Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.[r]
(1)HƯỚNG DẪN ƠN TẬP TỐN LỚP – HỌC KÌ II ( 2010 – 2011) I LÝ THUYẾT:
ĐẠI SỐ:
Câu 1: Nêu dạng tổng quát phương trình bậc hai ẩn.Phương trình bậc hai ẩn có nghiệm?
*Phương trình bậc hai ẩn x y hệ thức dạng ax by c ,Trong a,b c các số biết ( a0 b0 ).Phương trình bậc hai ẩn ln ln có vơ số nghiệm.
Câu 2: Nêu dạng tổng quát hệ hai phương trình bậc hai ẩn số
* Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng
' ' '
ax by c a x b y c
Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc hai ẩn có nghiệm?
* Mỗi hệ hai phương trình bậc hai ẩn có thể vơ nghiệm, có nghiệm vô số nghiệm.
Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương
Trong câu sau, câu câu sai: a/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn có vơ số nghiệm ln tương đương với
b/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm ln tương đương với * Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm.
a/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn có vơ số nghiệm ln tương đương với nhau ( s )
b/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm ln tương đương với nhau.( Đ) Câu 5: Viết dạng tổng quát phương trình bậc hai Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c phương trình 3x2 3x 1
*Dạng tổng quát phương trình bậc hai
ax2 + bx+ c = (a0) Áp dụng :
3x2 3x 1 0(a3;b 3;c 1) Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai
Câu 6: Cho phương trình ax2 + bx +c=0 (a0) Viết
cơng thức tính ngiệm phương trình Áp dụng : Giải phương trình x2 3x2 0 * = b2 – 4ac
Nếu > , pt có nghiệm phân biệt: x1=
2 b
a
; x2 = b
a
Nếu = 0, pt có nghiệm kép:x1= x2 =
2 b a
Nếu <0 phương trình vơ nghiệm Áp dụng :
2 3 2 0; ( 3) 4.1.22 5 5 0
x x
Vậy phương trình vơ nghiệm
Câu 7: Phát biểu hệ thức Viet Áp dụng : 5x24x3 0 Tính x1+ x2 x1 x2
*Nếu phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 thì:
b x x
a
x x1 2 c
a Áp dụng : 5x2 4x 3 0
a = -5<0 ; c = 3>0 a c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
4; .
5
b c
x x x x
a a
Câu 8: Cho phương trình :ax2bx c 0 (a0) có hai nghiệm x1 x2 .Ch/minh 1 ;
b c
S x x a P x x a
1
1
2
1 2
x ;
2
2 ;
2 2
4
2
b x b
a a
b b b a
x x
a a a b
b b b b ac c
x x
a a a a
- + D - - D
= =
- + D - - D
-Þ + = + = =
- + D - - D - +
= = =
Câu9 :Phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm S tích hai nghịêm P có dạng : X2 - SX + P = 0
(2)nghiệm có tổng S có tích P (không cần chứng minh )
Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:2 2
Câu 10:
Nêu tính chất hàm sốy ax a2( 0)
2
S 2 2 4;P (2 2).(2 2) 2 Vậy 2+ 2- hai nghiệm phương trình
X 4X
= + + - = = + - = - =
- + =
Câu : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây nhau”
Ta có: AB CD ( GT) AOB COD
( góc tâm chắn cung ) Nên : AOBCOD ( c.g.c)
AB = CD (đpcm)
Câu 2: Nêu cách tính số đo cung nhỏ đường trịn Áp dụng:Cho đường trịn (O), đường kính AB Vẽ dây AM cho 40 AMO Tính số đo cung BM ?
O
A B
M
GT
Cho đường tròn (O) AB: Đường kính Dây AM cho:
AMO 400 KL
Tính BOM?
Ta có:OA = OB ( bán kính) AOM cân O
BOM = 2AMO 2.400 =800 ( đlí góc ngồi AOM)
Câu 3: Chứng minh đường tròn, hai
Câu 4: Áp dụng định lí mối quan hệ cung nhỏ dây căng cung đường trịn để giải tốn sau: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Vẽ bán kính OM, ON cho:AOM 40 ,0 BON 800
So sánh: AM, MN NB ?
O A
M
B N
GT
Cho đường tròn (O) M,N (O): AOM 40 ,0 BON 800
KL
So sánh: AM, MN, BN?
