Toâi coá gaéng ñöa moät soá baøi toaùn trong hình hoïc coù duøng yù töôûng vecto ñeå cho moïi ngöôøi thaáy heát ñöôïc caùi hay, caùi ñeïp cuûa phöông phaùp vecto.. 1 Baøi taäp cô baûn.[r]
(1)Bài tập hình học 10 (Bản nháp 2)
Trần Việt Cường Giáo Viên Toán trường PTNK
September 28, 2010
AbstractTrong tập cố gắng hệ thống theo trình tự định Các tập thiết kế để sau vận dụng trước, ý tưởng trước dùng cho sau Tơi cố gắng đưa số tốn hình học có dùng ý tưởng vecto người thấy hết hay, đẹp phương pháp vecto
1 Bài tập bản
1 Cho điểm phân biệtA, B, C Hỏi có vecto khác vecto khoâng
được thành lập từ điểm (Hãy giải cách: Liệt kê + không liệt kê)
2 Cho n điểm phân biệt Hỏi có vecto khác vecto không
thành lập từ n điểm
3 Có nhận xét lời giải toán
4 Cho đoạn thẳngAB Gọi I trung điểm đoạn AB Chứng minh
(a) −IA→+−→IB=−→0;
(b) −−→M A+−−→M B = 2−−→M I với điểm M
5 Cho tam giác ABC Gọi I điểm thuộc đường thẳng BC cho
2IB=IC
(a) Chứng minh có hai trường hợp xảy xét vị trí điểm I đối
(2)(b) Chứng minh 2−→IB+−→IC =−→0 2−→IB−−→IC =−→0
(c) Chứng minh 2−−→M B +−−→M C = 3−−→M I 2−−→M B−−−→M C = −−→M I
với điểmM
Khi biểu thức −M I−→ =
−−→
M B +
−−→
M C −M I−→ = 2−−→M B −−−→M C
gọi biểu diễn −−→M I theo −−→M B,−−→M C
6 Cho tam giácABC I điểm thuộc đoạnBC thỏaxIB=yIC CMR:
(a) x−→IB+y−→IC =−→0
(b) −AI→ = x x+y
−→
AB+ y
x+y
−→
AC Hệ thức gọi biểu diễn −AI→ theo
−→
AB,−→AC
7 Cho tam giácABC M điểm thuộc cạnh BC cho kM B =M C
Chứng minh k−−→M B+−−→M C =−→0 −−→AM = k k+1
−→
AB+
k+1
−→
AC
8 Công thức điểm chia: điểm M gọi chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
neáu −−→M A=k−−→M B
Cho đoạn thẳng AB Gọi M điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
Khi với O điểm bất kì, CMR:
−−→
OM =
−→
OA−k−−→OB
1−k
9 Cho đoạn thẳng AB Chứng I trung điểm đoạn AB
−→
IA+−→IB =−→0
10 Cho đoạn thẳng AB Chứng I trung điểm đoạn AB
−−→
M A+−−→M B = 2−−→M I với điểm M
11 Cho điểmA, B số thựcα, β vớiα+β6= CMR: tồn
điểm I cho α−IA→+β.−→IB=−→O
12 Cho điểm A, B, C số thực α, β, γ với α+β+γ 6= CMR: tồn
tại điểm I choα−IA→+β.IB−→+γ.−IC→=−→O
13 Cho tam giácABC có trọng tâm G, I trung điểm cạnhAB CMR:
(3)(b) −→GA+−−→GB+−→GC =−→0;
(c) −−→M A+−−→M B +−−→M C = 3−−→M G Khi hệ thức −−→M G = −M A−→+−−→M B+−−→M C
được gọi biểu diễn −−→M Gtheo −−→M A,−−→M B,−−→M C
Gợi ý: câu b, muốn tính tổng vecto ta phải làm ? Cộng vecto lại sau cộng tiếp với vecto lại
14 Cho điểm A, B, C, D Chứng minh rằng:
(a) −→AB+−−→CD=−−→AD+−CB−→;
(b) −→AB−−−→CD=−→AC−−→Bd;
(c) −→AB+−−→DC +BD−−→+−→CA=−→0;
(d) −→AC+−−→BD =−−→AD+−BC−→
(tham khảo tốn 1, sách giáo khoa hình học 10 trang 12) Bài tốn có phải chứng đẳng thức vecto không? Phương pháp chứng đẳng thức ta hay làm gì? Tương tư ta áp dụng phương pháp chứng đẳng thức vào việc chứng minh đẳng thức vecto khơng? Nói chung ta có phương pháp chứng minh đẳng thức? Ta có phương pháp chứng minh đằng thức vecto
15 Cho ñieåm A, B, C, D, E CMR:
(a) −→AB+−−→CD+−→EA =−−→CB+−−→ED;
(b) −−→CD+−→EA=−→CA+−−→ED
16 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, I, J trung điểm đoạn AD, BC, AC, BD CMR:
(a) −→AB+−−→DC = 2−−→M N;
(b) −→AB−−−→DC = 2−IJ→;
(c) −→AB+−−→AD+CB−−→+−−→CD= 4−IJ→;
(d) −−→N A+−−→N D =−→BA+−−→CD;
(e) −−→M A+−IJ→=−−→N B
(4)(a) Gọi G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối
dieän.CM R: −→GA+−−→GB+−→GC +−−→GD =−→O
Người ta định nghĩa điểmGthỏa −→GA+−GB−→+−→GC+−−→GD=−→O
thì G gọi trọng tâm tứ giác ABCD
(b) CMR: tứ giác ABCD có trọng tâm (Có điểmG
thỏa −→GA+−−→GB+GC−→+−−→GD=−→O)
(c) CMR: trọng tâm tứ giác nằm đường thẳng nối đỉnh tứ giác với trọng tâm tam giác tạo đỉnh lại
(d) Như câu (a) ta cách xác định trọng tâm G tứ giác ABCD Hỏi có cịn khác để xác định trọng tâm G tứ giác ABCD khơng?
