Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh tø gi¸c AMDN néi tiÕp mét ®êng trßn t×m t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c CMDN.... Chøng minh r»ng CD vu«ng gãc víi AB.[r]
(1)Đề cơng ôn tập học kỳ I mơn tốn Phần đại số
CHủ đề 1: Cn thc rỳt gn biu thc
I căn thức:
Kiến thức bản:
1 §iỊu kiƯn tån t¹i : A Cã nghÜa A0
2 Hằng đẳng thức: A2 A
3 Liên hệ phép nhân phép khai phơng: A.B A B (A0;B0) 4 Liên hệ phép chia phép khai phơng:
B A B A
(A0;B 0)
5 Đa thừa số căn: A2.B A B
(B0) 6 §a thõa sè vào căn: A B A2.B
(A0;B0)
A B A2.B
(A0;B0)
7 Khử thức mÉu:
B B A B
A
(B 0)
8 Trục thøc ë mÉu:
B A B A C B A C ) (
Bµi tËp:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị x biểu thức sau xác định:
1) 2x3 2)
2
x 3)
4
x 4) 6
5 2
x
5) 3x4 6) 1x2 7)
x
3
8)
3 x
Rút gọn biểu thức Bµi1
1) 125 3 48 2) 5 20 45 3) 324 8 18
4) 12 275 48 5) 12 75 27 6) 18 2 162
7) 20 454 8) ( 22) 2 2 9)
1 1 10) 5
11)
2
12)
2
13) ( 28 14 7) 77 14) ( 14 2)2 28
15) ( 5)2 120
16) (2 3 2)2 2 63 24
17) (1 2)2 ( 2 3)2
18) ( 3 2)2 ( 31)2
19) ( 5 3)2 ( 5 2)2
20) ( 19 3)( 193)
21) ( 12)2( 2)
x x
x 22) 7 7
23) x 2y (x2 4xy 4y2)2(x 2y)
Bµi2:
1) 2 2
2
3 2) 2 32 2 32 3) 5 32 532 4)
15
8 - 8 15 5) 52 + 8 15 6) 2 4
Giải phương trình:
1) 2x 1 2) x 53 3) 9(x 1) 21 4) 2x 50 0
5) 3 12 0
x 6) ( 3)2
x 7) 4 4 1 6
x
x 8) (2 1)2
(2)9) 4 6
x 10) 4(1 )2
x 11) x12 12) 3 2x 2
II các toán rút gọn:
A.các b íc thùc hiªn :
Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc)
T×m ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thøc råi kÕt luËn l¹i
Quy đồng, gồm bớc:
+ Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung
Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức
Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng
Ph©n tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên)
Rót gän
B.Bµi tËp lun tËp:
Bài 1 Cho biểu thức : A =
x x x x x x
với ( x >0 x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 Bài 2 Cho biểu thức : P = 4
2
a a a
a a
( Với a ; a )
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm giá trị a cho P = a +
Bài 3:Cho biểu thức A =
1
x x x x
x x
1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A
3/.Với giá trị x A< -1
Bµi 4: Cho biểu thức A = (1 )(1 )
1
x x x x
x x
( Với x 0;x
)
a) Rút gọn A b) Tìm x để A = -
Bµi : Cho biĨu thøc : B =
x x x
x 21
2
1 a; Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị B với x =3 c; Tìm giá trị x để
2
A Bµi 6: Cho biÓu thøc : P =
x x x x x x 2 2 a; T×m TX§
b; Rút gọn P c; Tìm x để P =
Bµi 7: Cho biĨu thøc: Q = ( )
1 2 ( : ) 1 a a a a a a
a; Tìm TXĐ rút gọn Q b; Tìm a Q dng
c; Tính giá trị Biểu thøc biÕt a = 9-
Bµi 8: Cho biÓu thøc: M =
1 2 a a a a a a a a
(3)b/ Rót gän M
Tìm giá trị a để M = - Bài : Cho biểu thức : K =
3 x x x x 3 x x 11 x 15
a Tìm x để K có nghĩa b Rút gọn K
c T×m x K=
d T×m giá trị lớn K Bài 10 : Cho biÓu thøc: G=
2 x x x x x x x
1 Xác định x để G tồn Rút gọn biểu thức G
3 TÝnh sè trÞ cđa G x = 0,16 Tìm gía trị lớn G
5 Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6 Chứng minh : Nếu < x < M nhận giá trị dơng Tìm x để G nhận giá trị âm
Bµi 11 : Cho biĨu thøc: P=
2 x : x 1 x x x x x x
Víi x ≥ ; x ≠ a Rót gän biĨu thøc trªn
b Chøng minh r»ng P > víi mäi x≥ vµ x ≠
Bµi 12 : cho biÓu thøc Q=
a 1 a 1 a a 2 a 2 2
a Tìm a dể Q tồn
b Chøng minh r»ng : Q kh«ng phơ thc vào giá trị a Bài 13: Cho biểu thức :
A= x x x x y xy x y xy x 1 2 2
a) Rót gän A
b) Tìm số ngun dơng x để y = 625 A < 0,2
Bµi 14:XÐt biĨu thøc: P=
a
5 a : a 16 a 4 a a a a
3 (Víi a ≥0 ; a ≠
16) 1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm số tự nhiên a để P số nguyên tố
-CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I hàm số: Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số
* Hµm sè cho công thức cho bảng II hàm số bậc nhất:
Kiến thức bản:
Định nghĩa:
Hm s bc nht có dạng: yaxb Trong a; b hệ số a0 Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: yaxb hàm số bậc là: a0 Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - (1)
Tìm giá trị m để hàm số (1) hàm số bậc Giải: Hàm số (1) bậc 3 m0 0 m3
TÝnh chÊt: + TX§: xR
+ Đồng biến a0 Nghịch biến a0 Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m) x - (2) Tìm giá trị m để hm s (2):
+ Đồng biến R + Nghịch biến R
(4)Đồ thÞ:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b
cắt trục hoành điểm có hồnh độ a b
+ Từ đặc điểm ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) (-b/a;0) đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x +
Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x +
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) (-1/2;0) đồ thị hàm số y = 2x +
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + Cắt nhau: (d1) cắt (d2) aa,
*/ Để hai đờng thẳng cắt trục tung cân thêm điều kiện b b'
*/ Để hai đờng thẳng vng góc với : a.a' 1. + Song song với nhau: (d1) // (d2) a a,;b b'
+ Trïng nhau: (d1) (d2) a a,;b b'
VÝ dơ: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1)
Và y = x – m (d2)
a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt
c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trục tung Giải:
a/ (d1)//(d2) 1
2 1 2
23
m m m m m
b/ (d1) c¾t (d2) 3 m2 m1
c/ (d1) cắt (d2) điểm trục tung m2 m2
Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b a
+ Cách tính góc tạo đờng thẳng với trục Ox dựa vào tỉ số lợng giác tg a
Trờng hợp: a > góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc nhọn
Trờng hợp: a < góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc tù (1800 )
Ví dụ 1: Tính góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox
Gi¶i:
Ta cã: 630 630
Tg
(5)Vậy góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox là: 630.
Ví dụ 2: Tính góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox
Ta cã: (1800 ) 630 (1800 ) 630 1170
Tg
Tg
Vậy góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox là: 1170.
C¸c dạng tập th ờng gặp:
-Dng 3: Tớnh góc tạo đường thẳng y = ax + b v trc Ox
Xem lại ví dụ ë trªn
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm khơng thuộc đồ thị: Ph
ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị khơng?
Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 điểm M thuộc đồ thị Nếu y0y1 điểm M khơng thuộc đồ thị
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) điểm Q(x1; y1) Ph
ơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a b
+ Thay giá trị a b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho đờng thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1
(d3) : y = -x +3
a) C/m m thay đổi d1 ln qua 1điểm cố định b) C/m d1 //d3 d1 vng góc d2
c) Xác định m để đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 qua A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với m
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 víi mäi m ; Điều xảy : x0+ =0
x0+y0+5 = suy : x0 =-1 Y0 = - Vậy điểm cố định A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B (d2) (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = +1 =2 Vậy B (1;2)
Để đờng thẳng đồng qui (d1) phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có: = (m2 -1) + m2 -5
m2 = => m = vµ m = -2
Vậy với m = m = - đờng thẳng đồng qui Bài tập:
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + (d2): y = ( + 2m)x +
1) Tìm m để (d1) (d2) cắt
2) Với m = – , vẽ (d1) (d2)trên mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường
thẳng (d1) (d2)bằng phép tính
- Dạng1: Xác dịnh giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; ct nhau; trựng
Phơng pháp: Xem lại ví dụ -Dng 2: V thị hàm số y = ax + b
Xem lại ví dụ
Xỏc nh to độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Ph
ơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính đợc giá trị y Cặp giá trị x y toạ độ giao điểm hai đờng thẳng
Tính chu diện tích hình tạo đường thẳng:
Ph
ơng pháp: +Dựa vào tam giác vuông định lý Py ta go để tính độ dài đoạn thẳng khơng biết trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác cách cộng cạnh
(6)Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Vì sao?
Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao?
Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m0)và y = (2 - m)x + ;(m2) Tìm điều kiện m để hai
đường thẳng trên:
a) Song song b) Cắt
Bài 5: Víi giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt điểm trục
tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = x
2
cắt trục hoành điểm có hồnh độ 10
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x qua điểm A(2;7)
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) B(-1;3)
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y =
1
2x (d2): y = x2 a/ Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ Oxy
b/ Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , C giao điểm (d1) (d2) Tính chu vi
diện tích tam giác ABC (đơn vị hệ trục tọa độ cm)?
Bài 9:Cho đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị m (d1) // (d2)
b; Với giá trị m (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m =
c; C/m m thay đổi đờng thẳng (d1) ln qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ?
Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị song song với y = 2x +3 qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đờng thẳng với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị m để đờng thẳng song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
CHủ đề 3: hệ hai phơng trình bậc hai ẩn
I kháI niệm: Ph ơng trình bậc hai Èn:
+Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số biết(a 0hoặc b0) + Một nghiệm phơng trình cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phơng trình bậc hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm
+ Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c Nếu a0;b0thì đờng thẳng (d) đồ thị hàm số bậc nhất:
b c x b a y
HÖ hai ph ơng trình bậc hai ẩn:
+ Dạng:
)2 .( )1 .(
, , ,x b y c
a
c by ax
+ NghiƯm cđa hệ nghiệm chung hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phơng trình (1) đợc biểu diễn đờng thẳng (d)
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn đờng thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm
*NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') hệ vô số nghiệm
Hệ ph ơng trình t ơng đ ơng:
(7)Ii.ph ơng pháp giảI hệ ph ơng trình: Giải hệ ph ơng trình ph ơng pháp thế :
a) Quy tắc :
+ Bớc 1: Từ phơng trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phơng trình thứ hai để đợc phơng trình (chỉ cịn ẩn)
+ Bớc 2: Dùng phơng trình để thay cho phơng trình thứ hai hệ (phơng trình thứ th-ờng đợc thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có đợc bớc 1)
Ví dụ: xét hệ phơng trình:
)2 .( 3 2 3 )1 .( 1 2 y x y x
+ Bớc 1: Từ phơng trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi rút x) ta có: x12y.(*) Thay x12y.(*) vào phơng trình (2) ta đợc: 3(12y)2y3.(**) + Bớc 2: Thế phơng trình (**)vào phơng trình hai hệ ta có:
3 2 ) 2 1( 3 2 1 y y y x
b) Gi¶i hÖ :
0 1 0 21 3263 21 32)21(3 21 y x y yx yy yx yy yx
Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x = 1; y = 0) Giải hệ ph ơng trình ph ơng pháp cộng đại số : a)Quy tắc cộng đại số :
+ Bớc 1: Cộng hay trừ vế hai phơng trình hệ hệ phơng trình cho để đợc phơng trình + Bớc 2: Dùng phơng trình thay cho hai phơng trình hệ (và giữ nguyên phơng trình kia)
L
u ý : Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ
Khi hệ số ẩn không không đối ta chọn nhân với số thích hợp để đa hệ số ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi quy đồng hệ số)
bài tập:
Giải hệ phơng trình phơng pháp thÕ
5 3 8 2 4 y x y x 4 2x y
m y x 2 6 2 3 y x y x 2 6 4 1 3 2 y x y x
5
x y x y
(8)
3
x y x y
2
x y x y
2x 3y
4x 6y
Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số
31 11 10 7 11 2 y x y x 7 2 3 3 y x y x 0 3 2 8 5 2 y x y x 3 2 3 2 2 3 y x y x 7 3 6 4 2 5 y x y x 5 6 4 11 3 2 y x y x 3 2 1 2 3 y x y x 6 15 6 2 5 2 y x y x 3 4 6 4 2 3 y x y x
Đặt ẩn phụ giải hệ phơng trình sau
5 ) (2 ) ( 4 ) (3 ) (2 y x y x y x y x 5 1 1 1 5 4 1 1 y x y x 1 1 3 2 2 2 1 1 2 1 y x y x
Các tập tự luyện
Bài Giải hệ phơng trình sau :
a) 4 2 2 2 y x y x b) 20 5 10 1 5 2 y x y x c) 4 3 2 3 y x y x d) 9 7 5 4 3 2 y x y x e) 0 3 8 6 2 4 3 y x y x f) 8 3 2 4 1 3 2 y x y x
Bài : Giải hệ phơng trình sau :
(9)Bài : Cho hệ phơng tr×nh
7 5 3
y x
y x m
a) Giải hệ phơng tr×nh m =
b) Với giá trị m hệ phơng trình nhận cặp số ( x= ; y =- 6) làm nghiệm c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm Tỡm nghim ú
Bài : Cho hệ phơng tr×nh
3 2
ay x
y ax
a) Giải hệ phơng trình a =
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm tìm nghiệm c) Tìm a để hệ phơng trình vơ nghiệm
Bµi : Cho hệ phơng trình
1 2
2
a y x
a y ax
a) Giải hệ phơng trình a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm nhất, tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn: x - y =
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x y số nguyên
Bµi :a) Giải biện luận hệ phơng trình:
80 50 ) 4(
16 )4 ( 2
y x m
y m x
(I)
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm tìm m để x+y lớn Bài 7* : Giải phơng trình sau :
a) 8 x 5 x 5 b) 2 x2 x284
Phần hình học: hình häc
I hÖ thøc tam giác vuông:
Hệ thức cạnh ® êng cao:
+b2 a.b,;c2 a.c,
+ a2 b2c2
+ h2 b,.c,
+ ab, c,
(10)+ 12 1, 1, c b
h + , , 2 , , 2
.; b c b c c b c b
Hệ thức cạnh góc:
Tỷ số l ợng giác:
D K Cotg K D Tg H K Cos H D
Sin ; ; ;
TÝnh chÊt cña tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu 900
Th×:
Sin Cos
Cos Sin
Tg Cotg
Cotg Tg
2/Víi nhọn < sin < 1, < cos <
*sin2 + cos2 = *tg = sin /cos *cotg = cos /sin *tg cotg =1
Hệ thức cạnh góc:
+ Cnh góc vng cạnh huyền nhân Sin góc đối: ba.SinB.;ca.SinC
+ Cạnh góc vuông cạnh huyền nh©n Cos gãc kỊ: ba.CosC.;ca.CosB
+ Cạnh góc vng cạnh góc vng nhân Tg góc đối: bc.TgB.;c b.TgC
+ Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân Cotg góc kề: bc.CotgC.;cb.CotgB
Bài Tập áp dụng:
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuông A Biết b = cm, c = cm Giải tam giác ABC
Bài 2: Cho tam giác ABC vng A có b’ = 7, c’ = Giải tam giác ABC? Bài 3a: Cho tam giác ABC vng A có b = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC? Bài 3b: Cho tam giác ABC vng A có c = 4, b’ = 3.2 Giải tam giác ABC? Bài 4: Chotam giác ABC vng A có AH = 4.8, BC =10 Giải tam giác ABC?
Bài 5: Chotam giác ABC vng A có h = 4, c’ = Giải tam giác ABC? Bài 6: Cho tam giác ABC vng A có b = 12, a = 20 Giải tam giác ABC?
Bài7: Chotam giác ABC vng A có h = 4, c = Giải tam giác ABC?
Bài 8: Cho tam giác ABC vng có A = 900, b = 5, B = 400. Giải tam giác ABC? Bài 9: Chotam giác ABC vuông A có a = 15, B = 600 Giải tam giác ABC? Bài 10:Chotam giác ABC vuông A có AH = 3, C = 400 Giải tam giác ABC? Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A có c’ = 4, B = 550 Giải tam giác ABC?
Bài 12: Chotam giác ABC vuông A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = 5, h =
Giải tam giác ABC?
Bài13: Chotam giác ABC vuông A, trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = 5, góc nhọn 470 Giải
tam giác ABC?
Bài14: Tam giác ABC vng A có h = 4, Đờng phân giác ứng với cạnh huyền ga =
Giải tam giác ABC?
Bài15: Chotam giác ABC vuụng ti A cú Đờng phân giác ứng với cạnh hun ga = Góc C = 300 Giải tam
giỏc ABC?
II Đ ờng tròn:
.Sự xác định đờng tròn: Muốn xác định đợc đờng trịn cần biết:
+ T©m bán kính,hoặc
(11)+ ng trũn qua điểm ( Khi tâm giao điểm hai đờng trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó)
Tính chất đối xứng:
+ Đờng trịn có tâm đối xứng tâm đờng trịn
+ Bất kì đờng kính vào trục đối xứng đờng tròn
C¸c mèi quan hƯ:
1 Quan hệ đ ờng kính dây:
+ Đờng kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung ®iĨm cđa d©y Êy
2 Quan hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây Chúng cách tâm + Dây lớn Dây gần tâm
Vị trí tơng đối đờng thẳng với đờng trịn:
+ Đờng thẳng khơng cắt đờng trịn Khơng có điểm chung d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R bán kính đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn Có điểm chung d < R
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng trịn Có điểm chung d = R
Tiếp tuyến đờng tròn:
1 nh ngha: Tiếp tuyến đờng tròn đờng thẳng tiếp xúc với đờng trịn
2 Tính chất: Tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đầu mút bán kính (tiếp điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vng góc đầu mút bán kính đờng trịn tiếp tuyn ca ng trũn ú
Bài Tập tổng hợp häc kú I:
Bài Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đờng cao AH cắt đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác D a/ Chửựng minh: AD đờng kính
b/ TÝnh gãc ACD
c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính đờng tròn tâm (O)
Bài Cho ( O) A điểm nằm bên ngồi đờng trịn Kẻ tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn ( B , C tiếp điểm )
a/ Chøng minh: OA BC
b/Vẽ đờng kính CD chứng minh: BD// AO
c/Tính độ dài cạnh tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = cm?
