Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm , hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần... Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể l[r]
(1)I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Học sinh tìm hiểu số dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 4; 5; 8; 9; 11
Học sinh biết cách chứng minh số, tích , tơng đại số có chia hết cho số hay không
II CHUẨN BỊ :
GV: Nội dung chuyên đề HS: Theo hướng dẫn gv III TIẾN TRÌNH
A Một số kiến thức 1.Định nghĩa:
Với số nguyên a,b (b≠0) có cặp số nguyên q;r cho:
a = bq +r với ≤ r < b
a gọi số bị chia, b số chia, q thương số, r số dư Số dư r |b| số: 0; 1; 2; …; ( |b| - 1)
- Nếu r = ,ta nói a chia hết cho b hay a bội b, kí hiệu ab
Người ta nói b chia hết a hay b ước a, kí hiệu b/a - Nếu r ≠ ta có phép chia cịn dư
2 Tính chất:
a) Mọi số ngun khác chia hết cho b) Nếu ab bc ac (a,b,c Z b,c ≠ 0)
c) Nếu ab ba a=b a =- b (a,bZ a,b ≠ 0)
d) Số chia hết cho số nguyên b ( b ≠ 0)
e) Nếu ac bc a+bc a- bc (a,b,c Z , c≠0)
f) Nếu ab ka b ( a, b, k Z, b≠0 )
g) Nếu ab ac (b,c) =1 a.b c (a,b,c Z c≠ 0)
h) Nếu abc mà (b,c) =1 ac (a ,b ,c Z ,c≠0)
3.Dấu hiệu chia hết số tự nhiên a, Dấu hiệu chia hết cho
Một số chia hết cho chữ số tận số chẵn b, Dấu hiệu chia hết cho (cho9)
Một số chia hết cho ( cho9 ) tổng chữ số chia hết cho (cho9) c, Dấu hiệu chia hết cho
Một số chia hết cho hai chữ số tận lập thành số chia hết cho
d, Dấu hiệu chia hết cho
Một số chia hết cho số tận chữ số chữ số
e, Dấu hiệu chia hết cho
Một số chia hết cho ba chữ số tận lập thành số chia hết cho f, Dấu hiệu chia hết cho 11
Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số “đứng vị trí lẻ” tổng chữ số “đứng vị trí chẵn” (kể từ phải sang trái) số chia hết cho 11
(2)Ngoài cần nắm vững đẳng thức sau: ) )( ( ) ) )( ( ) ) )( ( ) 3 ) ).( 3 ) ).( ) )( ).( ) ).( ) ).( 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 n n n n n
n b a b a a b ab b
a b ab a b a b a b ab a b a b a b ab b a a b a b ab b a a b a b a b a b a b ab a b a b ab a b a
với nZ n>2
B. Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh số chia hết cho 13 tổng số chục lần chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 13
Giải
Giả sử N cho gồm a chục, b đơn vị , tức N = 10a+b a,b chữ số
và a≠0 Ta phải chứng minh số N chia hết cho 13 số M = a+4b chia hết cho 13 Ta có:
10 M – N =10(a+4b) - (10a+b) =10a+40b-10a- b =39 b số chia hết cho 13 Do :
-Nếu M13 10M13 mà 10M- N13 nên N13
-Nếu N13 mà 10M- N13 10M13 ( 10,13) =1 nên M13
Vậy N13 M13
ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a,Tích số ngun liên tiếp chia hết cho b,Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho c,Tích n số ngun liên tiếp chia hết cho n Giải
a, Gọi số nguyên liên tiếp a a+1 Ta thấy số a a+1 có số chẵn ,do a(a+1) số chẵn nên a(a+1) chia hết cho
b, Gọi số nguyên liên tiếp a, a+1, a+2 Ta phải chứng minh a(a+1)(a+2) chia hết cho
Vì a số nguyên nên a viết dạng a=3k a=3k-1 a+1=3k-1+1=3k , a =3k+1 , a+2 = 3k+1+2= 3(k+1) với kZ Như số
nguyên a, a+1, a+2 có số chia hết cho Do tích a(a+1)(a+2) chia hết cho
c,Chứng minh phản chứng Gọi n số nguyên liên tiếp là: a , a+1, a+2,… , a+n-1 (1)
Giả sử dãy (1) khơng có số chia hết cho n Như chia số (1) cho n số dư số:1,2,3 ,n-1
Vì có n số mà có n-1 số dư nên theo nguyên tắc Đirichlê phải có số (1) chia cho n có số dư Giả sử số a+i a+k ≤ i ≤ k <n-1 chia cho n có số dư,
(3)n
Chú ý: Câu a, câu b trường hợp riêng câu c n=2,n=3 Vì vậyta chứng minh câu c trước áp dụng kết với n=2 để có a ,với n=3 để có b
ví dụ Tìm số dư phép chia 3100 cho 7.