18 Cho tam giácABC Hãy xác định caùc vecto:
(a) −→u =−→AB+−→CA;
(b) −→v =−→AB+−→CA+−−→BC
19 Cho hình vuôngABCD có tâmO, cạnha Hãy xác định−→u tính|−→u|
(a) −→u =−AD−→+−→AB;
(b) −→u =−→OA+−→OC;
(c) −→u =−OB−→+−BC−→;
(d) −→u =−→AB+−→AC
20 Cho tam giácABC Dựng điểmD, E, F cho:
(a) −−→AD= 2−→AB;
(b) −→AE =−1
−→
AB;
(c) −→AF =−AD−→+−→AE
21 Cho tam giácABC Xác định điểm M thỏa :
(a) −−→M B+ 2−−→M C =−→O;
(b) −−→M B−2−−→M C =−→O;
(5)(d) −−→M A+−−→M B+ 2−−→M C =−→O;
(e) −−→M A+ 4−−→M B−2−−→M C =−→O;
(f) −−→M A+ 2−−→M B−4−−→M C =−→AB
22 Cho hình bình hành ABCD tâm O Xác định điểm M, N thỏa:
(a) −−→M A+−−→M B+−−→M C +−−→M D =−→O
(b) −→AB+−→AC+−−→AD = 4−−→AN
23 Cho tam giácABC Tìm tập hợp điểm M thỏa:
(a) −−→M A+k−−→M B+−−→M C =−→O;
(b) k−−→M A+ (1−k)−−→M B =−→O;
(c) 2−−→M A+ (2−k)M B−−→+k−−→M C =−→O;
(d) −−→M A+−−→M B+ 2−−→M C =k−−→BC
24 Cho tam giácABC Tìm tập hợp điểm M thỏa:
(a) |−−→M A+−−→M B|=|−−→M A−−−→M B|;
(b) |3−−→M A+−−→M B|= 3|
−−→
M A−−−→M B|;
(c) |2−−→M A+ 3−−→M B|=|4−−→M A−−−→M B|;
(d) |2−−→M A+ 3−−→M B|=|4−−→M A|+|−−→M B|;
(e) |−−→M A+−−→M B|=|−−→M A+−−→M C|;
(f) |−−→M A+−−→M B +−−→M C|=a với a số dương
25 Cho hai điểmA, B đường thẳngd Với điểmN dchọn điểm Msao cho −−→N M = 2−−→N A+ 3−−→N B Hãy tìm tập hợp điểm M N thay
đổi d
26 Cho tam giácABC có trung tuyến AM điển N thuộc đường thẳng BC
sao cho −−→BN =
−−→
BC
(a) Phân tích vecto −−→AMtheo −→AB,−→AC ;
(6)(c) Phân tích vecto −−→N Mtheo −→AB,−→AC
27 Cho tam giác ABC Lấy M trung điểm AB, N thỏa 3−−→BN = −−→BC,
điểm P thỏa 4−→AP = 3−→AC, điểm I thỏa 16−AI→= 9−−→AN
(a) Phân tích vecto −−→AN ,−−→M Ptheo−→AB,−→AC;
(b) CMR: ba điểm M, I, P thẳng hàng
28 Cho tam giác ABC Gọi M, N hai điểm thuộc hai cạnh AB, AC cho AM = 2M B,2AN = 3N C GọiI trung điểm M N
(a) Chứng minh −AI→=
−→
AB+ 10
−→
AC
(b) Gọi K trung điểm cạnh BC Tính −→IK theo −→AB,−→AC
29 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I, J hai điểm xác định
−→
IA= 2−→IB,3−→J A+ 2−→J C =−→O
(a) Tính −IJ,→ −→IG theo−→AB,−→AC ;
(b) CMR: I, J, G thẳng hàng
30 Cho tam giácABC có trọng tâm G I điểm thỏa −IA→= 2−→IB
(a) Tính −→IG theo −→AB,−→AC;
(b) GọiJ giao điểm củaIGvớiAC HỏiJ có thuộc đoạnAC khơng?