Bài 3: Cho đờng trịn đờng kính AB Qua C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn G ọi E , F lần lợt chân đờng vng góc kẻ từ A , B đến d H chân đờng vuông góc kẻ từ C đến AB Chửựng minh: a/ CE = CF
b/ AC phân giác góc BAE c/ CH2 = BF AE
Bài 4: Cho đờng trịn đờng kính AB vẽ tiếp tuyến A x; By từ M đờng tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ cắt Ax C cắt B y D gọi N giao điểm BC Và AO .CMR
a/ CN NB
AC BD
b/ MN AB c/ gãc COD = 90º
Bµi : Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM
a)CMR: NE AB
b) Gọi F điểm đối xứng với E qua M CMR: FA tiếp tuyến (O) c) Chứng minh: FN tiếp tuyến đtròn (B;BA)
d/ Chứng minh : BM.BF = BF2 – FN2
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M điểm tuỳ ý nửa đường tròn
( M A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax
và By C D
a) Chứng minh: CD = AC + BD góc COD = 900 b) Chứng minh: AC.BD = R2
(12)Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A B vẽ tiếp tuyến (d) (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vng góc với MP cắt đường thẳng (d’) N
a/ Chứng minh OM = OP tam giác NMP cân
b/ Hạ OI vng góc với MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến đường tròn (O) c/ Chứng minh AM.BN = R2
d/ Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Vẽ hình minh hoạ
Bài 8: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp
tuyến xy Vẽ AD BC vng góc với xy a/ Chứng minh MC = MD
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trị khơng đổi điểm M chuyển động nửa đường tròn
Các dạng toán phơng trình bậc hai
bài mẫu: Giải phơng trình sau cách điền tiếp vào chỗ ( )
1) Giải phơng trình: 3x2 -27x = 3x(x-……) = 3x= (1) (2)
Giải(1) x=
Giải(2) x=
(13)2) Giải phơng trình: 5x2 - 45 = x2-…… = x2 = x1,2=………
Vậy phơng trình cho cú.nghim
3)Giải phơng trình: 2x2 -2007x +2005= 0
(a=… ;b=… ;c=……)
Ta cã:a+b+c=………=
Vậy phơng trình cho có…….nghiệm ……… ; ………
??:Em đề xuất toán tơng tự nhóm bạn giải Xem nhanh hơn,trình bày ngắn gọn xác
4) Gi¶i phơng trình: 2x2 +7x -5= 0
(a= ;b= ;c=) Ta cã: ∆=……….=……… >0
Vậy phơng trình ó cho cú.nghim ;
5) Giải phơng trình: x4 - 7x2 +10 = 0(*)
Đặt x2 = y (y≥0)
Lúc phơng trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = (1) Gii(1) ta cú: =.= >0
=>Phơng trình(1) cã hai nghiƯm y1=………= …………; y2=………=………… Víi y1=………; y2=…………tho¶ mÃn điều kiện toán
Mà x2 = y
Nªn y1=………=> x2 =……… <=>……… y2==> x2 = <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
6) Giải phơng trình: x5 x 60(*)
Đặt x = y (y0)
Lỳc ú phơng trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = (1) Gii(1) ta cú: =.= >0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y1== ; y2== Với y1=; thoả mÃn điều kiện toán => y1=(loại)
y2=thoả mÃn điều kiện toán Mà x2 = y
Nªn y2=………=> x =……… <=>………
VËy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
Bài : Giải phơng trình
a) 2x2 - 50 = c)54x2 = 27x e)y+ y-6=0
b)
4
3x2 x2 d) y+ y=0 f)y-5 y+4=0 Bài 2: Giải phơng tr×nh
a) 3x2 -17x - 20 = 0 b) 2x2 - 2007x + 2005 = 0 c) x2 + x + = 0
d) x2 - 4x + 4= 0 e) x2 + 3x - = 0 f) x2 - x + 2 2
=
Bài : Giải phơng trình sau phơng pháp ẩn phụ 1) x4 - 5x2 - = 0
2) x4 + 7x2 - = 0 3) x4 + 9x2 + = 0 4)
1 2
2
x
x x
5)
1
x
x x
x
6) 2 2 2 2
x x x
x
7)y2 5y2 8yy 5 84
8) 5 5
y
y
9) 4 2 2 0
x
x
bài mẫu: Tìm giá trị m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = (1) có nghiệm 2.Tìm nghiệm cịn li
Giải: Để phơng trình(1) có nghiệm x1=2 th×: 5.22 +m.2 -m2-12=0
8+m.2 -m2=0
m2-2m - = 0(*)
(14)=> phơng trình (*) có hai nghiệm m1== ; m2== +)Với m1= phơng trình(1) có nghiệm x1=2
lúc theo Vi-et ta có: x1+x2 =-5 m
Mà x1=2 ; m1= Nên + x2
=-5
x2=……….=……… +)Với m2= phơng trình(1) có nghiệm x1=2
lúc theo Vi-et ta có: x1+x2 =-5 m
Mà x1=2 ; m2= Nên + x2 =…… x2=……….=………
VËy………
………
Bài : Với giá trị b phơng trình
a) 2x2 + bx - 10 = có nghiệm Tìm nghiệm lại b) b2x2 - 15x - = cã mét nghiệm Tìm nghiệm lại
c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Bài : Cho phơng trình ẩn x Xác định k để phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x2 + 5x + k = 0 c) x2 - (2k+3) + 4k + = 0 b) x2 + kx + = d) (k-1) x2 + kx + = 0 Bài : Xác định k để phơng trình vơ nghiệm.
Bài : Xác định k để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
bài mẫu: Chứng minh phơng trình: (m-3)x2 + m x +1= 0 có nghiệm với giá trị m
Giải: phơng trình: (m-3)x2 + m x +1= 0(*) ( a=…….; b=………; c=………)
+) Xét a= hay m - = m =……… lúc phơng trình(*) trở thành: 3x+1=0 x=
=> m = phơng tr×nh(*) cã mét nghiƯm x=…….(1) +) XÐt a ≠ hay m - ≠ m ≠……
Ta cã: ∆=………=………= m2 - 4m + 12
= m2 - 2(….).m +(… )2-…… +12 = (… - ….)2 +……….
NhËn thÊy: ( m - ….)2≥0 Víi mäi m ≠ 3 ( m - ….)2 + ≥…….>0 Víi mäi m ≠ 3 Hay ∆>0 Với m => phơng trình(*) có hai nghiệm Víi mäi m ≠ (2) Tõ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với m
Chú ý:Với phơng trình có chứa tham số hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 a Bài : Chứng minh phơng trình sau có nghiệm với giá trị m.
a)x2+(m+1)x+m=0 b) x2 -mx + m - = 0
c) -3x2 + 2(m-2)x+ 2m + = d) x2 + 4x - m2 + 4m - = 0 e) (m+1)x2 + x - m = 0
bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = có hai nghiệm trái dấu. Giải: phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = (1)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu th× a.c < Hay 1.(30-5m) <
30-5m < 0……….<=> m >
VËy m………
Chú ý:Trong dạng toán Với phơng trình có chøa tham sè ë hÖ sè a ta không phải xét hai trờng hợp a=0 a
Bài 9: Tìm m để phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
a) x2 + 2x + m - = b) x2 + mx + =
c)-3x2 + 2(m-2)x+ 2m + = d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 = e) (m2 + m +4)x2 + mx - =
Bµi 10 : Cho phơng trình : (m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = (1) a) Giải phơng trình m =
b) Chứng minh : x = m nghiệm phơng trình (1) c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
bµi mẫu: Giải biện luận phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2) x +m = (Èn x , tham sè m) Giải: phơng trình: (m-3)x2 + 2(m-2)x +m = 0(*)
(15)+) Xét a= hay m - = m =……… lúc phơng trình(*) trở thành: ….x+1=0 x=…………
=> m = phơng trình(*) có nghiệm x= +) XÐt a ≠ hay m - ≠ m ≠……
Ta có: ∆'=………=……… = -m +4 -Khi ∆'>0 hay -m+4 >0 ……… m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc lúc phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x1=
3 m
m ) m (
;………
-Khi ∆'=0 hay -m+4 =0 ……… m= lúc phơng trình(*) có nghiệm kép x1=….=
3 m
) m (
=2 (do m= 4)
-Khi ∆'>0 hay -m+4 <0 ……… …… kết hợp vơí điều kiện ta đợc……… lúc phơng trình(*) vơ nghiệm
VËy m = …… phơng trình(*) có nghiệm x=
……… ………
……… ………
Bµi 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx2 - 2(m-2) x + m - = 0 a) Giải phơng trình m =
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c) Giải biện luận theo m có nghiệm phng trỡnh
Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x cã hai nghiƯm lµ
a) vµ b) 3- vµ + c) 3- vµ + d)
2
1
vµ 2
e) b a
1 vµ
b a
1
víi a b
bài mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1- + Giải: Đặt x1=3- x2= +
Ta cã: x1+x2=………+………=
x1.x2=(………….).(……… )=………….=
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 nghim ca phng trỡnh: .=
Vậy phơng trình cần lập là:
Bài 13 : Cho phơng trình : x2 + 5x - b = cã hai nghiệm x1 ; x2 Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 y2 thoả mÃn : y1 = x12 + vµ y2 = x22 +
Bài 14:Cho phơng trình : x2 - 2010 2005x +1 = 0
Cã nghiƯm x1vµ x2 Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 y2 thoả mÃn : y2 = x12 + vµ y1 = x22 +
Bµi 15: Giải hệ phơng trình :
a)
35 y. x
5 y x
b)
60 y. x
11 y x
c)
12 y. x
25 y
x2
bài mẫu: Khơng giải phơng trình xác định dấu nghiệm (nếu có) phơng trình a) 5x2 - 7x - = 0
Gi¶i: có : a.c = .=-5 < => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu b) 5x2 - 7x + = 0
Giải: phơng trình: 5x2 - 7x+2 = 0 (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……….= >
(16)¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã: .
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt dấu dơng c) x2 + 11x + = 0
Giải: phơng trình: x2 +11x+5 = 0 (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……….= … >
¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã: .
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt dÊu ©m d) 5x2 + x + =
Giải: phơng trình: 5x2 + x +2 = 0
(a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……….= … < => ph¬ng trình vô nghiệm
Bi 16 : Khụng gii phng trình xác định dấu nghiệm (nếu có) của phơng trình sau :
1) 3x2 + 5x - = 3) 5x2 - 14x + = 0
2) 7x2 -3x + 1= 0 4) 2x2 - 4x - = 0
5) 4x2 - 3x +2 = 0 6) x2 +5x +1 = 0
bài mẫu: Cho phơng trình : x2 - 2x + m-3 = (m tham số ) tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu dơng ?
Gi¶i : phơng trình : x2 - 2x + m-3 = (*) (a= ; b=.; c=.)