Ta có:
0
0 0 180
180 40 80
MON AOM BON
MON
( 180
AOB )
AOM MON NOB AM MN NB
( góc tâm nhỏ chắn cung nhỏ hơn) AM < MN < NB
( cung nhỏ căng dây nhỏ hơn)
Câu 5: Chứng minh đlí:“ Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 ”
GT Cho đường tròn (O) ABCD nội tiếp (O)
O A
B
C
D
GT
Cho đường tròn (O)
AB CD KL
AB = CD
O
A B
C D
GT
Cho đường tròn (O) CD: dây cung AB: đường kính AB // CD
(3)cung bị chắn hai dây song song (Chú ý: Học sinh chứng minh trường hợp: hai dây, có dây qua tâm cuả đường trịn)
Ta có: AOC OCD ( So le trong)
BOD ODC ( So le trong)
Mà OCD ODC ( OCD cân O)
AOC BOD ACBD ( góc tâm chắn cung nhau)
Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn( Chỉ chứng minh trường hợp: có cạnh góc qua tâm )
GT : Cho (O ; R)
BAC lµ gãc néi tiÕp KL : chøng minh BAC
2
sđ BC
Chứng minh: Trờng hợp: Tâm O nằm cạnh của góc BAC :
Ta có: OA=OB = R AOBcân O BAC = 1
2BOC
1 BAC
2
s® BC (®pcm)
Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn”
( Chỉ chứng minh trường hợp: Tâm O đường trịn nằm ngồi gúc)
Tâm O nằm bên góc BAx :
GT
Cho đường tròn (O)
xAB: góc tạo tia tiếp tuyến Và dây cung
KL
xAB= 2sđAB
Vẽ đờng cao OH AOBcân O ta có: BAx AOH (1) (Hai góc phụ vi OAH )
Mà: AOH= 1
2sđ AB (2)
Tõ (1) vµ (2) BAx
s® AB (®pcm)
Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0của hình quạt trịn bán kính R Áp dụng: Cho đường trịn ( O; R = cm)
O
D C
A
B KL
0
0 180 180 A C B D
Ta có: A1
2sđBCD ( Đlí góc nội tiếp) C 1
2sđBAD (Đlí góc nội tiếp)
2
A C sđ(BCD BAD ) =1
0 360 =1800 Tương tự: B D 1800
( B D 36001800 1800 ( tính chất tổng góc tứ giác)
Câu 8: Ch ng minh ứ định lí: S o c a góc có “ ố đ ủ đỉnh ở bên đường tròn b ng n a t ng s o hai cung bằ ử ổ ố đ ị ch n ắ ”
n E
O D
C A
B
m GT
Cho đường tròn (O)
BEC: góc có đỉnh bên trong(O) KL
BEC=
2sđ(BnC AmD Xét tam giác BDE, ta có:
BEC= B D ( định lí góc ngồi tam giác BDE) Mà
2
B sđAmD (Đlí góc nội tiếp )
2
D sđBnC (Đlí góc nội tiếp )
Nên: BEC = 1
2sđ(AmD+BnC
Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O)
Chứng minh: AB + CD = AD + BC
Ta có: AM = AQ ( Tính chất tiếp tuyến giao nhau) BM = BN (…nt…)
DP = DQ (…nt…)
O H
A x
B
O A
D
B
C M
N
P
Q GT
Cho đường tròn (O) ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) KL
(4)Tính độ dài cung AB có số đo 600?