Khi tính JA JC
31 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I, J điểm thỏa −IA→ + 3−→IB =
− →
0,−→J C−5−→J D=−→0
(a) Tính −→u =−→IC+ID−→+ 2−→IB theo −AD−→
(b) Gọi M, N, P thỏa hệ thức −−→M P =−−→M A+ 3−−→M B −−→M Q=−−→M C −
5−−→M D Khi chứng minh I, M, P thẳng hàng J, M, Q
cũng thẳng hàng
32 Cho tam giácABC vàM điểm tùy ý
(a) CMR: −→v = −−→M A+ 2−−→M B −3−−→M C không phụ thuộc vào vị trí
(7)(b) Dựng điểm D cho −→v =−−→CD đường thẳng CD cắtAB K
CMR: −−→KA+ 2−−→KB =→−O −−→CD= 3−−→CK
33 Cho hình bình hành ABCD với −→AB =−→a ,−−→AD=−→b
(a) Hai điểm M, N thuộc tia AB, AD cho 2AM = 3AB, AN = 3AD Chứng minh M, N, C thẳng hàng
(b) Trong trường hợp tổng quát, giả sử −−→AM = x−→a ,−−→AN = y−→b Hãy
tìm điều kiện giữax, y để M, N, C thẳng hàng
34 Trên cạnh BC tam giác ABC lấy điểm M cho M B = 3M C
đặt −−→AM =x−→AB+y−→AC Tìm x, y
35 Cho tam giác ABC M điểm thỏa9−−→AM = 7−→AB+ 2−→AC CMR: M
nằm đoạn BC tính M BM C
36 Cho ngũ giác ABCDE có tâm O
(a) Chứng minh −→u =−→OA+−−→OB −→v =−→OC+−−→OE phương
với −−→OD
(b) CMR:−→OA+−−→OB+−→OC+−−→OD+−OE−→ =−→O
37 Cho tam giác ABC có tâm O Gọi M điểm tam
giác D, E, F hình chiếu M xuống cạnh tam giác
CMR: −−→M D+−−→M E+−−→M F =
−−→
M O
38 (Bài toán tam giác có trọng tâm) Cho tam giácABC GọiD, E, F
lần lượt trung điểm cạnhBC, CA, AB CMR:−−→AD+−−→BE+−→CF =−→O
39 Cho hai tam giác ABC A1B1C1 có trọng tâm làG, G1
(a) CMR: −−→AA1+−−→BB1+−−→CC1 = 3−−→GG1
(b) Từ gợi ý câu a) suy điều kiện cần đủ để tam giác có trọng tâm
40 (Bài toán cực trị vecto)Cho hai điểm A, B đường thẳng d Với
điểm M d ta xét vecto −→u =−−→M A+ 2−−→M B Hãy tìm vị trí điểm M
để |−→u| bé
(8)42 Cho tam giác ABC có trọng tâm G M điểm tùy ý GọiA1;B1;C1
lần lượt điểm đối xứng M qua trung điểm I, J, K
caïnh BC, CA, AB
(a) CMR: AA1, BB1, CC1 đồng qui điểm O trung điểm mổi
đoạn
(b) CMR: M, O, G đồng qui
43 Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O) Gọi G, H trọng
tâm trực tâm tam giác ABC, M trung điểm BC
(a) Hãy so sánh vecto −−→HA −−→M O
(b) CMR: −−→HA+−−→HB+−−→HC = 2−−→HO;−→OA+−OB−→+−→OC =−−→OH
(c) Suy điểm O, H, G thẳng hàng
44 (Phương pháp chứng minh nhất) Cho tam giác ABC CMR: tồn
tại điểm Q cho −→QA+ 2−−→QB−4−→QC =−→AB
a) Chứng minh nhất:
Giả sử tồn hai điểm Qvà Q1 cho
−−→
Q1A+ 2−−→Q1B−4−−→Q1C =−→0
−→
QA+ 2−−→QB −4−→QC=−→0
Trừ vế theo vế hai đẳng thức ta được:
(−→QA−−−→Q1A) + 2(−−→Q1B −−−→Q1B)−4(−→QC−−→QC) =−→0
−−→
Q1Q+ 2−−→Q1Q−4−−→Q1Q=−→0
−−→
Q1Q=−→0
b) Chứng minh tồn tại(dành cho học sinh)
45 Cho vecto −→a ,−→b không phương CMR: Nếu tồn hai số m, n
sao cho
m−→a +n−→b =−→O
(9)46 Cho vecto −→a ,−→b ,−→c Nếu tồn hai soá m, n cho
−
→a =m−→b +n−→c
thì người ta nói −→a biểu diễn (viết, phân tích )theo −→b ,−→c
Bài tốn phân tích: Cho vecto −→a ,−→b ,−→c CMR: tồn
hai soá m, n cho
−
→a =m−→b +n−→c
References
[1] Hình học nâng cao lớp 10, NXB GD
[2] Sách tập Hình học Nâng cao lớp 10, NXB GD
[3] Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10, Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, NXB GD
[4] Rèn luyện giải tốn hình học 10, Nguyễn Trọng Tuấn, NXB GD
[5] Phương pháp giải tốn hình học 10 theo chủ đề, đỗ Thanh Sơn, Trần Hữu Nam, NXB GD