Để phơng trình(*)có hai nghiệm dấu dơng thì: . 0 x. x
0 x x
0 '
2
2
hay. .
) 3 (
) 2 (
) 1 (
Giải(1): 4-m > ……….<=>……… Giải(2): > ln
Gi¶i(3): …… > ……….<=>………
Kết hợp ba điều kiện ta đợc:………
VËy m………
Bài 17 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = (m tham số ) tìm m để phơng trình 1) có nghiệm trái dấu
2) cã nghiÖm cïng dÊu 3) Cã Ýt nhÊt nghiƯm d¬ng
4) Có nghiệm dấu dơng 5) Có nghiệm âm Bài 18 : Tìm giá trị m để phơng trình:
a) x2 - 2mx + (m-1)2 = Có nghiệm phân biệt dơng b) 2x2 - 2(m+1) x + m = Cã nghiÖm ph©n biƯt cïng ©m c) x2 - 2x + 2m -30 = Cã nghiƯm tr¸i dÊu.
Bài 19 : Cho phơng trình : 5x2 - 6x - =
Không giải ph ơng trình hÃy tính giá trị biểu thức sau(x1; x2là nghiệm phơng trình) 1) S = x1 + x2 ; P = x1 x2
2) A = x12 + x22 ; B =
2 x
1 x
1
; C =
1 2
x x x x
(17)Bµi 20 : Cho phơng trình : x2 - 8x + n = (1) n tham số a) Giải phơng trình víi n =
b) Tìm điều kiện n để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1) x1 - x2 = ; 3) 2x1 + 3x2 = 36
2) x1 = 3x2 ; 4) x12 + x22 = 50 Bµi 21 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m =
Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) Nghiệm gấp lần nghiệm b) Hiệu hai nghiệm
Bài 22 : Cho phơng trình x2 - 2(m-2)x - 6m = (ẩn x) a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm cịn lại c) Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt với m d) Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình Hãy tính A = x12 + x12 theo m từ tìm giá trị nhỏ ca A
bài mẫu: dạng toán tìm giá trÞ lín, nhÊt nhá nhÊt cđa mét biĨu thøc nghiƯm Ví dụ 1: Cho phơng trình x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (1) (Èn x)
a) Chøng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt víi mäi m
b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn tìm giá trị Lớn đó Giải: a) phơng trình: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (ẩn x)
(a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….)
Ta cã : ∆'=………
= m2-8m+24
= m2-2m(… )+(….)2 -………+24 =(… -……)2 +………
NhËn thÊy: (… -)2 với giá trị m
=> (… -……)2 +………≥…… > víi mäi giá trị m
Hay '> với giá trị m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m
¸p dơng hƯ thøc Vi-et ta cã: .
(I)
Lại có: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (……+……) Thay (I)vào A ta đợc :
A= -2(m-3)(… -……)
=……… = - 4m2+ 42m - 90
-A = 4m2- 42m - 90
= (2m)2-2.2m(… )+(….)2 -………- 90 =(……-……)2 -………
Nhận thấy: ( -)2 với giá trị cđa m
<=> (… -……)2 -………≥…… víi giá trị m
Hay -4A với giá trị m A với giá trị m Dấu "=" xảy =0 m=
Vậy giá trị
Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x)
Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ đó(x1 , x2 nghiệm phng trỡnh (1) )
Giải: phơng trình x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x) (a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….)
Ta cã : ∆'=………
= 6m+18
Để hpơng trình (1)có nghiệm ' hay……… m ≥ ……
(18)DÊu "=" x¶y m =
VËy A có giá trị nhỏ m=
Bạn hÃy tự phân chia bớc toán tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức nghiệm phơng trình bậc hai
Bài 23 : Cho phơng trình x2 + (m+1)x + m = (ẩn x)
a) Chứng minh phơng trình có nghiƯm víi mäi m b) H·y tÝnh x21x2 + x22x1 theo m
c) Tìm giá trị lớn biĨu thøc :E = x21x2 + x22x1
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt nghiệm gấp đơi nghiệm Bài 24 : Cho phơng trình: x2 + mx + m - = (1) (ẩn x)
a) Chøng minh Phơng trình (1) có nghiệm với m b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2(x2
1 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1) Bµi 25 : Cho phơng trình: x2 - (k+1)x + k = (1) Èn x tham sè k
a) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm với mäi k b) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiƯm phơng trình (1) Tính biểu thức A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m Tìm giá trị nhỏ A Bài 26 Cho phơng trình: : x2 + 2mx + m2 + 4m + = (1) (Èn x)
a)Tìm giá trị m để phơng trình (1)có nghiệm b)Tìm giá trị nhỏ ca :A=x1+x2
c)Tìm giá trị nhỏ :B=x1+x2+x1.x2+2007
Bài 27 *: Cho phơng trình: x2 - (m+1)x + m2 -2m + = (ẩn x) a) Tìm giá trị m để phơng trình vơ nghiệm
b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm
c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm phân biệt Viết nghiệm theo m d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn nhất
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biĨu thøc B = x1 + x2 Bµi 28 : Cho phơng trình : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = (Èn x)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) Tìm giá trị lớn A = x1x2 - 2x1 - 2x2
Bµi 29 : Cho phơng trình: x2 - (k-3)x + 2k + = (1) (ẩn x) a) Với giá trị k phơng trình (1) có nghiệm
b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm tính P = x1 + x2 ; S = x1 x2 c) Viết hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với m phơng trình sau a) x2 - (2m+5)x + m + = b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = 0 c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = d) (m-1)x2 - 2mx + m + = 0 Bài 31 : Cho phơng trình: x2 - (2m-1)x+ m2 - m - = (1) (m tham số)
a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) ln có nghiệm phân biệt Tìm nghiệm b) Tính A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m
c) Tìm m để A
Bài 32 : Cho hai phơng trình : x2 - 7x + = 0
x2 + (m+1)x + 24 = 0 Xác định m để hai phơng trình có nghiệm chung Bài 33 : Cho hai phơng trình : x2 + x + m = x2 + mx + = 0
a)Với giá trị m hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung b) Với giá trị m hai phơng trình tơng đơng
Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung 2x2 - (3m+2) x + 12 = 0 4x2 - (9m-2)x + 36 = 0 Bài 35 : Xác định m n để hai phơng trình sau tơng đơng
x2 +(3m+2n)x - = 0 x2 + (2m-3n)x + 2n = 0
Bài 36 : Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = x2 + p2x + q2 =
BiÕt r»ng: p1p2 = 2(q1 + q2) CMR: Ýt nhÊt hai phơng trình có nghiệm Bài 37 : Chứng minh hai phơng trình
ax2 + bx + c = (1) vµ a1x2 + b1x + c1 = (2) Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung th× (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c)
Một số toán tổng hợp phơng trình bậc hai Bài 38: Cho phơng trình: x2 - 2(m+1) x +m-4 = (1)
a)Giải phơng trình m=1
b)CMR phơng trình có nghiệm phân biệt
c)Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m d)Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= x12 +x22
(19)b)CMR ph¬ng trình có nghiệm
c)Gi x1,x2 l nghim ca phơng trình Tính B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k. Từ tìm giá trị nhỏ B
d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x12 + x22 =5 e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm Bài 40:Cho phơng trình: x2 - (a-1) x - a2 +a - = (1)
1) CMR phơng trình (1)ln ln có nghiệm trái dấu với a 2)Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình Tính S= x12 + x22 theo a. Từ tìm giá trị nhỏ S
3)lập hệ thức liên hệ x1,x2 độc lập với a 4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mãn
1 x
1 +
2 x
1
nhận giá trị dơng Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x2 + x +m2 - 1= 0
a) Giải phơng trình với m =-1
b)Tỡm m để phơng trình có nghiệm trái dấu
c)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu có nghiệm Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - = (1)
1.Giải phơng trình a=1
CMR phơng trình ln ln có nghiệm phân biệt với a khác -1 Tìm a để phơng trình có nghiệm trái dấu
Tìm a để phơng trình có nghiệm dấu nghiệm gấp đơi nghiệm 5.Tìm a để phơng trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn nghiệm lớn nghiệm nhỏ
Bµi 43:Cho phơng trình ẩn x : x2 + p x +q = 0(1) a)Không giải phơng trình tính theo p,q biểu thøc
A= 2
2
1 2(2x 3) )
3 x (
1
theo p ,q
b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm c)lập phơng trình bậc hai có nghiệm
1 x
1 x
1
vµ x
1 x
2
d)Gi¶ sư p+q = CMR phơng trình (1)và phơng trình câu (c) có nghiệm chung e)CMR phơng trình (1) phơng trình: x2 + n x +m = cã nghiƯm chung th×
(n+p)2 +(m- p)(mq-np) = 0. Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x2 + 2m x +2m-1 = (1) 1)CMR phơng trình (1)ln có nghiệm với m 2)Giả sử x1,x2 nghiệm phơng trình (1) a.Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 độc lập với m b Tìm m x1- x2 =6
c Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc A== x12 x2 + x22 x1
3)Tìm m để phơng trình có nghiệm có nghiệm lớn 4)Tìm m để phơng trình có nghiệm có nghiệm nhỏ 5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1<x<3
Chuyên đề :
giải toán cách lập hệ phơng trình phơng trình
dng toỏn chuyn động.