Ta có:
180
AB
Rn
l Với:R = 3cm n = sđAB 600 ( gt) Vậy:
.3.60
( ) 180
AB
l cm
CP = CN (…nt…) Cộng vế, ta có:
AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm)
II.BÀI TẬP: Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
a/ 3 x y x y
3 5
2
x y x
x y x y
1
1
x x y y
b/ 32xx y5y14
3 21
10 20
x y x
x y x y
3
2.( 3)
x x y y
c/ 15 10
x y x y
8 30 30
x y x y 0
3 20 3.0 10
x x
x y y
x y
d/
2 18
x y x y
9 15
2 18
x y x y 11 33
2 18
x x y
3
16
2.3 18
x x x
y y y e/
1 1 x y x y
Cộng vế hai phương trình ta được: x x
Thay x2 vào 1
x y được:
1 1
8
8 y
y y Vậy nghiệm hệ phương trình (2 ; 8)
f/ 1
x y x y x y x y
Đặt ;
2
a b
x y x y
Điều kiện
2 x y y x
Ta có hệ phương trình
5 a b a b
Giải ta 1 a b O A B GT
Cho đường tròn (O; R = 3cm) Sđ 60 AB KL
(5)Giải hệ phương trình 1 1 x y x y
2 3
1 x x y x y y
( Thỏa điều kiện ).Vậy (x;y)= 3 x y
h/ 5( ) 3( ) 12
x y x
x x y
5 10 15 12
x y x
x x y
10 10
15 16 30 32
x y x y
x y x y
33
15 16 40
40 33 29
8 y x y y x
Vậy ( ; ) (29; 33) 40 x y
Bài 2:
Câu 1: Với giá trị a b hệ phương trình 12
2 ax by ax by
Có nghiệm
(x2;y1) Câu 2: Với giá trị m n hệ phương trình
2 mx y x ny
nhận cặp số (-2 ; 3) nghiệm Giải câu 1: 12
2 ax by ax by
Do
(x2;y1) nghiệm hệ phương trình
Nên 12
2
a b a b
4 12
3
a b a
a b a b
9 5 24 5 a a b b
Câu 2: mx y x ny Do
(x2;y3) nghiệm hệ phương trình Nên 3.3
2
m n
2
m n
2
3 0
m m n n
Bài 3:
Câu 1: Cho hệ phương trình: 4mxx 63yy95
Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Câu 2: Tìm giá trị a để hệ phương trìnhaxx23yy a5
a/ Có nghiệm ; b/ Vơ nghiệm Câu 3: Cho hệ phương trình 2xx 36y my 8
Tìm giá trị m để hệ phương trình vơ nghiệm, vơ số nghiệm Giải
Câu 1:
4
mx y x y
Hệ phương trình có nghiệm
3 3.4
4 6
m
m
m2
Câu 2: x y ax y a
a/ Hệ phương trình có nghiệm
1 3.1
3 a a
a
b/ Hệ phương trình vơ nghiệm
3 a
a a
(6)Câu 3: 2xx 36y my 8
Ta có
1
Nếu
4
m m
hệ phương trình có vơ số nghiệm Nếu
2 m
m
hệ phương trình vơ nghiệm Bài 4:
Câu 1: Xác định hàm số y ax b biết đồ thị qua hai điểm a/ A(2 ; 4) B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) B(-2 ; 9)
Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b biết d0ồ thị qua điểm A(2 ; 1) qua giao điểm B hai đường thẳng yx y2x1 Giải
Câu 1:a/ Vì đồ thị hàm số qua A(2; -4) nên 2a b 4 Và qua B(-5 ; 4) nên 5a b 4Ta có hệ pt
5
a b a b
7
2
a a b
0 a b
Vậy
4 y b/ Vì đường thẳng y ax b qua A(3 ; -1) nên 3a b 1Và qua B(-2 ; 9) nên 2a b 9 Ta có hệ phương trình 3a b2a b 19 5a2a b10 9
2
2( 2)
a a
b b
Vậy
2 y x
Câu 2:
.Xác định giao điểm B hai đường thẳng : yx y2x1
Phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng: x2x1 x1 y1Vậy B(1 ; -1) Xác định tiếp đường thẳng qua A(2 ; 1) B(1 ; -1) y2x
Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) y = -2x +m có đồ thị (d)
a/ Xác định m biết (d) qua điểm A (P) có hồnh độ
b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ xác định tọa độ giao điểm chúng
c/ Với giá m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P) Giải
a/
2
( )
(1; 1), ( ) 2.1
1
A A
A A
A P y x A A d m m
x x
ì
ì Ỵ ï =
ïï Û ï Û - Ỵ Û - =- + Û =
í í
ï = ï =
ï ï
ỵ ỵ
b/ Bảng giá trị y=-2x-3 y = - x2
Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) :- x2 =- 2x - 3Û x2- 2x - 0= Û é =-êxx 31
ê = ë
Tọa độ giao điểm (P) (d) B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)
c/ Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) :- x2 =- 2x m+ Û x2- 2m m+ =0 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Û D = -' m> Û0 m<1
x -3/2 y=-2x-3 -3
(7)Với m<1 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt d/ (d) tiếp xúc với (P) Û D = Û -' m= Û0 m=1
(d) không cắt (P) Û D < Û -' m< Û0 m>1
Bài 6: Giải phương trình :
2
2
2
/ 75 0; / 384 0; / ( 15) 3(27 )
/ (2 7) 12 4(3 ); /(3 2) 2( 1)
a x b x c x x x
d x x x e x x
Giải :
1/ 3x2+75 0;3= x2 +75 0> "x Nên phương trình vơ nghiệm. 2/
1
2 2
2
24 384 0 2 1152 576
24
x
x x x
x
é =
ê
- = Û = Û = Û ê
=-ë
3/
2
9 ( 15) 3(27 ); 81
9
x
x x x x
x é = ê
- = - Û = Û ê
=-ë
4/ 2
2
0 (2 7) 12 4(3 ) 12 12 11 ( 11)
11
x
x x x x x x x x x x
x é = ê
- - =- - Û - - =- + Û - = Û - = Û ê =
ë
5/
1
2 2 2
2
0 (3 2) 2( 1) 12 4 2 (7 8) 8
x
x x x x x x x x x x
x é = ê ê
- - - = Û - + - + - = Û - = Û - = Û
ê = ê ë
Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn ) 1/ x2 5x 14; / 3x2 10x 80 0;3/ 25x2 20x 4 0
Giải : 1/
5 14
x x
Û x2 +5x - 14 0(= a=1;b =5;c =- 14);D =25 56 81 0+ = > Þ x1=2;x2 =- 2/ 3x2 10x 80 0
(a3;b10;c80);D'= 25-240 = -215<0 Phương trình vơ nghiệm 3/ 25x2 20x 4 0(a 25;b 20;c 4)
;D'=(-10)2 -25.4 =0 Phương trình có nghệm kép :
' 10 25 b
x x a
Bài 8:Định m để phương trình :
2 2
2
a/ 3x 2x m vô nghiệm ;b/ 2x mx m co ù nghiệm phân biệt
c/ 25x +mx + = có nghiệm kép Giải a/ 3x2 2x m 0(a 3; 'b 1;c m)
;D'= (-1)2 -3m = 1-3m Để phương trình vơ nghiệm D'<0 suy 1-3m<0 hay
3 m
Với
m phương trình cho vơ nghiệm
b/ 2x2 + mx - m2 = (a = 2;b = m; c =- m2) ;D= m2 -4.2(-m2)= m2 +8 m2=9 m2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û D > Û0 9m2> Û0 m¹ 0 c/ 25 x2 + mx +2 = (a = 25;b = m;c = 2);D= m2 -4.25.2= m2 -200
Để phương trình có nghiệm kép D=0 2
10 200
10
m m
m
é =
ê
Û - = Û ê
(8)Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = (1)
1/ Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m
2/ Tìm m cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối
4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm hai số nghịch đảo 5/ Tìm m cho x1 - x2 = ;
6/ Tìm m để x12x22 đạt gía trị lớn 7/ Tìm m để hai nghiệm dương ;
8/ Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 khơng phụ thuộc vào m
9/ Tính x13x23 Giải:
1/ x2 + (m+1)x + m = (a = 1;b = m+1;c = m) D=(m+1)2 -4.1.m= (m+1)2³ 0 với m
2/Thay x = -2 vào (1) ta (-2)2 +(m+1)(-2) + m =
4-2m-2+ m = 0Û m =
2 2
c
x x m x x
a
= = Û - = Û
3/ Phương trình có hai nghiệm đối Û x1 +x2 =0Û -(m+1) = 0Û m = -1
4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Û x1 x2=1Û m =
5/Theo hệ thức Vi-et
1 2
2
1 2
2
x x (m 1)(1) x x m(2) x x
(x x ) (x x ) 4x x m 2m 4m m 2m
m m
ì + =- +
ïï
íï =
ïỵ
- =
Û - = Û + - =
Û + + - = Û - - =
é =-ê Û
ê = ë
Vậy với m = -1 m = x1 x2 2
6/Theo hệ thức Vi-et
1
2 2
1 2
2
x x (m 1)(1) x x m(2)
x x (x x ) 2x x m 2m 2m m 1
ì + =- +
ïï
íï =
ïỵ
+ = +
-= + + - = + ³
Dấu ‘ =’ xảy m=0 Vậy : GTNN m=0
7/ Phương trình có hai nghiệm dương Û
