Nếu hai vec tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Độ dài của một vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.. Với mỗi điểm A ta gọi AA là vec t[r]
(1)CHỦ ĐỀ 1:
M M M
MỆỆỆỆNHNHNHNH ĐỀĐỀĐỀĐỀ,,,, TTTTẬẬẬẬPPPP HHHHỢỢỢỢPPPP –––– ĐẠĐẠIIII CĐẠĐẠ CCCƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG VVVVỀỀỀ HỀHHHÀÀÀÀMMMM SSSSỐỐỐỐ Bi
Bi Bi
Biêêêênnnn sosososoạạạạn:n:n:n:CôVõ Thị Ngọc Hương
A.
A.A.A TTTTÓÓÓÓMMMM TTTTẮẮẮẮTT LTTLLLÝÝÝÝ THUYTHUYTHUYTHUYẾẾẾẾT:T:T:T: I.
I.
I.I MMMMỆỆỆỆNHNHNHNH ĐỀĐỀĐỀĐỀ::::
1 Mỗi mệnh đề phải hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai
2 Với giá trị biến thuộc tập hợp đó, mệnh đề chứa biến trở thành mệnh đề
3 Phủ định P mệnh đề P P sai sai P
4 Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai (trong trường hợp khác P ⇒ Q đúng)
5 Mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P
6 Ta nói hai mệnh đề P Q hai mệnh đề tương đương hai mệnh đề P ⇒ Q Q
⇒ P
7 Kí hiệu ∀đọc với Kí hiệu ∃ đọc tồn (hay có một)
II. II.
II.II TTTTẬẬẬẬPP HPPHHHỢỢỢỢP:P:P:P:
1 A⊂B⇔∀x(x∈A⇒x∈B)
2 A=B⇔∀x(x∈A⇔ x∈B) III.
III.III.III CCCCÁÁÁÁCCCC PHPHÉPHPHÉÉÉPPPP TOTOTOTOÁÁNÁÁNNN TTTTẬẬẬẬPP HPPHHHỢỢỢỢP:P:P:P:
1
⎩ ⎨ ⎧
∈ ∈ ⇔ ∩ ∈
B x
A x B A x
2 ⎢
⎣ ⎡
∈ ∈ ⇔ ∪ ∈
B x
A x B A x
3
⎩ ⎨ ⎧
∈ ∈ ⇔ ∈
B x
A x B A x \
4 Khi B⊂ A A\B gọi phần bù B A kí hiệu CAB IV.
IV.IV.IV CCCCÁÁÁÁCC TCCTTTẬẬẬẬPP HPPHHHỢỢỢỢPPPP SSSSỐỐỐỐ::::
1 (a;b) = { x∈ R a < x < b } (a; + ∞) = { x ∈ R a < x } (- ∞; b) = { x∈ R x < b } [a;b] = { x∈ R a ≤ x ≤ b } [a;b) = { x∈ R a ≤ x < b } (a;b] = { x∈ R a < x ≤ b } [a;+∞) = { x ∈ R a ≤ x } (−∞;b] = { x∈ R x ≤ b } (−∞;+∞) = R
V.
V.V.V SSSSỐỐỐỐ GGGGẦẦẦẦNNNN ĐÚĐÚĐÚĐÚNG.NG.NG.NG SAISAISAISAI SSSSỐỐỐỐ::::
Cho a số gần số a
1 ∆a = a−a gọi sai số tuyệt dối số gần a
2 Nếu ∆a ≤ d d gọi độ xác số gần a viết gọn a=a± d
VI.
