De thi HSG cap tinh De DA Quang Nam

1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong [r]

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2011-2012

Mơn thi : TỐN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 03/4/2012

Câu ( 2,0 điểm )

Thực phép tính :

 

4

2

8 12

1 2

  

 

  

  

x x x

x x x

Câu ( 4,0 điểm )

a) Chứng minh rằng: 2139 + 3921  45

b) Tìm a, b thuộc N* cho :

7 2

1

 

b a

Câu ( 6,0 điểm )

a) Giải phương trình: x  y  z  xyz

2 1

2

b) Tìm k để phương trình: x2 – ( + k )x + 3k = có hai nghiệm phân

biệt x1, x2, cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vng tam giác

vng có cạnh huyền 10.

c) Cho biểu thức: A = x 3yy 3x, với x0,y0; x+y = 2012

Tìm giá trị nhỏ A. Câu ( 5,0 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O;R) Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt I.

a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. b) Giả sử BAC = 600 Tính diện tích tứ giác AEOF theo R.

Câu ( 3,0 điểm )

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Một tiếp tuyến đường tròn (O) cắt cạnh AB AC tam giác ABC theo thứ tự P Q. Chứng minh rằng:

a) PQ2 + AP.AQ = AP2 + AQ2

b)   1

CQ AQ BP

AP

======================= Hết =======================

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCSMƠN : TỐN 9 Năm học : 2011 – 2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN : TỐN 9

I Hướng dẫn chung:

1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định.

2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống trong Hội đồng chấm thi.

3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25. II Đáp án:

Câu Nội dung Điểm

1 (2đ)

ĐK: x0; x1 Biến đổi: 2 

 =4 32 2 212 1

 

3 x12 x 6x 8 = 3  23 2

 

 x

x

4 3 2 2

1  

 

x x

x = =

1  x   4 2 12 2            x x x x x x

=

1     x x 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 2 (4đ)

a) 2139 + 3921 = 9.337739 + 9.319.1321

Vậy : 2139 + 3921  9

2139 + 3921 = (2139 – 1)+[ 3921 – (- 1)]

Ta có (2139– 1)  ( 21-1) 5 [ 3921 – (- 1)]

[ 39 –(-1)] 

2139 + 3921 = (2139 – 1)+[ 3921 – (- 1)] 5

Lại có (5,9)=1 9.5 = 45 Vậy: 2139 + 3921  45

0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 b) Tìm a, b thuộc N*; biết :

2 1   b a

Đặt m = 2b ĐK:a,b,m N*

 , ; ,m b

a (1);

ta được:1 72 m

a

*Giả sử : am  a1 m1

7 2

 

a  a7 (2)

Kết hợp ( ) ( ) suy : a  4; 5; 6;7

a = 4; tính m = 28 suy b = 14 ( chọn ) a = 5; khơng tìm b thỏa mãn đề

a = 6; khơng tìm b thỏa mãn đề a = 7; khơng tìm b thỏa mãn đề

*Vai trị a m bình đẳng m a ; m = ;

a = 28 suy : b =

Kết luận: a = ; b = 14 a = 28 ; b =

0,5 0,25 0,5 0,25 3 (6đ)

a) x  y  z  xyz

2 1

2

ĐK:x2;y1;z0

Biến đổi PT:

(x-2 -2 x 2+1)+(y-1-2 y 1+1) +(z -2 z +1) =

( x - 1)2 +( y -1)2 + ( z -1)2=

Tính được:(x=3;y=2;z=1) 0,25 1,0 0,5 0,25 b) Biến đổi:                                 100 3.2 2 03 0 2 012 2 10 0 0 0 2 2 2 2 2 2

1 k k

k k k k xx P S                      1 97 1 97 0 2 . 4 3 2 4 3 2 k hoăo k k k k hoăo k

Vây k = 971

1,0

(Thí sinh khơng nêu ĐK

    

   

0 0 0

P

S không chấm câu 3b)

c)Cho A = x 3yy 3x Với x0,y0; x+y = 2012

Tìm giá trị nhỏ A

A = x 3yy 3x  x 3 y  2012

A = x 3y  x y 3x y 2012

Ax( 3 y  3) y( 3x 3)  2012

* Do x0;y0 ; A 2012

Và x + y = 2012 suy A có giá trị nhỏ 2012

khi x = 0; y = 2012 x = 2012; y =

0,5 0,5

0,5 0,5

4 (5đ)

Hình vẽ

a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF: Chứng minh tứ giác BDIF, BDEA nội tiếp, suy

FBˆI FDˆI EDˆI DI tia phân giác góc EDF

Tương tự EI tia phân giác góc DEF

Kết luận I giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

1,0 0,75 0,25 0,5

b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo R Vẽ xy tiếp tuyến A ( O )

Chứng minh tam giác ABE ACF đồng dạng Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng Chứng minh ACˆBAFˆExAˆF , suy EF // xy

Chứng minh OA  EF

0,5 0,5 0,5

A

O I

y

x

F

E

D C

Tính BC = R 3, chứng minh

2

cos 



 BAC

AB AE BC EF

,

2

R EF 

Tính diện tích tứ giác AEOF : SAEOF =

4 R

0,75 0,25

5 (3,0đ)

Hình vẽ

a) PQ2 + AP.AQ = AP2 + AQ2

Đặt: AP = x, AQ = y, PQ = z, AB = AC = BC = a Kẻ QH  AB Tính AH =

2

y

, QH =

2

y

, HP = x- 2y Theo định Lý Pytago:

PQ2 = QH2 + HP2 =

(x-2

y

)2 +(

2

y

)2

Biến đổi : PQ2= x2 + y2 – xy

PQ2 + APAQ = AP2 + AQ2

0,75

0,5 0,25

b)

Biến đổi :x + y + z = 2AF = a Từ

0,5

0,25

0,5

H

F

Q P

O

C B

1

 

CQ AQ BP

AP

hay  1

 

 a y

y x

a x

  1

 

 x z

y z y

x



 z2= x2 + y2 – xy ( C/m câu a)

0,25