2
0 ( 1)
0 0
0 ( 1)
m m
P m m
S m m
ì
ìD ³ ï - ³ ì ³
ï ï ï
ï ï ï
ï ï
ï > Û ï > Û ï >
í í í
ï ï ï
ï > ï- + > ï
<-ï ï ï
ï ï
ỵ ïỵ ỵ
V y khơng có giá tr c a m đ ph ng trình có hai nghi m đ u d ng ậ ị ủ ể ươ ệ ề ươ
8/Ta có
1 2
1 2
1 2
( 1)
x x m x x m
x x m x x m
x x x x
ì + =- + ì + =-
-ï ï
ï Û ï
í í
ï = ï =
ï ù
ợ ợ
ị + +
=-Vy biểu thức không phụ thuộc vào m
9/Ta có
3 2
1 2 1 2
3
1
3
1
3 3
1
( )( )
( 1)( ) ( 1)( 1) ( 1)
x x x x x x x x
x x m m m
x x m m m
x x m
+ = + - +
Û + = - - +
-Û + =- + - +
Û + =- +
Bài 10: Giải phương trình :
4
15 1
1/ 2;2/ 1;3/ 0;4/ 1
x x x x x x
(9)1/
2
15 2( 0)
3 15 2 15
5
x x
x
x
x x x x
x
- = ¹
é =-ê
Û - = Û - - = Û
ê = ë
(Thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình x1 =-3 x2 =
2/
2
2
1 1( 1) 1
1 ( 1) 1 1
1
x
x x
x x x x x x
x
- =
+
-ị - - + = - Û - - - =
-Û =
-Vậy phương trình vơ nghiệm
3/ 2x4 - 7x2 – = 0
Đặt t=x2³ Ta có phương trình :
1
1
2
2 0; 49 4.2( 4) 49 32 81 4( ) 1( )
4 4
2
2
t t
t tmñk t ktñk
x x
x
- - = D = - - = + =
+ - -
-= = = = =
é = ê
Þ = Û ê
=-ë
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 =
x2 = -2
4/
5
3 2
2
3
1
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
1 1
1 1
x x x
x x x x x
x
x x x
x x x
- - + =
Û - - - = Û - - =
é = ê
é - = é =
ê
ê ê
Û ê Û ê Û ê =
= =
ë ë ê =
ë
Vậy nghiệm phương trình x11;x2 1
II.BÀI TẬP:
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng d vng góc với AB M cắt tiếp tuyến đường tròn (O) N điểm P Chứng minh :
a/ Tứ giác OMNP nội tiếp đường trịn b/ Tứ giác CMPO hình bình hành
c/ Tích CM.CN khơng đổi
O x d
A B
C
D
N P
GT
Cho đường trịn(O;R)
AB, CD: đường kính, AB CD O MAB, CM cắt (O) N
Đường thẳng d AB M
Tiếp tuyến (O) N cắt d P
KL
a/ OMNP nội tiếp đường tròn b/ CMPO hình bình hành
c/ CM.CN khơng đổi a/ Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp đường trịn:
Ta có: OMP 900
( d AB)Và ONP 900 ( Tiếp tuyến vng góc với bán kính) OMP ONP
(10)b/ Chứng minh tứ giác CMPO hình bình hành: Ta có:
2
AMC sđAC BN ( Định lí góc có đỉnh bên đường trịn(O))
2
CNx sđBC BN ( Định lí góc tạo tiếp tuyến dây cung) mà sđAC= sđBC=900 ( AB
CD)
Do đó: AMC= CNx (1) Ta lại có: CNx = MOP ( bù với MNP ) (2) Từ (1), (2) AMC= MOP
Mà AMC, MOP vị trí so le =>: CM // OP (3) Mặt khác: PM // CO ( Cùng vng góc với AB) (4)
Từ (3), (4) CMPO hình bình hành ( Tứ giác có cặp cạnh đối song song) c/ Chứng minh tích CM.CN khơng đổi:
Ta có: CND 900
( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) Nên ta chứng minh được: OMCNDC(g.g) CM CO
CD CN Hay CM.CN = CO CD = R.2R= 2R2
Mà R không đổi 2R2 không đổi Nên: CM.CN không đổi (đpcm)
Bài 2: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC = 2R, điểm A nửa đường tròn cho BA = R Lấy M điểm cung nhỏ AC, BM cắt AC I Tia BA cắt tia CM D
a/ Chứng minh: DI BC
b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn c/ Giả sử AMB 450
Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R diện tích hình quạt AOM
I
M
O D
B C
A GT
Cho đường tròn (O), đường kính : BC = 2R
A(O): BA = R; Mcung AC nhỏ BM cắt AC I, BA cắt CM D
45 ABM : (c)
KL
a/ DI BC
b/ AIMD nội tiếp (O)
c/ Tính độ dài AC SquatAOM ?