(2)1 Một hàm số cho bằng: bảng, biểu đồ, cơng thức
• Tập xác định D hàm số y = f (x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f
(x) có nghĩa
2 Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) khoảng (a, b) nếu: ∀x1,x2 ∈(a,b):x1 <x2 ⇒ )
( )
(x1 f x2 f <
3 Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) khoảng (a, b) nếu:
( ) < ⇒
∈
∀x1,x2 a,b :x1 x2 f(x1)> f(x2)
4 Hàm số y = f (x) với tập xác định D gọi hàm số chẵn nếu:
∀x ∈D –x ∈ D f(- x) = f(x)
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng B BÀI TẬP MẪU:
1 Xét xem câu sau, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến.Nếu mệnh đề xét tính sai nó:
a + x = b 11 + = -
Giải Câu a mệnh đề chứa biến
Câu b mệnh đề Đây mệnh đề sai
2 Xét tính sai mệnh đề sau lập mệnh đề phủ định a 150 chia hết cho
b số hữu tỉ
c π2 > 9”
d
5 13 −
<
Giải
a Mệnh đề
Mệnh đề phủ định: 150 không chia hết cho b Mệnh đề sai
Mệnh đề phủ định: số hữu tỉ
c Mệnh đề
Mệnh đề phủ định:
π ≤ d Mệnh đề sai
Mệnh đề phủ định : − ≥
5 13
0 Cho mệnh đề kéo theo:
Tam giác cân có hai góc
Các số nguyên có tận 0, 2, 4, 6, chia hết cho Các số bội bội chung
a Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề
b Phát biểu mệnh đề cách sử dụng khái niệm”điều kiện cần” c Phát biểu mệnh đề cách sử dụng khái niệm”điều kiện cần” d Phát biểu mệnh đề cách sử dụng khái niệm”điều kiện đủ”
Giải
a Mệnh đề đảo mệnh đề :
(3)• Các số nguyên chia hết cho có tận 0, 2, 4, 6,
• Các số bội chung bội b Phát biểu mệnh đề dạng”điều kiện cần”
• Điều kiện cần để tam giác tam giác cân có hai góc
• Các số ngun chia hết cho điều kiện cần để có tận 0, 2, 4, 6,
• Các số bội chung điều kiện cần để số bội c Phát biểu mệnh đề dạng”điều kiện đủ”
• Tam giác cân điều kiện đủ để có hai góc
• Điều kiện đủ để số nguyên chia hết cho số có tận 0,2,4,6,8
• Các số bội điều kiện đủ để số bội chung 4.Cho mệnh đề sau:
1
1 : :
: :
1 : :
0 : :
2
3
2
+ = −
− ∈
∃ ∈ ∀
= ∈
∃
≤ ∈
∀
x x
x R x P
N n P
x x R x P
x R x P
n chia hết cho n
a Phát biểu thành lời mệnh đề
b Lập mệnh đề phủ định xét tính sai mệnh đề cho Giải
a P1: Bình phương số thực nhỏ
P : Có số thực mà nhân với
3
P : Mọi số tự nhiên chia hết cho
4
P : Có số thực mà
