Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MƠN THI : TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4đ): Tìm số tự nhiên n để n18 n 41 hai số phương
Câu 2(4đ): a) Giải hệ phương trình:
2
2
1 12
1
8
x x
y y
x x
y y
b) Giải phương trình: x + + - x (x + 3)(6 - x) =
Câu 3(5đ): a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng: abc + xyz3 3 (a + x)(b + y)(c + z)
b) Từ suy : 33 3 3 33 2 33
Câu 4(5đ): Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA hình vng
a) Chứng minh SABCD AC
4
(MN + NP + PQ + QM)
b) Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ
Câu 5(2đ):Cho ba số a,b,c thỏa mãn đồng thời điều kiện: a+b+c=1 1111
c b
a
Chứng minh: a2011 b2011 c2011 1
Hết
Họ tên thí sinh: Số báo danh
Cán coi thi khơng giải thích thêm.
(2)PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN
Câu Nội dung Điểm
Câu 1 Để n18 n 41 hai số phương
18
n p vàn 41q p q2 , N
2
18 41 59 59
p q n n p q p q
1,0đ 1,0đ Nhưng 59 số nguyên tố, nên: p qp q 591 qp2930
1,0đ Từ n 18 p2 302 900
suy n882 0,5đ
Thay vào biểu thức n 41, ta 882 41 841 29 q2
Vậy với n882 n18 n 41 hai số phương 0,5đ Câu 2
a) Giải hệ phương trình:
2
2
1 12 (1)
1 8 (2)
x x y y x x y y
Lấy (1)+(2) theo vế ta được: (x + 1y)2 + x + 1
y - 20 = Đặt: t = x +
1
y
=> t2 + t - 20 = (t – 4)(t + 5) = t
1 = 4, t2 = -5
Với t = => x + 1y = => x = - 1y Thay vào (2) có: (2y-1)2 = => y =1
=> x =
Với t = -5 => x + 1y = -5=> x = -5 - 1y Thay vào (2) có: 13y2 + 5y + = phương trình vơ nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm nhất: x = 2, y =1
2
b) Giải phương trình: x + + - x - (x + 3)(6 - x) (1)
Điều kiện : x+3 -3 x 6-x
Đặt : x + 3, , 0 2 9.
v = - x
u
u v u v
Phương trình có trở thành hệ :
2 2
u + v = (u + v) - 2uv = u + v - uv = u + v = + uv
Suy : (3+uv)2-2uv = uv = u = uv = -4 v =
x+3 = x = -3x = 6
6-x =
Vậy phương trình có nghiệm x =-3 , x =
(3)Câu 3 a) Từ biểu thức : 3abc3 xyz (a+x)(b+y)(c+z) (1)
Lập phương vế (1) ta :
abc + xyz + (abc) xyz + abc(xyz)3 (a+x)(b+y)(c+z)
2
3
abc + xyz+ (abc) xyz +3 abc(xyz)
abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz
2
3
3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc)
(2)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
2
(abz+ayc+ xbc) (abc) xyz (3)
2
(ayz+xbz+ xyc) abc(xyz) (4)
Cộng hai bất đẳng thức (3) (4) ta bất đẳng thức (2), (1) chứng minh
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) Áp dụng BĐT (1) với a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = - 3, y = 1, z = 13
Ta có : abc = + 33, xyz = 3-33, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Từ : 3+ 33 33- 33 36.2.2 33
(đpcm)
1,0đ 0,5đ 0,5đ
Câu 4 a) Gọi I, J, K trung điểm QN, MN, PQ Khi :
BJ =MN
2 (trung tuyến vuông MBN)
Tương tự DK =PQ
2
IJ = QM
2 (IJ đtb MNQ)
Tương tự IK =PN
2
Vì BD BJ + JI + IK + KD Dođó:
ABCD
AC AC
S BD (BJ+JI + IK+KD)
2
=AC(MN+NP+PQ+QM)
4 - đpcm
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ b) Chu vi tứ giác MNPQ :
MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ
= 2(BJ + JI + IK + KD) 2BD (cmt)
Dấu xảy đường gấp khúc trùng với BD, tức MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cạnh huyền tam giác vuông cân nhau), lúc MNPQ hình chữ nhật
0,5đ 0,5đ 1,0đ
Câu 5 Ba số a,b,c, thỏa mãn đồng thời điều kiện: a+b+c = 1 1 1
c b
a
Từ 111 1
c b
a => ab+ac+bc= abc <=> (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc 0,5đ
<=> (a+b)(b+c)(c+a) = <=> a+b = b+c= c+a = 0,5đ Nếu: a+b = => c = => a2011 + b2011 = => a2011 + b2011 +c2011 =
Tương tự với: b+c= c+a = 1,0đ
A B
D C
M
N
P Q
I J
(4)MA TR N Ậ ĐỀ
Nội dung – Chủ đề
Mức độ
Tổng Thông hiểu Vận dụng
thấp
Vận dụng cao
KQ TL KQ TL KQ TL
Số học
C1
1 4 Đại số
C2a
C2b
C3a,b;C5
5 11 Hình học
C4a
C4b
2 5 Tổng
2
4 3
9 3
7 8
20 Người đề: Nguyễn Thái Hòa.