a/ Chứng minh : DI BC: Ta có:
90
BAC ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
CA BD hay CA đường cao cuả tam giác BDC (1) Và BMC 900
( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
(11) DI đường cao thứ ba tam giác BDC Nên DI BC
b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn: Ta có:
90
IAD ( CA BD ) Và
90
IMD ( BM CD IAD +
90
IMD +900 1800
Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp đường trịn ( Tứ giác có tổng góc đối diện 1800) c/ Tính độ dài AD Diện tích hình quạt AOM:
*Tính AD: Nếu ABM 450
ABIvng cân A ( Tam giác vng có góc nhọn 450) AB = AI = R
Xét tam giác ADI vng A ,ta có: ADI AMI ( 2góc nội tiếp chắn cung AI…) Mà
2
AMI sđAB= 1.600 300
2 ( sđ góc nội tiếp nửa sđ cung bị chắn AOBđều) Nên: ADI 300
Vậy : Tam giác ADI nửa tam giác ID = 2R
Lúc đó: AD = ID2 AI2 3R2 R 3
(đvđd)
* Tính diện tích hình quạt AOM: Ta có: SquatAOM =
2
360 R n
, với n = AOM 2.ABM 900
Nên: SquatAOM =
2.90
360
R R
(đvdt)
Bài 3: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm đường tròn cho CA > CB Vẽ hình vng ACDE có đỉnh D tia đối tia BC Đường chéo CE cắt đường tròn điểm F ( khác điểm C)
a/ Chứng minh : OF AB
b/ Chứng minh : Tam giác BDF cân F
c/ CF cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) điểm M Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng
(12)F O
E
D
M
A B
C
GT
Cho đường trịn (O), đường kính AB C(O): CA>CB
Dtia đối tia BC: ACDE hình vng
CE cắt (O) F
CF cắt tiếp tuyến A (O) M: (c)
KL a/ OF AB
b/ Tam giác BDF cân F c/ D, E, M thẳng hàng a/ Chứng minh: OF AB
Ta có: ACF BCF 450
( Tính chất đường chéo hình vng) AF BF ( Hai góc nội tiếp chắn cung nhau) AF = BF AFB cân F
Mà O trung điểm AB
FO trung tuyến đường cao ( Tính chất tam giác cân) Hay : FO AB
b/ Chứng minh tam giác BDF cân F:
F đường chéo CE hình vng ACDE
FA = FD ( Tính chất đường chéo hình vng) (1) Mà: FA = BF ( cmt)
FD = FB (2) Hay: Tam giác BDF cân F
c/ Chứng minh: D, E, M thẳng hàng: Xét tam giác ABM, ta có: O trung điểm AB
Mà OF // AM ( vng góc với AB)
F trung điểm B FM = FB (3) Từ (1),(2),(3) FA = FB = FD = FM
ABDM tứ giác nội tiếp đường trịn ( Tứ giác có đỉnh cách F) BAM BDM 1800
Mà BAM 900
( Tiếp tuyến vng góc với bán kính) BDM 900
DM BD (4) Ta lại có: DE BD ( BDE 900
) (5)
Từ (4),(5) DM trùng với DE ( hệ qủa tiên đề Ơ- Clit) Hay: D, E, M thẳng hàng ( Chú ý: Học sinh chứng minh
180
(13)Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH đường cao AM trung tuyến ( H, M cạnh BC ). Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt AB P AC Q
a/ Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng b/ Chứng minh: MA PQ
c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn
Q H
C A
P B
M I
GT
Cho ABCvuông A
AM: trung tuyến, AH: đường cao Đường tròn (H; HA) cắt AB P AC Q
KL
a/ Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng b/ MA PQ
c/ BPCQ nội tiếp đường tròn a/ Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng:
Ta có: 90 PAQ (GT) Mà PAQ góc nội tiếp
PAQ chắn cung nửa đường trịn
PQ đường kính đường tròn tâm H P, H, Q thẳng hàng ( đường kính qua tâm) b/ Chứng minh: MA PQ:
Gọi I giao điểm AM PQ
Ta có: C MAC ( Tam giác MAC cân M) Mà C HAC 900
( Tam giác AHC vuông H) Và HACAQH ( Tam giác AHQ cân H) MAC AQH 900
Nên: Tam giác AIQ vuông I Hay PQ vng góc với AM I
c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp đường trịn: Ta có: C BAH ( phụ vớiCAH )