1
2
+ = −
− x x
x
b
1: x R:x
P ∃ ∈ > Đúng
2
P : ∀x∈R:x.1≠x Đúng
∃ :
3
P n ∈N: n không chia hết cho n Đúng
1
1 : :
2
4 ≠ +
− − ∈
∀ x
x x R x
P Sai
5 Liệt kê phần tử tập hợp sau: a A = {x∈Rx2 −7x+6=0}
b B = {n∈Nnnguyênt ,2<x<20}
Giải a A = { }1,6
b B = {3,5,7,11,13,17,19}
6 Nêu tính chất đặc trưng cho tập hợp sau: a A = {0,2,4,6,8,10}
b B = {1,2,3,5,6,10,15,30}
Giải a A = {n∈Nnchc ,n≤10}
b B= {n∈N* ncc 30}
(4)A = {a,b,c}
Giai Các tập A là:
A, { } { } { } {a , b, c , a,b}{ } { }b,c , a,c
8 Gọi A tập hợp học sinh lớp 10A, B tập hợp học sinh nam, D tập hợp học sinh nữ.Hãy xác định tập sau:
a.B ∪D c A\B e CAB
b.B∩D d D\B
Giai
a.B ∪D = A c A\B = D e CAB= D
b.B∩D = d D\B = D
9 Tìm giao, hợp, hiệu tập hợp sau:
a (−2,3) (0,4) b R (0,+∞)
c (−∞,1) (−3,+∞)
Giải a (−2,3) ∩ (0,4) = ( )0,3
(−2,3) ∪ (0,4) = (−2,4)
(−2,3) \ (0,4) = (−2,0]
b R ∩ (0,+∞) = (0,+∞)
R ∪ (0,+∞) = R R \ (0,+∞) = (−∞,0]
c (−∞,1) ∩ (−3,+∞) = (−3,1)
(−∞,1) ∪ (−3,+∞) = R
(−∞,1)\ (−3,+∞) = (−∞,−3]
10 Cho số a = 1374523 ± 200.Hãy viết số quy tròn số 1374523
Giai
Vì độ xác đến hàng trăm nên ta quy tròn số 1374523 đến hàng nghìn Vậy số quy trịn 1375000
11 Cho số gần a = 274,2571 có sai số tuyệt đối khơng vượt q 0,01.Viết số quy trịn a
Giai
Vì sai số tuyệt đối khơng vượt
100
nên số quy tròn số a là: 274,3 12 Tìm tập xác định hàm số sau:
a y =
1
1 + − x
x
c y =
3
− − x
x
+ 5−2x
b y = 4−x +
x +
1
d y =
x x − + 1
+ 2x+5
Giai
a TXĐ: 3x + ≠0
3 − ≠ ⇒x
Vậy D = R \
⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧−
3
(5)4
≤
⇒ x
* + x ≠
⇒ x ≠-
Vậy D = (−∞,4]\{ }−5
c TXĐ: * x – ≠
⇒ x ≠3 * – 2x ≥0
≤ ⇒ x
2
Vậy D = ⎥
⎦ ⎤ ⎜
⎝ ⎛
∞ −
2 ,
d TXĐ: * 1- x >
1
<
⇒ x
* 2x + ≥0
2 − ≥ ⇒ x
Vậy D = ⎟
⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ −
1 ,
5
13 Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a f(x) = 2x3
-x b f(x) = x2
+4 c f(x) = 2x +
Giai a Ta có: D =R
• Lấy x ∈D ⇒ -x ∈ D
• f(-x)= (-x)3
-(-x) = - 2x3
+x = - f(x) Vậy hàm số cho hàm số lẻ
b Ta có: D =R
• Lấy x ∈D ⇒ -x ∈ D
• f(-x)= (-x)2
+ = x2
+4 = f(x) Vậy hàm số cho hàm số chẵn
c Ta có: D =R
f(-1)= -1 ≠f(1) =3 f(-1) ≠- f(1) Vậy hàm số cho không chẵn không lẻ
14 Xét tính đồng biến,nghịch biến hàm số sau khoảng ra: f(x)= -2x2
