THI CHON HSG TINH MON TOAN 12 1011VONG1

Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong Hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với Hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.. II..[r]

Së Gi¸o Dơc & Đào TạoNGhệ an

K thi chọn đội tuyển dự thihọc sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm học 2010 - 2011

Môn thi: Toán Ngày thi: 07/10/2010

Thi gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình sau tập số thực:

 

2

2

1 5

57

4 3 3 1

25

x y

x x y x



 

  

    

  Câu (4,0 điểm)

Cho dãy số  xn với  

*

1 , n n n ,

x a x  x x    n .

Tìm điều kiện cần đủ a để dãy số có giới hạn hữu hạn. Câu (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có phân giác AD (D nằm cạnh BC) Gọi E, F lần lượt hình chiếu D AB, AC Gọi H giao điểm BF CE Chứng minh rằng AH vng góc với BC.

Câu (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC có diện tích S, BC a CA b AB c ,  ,  . Chứng minh rằng:

     

2 2

2 3

b c a a c a b b a b c c

S

b c c a a b

     

  

   .

Câu (4,0 điểm)

Cho số nguyên dương n2 tập M 1; 2; 3; ; n Với tập A khác rỗng của M ta ký hiệu A số phần tử tập A, minA maxA tương ứng phần tử nhỏ

nhất lớn tập A Tính  

A M, A

min A max A A

 

 

 theo n.

- - -HÕt

-Hä vµ tên thí sinh: Số báo danh:

hng dẫn biểu điểm Chấm đề thức

(Hớng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán (Ngày 07/10/2010)

-I Hng dn chung

1 Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm từng phần hướng dẫn quy định.

2 Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm Hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với Hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi.

II áp án v thang i mĐ đ ể

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Câu 1 (4,0 đ)

Hệ phương trình cho tương đương với

2

2

5

57 3

25

x y

x x xy y

           2 2

5

47 2 3

25

x y

x y xy x y

             1.0         2

5

47

2 2

25

x y

x y x y x y x y

               1.0 Đặt a2x y b x ;  2y

Hệ cho trở thành 2 1

47 25

a b ab a b

              2 94 2 25

a b ab ab a b

                2 144 25

ab a b a b             1.0   12 25 17 132 25 a b ab a b VN ab                               

 ;  ( ; )3 5

a b

  ( ; )4 5

 ;  ( ; )2 5

x y

  (11 2; )

25 25 (thỏa mãn)

1.0

Câu 2 (4,0 đ)

Nếu a 1 a2, 2x2x3 Giả sử tồn limxn c, ta có:

2

0

c c  cc c2 (mâu thuẫn) Suy 1 a 1.0

(*) Ta chứng minh tồn k cho 0xk 1 dãy hội tụ Thật vậy:

1

1

0 0, 1, 0,0 1,

4

k k k k k

x x x x  x 

            

Dãy x  đơn điệu giảm x x x3 x 2 0

    Vì tồn

(**) Ta chứng minh tồn k cho 0xk 2 dãy hội tụ Thật vậy:

1

0xk  2 xk  xk Nếu xk2 xk1 2

Nếu xk l  0, l dãy xk l  đơn điệu giảm bị chặn hội tụ

Nếu xk l 0 0 xk l 11 Theo chứng minh (*) dãy  xn hội tụ

1.0

Từ đó, 0 a 0 x1 suy dãy có giới hạn

Nếu    1 a 0x22, suy dãy có giới hạn

Vậy điều kiện cần đủ để dãy có giói hạn  1 a2.

1.0 Câu 3

(4,0 đ)

Gọi K hình chiếu A BC

0.5

Vì K, E, F theo thứ tự thuộc đoạn BC, CA, AB nên: KB FC EA KB FC EA

KC FA EB KC FA EB

0.5 Từ giả thiết ta có EA = FA; ED = FD, đó:

KB FC EA KB KA FC ED cot tan cot tanB C C B

KA KC FD EB

KC FA EB  

1.5 Vậy theo định lý Ceva, với ý AK, BF, CE khơng thể đơi song song, ta có

AK, BF, CE đồng qui 1.0

Điều có nghĩa AK qua H Vậy AH vng góc với BC 0.5 A

B D K C

F H

C1 A B

1

C

A

1 B

x

Câu 4 (4,0 đ)

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1: Với a b c, , ba cạnh tam giác có diện tích S thì: 2(ab bc ca) a2 b2 c2 4S 3

     

Chứng minh: Vận dụng kết x y z  23xy yz zx   Ta có

(p a p b )(  ) ( p b p c )(  ) ( p c p a )(  )2 3 (p p a p b p c )(  )(  )

(với

2

a b c p   )

 (p a p b )(  ) ( p b p c )(  ) ( p c p a )(  )S

2(ab bc ca) a2 b2 c2 4S 3

      

1.0

Bổ đề 2: Với a b c, , ba cạnh tam giác có diện tích S x y z, , số thực dương Ta ln có

2 2

2

xa yb zc

S y z  z x  x y  Chứng minh:

Ta có    

2 2

2

( ) ( ) ( )

a b c

y z z x x y a b c y z z x z x

 

         

 

  

 

2 2

2 2

2 2

2( )

xa yb zc

ab bc ca a b c y z z x x y

        

  

Áp dụng Bổ đề ta có

2 2

2

xa yb zc

S y z  z x  x y 

1.0

Trở lại toán:

Gọi A1, B1, C1 tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tam

giác ABC

Ta có

 

2

1 1

( )

dt A BC a A BC A B C

dt A B C x

 

    

2

2 '

a

ar a

S x

    

2 2

( ) ( ) ( )

'( ) '( )

a a

b c a a ar b c a x r p a ax

b c S b c S b c

    

  

  

2

( )

'

b c a a S ax b c S b c

 

 

 

Tương tự

2

( )

, '

c a b b S by c a S c a

 



 

2

( )

'

a b c b S cz a b S a b

 



  với C A y A B z1 1 , 1

2 2 2

( ) ( ) ( )

'

b c a a c a b b a b c b S ax by cz

b c c a a b S b c c a a b

 

     

       

       

Áp dụng Bổ đề 2, tam giác A1B1C1 ta có

2 2

2 '

ax by cz

S b c  c a  a b 

b c a a c a b b a b c c 2 3

S

b c a c a b

     

   

  

(đpcm) Dấu xảy tam giác ABC

1.0

Câu 5 (4,0 đ)

Với 1 k n,

đặt Ek  A M A k   min ax 

k

k A E

x A m A A



   .

Khi

n k k

T x



 1.0

Với A a a1; ; ;2 akEk đặt  

*

1

1 ; ; ; k

A n  a n  a n  a

Ta có

 *

* , *

k

A E A A Ek A M A k    A A M A k*  ,  

 * * 

2 ax ax

k

k A E

x A m A A m A A



     

1.0

Giả sử minA a m 1, axA a k Khi

* *

1

minA   n a mk, axA   n a

Do minA maxA minA* maxA* 2 A 2(n 1) 2k

      

   

2 2

k

k

k n

A E

x n k n k C



        1  k

k n

x n k C

   

1.0

 

1

1

n

k n k

T n k C



    .

Ta có   1  

0

1 n n k n k ( 1)n ( 1)n n k n k

n n

k k

x x C x   x nx x  n k C x 

 

         .

Thay x1, ta có  

0

2n 2n n k

n k

n  n k C n T



       . Vậy T 2n n.2n1 n 1

   

1.0

HÕt