[r]
(1)Trêng THPT
§Ị thi chän häc sinh giái khèi 11 THPTGia ViÔn B Môn: Toán.(Đề gồm trang)
Năm học: 2006
–
2007.
(Thêi gian lµm bµi 180 phút)
Bài I: (6điểm).
1) Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: A = sin8200 sin8400 sin8800
2) Giải hệ phơng trình:
x z xz z
z z y y
y y x x
3
2
3
2
Bài II: (5điểm).
1) Cho dÃy số (un) thoả mÃn điều kiện:
2
u , un1 2un víi mäi n=1, 2, Chøng minh r»ng d·y sè (un) cã giới hạn tìm n
n u
Lim2
2) Giải phơng trình:
1
6
14
x
x x
x
Bài III: (6điểm).
Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Cạnh SC có độ dài a, hợp với đáy góc
hợp với mặt bên SAB góc 1) Tính độ dài cạnh SA, AB theo a,
, . 2) Khi 300 , xác định sin để diện tích đáy đạt giá trị lớn Bài IV: (3điểm).
Cho số thực dơng a, b, c thoả mÃn điều kiÖn: 15 12 12 12 10 1 2007
ca bc ab c
b
a
Tìm giá trị lớn biểu thức: 2 2 2 2 2 2
2
1
2
1
2
1
a ca c c
bc b b
ab a P
-HÕt
-đáp án đề thi chn hc sinh gii 11 THPT
Năm học: 2006
2007
Môn: Toán.(Đáp án gồm trang).
(2)Do sin2200, sin2400, sin2800 nghiệm phơng trình:64 96 36 3 0
t t
t 0,5đ Hay sin2200, sin2400, sin2800 nghiệm phơng trình:
0
X X
X (1)
Đặt X1 4sin2200,X2 4sin2400,X3 4sin2800 Khi X1,X2,X3là ba nghiệm phân biệt ph-ơng trình (1), theo định lý Vi-et ta có:
9 ,
6 2 3
2
1X X X X X X X X
X 0,5đ Biểu thức cần tính đợc viết lại 44AX14X24X24 Hiển nhiên X1,X2,X3là số khác không Do
3 1,X ,X
X nghiệm (1) nên ta cã:
1 1
2 1
2
1 6X 9X 3X 6(6X 9X 3) 9X 3X
X , tơng tự X2,X3 ta có đợc: 4
54 ) (
51 ) (
27 1 2 3
3 2
1
X X X X X X
A
( ) 2( )
51.6 54 23427
4 1 2 2 3 3 1
3
X X X X X X X X X
A 1,0®
Do
128 117
A 0,5®
2) Hệ cho đợc viết lại là:
) (
) (
) (
2
2
z x z z
y z y
x y x
KiÓm tra thÊy
3 ,
1 ,
1
y z
x không
thoả mÃn hệ, nên: 0,5đ
Hệ lại đợc viết lại là:
2 2
3
2
2
z z z x
y y z
x x y
Đặt x = tg(t) th× ta cã y = tg(2t), z = tg(4t) 1,0®
Do x = tg(12t) Do vậy: tg(t) = tg(12t) 12t = t + k,kZ t k ,kZ
11
1,0®
Nh hệ cho có nghiệm
11 , 11 , 11
k
tg k tg k
tg k = 0,1, ,10 0,5đ
Bµi II: 1) Ta cã
12 cos 12 sin
1
u 0,5đ Từ hệ thức truy hồi phơng pháp chứng minh quy nạp ta có đợc
n
n u
2
5 cos
(3)6
56.2 sin
5 sin 2
5 cos 2
1 1
1
n n n
n n
n Lim Lim
Lim
1,0®
2) Điều kiện để phơng trình xác định là:
5
0
0
0
x x
x x x
0,5đ
Đặt
x x x
x x
f
1
6
14 )
( ,ta kiểm tra đợc f(x) hàm đồng biến khoảng [0; 4/5) 1,0đ Mặt khác f(1/2) = nên x =1/2 nghiệm phơng trình 1,0đ Bài III: S
1)
A D
O
B C
Do SA(ABCD)nên góc
SC mặt phẳng (ABCD) SCA 0,5đTa chng minh đợc rằngBC (SAB)do gócgiữa SC mặt bên (SAB) BSC 0,5đ
¸p dơng hƯ thức lợng tam giác vuông SAC, SBC ta có:
, cos , sin
sin SB a BC a
a
SA 1,0®
áp dụng định lý Pitago cho tam giác vng SAB ta có: AB SB2 SA2 a cos2 sin2 1,0đ
2) Khi 300
, ta có diện tích hình chữ nhËt ABCD lµ
2 cos sin 2
a
S 1,0®
4 2
2
2
4
1 cos sin )
1 cos ( sin
4S a a a
1,0đ
Dấu = xảy
2 sin sin cos sin
(4)Bài IV: áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân số thực dơng x, y, z ta có:
z y x z y
x
1
, (1) Dấu = xảy x = y = z 0,5® Ta cã 5a2 2ab 2b2 (2a b)2 (a b)2 (2a b)2
DÊu “=” x¶y a = b
Do
ab b a b a a b
a
1 1
1
2
1
2
2 DÊu “=” xảy a b
Tơng tự ta có:
bc c b c b b c
b
1 1
1
2
1
2
2 DÊu “=” x¶y ra bc
ca a c a c c a
c
1 1
1
2
1
2
2 Dấu = xảy ca
Vì vậy:
c b a
P 1
3
1,0®
Từ bất đẳng thức:
2
2
1 1 1 1
c b a c
b
a DÊu “=” x¶y abc
2 1 1 1
c b a ca bc
ab DÊu “=” x¶y abc
Kết hợp với giả thiết ta có đợc: 1 2007
10
1
15 2
c b a c
b
a hay
6021
1
c b
a
DÊu “=” x¶y
5 6021
6021
1
1
a b c
c b a
c b a
1,0®
VËy giá trị lớn P
5 6021
1
đạt đợc
5 6021
1 b c