- (−4,0) (3,10)
Giai
2
1,x R&x x
x ∈ ≠
∀ , ta có:
) )(
( ) (
2 ) ( ) ( )
(x1 f x2 x12 x22 x22 x12 x1 x2 x1 x2
f − =− − − − − = − =− − + (1)
* ∀x1,x2 ∈(−4,0)&x1 <x2 ta có:
0
2 −x <
x x1+x2<
Từ (1) ⇒ f(x1)− f(x2)< hay f(x1)< f(x2)
Vậy hàm số đồng biến (−4,0)
* ∀x1,x2 ∈(3,10)&x1 < x2 ta có:
0
2 1−x <
(6)Từ (1) ⇒ f(x1)− f(x2)> hay f(x1)> f(x2)
Vậy hàm số nghịch biến (3,10)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1 Trong câu sau,câu mệnh đề,câu mệnh đề chứa biến ? a x +2y <
b 25: = c + >
d.”n chia hết cho 3”, với n s61 tự nhiên
2 Xét tính sai mệnh đề sau phát biểu mệnh đề phủ định : a 327 chia hết cho
b Năm 2000 năm nhuận c.∃ x∈ Q: x2=3
d ∀x∈ R : x2 ≠1
3 Phát biểu mệnh đề sau cách sử dụng khái niệm”điều kiện cần đủ” a Tam giác có tổng bình phương hai cạnh cạnh thứ ba tam giác tam giác vng
b Phương trình bậc hai có nghiệm trái dấu p <
c
,n N n∈
∀ chia hết cho n chia hết cho
d.Một tứ giác nội tiếp đường tròn tổng hai góc đối diện 1800
4 Phát biểu định lí sau dạng”điều kiện cần”: a Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho b Nếu n số chẵn 7n + số chẵn
c Nếu hai tam giác chúng đồng dạng với
5 Dùng kí hiệu " $, để viết mệnh đề sau xét tính sai nó: a Tồn số tự nhiên mà
1
n - chia hết cho
b Mọi số thực có bình phương khơng âm c Mọi số thực lớn bình phương
6 Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai nó:
a
,
n N n
" Ỵ + chia hết cho b " Ỵx R x x, =1
c
, x Z n n
" Ỵ <
d $ În N, 2n+1 số nguyên tố
7 Lập mệnh đề phủ định xét tính sai mệnh đề sau: a Mọi hình vng hình chữ nhật
b Có vơ số số ngun tố c 25 số phương
8 Tìm hai giá trị thực x để câu sau ta mệnh đề mệnh đề sai: a
1 x - = b x >
(7)c 2x = d + x <
9 Phát biểu mệnh đề PÞQ xét tính sai nó:
a P: < Q: -9 < - 16
b P: = Q: =
10 Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề sau xét tính sai nó: a Tam giác ABC có cạnh ABC tam giác
b Nếu 40 chia hết cho 40 chia hết cho 10
c Mọi số tự nhiên chia hết cho có bình phương chia hết cho 11 a) Cho A = {nỴN n<26 &nchiah?t cho 5}
Hãy liệt kê phần tử tập hợp A
b) Cho tập hợp B = {4,9,16, 25,36, 49} Hãy tính chất đặc trưng cho tập hợp B 12 Tập hợp A có tập hợp ?