Bài : Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
Bài : Hai ngời hai địa điểm cách 3,6 km khởi hành lúc, ngợc chiều nhau, gặp ở vị trí cách hai địa điểm khởi hành km Nếu vận tốc không đổi nhng ngời chậm xuất phát trớc ng-ời phút họ gặp quãng đờng Tính vận tốc ngng-ời
Bài : Quãng đờng AB dài 270 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe
Bài : xe gắn máy từ A đến B cách 90 km Vì có việc gấp phải đến B tr ớc dự định 45 phút nên ngời phải tăng vận tốc 10 km Hãy tính vận tốc dự định ngời
(20)Bài : ngời xe đạp từ A đến B cách 50 km sau 1h30’ ngời xe máy từ A đến B và đến B sớm ngời xe đạp Tính vận tốc xe Biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
Bµi : Hai ngêi cïng khëi hµnh lóc từ hai tỉnh A B cách 44 km ngợc chiều họ gặp lúc 20 phút Tính vận tốc ngời biết vận tốc ngời từ A vận tốc ngời từ B km/h
Bài : Từ hai địa điểm cách 126 km Có ngời ngời ô tô khởi hành lúc 30 phút Nếu ngợc chiều họ gặp lúc 10 giờ, chiều(ơ tơ phía ngời bộ) tơ đuổi kịp ngời lúc 11 Tính vận tốc ngời ô tô
Bài : Hai tỉnh A B cách 150 km Hai ô tô khởi hành lúc ngợc chiều nhau, gặp C cách A 90 km Nếu vận tốc không đổi nhng ô tô từ B trớc tơ từ A 50 phút hai xe gặp quãng đờng Tính vận tốc ô tô
Bài 10 : Một ô tô dự định 120 km thời gian dự định nửa qng đờng đầu Ơ tơ với vận tốc dự định Xong xe bị hỏng lên phải nghỉ phút để sửa Để đến nơi xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h nửa qng đờng cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh quãng đờng
Bài 11 : Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian dự định sau đ ợc Ơ tơ bị chặn xe lửa 10 phút, để đến B giờ, xe phải tăng vận tốc km/ Tính vận tốc tơ lúc đầu
Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài km, đoạn xuống dốc dài km Một ngời từ A đến B hết 40 phút, từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc vận tốc lên dốc lúc vận tốc xuống dốc vận tốc xuống dốc về) Tính vận tốc xuống dốc vận tốc lên dốc
Bài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC đoạn xuống dốc CB Thời gian AB 20’, thời gian BA Tính quãng đờng AC, CB Biết vận tốc xuống dốc 15 km/h, vận tốc lên dốc 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc vận tốc lên dốc lúc về, vận tốc xuống dốc lúc vận tốc xuống dốc lúc về)
Bµi 14 : Một thuyền khởi hành từ bến sông A sau 20 phút ca nô chạy từ bến A đuổi theo gặp thuyền cách bến A 20 km Hái vËn tèc cđa thun BiÕt r»ng ca nô chạy nhanh thuyền 12 km
Bài 15 : Một ca nô xuôi khúc sông dài 90 km, ngợc 36 km Biết thời gian xuôi nhiều thời gian ngợc dòng giờ, vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc ca nô lúc xuôi dòng lúc ngợc dòng
Bài 16 : Một ca nô từ A đến B với thời gian định Nếu vận tốc ca nơ tăng km/h đến sớm giờ, nếu ca nơ giảm vận tốc km/h đến chậm Tính thời gian dự định vận tốc dự định
Bài 17 : Một ca nô xuôi khúc sông từ A đến B dài 80 km trở từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca nô Biết tổng thời gian ca nô xuôi ngợc hết 20 phút vận tốc dịng nớc km/h
Bµi 18 : Một ca nô chạy khúc sông giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km Một lần khác ca nô chạy giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nớc
Bài 19 : Trên khúc sông ca nô xuôi dòng hết chạy ngợc dòng hết Biết vận tốc của dòng nớc km/h Tính chiều dài khúc sông vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng
Bi 20 : Hai ca nô khởi hành lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút, sau chạy tiếp Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô nô đến nơi mt lỳc
Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A B cách 85 km ngợc chiều Sau 40 phút 2 ca nô gặp Tính vận tốc riêng ca nô Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng km/h Và vận tốc dòng nớc km/h
Bài 22 : Hai bến sông A, B cách 40 km, lúc với ca nô xi từ bến A có bè trơi từ bến A với vận tốc km/h sau đến B ca nô trở bến A gặp bè trơi
đợc km Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc riêng ca nô không đổi Bài 23 Một ôtô từ A cần tới B lúc 10 cách B 40 km.
Ngời lái xe thấy giữ nguyên vận tốc đến B lúc 10 10 phút Ngời tăng vận tốc thêm 10 kkm/h đến B lúc 10 10 phút Tính vận tốc lúc đầu ô tô
Bài 24 Một ôtô từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc vận tốc tăng 10km/h Do thời gian thơừi gian 30 phút Tính vận tốc lúc
(21)Bài 26 Hai ngời quãng đờng AB dài 450 km khởi hành lúc Vận tốc ngời thứ vận tốc ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ đến B sau ngời thứ hai Tính vận tốc thời gian quang đờng AB ngời
Bài 27 Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời vòng đờng khác dài đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc Biết thời gian nhiều thời gian 30 phút
Bài 28.Hai ngời xe đạp xuất phát từ A đến B Vận tốc họ km/h nên họ đến B sớm muộn 30 phút tính vận tốc ngời , biết quãng đờng AB dài 30 km Sử dụng tính chất Bài 29 Một ca nơ xuôi từ bến A đến bến B , lúc có ngời từ bến A dọc theo bờ sông h-ớng đến B Sau dợc 24km ca nơ quay lại gặp ngời địa điểm cách bến A 8km Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng , biết vận tốc ngời vận tc dũng nc u bng 4km/h
II Dạng toán chung - riªng
Bài : Hai đội xây dựng làm chung công việc dự định làm xong 12 ngày, họ làm với đợc ngày đội đợc điều động làm việc khác, đội tiếp tục làm Do cải tiến kỹ thuật, suất tăng gấp đôi lên đội làm xong phần việc lại 3,5 ngày Hỏi đội làm bao ngày xong cơng việc (với suất bình thờng)
Bài : An Bình làm chung cơng việc 20 phút xong Nếu An làm và Bình làm hai ngời làm đợc
4
cơng việc Hỏi ngời làm làm cơng việc xong
Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 20 bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút và vòi thứ chảy 12 phút đầy
15
bể Hỏi vòi chảy lâu đầy bể
Bài : Hai vòi nớc chảy sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy 10 đầy bể Hỏi nếu vòi thứ hai chảy đầy bể
Bài : Hai líp 9A vµ 9B cïng tu sưa khu vêng thùc nghiƯm cđa nhµ trêng ngµy xong Nếu lớp tu sửa muốn hành thành công việc lớp 9A cần thời gian lớp 9B ngày Hỏi lớp làm hoàn thành công việc
Bài : Hai tổ sản xuất nhận chung công việc.Nếu làm chung hoàn thµnh
cơng việc Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong cơng việc trớc tổ Hỏi tổ làm xong cơng việc
Bài : Hai tổ đợc giao làm việc Nếu làm chung hồn thành 15 Nếu tổ làm giờ, tổ làm làm đợc 30% cơng việc Hỏi làm tổ cần làm hồn thành cơng việc
Bài 8: Hai ngời làm chung cơng việc xong 50’ Sau làm đợc Ngời thứ phải điều làm việc khác, nên ngời làm tiếp xong công việc Hỏi làm ngời làm xong
Bµi : Hai ngêi thợ làm công việc, làm riêng ngời nửa công việc tổng cộng số làm việc 12h30 Nếu hai ngời làm chung hai ngời làm xong công việc Hỏi ngời làm riêng xong việc
Bài 10 : Hai vòi nớc chảy vào bể sau
4 đẩy bể, môĩ lợng nớc vòi chảy 1 l-ợng nớc vòi Hỏi vòi chảy riêng đầy bÓ
Bài 11 : Hai ngời thợ dự định làm chung công việc 12’ xong nhng thực tế ngời làm ngời tăng xuất lên gấp đơi làm hai ngời làm đợc
4
công việc Hỏi ngời làm cơng việc xong công việc
Bài 12 : Hai ngời thợ làm chung công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc xong cơng việc
II tăng xuất :
(22)Bài : Hai đội thuỷ lợi gồm ngời đào đắp mơng Đội đào đợc 45 m3 đất, đội hai đào đợc 40 m3 Biết công nhân đội đào đợc nhiều ccông nhân đội 1m3 Tính số đất công nhân đội đào đợc. Bài : Một máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực ngày đội máy kéo cày đợc 52 Vì vậy đội khơng cày xong trớc thời hạn ngày mà cày thêm đợc Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch định
Bài : Một tổ dệt khăn mặt, ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế ngày dệt thêm đ-ợc 60 chiếc, hồn thành kế hoạch trớc ngày mà cịn dệt thêm đđ-ợc 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu
Bài : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm 10 m3 Sau bơm đợc
3
dung tích bể chứa, ngời cơng nhân vận hành cho máy bơm với công suất lớn hơn, bơm đợc 15 m3 bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định Tính dung tích bể chứa.
Bµi : Mét tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo suất dự kiến Thời gian làm theo năng suất tăng 10 sản phẩm so với thời gian làm theo suất giảm 20 sản phẩm ngày ( tăng, giảm so với suất dự kiến) Tính suất dự kến theo kÕ ho¹ch
Bài : tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng 2, tổ vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy
Bài : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ sản xuất vợt mức 15%, tổ sản xuất vợt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất đợc chi tiết máy ?
Bài9 Một tàu đánh cá dự định trung bình ngày đánh bắt đợc 30 cá Nhng thực tế ngày đánh bắt thêm đợc nên hoàn thành kế hoạch sớm đợc ngày mà đánh bắt vợt mức 20 Hỏi số cá dự định đánh bắt theo kế hoạch bao nhiêu?
Bài 10 Trong buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam nữ trồng đợc tất 180 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng bạn nam trồng nhiều bạn nữ cây.Tính số học sinh nam nữ
IV Toán hình học :
Bài : Cạnh huyền tam giác vuông 10 m Hai cạnh góc vuông nhau2m Tìm cạnh góc vuông tam giác
Bi : Mt khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m, ngời ta làm lối xung quanh vờn ( thuộc đất v-ờn) rộng 2m Diện tích đất cịn lại để trồng trọt 4256 m2 Tính kích thớc vờn.