mà P BAH ( Tam giác AHP cân H) C P
Tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn
(14)Bài 5: Cho đường tròn tâm O có đường kính AB CD vng góc với nhau, dây AE qua trung điểm P OC, ED cắt CB Q
a/ Chứng minh tứ giác CPQE nơi tiếp đường trịn b/ Chứng minh : PQ // AB
c/ So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC
Q O
A B
C
D P
E
GT
Cho đường tròn (O)
AB, CD đường kính:ABCD O AE cắt OC P ( P: trung điểm OC) ED cắt BC Q
KL a/ CPQE nội tiếp đường tròn b/ PQ // AB c/ So sánh SCPQvà SABC?
a/ Chứng minh: CPQE nội tiếp đường trịn: Ta có: PCQ chắn cung BD
PEQ chắn cung AD
Mà: BD AD ( BOD AOD 900
)
Nên: PCQ = PEQ
Vậy: Tứ giác CPQE nội tiếp đường trịn
( Tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc khơng đổi) b/ Chứng minh: PQ // AB:
Ta có: Tứ giác CPQE nội tiếp đường tròn (cmt) CEP CQP ( Hai góc nội tiếp chắn cung CP)
Ta lại có: CEP = B ( Hai góc nội tiếp chắn cung AC đường tròn(O)) CQP B
Mà CQP B , vị trí đồng vị Nên: PQ // AB
c/ So sánh SCPQvà SABC?
Ta có: P trung điểm OC (GT) Mà PQ // AB (cmt)
Q trung điểm BC
Nên: PQ đường trung bình tam giác BOC SCPQ =
1 SBOC
Mà CO trung tuyến tam giác ABC SBOC = 1
2SABC Do đó: SCPQ=
1
(15)ĐẠI SỐ I LÍ THUYẾT:
Câu 1: Nêu dạng tổng quát phương trình bậc hai ẩn.Phương trình bậc hai ẩn có nghiệm?
Câu 2: Nêu dạng tổng quát hệ hai phương trình bậc hai ẩn số Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc hai ẩn có nghiệm? Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương
Trong câu sau, câu câu sai:
a/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn có vơ số nghiệm ln tương đương với b/ Hai hệ phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm ln tương đương với
Câu 5: Viết dạng tổng quát phương trình bậc hai
Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c phương trình 3x2 0x
Câu 6: Cho phương trình ax2 + bx +c=0 (a0) Viết cơng thức tính ngiệm phương trình
Áp dụng : Giải phương trình x2 3x 2
Câu 7: Phát biểu hệ thức Viet Áp dụng :5x24x 3 0.Tính x1+ x2 x1 x2
Câu 8: Cho phương trình :ax2 bx c 0 (a0) có hai nghiệm x1 và x2 .Chứng minh : 1 2 b; 1 2 c
S x x a P x x a
Câu 9: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm có tổng S có tích P (không cần chứng minh ) Áp dung : Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:2 2
Câu 10: Nêu tính chất hàm số y ax a2( 0)
II BÀI TẬP
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a/ 3x yx 2y31
b/
3
2
x y x y
c/
4 15 10
x y x y
d/
3
2 18
x y
x y
e/
1 1 x y x y
f/
2
1
1
6
x y x y x y x y
h/ 5( ) 3( ) 12
x y x
x x y
Bài 2:
Câu 1: Với giá trị a b hệ phương trình 12
2
ax by ax by
Có nghiệm
(x2;y1) Câu 2: Với giá trị m n hệ phương trình
2 mx y x ny
nhận cặp số (-2 ; 3) nghiệm Bài 3:
Câu 1: Cho hệ phương trình:
4
mx y x y
(16)Câu 2: Tìm giá trị a để hệ phương trìnhaxx23yy a5
a/ Có nghiệm b/ Vơ nghiệm Câu 3: Cho hệ phương trình
2
x y m x y
Tìm giá trị m để hệ phương trình vơ nghiệm, vơ số nghiệm Bài 4:
Câu 1: Xác định hàm số y ax b biết đồ thị qua hai điểm a/ A(2 ; 4) B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) B(-2 ; 9)
Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b biết đồ thị qua điểm A(2 ; 1) qua giao điểm B hai đường thẳng y x y2x1 Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) y = -2x +m có đồ thị (d)
a/ Xác định m biết (d) qua điểm A (P) có hồnh độ
b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ xác định tọa độ giao điểm chúng