a A có phần tử b A có phần tử c A có phần tử
13 Xét xem tập hợp sau có khơng:
A= { }
4
xỴR x - x+
B = { }1,3
14 Liệt kê phần tử tập hợp A ước tự nhiên 18 tập hợp B ước số tự nhiên 24
Xác định AÇB A, ÈB A B, \
15 Cho A = {0, 2, 4, 6,8,10} ; B = {0,1, 2,3, 4,5, 6} ; C= {4,5, 6, 7,8,9,10} Tìm:
( ) ( ) ( ) ( )
a AÇ BÇC b AÇB ÈC c AÈ BÈC d AÈB ÇC
16 Có thể nói tập hợp A B nếu:
\
\ \
a A B A b A B A c A B A d A B B A
È = Ç = =
=
17 Mỗi học sinh lớp 10A chơi cầu lông đá cầu Biết có 20 bạn chơi cầu lông, 15 bạn chơi đá cầu bạn chơi hai mơn Hỏi lớp 10A có học sinh
18 Cho A tập hợp tùy ý, xác định tập hợp sau:
\ \ \
a AÇA b A A c A O d O A
19 Tìm giao, hợp,hiệu tập hợp sau:
( ) ( )
( ] ( )
( ] ( )
( ] [ )
, ; 0, 5,3 ; 3, , ; 1,
7, ; 0,5 a
b c d
-¥ +¥
¥
(8)
[ ] ( ) { }
( ) ( )
( ] ( ) ( ]
( ) ( ) ( ) 2, 0,
,1 1,
3, 2,5 2, 1, 2,5 1,5 a
b R
c d
- ầ =
-Ơ ẩ +Ơ =
- ầ =
ẩ =
21 Xác định tập hợp sau:
[ ] ( ) ( ]
( ) ( )
0,1 2,3 2, \ 0, 2, a
b R
ầ - ẩ +Ơ ầ
22 Cho a=157824 ±250 Hãy viết số quy tròn số 157824
23 Độ cao tháp 14372,5 m ±0,2m.Hãy viết số quy tròn số
24 Cho biết 2= 1,41…… Viết gần 2theo quy tắc làm tròn đến hai,ba,bốn chữ số thập
phân có ước lượng sai số tuyệt đối cho trường hợp 25 Tìm tập xác định hàm số sau:
3
1
5
2
6
5
x a y
x x
b y x x
c y x x
x x
d y
x x
-= +
-= - +
= - - +
=
-+
26 Xét tính chẵn,lẻ hàm số sau:
2
3
( )
2
( )
( ) a f x x
x b f x
x c f x x
= +
+ =
= +
27 Cho hàm số:
y= f(x) =
2
2
x x
x
ìï + ïïï í -ïï ïïỵ
Tính giá trị f(x) x= 0, x= 1, x= x = -3
28 Xét tính đồng biến,nghịch biến hàm số sau khoảng ra:
f(x)=
4
x + x+ khoảng (-¥ -, &) (- +¥2, )
Ch Ch Ch
Chủủủủ đềđềđềđề 2:2:2:2: H
HHHÀÀÀÀMMMM SSỐSSỐỐỐ BBBBẬẬẬẬCC NHCCNHNHNHẤẤẤẤT,T,T,T, BBẬBBẬẬẬCCCC HAIHAIHAIHAI Bi Bi Bi
Biêêêênnnn sosososoạạạạnnnn: CôNguyễn Hồng Diễm
A.T
A.TA.TóA.Tóóómmmm ttttắắtttt llllíííí thuyắắ thuythuythuyếếếết:t:t:t: I.H
I.H I.H
I.Hààààmmmm ssssốốốố bbbbậậậậcccc nhnhnhnhấấấất:t:t:t: y=ax+b:y=ax+b:y=ax+b:y=ax+b:
*Tập xác định:D=R *Tính biến thiên:
(9)x -∞ +∞
y=ax+b +∞
-∞
-Khi a<0: hàm số nghịch biến R
x -∞ +∞
y=ax+b +∞
-∞
*Đồ thị hàm số bậc y=ax+b đường thẳng cắt trục hoành ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ;0 a b
và cắt trục tung (0;b)
* Đồ thị hàm số y = b đường thẳng song song (hoặc trùng) với trục hòanh cắt trục tung điểm (0;b)
II.H
II.HII.HII.Hààààmmmm ssssốốốố y= x :
* Tập xác định:D=R
*y = x =
x x
x x
≥ ⎧
⎨
− <
⎩
* Hàm số y= x nghịch biến khoảng (−∞;0) đồng biến khoảng (0;+∞)
x −∞ +∞
y= x
+∞ +∞
0
III. III.
III.III HHHHààààmmmm ssssốốốố bbbbậậcccc hai:ậậ hai:hai:hai:có dạng y=ax2 +bx+c (a≠0) *TXĐ: D=R
*Sự biến thiên:
-Khi a>0, hàm số nghịch biến ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ∞ −
a b
; , đồng biến ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
+∞ − ;
2a b
và có giá trị nhỏ
a
∆ −
a b x
2 − =
x
∞ −
a b
− +∞
c bx ax
y= + +
∞
+ +∞
a
∆ −
-Khi a<0, hàm số đồng biến ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ∞ −
a b
; , nghịch biến ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛
+∞ − ;
2a b
và có giá trị nhỏ
a
∆ −
a b x
2 − =
x
∞ −
a b
− +∞
c bx ax
y= + +
a
∆ −
∞
(10)*Đồ thị: Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax2 +bx+c
:
-Đỉnh I ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ ∆
− −
a a b
4 ;
-Trục đối xứng:
a b x
2 − =
-Giao điểm với trục tung: A(0;c)
Giao điểm với trục hoành: Giải pt: ax2 +bx+c=0 có nghiệm x1,x2 ⇒B(x1;0)vàC(x2;0)
-Tìm trục đối xứng
-Vẽ Parabol (a>0 bề lõm quay lên, a<0 bề lõm quay xuống)
B.