Bµi : TØ số cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông 13/12 cạnh lại 15m. TÝnh c¹nh hun
Bài : Tìm hai cạnh tam giác vuông biết cạnh huyền 13 cm, hiệu hai cạnh góc vng cm. Bài : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu chiều rộng tăng thêm m chiều dài tăng thêm 3 m diện tích tăng thêm 195 m2 Tính kích thớc ming t.
Bài : Tìm kích thớc hình chữ nhật biết chu vi 120m, diÖn tÝc b»ng 875m2
Bài : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy hình tam giác biết tăng cạnh đáy 4m giảm chiều cao tơng ứng 1m diện tích khơng đổi
Bài : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng gấp đôi giảm chiều dài 10 m Thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m2 Tính chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu.
Bµi : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m Tính cạnh góc vuông.
Bài 10 : tính cạnh góc vuông tam giác vuông biết hiệu chúng m diện tích tam giác 48 m2
Bài 11 Tính độ dài cạnh tam giác vuông , biết chúng số tự nhiên liên tiếp. Bài12 Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật biết chu vi 34m , đờng cao 13 m.
Bài13 Một tam giác vng có cạnh huyền 15 cm hai cạnh góc vng 3cm Tính độ dài cạnh tam giác vng
Bài14 Tính cạnh góc vuông tam giác vuôngcó cạnh huyền 10 Và cạnh góc vuông trung bình cộng cạnh cạnh huyền
Bi15 Mt sõn tam giỏc cú diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy tam giác biết tăng cạnh đáy 4m giảm chiều cao tơng ứng 1m diện tích khơng đổi.S
(23)Bài : Chứng minh tứ giác hình vẽ dới nội tiếp đợc đờng tròn.
O
P Q
E F
x G
H O
A K
M N A
D C
B A D C
B A
Bài : Cho đờng tròn (O) điểm A bên ngồi đờng trịn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn (O) M điểm tuỳ ý dây BC (M≠B ; M≠ C) đờng thẳng vng góc với OM M cắt AB, AC lần lợt D E CMR
a Tứ giác ODBM tứ giác ABOC nội tiếp đờng tròn b M trung điểm DE
Bài : Cho đờng tròn (O) cung AB S điểm cung Trên dây AB lấy hai điểm E H. Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt C D CMR tứ giác EHCD nội tiếp đờng tròn
Bài : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi S điểm cung nhỏ CD.đờng thẳng AD cắt BS E đờng thẳng BC cắt AS F CMR
a Tứ giác AFEB nội tiếp đờng tròn b ED.EA= ES.EB
c DC song song víi EF
Bài : Cho ∆ ABC nhọn đờng phân giác góc B góc C gặp S đờng phõn giỏc ngoi
Bvà C gặp E
a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn
b> Gọi M tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE CMR tứ giác ABMC nội tiếp
Bài 6: cho đờng tròn (0) điểm A ngồi đờng trịn Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (0) B C gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn
( M≠B ; MC ).Từ M kẻ MH vuông góc với BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc víi AB a> chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp
b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK c> chứng minh MI.MK= MH2
Bài 7: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AB M điểm đờng tròn(M≠A; M≠ B)
C điểm cạnh AB (C≠A; C≠0;C≠B) đờng vng góc MC M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B với đ-ờng tròn (0) E va F chứng minh
a> Tứ giác BCMF nội tiếp đớng trịn b> Tam giác ECF vng C
Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB’ CC’ cắt H a)chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác BCB’C’
b)Tia AO cắt đờng tròn (O) D, cắt B’C’ I CMR tứ giác B’IDC nội tiếp, từ suy AO B’C’
c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M BC
Bài : cho (O; R) hai đờng kính AB CD vng góc với E điểm cung nhỏ BC AE cắt OC F, DE cắt AB N
a Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng trịn b Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy
Bài 10 : cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cắt E F ; O1O2 cắt (O1) A, C ; cắt (O2) B, D (sắp xếp theo thứ tự A, B, C, D) cắt EF H P điểm tia đối tia EH CP cắt (O1) M ; BP cắt (O2) N ; AM cắt DN I chứng minh :
a Tø gi¸c MPNI néi tiÕp b HA HC = HB HD c Tø gi¸c BNMC néi tiÕp
d H ; I ; P thẳng hàng tø gi¸c ANMD néi tiÕp
II-Chứng minh đại lợng a.b=c.d (a,b,c,d độ dài đoạn thẳng)
(24)Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O.Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD.CMR :IA.ID = IB IC
Bµi :
Cho ∆ BAC vng A,đờng cao AH, gọi P,Q theo thứ tự hình chiếu H AB AC a Chứng minh : tứ giác BPQC nội tiếp đờng tròn
b Chøng minh r»ng : AP AB = AQ AC
c Gäi O vµ O’ thø tù trung điểm BH HC Gọi I giao điẻm PQ AH d CMR : OI2 = OH OO’
Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB CD vng góc với nhau.Trên cung nhỏ BC lấy điểm M.Gọi dao điểm AM CD K
CMR :AM.AK =AD2 = BD2 = 2R2
Bài : Cho đoạn thẳng AB , kẻ Bx AB Trên Bx lấy mét ®iĨm O cho BO = AB
Tia AO cắt đờng tròn (O ; OB) D E ( D nằm A O) đờng tròn (A ; AD) cắt AB C
a Tìm vị trí tơng đối (A ; AC) với đờng tròn ( O ; OE) b Chứng minh : DE2 = AD AE
c AC2 = BC AB.
Bài : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi K tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC AK cắt BC I’ cắt đờng tròn (O) P Kẻ đờng kính PQ Gọi E F thứ tự giao điểm BK CK với đờng thẳng AQ Chứng minh
a PC2 = PI PA
b điểm B, C, E, F thuộc đờng tròn
Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O) (AC>AB) gọi D điểm cung nhỏ BC, P giao điểm AB CD, tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến D cắt AD thứ tự E Q
a Chøng minh r»ng : DE // BC b Chøng minh : DP DC = DA DQ c Chøng minh : DE // PQ
d Gọi F giao điểm AD BC Chøng minh
CF CQ CE
1 1
III Chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn
Bài : Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB hai tia tiếp tuyến Ax, By Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn (O) C (c ≠ A, B) cắt Ax, By lần lợt E, F
a Chøng minh OE vu«ng gãc víi OF
b Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB
c Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác OEF Từ chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF
Bài : Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn A vẽ đờng trịn (I) đờng kính OA. a Chứng minh hai đờng tròn (O) (I) tiếp xúc với
b Qua A vẽ cát tuyến cắt đờng tròn (I) đờng tròn (O) lần lợt M C CMR : MA= MC c Đờng thẳng OM cắt d B Chứng minh : BC tiếp tuyến (O)
Bài : cho nửa đờng trịn đờng kính AB C ; D hai điểm (C nằm A D) AC AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn lần lợt E F
a Chøng minh ABD = AEF ; ABC = AEB
b Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đờng tròn
c Gọi I trung điểm FB.Chứng minh rằngDI tiếp tuyến nửa đờng trũn
d Giả sử CD cắt Bx G, phân giác CGE cắt AE AF thứ tự M N Chứng minh tam tiác AMN cân
Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn (O) E điểm cung AB Hai dây EC, ED cắt AB thứ tự P Q dây AD EC kéo dài cắt I Các dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh
a Tø gi¸c CDIK néi tiÕp b Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp c IK song song víi AB
d Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQP tiếp xúc víi EA t¹i A
Bài : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I trung điểm AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A, cắt CI H
a Chøng minh r»ng : H trực tâm tam giác ABC
b Gi B’ điểm đối xứng với B qua AC Chứng minh B’ thuộc đờng tròn (O)
c Chứng minh ngợc lại : H trực tâm tam giác ABC đờng trịn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB
Bài : Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R dây cung thay đổi MN=R (M nằm cung AN) AM cắt BN C ; AN cắt BM D
(25)b Chøng minh r»ng CD vu«ng gãc víi AB
c Chứng minh OM tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN d Chứng minh CD =AB CD song song với đờng thẳng cố định
Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C Vẽ hai nửa đờng trịn đờng kính AB BC ( vẽ phía AC) đờng thẳng vng góc với AC B lấy điểm D cho góc ADC = 900 gọi giao điểm DA DC với nửa đờng trònl E F Chứng minh
a EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn b Tứ giác AEFC nội tiếp đờng trịn
c Xác định vị trí điểm B đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF hình vng
Bài : Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp đờng tròn (O,R) H giao điểm đờng cao AM ; BN ; CP Q điểm đối xứng H qua trung điểm E cạnh BC Chứng minh góc PNB = BNM = CBQ
1 Chứng minh : Q thuộc đờng tròn tâm (O)
2 Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng cắt đờng thẳng BC K Chứng minh xy tiếp tuyến đờng tròn (O) AK2 = KB BC
3 Gọi I điểm đối xứng O qua BC, tính HI theo R
IV.Chứng minh hai đờng thẳng song song vng góc
Bài : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AH cắt đờng tròn (O) D, kẻ đờng kính AOE a Chứng minh : DE song song với BC
b Gọi M điểm cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c Tính bán kính đờng trịn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm
Bµi :
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, gọi S trung điểm AO, vẽ đờng tròn tâm S qua A a Chứng minh đờng tròn (O) (S) tiếp xúc với A
b Một đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (S) M đờng tròn (O) P Chứng minh : SM // OP
M trung điểm AP vµ OM //BP
Bài : Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B, vẽ đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O) ở C cắt đờng tròn (O’) D (A nằm C D), vẽ đờng thẳng qua B cắt đờng tròn (O) E, cắt đờng tròn (O’) với F (B nằm E, F) hai đờng thẳng CD EF không cắt bên hai đờng tròn Chứng minh CE // DE
Bài : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự C D Các đờng thẳng AD BC cắt N Chứng minh
a MN // AC
b CD MN= CM BD
Bài :Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) đờng phân giác góc B, C lần lợt cắt đờng trịn E, F Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt H, I
a) Chøng minh c¸c tam gi¸c FKB EAK cân
b) Chng minh t giỏc FIKN nội tiếp Từ suy IK // AC c) Có nhận xét tứ giác AIKH ?
