ DH Vậy góc
phẳng nhị diện [B A C D lµ gãc n, ' , ] BHD
Xét A DC' vuông D có DH ®−êng cao, ta cã DH A C CD A D ' = ' '
'
CD A D DH
A C
⇒ = 2
3
a a a a
= = Tơng tự, A BC' vuông B có BH đờng cao
3
a BH = Mặt khác:
n 2 n
2 2 2 2
2 cos cos
3 3
a a a
a =BD =BH +DH − BH DH BHD= + − BHD, cosn
2
BHD= − ⇒BHDn=120o
C¸ch Ta cã BD ⊥ AC ⇒ BD AC (Định lý ba đờng vuông góc)
T−¬ng tù, BC’⊥ A’C ⇒ (BC’D) ⊥ A’C Gọi H giao điểm A C (' BC D ' ) nBHD góc phẳng [B A C D ; ' ; ]
Các tam giác vuông HAB, HAD, HAC HB = HC’ = HD
1 ®iĨm
0, 25 ®
0, 25 ®
0, 25 ® 0, 25 ® hc 0, 25® 0,25 ®
A A’
B’ C’
D’
D
C B
H
(4)2)
a) Tõ gi¶ thiÕt ta cã
) ; ; ( ) ; ; ( ' 0); ; ;
(a a C a a b M a a b
C ⇒
VËy ( ; ; 0), (0; ; )
b BD= −a a BM = a
JJJG JJJJG
2
, ; ;
2
ab ab
BD BM a
⇒ = −
JJJG JJJJG
( )
' ; 0; , '
2
a b BA = −a b ⇒BD BM BA = − JJJG JJJG JJJJG JJJG
Do
2
' 16 , ' 4
BDA M a b
V = BD BM BAJJJG JJJJG JJJG = b) Mặt phẳng (BDM) có véctơ pháp tuyến 1 , ; ;
2
ab ab
n =BD BM= −a
JJG JJJG JJJJG
, mặt phẳng ( 'A BD có véctơ pháp tuyến ) nJJG2 =JJJG JJJGBD BA, '=( ; ab ab a; 2)
Do
2 2
( ) ( ' ) 0
2
a b a b
BDM ⊥ A BD ⇔n nJJG JJG= ⇔ + −a = ⇔ =a b a
b
⇔ =
2 ®iÓm
0, 25 ®
0, 25 ®
0, 25 ®
0, 25 ®
0, ® 0, ®
C©u 2®iĨm
1)
Ta cã Cnn++14−Cnn+3=7(n+ ⇔3) (Cnn++31+Cnn+3)−Cnn+3=7(n+ 3) ( 2)( 3) 7( 3) 2 7.2! 14 12.
2!
n+ n+ n n n
⇔ = + ⇔ + = = =
Số hạng tổng quát cđa khai triĨn lµ ( )
12
5 60 11
3 2 2
12 12
k k
k
k k
C x x C x
− −
− =
Ta cã
60 11
2 60 11 8 4.
2
−
−
= ⇒ = ⇔ =
k
k
x x k
Do hệ số số hạng chứa x 8 495 )! 12 ( !
! 12
4
12 = − =
C
2) TÝnh tÝch ph©n
2
2
5 4
xdx I
x x
=
+
Đặt
2
4
4
xdx t x dt
x
= + ⇒ =
+ vµ
2 4. x =t − Với x= t= , với x=2 t= Khi
2 4
2 2
3
5
1 1 1
4 2 2
4 4
xdx dt
I dt
t t
t
x x
= = = −
− +
− +
∫ ∫ ∫
4
1 2 1 5
ln ln
4 2 4 3
t t
−
= =
+
1 ®iÓm
0, ®
0, 25 ® 0, 25 ®
1 ®iĨm
0, 25 ® 0, 25 ®
0,25 ®
0, 25 ®
A A’ B’
C’ D’
D
C B
y
x
z
(5)Câu 1điểm Với ,u vG G ta cã |u vG G+ | | | | | (*)≤ uG + vG
(v× |u vG G+ |2=uG2+vG2+2 | |u vG G ≤ uG 2+| |vG 2+2 | | | | | | | |uG vG =( uG + vG )2) Đặt ;1,
=
→
x x
a =
→
y y
b ;1 , =
→
z z c ;1
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có | |aG +| | | | |bG + Gc ≥ a bG G+ +| | | |cG ≥ a b cG G G+ + | Vậy
2
2 2
2 2
1 1 1
( )
P x y z x y z
x y z
x y z
= + + + + + ≥ + + + + +
C¸ch Ta cã
( )
2
2
2 1 3 3
( ) 3
P x y z xyz t
x y z xyz t
≥ + + + + + ≥ + = +
, víi
(3 )2 1
0
3
x y z t= xyz ⇒ < ≤t + +
Đặt ( ) 9 '( ) 92 0, 0;1 ( )
Q t t Q t t Q t
t t
= + ⇒ = − <
giảm 0;
9
( ) 82
9
Q t Q
⇒ ≥ =
VËy P≥ Q t( )≥ 82 (DÊu “=” x¶y
3
x= = =y z ) C¸ch
Ta cã
2
2 1 1
(x y z) 81(x y z) 80(x y z)
x y z x y z
+ + + + + = + + + + + − + +
2
1 1
18(x y z) 80(x y z) 162 80 82
x y z
≥ + + + + − + + ≥ − =
VËy P≥ 82
(DÊu “=” x¶y
x= = =y z )
Ghi chú: Câu có nhiều cách giải khác
0, 25 ®
0, 25 ®
0, 25 đ 0, 25 đ
hoặc 0,25 đ