Giải Ta có :
) (mod 27 33
nên 399 (33)33 1(mod7) ,
) (mod ) ( 99
,hay 3100 3(mod7) ,hay 3100 4(mod7)
Vậy 3100 chia cho 7,dư 4
Ví dụ 4: Chứng minh điều kiện cần đủ để số chia hết cho 17 tổng lần số chục hai lần chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 17
Giải
Giả sử N gồm a chục ,b đơn vị : N=10a+b a,b chữ số a≠0 Ta phải chứng minh N17 k hi số M= 3a+2b 17
Ta có:
M+17a = 3a+2b +17a = (10a+b) = 2N
-Nếu N17 2N17, M+17a 17, suy M17
-Nếu M17 M+ 17a 17 ,do 2N17, suy N17
ví dụ 5: Chứng minh với số nguyên n a, n3 11n
chia hết cho6;
b, n3 19n chia hết cho
giải a, 11 12 ( 1) ( 1) 12
n n
n n n n n n
n
Ta có (n-1)n(n+1) chia hết cho Hơn số ngun liên tiếp n-1,n ,n+1 ln ln có số chia hết cho 2, (n-1)n(n+1)
Mặt khác 12n6 Vì (n-1)n(n+1)+12n chia hết cho 6,
hay n311n chia hết cho
b, n3 19n n3 n 18n (n 1)n(n 1) 18n
Lập luận tương tự câu a, ta có n3 19n
chia hết cho
C. Một số tập
Bài1 Với 19 số tự nhiên liên tiếp ,có hay khơng số có tổng chữ số chia hết cho 10 ?
Bài2 Cho N số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm: a,Hai chữ số tận số N20
b,Ba chữ số tận số N200
Bài Chứng minh số A=3105 4105chia hết cho 13 không chia hết cho 11
Bài 4, Chứng minh điều kiện cần đủ để m2 mn n2
chia hết cho m,n chia hết cho3
(4)CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A –Một số kiến thức
1.Định nghĩa:
Số phương số bình phương số tự nhiên Ví dụ: 32 9;152 225
Các số 9; 225 bình phương số tự nhiên : 3; 15 gọi số phương Một số tính chất:
a) Số phương tận : 0; 1; 4; 5; 6; tận 2; 3; 7; b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục
Thật ,giả sử M a52
= (10a5)2 100a2 100a25
(5)Thật vậy, giả sử số phương N=a2 có chữ số tận chữ số hàng đơn vị
số a
Giả sử hai chữ số tận số a b4 (nếu b6 chứng minh tương tự ), Khi b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16.
Vì chữ số hàng chục số 100b2 80b số chẵn nên chữ số hàng chục N số lẻ.
d) Khi phân tích thừa số nguyên tố ,số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Thật ,giả sử A = m2 =ax by.cz …trong a,b,c ,…là số nguyên tố khác
nhau,còn x,y,z…là số nguyên tố dương , A = m2 =(ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z…
Từ tính chất suy
-Số phương chia hết cho chia hết cho -Số phương chia hết cho chia hết cho -Số phương chia hết cho chia hết cho 25
-Số phương chia hết cho chia hết cho 16 B Các ví dụ:
Ví dụ Chứng minh :
a) Một số phương viết dạng 4n+2 họăc 4n +3 (nN);
b) Một số phương khơng thể viết dạng 3n+2(nN)
Giải
a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (kN), (2k)2 = 4k2 số chia hết cho số tự
nhiên lẻ có dạng 2k+1 (kN) ,
Khi (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 số chia cho dư
Như số phương chia hết cho
chia cho dư , khơng thể viết đựơc dạng 4n+2 4n+3(nN)
b) Một số tự nhiên viết dạng 3k 3k1 (k N) bình phương
có dạng(3k)2 =9k2 số chia hết cho ,hoặc có dạng (3k1)2= 9k26k +1 số chia
cho dư 1.Như số phương khơng thể viết dạng 3n+2(nN)
Ví dụ 2:
Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị
Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương
Giải
Cách
Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho là: 1, 3, 5, ,9 tổng chúng :1+3+5+7+9=25 =52 số phương
Cách
Nếu số phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận số a
số chẵn, a2 nên a2 4
(6)Theo dấu hiệu chia hết cho chữ số tận số Mchỉ 16,36,56,76,96.Từ ,ta có :
1+3+5+7+9=25=52là số phương
Ví dụ3:
Tìm số tự nhiên n có chữ số, biết số 2n+1 3n+1 đồng thời số phương Trả lời
n số tự nhiên có chữ số nên 10 ≤ n < 100,
21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 số phương lẻ nên 2n+1 nhận giá trị :25; 49; 81; 121; 169 Từ n nhận giá trị 12, 24, 40, 60,84 Khi số 3n+1 nhận giá trị :
37; 73; 121; 181; 253
Trong số có số 121=112 số phương.
Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm n=40 Ví dụ 4:
Chứng minh p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng thể số phương
Giải
Vì p tích n số ngun tố nên p chia hết cho p không chia hết cho (1)
a) Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (mN)
Vì p số chẵn nên p+1 số lẻ , m2 số lẻ ,vì m số lẻ
Đặt m=2k+1 (kN)
Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy p+1= 4k2+ 4k+
p=4k(k+1) số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1) Vậy p+1 không số phương
b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho
Do p-1 = 3k+2 khơng số phương Vậy p tích n số ngun tố p-1 p+1 khơng số phương
C MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài
Cho số tự nhiên A B số A gồm có 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số
Chứng minh : A+B +1 số phương Bài
Tìm số tự nhiên có chữ số, biết hiệu bình phương số số viết hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương
Bài3
(7)Bài
Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, người ta lập tất số có chữ số , số gồm chữ số khác Hỏi số lập có số chia hết cho 11 khơng ? Có số số phương khơng?
Bài
Người ta viết liên tiếp số : 1, 2, 3,…, 1994 thành hàng ngang theo thứ tự tuỳ ý Hỏi số tạo thành theo cách viết số phương không?