B.B.B.BBBBààààiiii ttttậậậậpppp:::: 1)
1)1)1)Tìm tập xác định hàm số sau: a)
x y
− =
3
b)
1
− + =
x x x
y c) x
x
y= 1− 2− 2)2)2)2)a) Xác định a,b để đồ thị (d) hàm số y=ax+b qua điểm A(o;1) B(2;0)
b) Vẽ (d)
3)
3)3)3)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số: + − = x x
y
4) 4)
4)4)a) Xác định Parabol (P):
+ + =ax bx
y biết (P) có đỉnh I(1;0)
b) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P)
5) 5)
5)5)Xét tính chẵn lẻ hàm số:
a) y=−1 b) 2
− = x
y c) y =−x3 +x
d) y =2x e) 2
− − =x x y
6) 6)
6)6)Cho hàm số:
1
− − x
x
với x≤0
y=f(x)=
x x2 +2
− với x<0
Tính giá trị hàm số x=5, x=-2, x=0, x=2
7)
7)7)7)Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số khỏang tương ứng: a) y=−2x+3 R
b) y =x2 +10x+9 (−5;+∞)
8)
8)8)8)Xét xem điểm A(2;0), B(0;-1), C(-2;-13), D(-1;2) điểm thuộc đồ thị hàm số
1 )
( = − = f x x
y
9)
9)9)9)Cho hàm số y=(2m−1)x+3m.Tìm m để hàm số đồng biến R *HHHHướướướướngng dngngdddẫẫẫẫn:n:n:n:
2) a) Đường thẳng (d): y=ax+b qua điểm A(0;1) B(2;0) nên:
0
1 = + =
b a b
⇔
2 1
− = =
a b
Phương trình đường thẳng (d):
2+ − = x
y
b) Vẽ (d): (H1) 3) Đỉnh I(2;-1)
(11)x −∞ +∞
4
2
+ − = x x
y +∞ +∞
-1 -Trục đối xứng: x=2
-Giao điểm với trục tung (0;3)
Giao điểm với trục hoành (1;0) (3;0) -Vẽ đồ thị: (H2)
f(x)=-x/2+1
-2 -1
-3 -2 -1
x xx x f(x)
f(x) f(x) f(x)
f(x)=x^2-4x+3
-2 -1
-3 -2 -1
x xxx f(x)
f(x) f(x) f(x)
H1 H2
4) a) Ta có:
0
2
2 = ⇔ =− ⇔ + =
− b a a b
a b
(1)
Thay I(1;0) vào hàm số ta được: a+b+1=0 ⇔a+b=−1 (2) Giải hệ (1), (2) ta được: a=1,b=-2
Hàm số cần tìm là:y= x2 −2x+1
b) Vẽ (P): y= x2 −2x+1
-TXĐ: D=R -BBT:
x −∞ +∞
1
2
+ − =x x
y +∞ +∞
0 -Trục đối xứng: x=1
-Giao điểm với trục tung: (0;1) Vẽ (P): có bề lõm quay lên 5) a) TXĐ: D=R
R x R
x∈ ⇒− ∈ ∀
) ( )
( x f x
f − =− = : Hàm số chẵn R
b) ( ) 2( )2 ( )
x f x
x
f − = − − = : Hàm số chẵn R
c) ( ) ( )3 ( ) ( )
x f x x x x
x
f − =− − + − = − =− : Hàm số lẻ R
d) f(−x)=2(−x) =2x=2x = f(x) Hàm số chẵn R
e) ( ) ( )2 2( ) 2 ( ) ( )
x f x f x
x x
x x
f − = − − − − = + − ≠ ≠− : Hàm số không chẵn không lẻ
6) f(5)=-15 f(0)=3
f(-2)=
3
f(2)=0 7) a) ∀x1,x2∈R ; ta có:
) (
2 ) ( ) ( )
(x1 f x2 x1 x2 x1 x2
f − =− + − − + =− −
Nếu x1 > x2 −2(x1−x2)<0
(12)Vậy hàm số nghịch biến R b) ∀x1,x2∈R ; ta có:
) 10 )( ( 10 10 ) ( )
(x1 − f x2 =x12 + x1+ −x22 − x2 − = x1−x2 x1+x2 +
f (*) ) ; ( ,
1 ∈ − +∞
∀x x x1 < x2 ta có: x1−x2 <0
Và x1 +x2 +10>0 vì:
10
;
5 2 1 2
1 > x > ⇒ x +x >−
x
Vậy từ (*) suy ra: f(x1)− f(x2)<0⇔ f(x1)< f(x2)
Vậy hàm số đồng biến (−5;+∞)
8) Thay hoành độ điểm vào hàm số giá trị y giá trị tung độ điểm ta kết luận điểm nằm đồ thị
Điểm B(0;-1), D(-1;2) thuộc đồ thị hàm số 9) Hàm số đồng biến R
2
1
2m− > ⇒m>
C)
C)C)C) BBBBààààiiii ttttậậậậpppp ttttựựựự luyluyluyluyệệệện:n:n:n: B