c/ Với giá m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) khơng cắt (P) Bài 6: Giải phương trình :
2
2
2
/ 75 0; / 384 0; / ( 15) 3(27 )
/ (2 7) 12 4(3 ); /(3 2) 2( 1)
a x b x c x x x
d x x x e x x
Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn )
2
1/ x 5x 14; / 3x 10x80 0;3/ 25 x 20x 4 Bài 8:Định m để phương trình :
2
2
2
a/ 3x 2x m vô nghiệm
b/ 2x mx m co ù nghiệm phân biệt
c/ 25x +mx + = có nghiệm kép Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = (1)
1/ Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m
2/ Tìm m cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối
4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm hai số nghịch đảo 5/ Tìm m cho x1 - x2 = ;
6/ Tìm m để x12x22 đạt gía trị lớn 7/ Tìm m để hai nghiệm dương ;
8/ Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m
9/ Tính x13x23 Bài 10: Giải phương trình
4
5
15 1/
1
2 /
1 3/
4 /
x x
x x
x x
(17)HÌNH HỌC
I LÍ THUYẾT :
Câu : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây nhau”
Câu 2: Nêu cách tính số đo cung nhỏ đường tròn Áp dụng:Cho đường tròn (O), đường kính AB Vẽ dây AM choAMO 400
Tính số đo cung BM ?
Câu 3: Chứng minh đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song (Chú ý: Học sinh chứng minh trường hợp: hai dây, có dây qua tâm cuả đường tròn)
Câu 4: Áp dụng định lí mối quan hệ cung nhỏ dây căng cung đường trịn để giải tốn sau: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Vẽ bán kính OM, ON saocho:
AOM 40 ,0 BON 800
So sánh: AM, MN NB ?
Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 ”.
Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn”
( Chỉ chứng minh trường hợp: có cạnh góc qua tâm )
Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh trường hợp: Tâm O đường tròn nằm ngồi góc)
Câu 8: Chứng minh định lí: “ Sđ góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng sđ hai cung bị chắn”
Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung n0của hình quạt trịn bán kính R Áp dụng: Cho đường trịn ( O; R = cm) Tính độ dài cung AB có số đo 600?
Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh: AB + CD = AD + BC
II BÀI TẬP:
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng d vng góc với AB M cắt tiếp tuyến đường tròn (O) N điểm P Chứng minh :
a/ Tứ giác OMNP nội tiếp đường trịn b/ Tứ giác CMPO hình bình hành
c/ Tích CM.CN khơng đổi
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, điểm A nửa đường tròn cho BA = R Lấy M điểm cung nhỏ AC, BM cắt AC I Tia BA cắt tia CM D
a/ Chứng minh: DI BC
b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn c/ Giả sử
45
AMB Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R diện tích hình quạt AOM
Bài 3: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm đường tròn cho CA > CB Vẽ hình vng ACDE có đỉnh D tia đối tia BC Đường chéo CE cắt đường tròn điểm F ( khác điểm C) a/ Chứng minh : OF AB
b/ Chứng minh : Tam giác BDF cân F
c/ CF cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) điểm M Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng
(18)a/ Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng b/ Chứng minh: MA PQ
c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn
Bài 5: Cho đường tròn tâm O có đường kính AB CD vng góc với nhau, dây AE qua trung điểm P OC, ED cắt CB Q
a/ Chứng minh tứ giác CPQE nơi tiếp đường trịn b/ Chứng minh : PQ // AB