1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2011-2012
Mơn thi : TỐN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 03/4/2012
Câu ( 2,0 điểm )
Thực phép tính :
4
2
8 12
1 2
x x x
x x x
Câu ( 4,0 điểm )
a) Chứng minh rằng: 21
39+ 39
21 45
b) Tìm a, b thuộc N
*cho :
7 2
1
b a
Câu ( 6,0 điểm )
a) Giải phương trình:
x y z
xyz
2 1
2
b) Tìm k để phương trình: x
2– ( + k )x + 3k = có hai nghiệm phân
biệt x
1, x
2, cho x
1, x
2là độ dài hai cạnh góc vng tam giác
vng có cạnh huyền 10.
c) Cho biểu thức: A =
x 3yy 3x, với
x0,y0; x+y = 2012
Tìm giá trị nhỏ A.
Câu ( 5,0 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O;R) Các đường cao AD,
BE, CF tam giác ABC cắt I.
a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
b) Giả sử BAC = 60
0Tính diện tích tứ giác AEOF theo R.
Câu ( 3,0 điểm )
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Một tiếp tuyến đường
tròn (O) cắt cạnh AB AC tam giác ABC theo thứ tự P Q.
Chứng minh rằng:
a) PQ
2+ AP.AQ = AP
2+ AQ
2b)
1
CQ
AQ
BP
AP
(2)======================= Hết =======================
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCSMƠN : TỐN 9 Năm học : 2011 – 2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN : TỐN 9
I Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà
cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn
chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống
trong Hội đồng chấm thi.
3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25.
II Đáp án:
Câu
Nội dung
Điểm
1
(2đ)
ĐK: x0; x
1 Biến đổi: 2
=
4
32 2
21
2 1
3 x12 x 6x 8
=
3
2
3 2
x
x
4 3 2 2
1
x x
x
= =
1 x 4 2 12 2 x x x x x x
=
1 x x 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25
2
(4đ)
a) 21
39 + 3921 = 9.337739 + 9.319.1321Vậy : 21
39 + 3921 92139 + 3921 = (2139 – 1)+[ 3921 – (- 1)]
Ta có (2139– 1) ( 21-1) 5 [ 3921 – (- 1)]
[ 39 –(-1)]
2139 + 3921 = (2139 – 1)+[ 3921 – (- 1)] 5
Lại có (5,9)=1 9.5 = 45
Vậy: 21
39 + 3921 450,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 b) Tìm a, b thuộc N*; biết :
2 1 b a
Đặt m = 2b ĐK:a,b,m N*
, ; ,m b
a (1);
ta được:1 72 m
a
(3)
*Giả sử : am a1 m1
7 2
a a7 (2)
Kết hợp ( ) ( ) suy : a 4; 5; 6;7
a = 4; tính m = 28 suy b = 14 ( chọn ) a = 5; khơng tìm b thỏa mãn đề
a = 6; khơng tìm b thỏa mãn đề a = 7; khơng tìm b thỏa mãn đề
*Vai trị a m bình đẳng m a ; m = ;
a = 28 suy : b =
Kết luận: a = ; b = 14 a = 28 ; b =
0,5 0,25 0,5 0,25
3
(6đ)
a) x y z
xyz
2 1
2
ĐK:x2;y1;z0
Biến đổi PT:
(x-2 -2 x 2+1)+(y-1-2 y 1+1) +(z -2 z +1) =
( x - 1)2 +( y -1)2 + ( z -1)2=
Tính được:(x=3;y=2;z=1) 0,25 1,0 0,5 0,25
b)
Biến đổi:
100
3.2
2
03
0
2
012
2
10
0
0
0
2
2
2
2
2
2
1
k
k
k
k
k
k
xx
P
S
1
97
1
97
0
2
.
4
3
2
4
3
2
k
hoăo
k
k
k
k
hoăo
k
Vây k = 971
1,0
(4)(Thí sinh khơng nêu ĐK
0
0
0
P
S
không chấm câu 3b)c)Cho A = x 3yy 3x Với x0,y0; x+y = 2012
Tìm giá trị nhỏ A
A = x 3yy 3x x 3 y 2012
A = x 3y x y 3x y 2012
Ax( 3 y 3) y( 3x 3) 2012
* Do x0;y0 ; A 2012
Và x + y = 2012 suy A có giá trị nhỏ 2012
khi x = 0; y = 2012 x = 2012; y =
0,5 0,5
0,5 0,5
4
(5đ)
Hình vẽ
a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF: Chứng minh tứ giác BDIF, BDEA nội tiếp, suy
FBˆI FDˆI EDˆI DI tia phân giác góc EDF
Tương tự EI tia phân giác góc DEF
Kết luận I giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
1,0 0,75 0,25 0,5
b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo R
Vẽ xy tiếp tuyến A ( O )Chứng minh tam giác ABE ACF đồng dạng Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng Chứng minh ACˆBAFˆExAˆF , suy EF // xy
Chứng minh OA EF
0,5 0,5 0,5
A
O I
y
x
F
E
D C
(5)Tính BC = R 3, chứng minh
2
cos
BAC
AB AE BC EF
,
2
R EF
Tính diện tích tứ giác AEOF : SAEOF =
4 R
0,75 0,25
5
(3,0đ)
Hình vẽ
a) PQ2 + AP.AQ = AP2 + AQ2
Đặt: AP = x, AQ = y, PQ = z, AB = AC = BC = a Kẻ QH AB Tính AH =
2
y
, QH =
2
y
, HP = x- 2y Theo định Lý Pytago:
PQ2 = QH2 + HP2 =
(x-2
y
)2 +(
2
y
)2
Biến đổi : PQ2= x2 + y2 – xy
PQ2 + APAQ = AP2 + AQ2
0,75
0,5 0,25
b)
Biến đổi :x + y + z = 2AF = a Từ
0,5
0,25
0,5
H
F
Q P
O
C B
(6)1
CQ
AQ
BP
AP
hay
1
a
y
y
x
a
x
1
x
z
y
z
y
x
z2= x2 + y2 – xy ( C/m câu a)
0,25