Bài : cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O;R) hai tiếp tuyến B D cắt T. a Chứng minh OT// AB
b Chøng minh r»ng : ba điểm O,C,T thẳng hàng c tính chu vi diện tÝch tam gi¸c TBD theo R
Bài 7: Trong đờng trịn (O) cho hai dây AC BD vng góc với I Chứng minh : a) Khoảng cách từ O tới AB nửa độ dài CD
b) Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuông góc với AD Bài 8:
Cho đờng trịn đờng kính BC Một điểm P ngồi đờng trịn có hình chiếu BC điểm A ngồi đờng trịn Giao PB, với PC với đờng tròn lần lợt M, N, giao AN với đờng tròn E Chứng minh :
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm đờng trịn b) EM vng góc với BC
Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O), ngồi ACB = 450 Các đờng cao AH, BH tam giác cắt đờng tròn lần lợt P, Q Hai đờng thẳng AQ BP giao S
a) Chứng minh PQ đờng kính đờng trịn (O)
b) Chøng minh c¸c tam gi¸c ASH APQ hình bình hành c) Chứng minh tam giác ASH APQ
d) Nếu tam giác ABC có góc B tù kết cịn hay khơng ? chứng minh điều Bài 10 : Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác góc B,và C lần lợt cắt đờng trịn E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lợt H; I CMR:
a) MN//AC
(26)B
ài 11 :Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC BD vng góc với I CMR a)Khoảng cách từ O tơí AB bng na di CD
b)Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuong góc với AD
Bài 12: Cho đờng trịn đờng kính BC.Một điểm P nằm ngồi đờng trịn có hình chiếu BC điểm A ngồi đờng trịn Giao điểm PB PC với đờng tròn lần lợt M&N Gọi giao điểm AN với đờng tròn E CMR:
a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm đờng trịn b)EN vng góc với BC
Bài 13:Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O),ngồi góc ACB =450 Các đờng cao AH,BH tam giác cắt đờn tròn lần lợt P,Q Hai đờng thẳng AQ ,BP giao S CMR:
a)PQ đờng kính đờng trịn(O) b) ACBS l hỡnh bỡnh hnh
c)Các ASH APQ lµ b»ng nhau:
d) Nếu ABC có góc B tù kết cịn hay khơng?Chứng minh điều II chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài 1cho hai đờng tròn tâm O O’cắt Avà B từ B kẻ đờng kính BOC BO’D a chứng minh rằng: ba điểm C,A,D thẳng hàng suy CD = 2OO’
b gọi M trung điểm dây cung chung AB CMR ba điêmt O,M,O thẳng hàng c biết OO’= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm tÝnh AB,AC vµ diƯn tÝch OBO’ Bµi 3:
Cho hai điểm A, B cố định đờng tròn (O) Các điểm C, D di động đờng tròn cho AD//BC C, D phía với dây AB ; M giao điểm AC, BD tiếp tuyến với đờng tròn A D cắt I Chứng minh
a Ba điểm I, O, M thẳng hàng
b Chng minh bốn điểm A, B, M, P thuộc đờng trịn c Bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác MDC hình số
Bài 4: Cho M điểm di động nửa đờng trịn đờng kính AB Gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM I cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) K
Các tia AH, BM cắt S
a Chứng minh tam giác ABS cân.Từ chứng minh S nằm đờng tròn cố định b Chứng minh KS tiếp tuyến đờng tròn (B, BA)
c Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đờng tròn (B, BA) N Chứng minh M, N, A thẳng hàng Bài :
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng tròn E Kẻ đờng kính AOF a Chứng minh tam giác BCEF hình thang cân
b Chøng minh BAE = CAF
c Gọi I trung điểm BC chứng minh H, I, F thẳng hàng
VI phng phỏp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy
Bài 1: Hai đờng tròn (O) ; (O’) cắt A B Đờng thẳng vng góc với AB B cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt C, D Các đờng thẳng CA, DA cắt (O’), (O) theo thứ tự E, F Chứng minh
a) Tứ giác CFED nội tiếp b) AB phân giác gãc FBE
c) Các đờng thẳng CF, DE, AB nội tiếp
Bài 2:Từ điểm C đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M N
a) Chứng minh IN, IM AB đồng quy điểm D
b) Chøng minh tiếp tuyến M N qua trung ®iĨm E cđa CD
Bài 3: Cho hai đờng tròn (O, R) (O’ , R’) tiếp xúc A(R>R’) Đờng nối tâm OO’ cắt đờng tròn (O) (O’) theo thứ tự B C(B C khác A) EF dây cung đờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, BC cắt đờng tròn (O’) D
VII toán tổng hợp toán khác
Bài 1: cho hình vng ABCD có cạnh cm điểm M thuộc cạnh AD cho AM = cm vẽ đờng trịn tâm O có đờng kính BM đờng trịn cắt AC E ( khác A )
1 tính bán kính đờng trịn (O)
2 CMR: DC tiềp tuyến đờng tròn (O) CMR: tam giác BEM tam giác vng cân
4 tiếp tuyến Bx đờng trịn (O) cắt DC K CMR: M,E,K ba điểm thẳng hàng
Bài 2: cho hai đờng tròn (O) và(O’) cắt hia điểm Avà B đờng thẳng vng góc với AB kẻ qua B cắt đờng tròn (O) (O’) lần lợt điểm thứ hai C D Lấy điểm M xung nhỏ CB với đờng tròn tâm (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O’) N giao điểm hai đờng thẳng CM DN P
a tam giàc AMN tam giác ? sao?
b CMR: tứ giác ACPD nội tiếp từ dó suy P ln thuộc đờng trịn
(27)d Gọi giao điểm AP CD E CMR: M di động cung nhỏ BC tâm đờng trịn ngoại tiềp tam giác CED thuộc đờng thẳng cố định
Bài 3: cho nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB K điểm cung AB M điểm cung AK Trên tia BM lấy điểm N cho BN =AM
a chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam gi¸c BNK
b tam giac MNK vuông cân MK tia phân gi¸c gãc AMN
c M chuyển động cung AK đờng vng góc với BM kẻ từ N qua điểm cố định
Bài 4: cho đờng trịn (O) đờng kính AB I K thuộc AB cho OI= OK M thuộc (O) MO,MI ,MK cắt (O) lần lợt E,C,D đờng thẳng CD cắ AB F EI cắt DE N MI cắt EF H
a CMR: FA.FB = FC.FD b M? th× MI =IH
c CM: tø gi¸c ENCH néi tiÕp d CMR: EF tiếp tuyến tâm (O)
Bi 5.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C nằm (O) , C thuộc tia AB P điểm nằm cung lớn AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB D ,tia CP cắt đờng ròn I , AB cắt QI K
Chøng minh r»ng tø gi¸c PDKI néi tiÕp Chøng minh QB2 = QK.QI
Chøng minh CI.CP = CK.CD
Chứng minh IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB chứng minh CK.CD = CA.CB
Bài Cho (O;R) tiếp xúc (O'; r) (R > r) C AC,BC hai đờng kính (O) (O') DE dây (O) vng góc với AB trung điểm M AB; đờng thẳng DC cắt (O') F Chứng minh rằng:
Tứ giác AEBD hình gì? điểm B,E,F thẳng hàng Tø gi¸c MDBF néi tiÕp
DB cắt (O') G Chứng minh DF,EG,AD đồng quy 5.DE = MF MF tiếp tuyến (O')
Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC ,PD cắt dây AB E,F ; dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC, PD kéo dài ncắt K
So sánh hai gãc CID vµ CKD Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp Chøng minh IK song song víi AB
Chứng minh AP tiếp tuyến đờng tròn qua im A,F,D
một số toán hình học lớp 9
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P
Chøng minh r»ng:
1 C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
5 Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh ED =
2
BC
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đờng trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
(28)1 Chøng minh AC + BD = CD
2 Chøng minh COD = 900. 3 Chøng minh AC BD =
4 AB
(29)5 Chứng minh AB tiếp tuyến đờng trịn đờng kính CD Chứng minh MN AB
7 Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ
Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK
1 Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng trịn (O)
3 Tính bán kính đờng trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB
1 Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2.
4 Chøng minh OAHB hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6 Tỡm qu tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d
Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E
1 Chøng minh tam giác BEC cân
2 Gi I l hỡnh chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE
Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M
1 Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh BM // OP
3 Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng
hàng
Bi Cho na đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB.
c) Chứng minh BAF tam giác cân
d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi
e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn
Bài Cho nửa đờng trịn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E)
1 Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB
3 Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
Bài 10 Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng trịn cho AM < MB Gọi M’ điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P chân đơng vng góc từ S đến AB
1 Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn
2 Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PS’M cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn
Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh :
1 Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän DF // BC
3 Tø gi¸c BDFC néi tiÕp
CF BM CB
BD
Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn P Chứng minh :
1 Tø gi¸c OMNP néi tiÕp
2 Tứ giác CMPO hình bình hành
3 CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M
(30)Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng trịn đờng kính HC cắt AC ti F
1 Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp
3 AE AB = AF AC
4 Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K
Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K)
1 Chøng minh EC = MN
2 Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn (I), (K) Tính MN
4 Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng trịn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S
1 Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh CA tia phân giác gãc SCB
3 Gọi E giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy
4 Chøng minh DM tia phân giác góc ADE
5 Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng tròn CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G
Chøng minh :
1 Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp
3 AC // FG
4 Các đờng thẳng AC, DE, FG đồng quy
Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khơng trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC
1 Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đờng trịn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH
3 Chøng minh OH PQ
Bài 18 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O, B); đờng thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đờng trịn ; MA MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC
1 Chứng minh MCID tứ giác nội tiÕp
2 Chứng minh đờng tròn AD, BC, MH đồng quy I
3 Gọi K tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp
Bài 19 Cho đờng trịn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB CD cắt đờng trịn đờng kính BC I
1 Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chøng minh BI // AD
4 Chøng minh I, B, E thẳng hàng
5 Chng minh MI l tiếp tuyến đờng trịn đờng kính BC
(31)1 Tø gi¸c MDGC néi tiÕp
2 Bốn điểm M, D, B, F nằm mt ng trũn
3 Tứ giác ADBE h×nh thoi
4 B, E, F thẳng hàng DF, AG, AB đồng quy MF = 1/2 DE
7 MF lµ tiÕp tun cđa (O’)
Bài 21 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đờng tron tâm I qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q
1 Chứng minh đờng trịn (I) (O) tiếp xúc ngồi A Chứng minh IP // OQ
3 Chøng minh r»ng AP = PQ
4 Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn
Bài 22 Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vng góc với DE, đờng thẳng cắt đờng thẳng DE DC theo thứ tự H v K
1 Chứng minh BHCD tứ giác néi tiÕp TÝnh gãc CHK
3 Chøng minh KC KD = KH.KB
4 Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đờng no?
Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền tam giác ABC hình vuông ABHK, ACDE. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng
2 ng thng HD ct ng tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, Chứng minh FBC tam giác vuông cân
3 Cho biết ABC > 450 ; gọi M giao điểm BF ED, Chứng minh điểm b, k, e, m, c nằm đờng tròn
4 Chứng minh MC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đờng trịn đờng kính AC có tâm O, đờng trịn cắt BA BC D E
1 Chøng minh AE = EB
2 Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đờng trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH
3 Chứng minh OD tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE
Bài 25 Cho đờng tròn (O), BC dây (BC< 2R) Kẻ tiếp tuyến với đờng trịn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đờng vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q
1 Chứng minh tam giác ABC cân
2 C¸c tø gi¸c BIMH, CIMH néi tiÕp Chøng minh MI
2 = MH.MK. Chøng minh PQ MI
Bài 26 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M điểm cung CB, I giao điểm CB OM K giao điểm AM CB Chứng minh :
1
AB AC KB
KC
2 AM tia phân giác góc CMD.
3 Tứ giác OHCI nội tiếp Chứng minh đờng vng góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đờng tròn M
Bài 27 Cho đờng trịn (O) điểm A ngồi đờng tròn tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH
BC, MK CA, MI AB tø gi¸c ABOC néi tiÕp
2 Chøng minh BAO = BCO
3 Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK Chứng minh MI.MK = MH2.
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC; F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC
1 Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành E, F nằm đờng tròn (O)
3 Chøng minh tø giác BCFE hình thang cân
4 Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
Bi 29 BC dây cung đờng tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H
1 Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gọi A’ trung điểm BC, Chứng minh AH = 2OA’
3 Gọi A1 trung điểm EF, Chứng minh R.AA1 = AA’ OA’
4 Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhát
Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đờng cao AH bán kính OA
1 Chøng minh AM lµ phân giác góc OAH Giả sử B > C Chøng minh OAH = B - C Cho BAC = 600 vµ OAH = 200 TÝnh:
(32)b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R Bài 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600.
1 Tính số đo góc BOC độ dài BC theo R
2 Vẽ đờng kính CD (O; R); gọi H giao điểm ba đờng cao tam giác ABC Chứng minh BD // AH AD // BH
3 TÝnh AH theo R
Bài 32 Cho đờng trịn (O), đờng kính AB = 2R Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB. Chứng minh MN di động , trung điểm I MN ln nằm đờng trịn cố định Từ A kẻ Ax MN, tia Bi cắt Ax C Chứng minh tứ giác CMBN hình bình hành Chứng minh C trực tâm tam giác AMN
4 Khi MN quay quanh H C di động đờng
5 Cho AM AN = 3R2 , AN = R 3 Tính diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi tam giác AMN. Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng tròn M.
1 Chøng minh OM BC Chøng minh MC2 = MI.MA.
3 Kẻ đờng kính MN, tia phân giác góc B C cắt đờng thẳng AN P Q Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q thuộc đờng tròn
Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = Cm, chiều cao AH = Cm, nội tiếp đờng trịn (O) đ-ờng kính AA’
1 Tính bán kính đờng trịn (O)
2 Kẻ đờng kính CC’, tứ giác CAC’A’ hình gì? Tại sao? Kẻ AK CC’ tứ giác AKHC hình gì? Tại sao?
4 TÝnh diƯn tÝch phần hình tròn (O) nằm tam giác ABC
Bài 35 Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối Ac cắt MN E
1 Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM2 = AE.AC.
4 Chøng minh AE AC – AI.IB = AI2
5 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ đờng cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm tam giác Gọi M, N, P, Q lần lợt hình chiếu vng góc D lên AB, BE, CF, AC Chứng minh :
1 Các tứ giác DMFP, DNEQ hình chữ nhật Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp Hai tam giác HNP HCB đồng dạng Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng
Bài 37 Cho hai đờng trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B (O), C (O’) tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I
1 Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp
2 Chøng minh BAC = 900 TÝnh sè ®o gãc OIO’
(33)Bài 38 Cho hai đờng trịn (O) ; (O’) tiếp xúc ngồi A, BC tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C
(O) Tiếp tuyến chung A cắ tiếp tuyến chung BC M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm OM AC Chứng minh :
1 Chứng minh tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp Tø gi¸c AEMF hình chữ nhật
3 ME.MO = MF.MO
4 OO’ tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC BC tiếp tuyến đờng trịn đờng kính OO’
Bài 39 Cho đờng trịn (O) đờng kính BC, dấy AD vng góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân đờng vng góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi ( I ), (K) theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF
1 Hãy xác định vị trí tơng đối đờng trịn (I) (O); (K) (O); (I) (K) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao?
3 Chøng minh AE AB = AF AC
4 Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đờng tròn (I) (K) Xác định vị trí H để EF có độ dài lớn
Bài 40 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Trên Ax lấy điểm M kẻ tiếp tuyến MP cắt By N
1 Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB Chứng minh AM BN = R2.
3 TÝnh tØ sè APB MON S S
AM = R
4 TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh
Bài 41 Cho tam giác ABC , O trung điển BC Trên cạnh AB, AC lần lợt lấy điểm D, E cho DOE = 600
1 Chứng minh tích BD CE không đổi
2 Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE
3 Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đờng trịn ln tiếp xúc với DE Bài 42 Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến B C lần lợt cắt AB, AC D E Chứng minh :
1 BD2 = AD.CD.
2 Tø gi¸c BCDE néi tiÕp BC song song víi DE
Bài 43 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) C Gọi E giao điểm AC BM
1 Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp Chøng minh NE AB
3 Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến (O) Chứng minh FN tiếp tuyến đờng tròn (B; BA)
Bài 44 Cho hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Dây AC đờng tròn (O) tiếp xúc với đ-ờng tròn (O’) A Dây AD đđ-ờng tròn (O’) tiếp xúc với đđ-ờng tròn (O) A Gọi K điểm đối xứng với A qua trung điểm I OO’, E điểm đối xứng với A qua B Chứng minh rằng:
1 AB KB
2 Bốn điểm A, C, E, D nằm đờng tròn
Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D trung điểm AC; tiếp tuyến đờng tròn (O) A cắt tia BD E Tia CE cắt (O) F
1 Chøng minh BC // AE
2 Chứng minh ABCE hình bình hành
3 Gi I trung điểm CF G giao điểm BC OI So sánh BAC BGO Bài 46 Cho đờng trịn (O) đờng kính AB , đờng tròn ta lấy hai điểm C D cho cung AC = cung AD Tiếp tuyến với đờng tròn (O) vẽ từ B cắt AC F
1 Chøng minh hÖ thøc : AB2 = AC AF.
2 Chứng minh BD tiếp xúc với đờng trịn đờng kính AF
3 Khi C chạy nửa đờng trịn đờng kính AB (khơng chứa điểm D ) Chứng minh trung điểm I đoạn chạy tia cố định , xác định tia cố định
Bai 47
Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đờng tròn (O) qua B C ( BC khơng đờng kính (O) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh:
1 AE2 = AB.AC Tø gi¸c AEOF
-SĐT giải đáp:0982176117-0948350098
(34)3 Năm điểm A; E; O; I; F nằm đờng tròn ED song song với Ac
5 Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc đờng thẳng cố định Bài 48 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn (O) đờng kính BC cắt AB; AC E D BD cắt CE H; AH cắt BC I Vẽ tiếp tuyến AM AN (O) Chứng minh:
1 Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp đợc CD.CA + BE BA = BC2.
3 M; H; N thẳng hàng
4 Tớnh chu vi ng trũn ngoi tiếp tứ giác ADHE tam giác ABCD tam giác có cạnh 2a
Bài 49: Cho đờng trịn (O; R) điểm M nằm ngồi (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC (O) tia Mx nằm hai tia MO MC Qua B kẻ đờng thẳng song song với Mx, đờng thẳng cắt (O) điểm thứ hai A; AC cắt Mx I Vẽ đờng kính BB’ Qua O kẻ đờng thẳng vng góc với BB’ đờng cắt ; BC lần lợt K E Chứng minh:
1 Tø gi¸c MOIC néi tiÕp OI vu«ng gãc víi Mx
3 ME có độ dài khơng phụ thuộc vị trí điểm M
4 Khi M di động mà OM = 2R K chuyển động đờng nào? Tại sao?
Bài 50: Cho (O; R) điểm A (O) Một góc vng xAy quay quanh A ln thoả mãn Ax; Ay cắt (O) giọ giao điểm thứ hai Ax; Ay với (O) lần lợt B; C Đờng trịn đờng kính AO cắt AB; AC điểm thứ hai tơng ứng M; N Tia OM cắt (O) P Gọi H trực tâm tam giỏc AOP Chng minh:
1 Tứ giác AMON hình chữ nhật MN // BC
3 Tứ gi¸c PHOP néi tiÕp
4 Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn *******************
-SĐT giải đáp:0982176117-0948350098