B B
Bààààiiii 1:1:1:1:Tìm tập xác định hàm số sau: a) y=1+ x+2
x b) y=3x−2 1−x
c) y- x
x−3 +2− d) y= 1 2 − + −x x
x e) x x x y 2 + = f) 1 + = x y g) 3 + − + = x x x
y h)y = x−2
k)
x
y = l) y = x−1
m) y= x−1+ 4−3x n)y = x+1− x+2 o) y= 3 + − x x p) y= 2 − − + x x x q) y= ) )( ( + − − − x x x x
r) y =
3 x x 2 + −
s) y= x−1+ x x − −
t) y = x−1 +1 x
u) y = 3
3
+ + x
x v) y =
2 − + x x B B B
Bààààiiii 2:2:2:2:a) Xác định a,b để đồ thị (d) hàm số qua điểm A(-1;1) song song với Ox b) Vẽ (d)
B B B
Bààààiiii 3333: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
a) y=−x2 +2x−1 b) y=2x2 −3x−5
c) y=x2 +8x−9 d)y=x2 +2x−3
B B B
(13)B B B
Bààààiiii 5555:Xét tính chẵn lẻ hàm số sau:
a) y=2 b) y=
1 + x
c) y=
−
x d) y=
x
e)y = 2x2– 1 f) y = x5 + 3x3– x
g) y = x4- 3x + 2 h) y =
+x x
k) y = 23
x l) y =
2x x +1
m)y=
x x2+2
n) y= 2
) (x−
x o)y =
x + x + p) y =
x +3 x −1
q) y = x− + x+3 r)y=x6 −3x4 +2
B B
BBààààiiii 6666:Xác định a b cho đồ thị hàm số y = ax + b:
a/ Đi qua điểm A(−1,−20) vaø B(3, 8)
b/ Đi qua C(4,−3) song song với đường thẳng y =−
3
x + c/ Đi qua D(1, 2) có hệ số góc
d/ Đi qua E(4, 2) vng góc với đường thẳng y =−
2
1x + 5
e/ Đi qua M(−1, 1) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
f/Đi qua giao điểm đường thẳng d1: y=2x-5 d2: y=x+3 có hệ số góc 0.5
B
BBBààààiiii 7:7:7:7:Cho hai ®êng th¼ng: (d1): y=( 1) + − − x m
m , (d2): y=(1-m)x+2m-3 a) Tìm m để (d1)/ / (d2)
b) CMR (d2)luôn qua điểm cố định Bàiiii 8:8:8:8:Tìm Parabol 2
+ + =ax bx
y biết Parabol đó:
1/ Đi qua hai điểm M(1;5) N(-2; 8) (KQ:
2
y= x + +x ) 2/ Đi qua điểm A(-3; -6) có trục đối xứng
4
x= − (KQ: 16
2
9
y= − x − x+ )
3/ Có đỉnh I(1;- 4) (KQ:
6 12
y= x − x+ ) 4/ Đi qua điểm B(-2; 6), đỉnh có tung độ
4
− (KQ:
2
4
y= x − x+ vµ
4
y= x + x+ ) B
BBBààààiiii 9:9:9:9:Tìm Parabol y = ax2 + bx + c biết Parabol đó:
a/ Đi qua điểm A(−1; 2) ; B(2; 0) ; C(3; 1)
b/ Có đỉnh S(2;−1) cắt trục tung điểm có tung độ bằng−3
c/ Đạt cực đại I(1; 3) qua gốc tọa độ
d/ Đạt cực tiểu x =−2 qua B(0; 6)
(14)B
BBBààààiiii 10:10:10:10:Khảo sỏtvà vẽ đồ thị hàm số:
1/
y= −x +3x−2 2/
1
− +
= x x
y 3/
y=x +2x+2 4/ y=−x2 −3x−4
5/ 4
+ − =x x
y 6/ 2
+ + −
= x x
y 7/y x2 2x
−
= 8/
+ − = x y B
BBBààààiiii 11:11:11:11:Tìm tọa độ giao điểm đồ thịhàm số:
1/ y = 2x−3 vaø y = 1−x 2/ y = 2(x−1) vaø y =
3/ 4x + y-1 = và3x-y −2=0 4/y =−3x2+2x+7 vµ y =−2x+3
B
BBBààààiiii 12:12:12:12:Cho (P): y =− x2
+ 2x−3vaø(d): x−2y + m =
1/ Định m để (P) (d) có điểm chung phân biệt
2/ Định m để (P) (d) tiếp xúc Xác định tọa độ tiếp điểm B
BBBààààiiii 13131313::::Cho Parabol (P): y = ax2– 4x + c
a/ Xác định a, c biết (P) qua A(0; 3) có trục đối xứng x=2
b/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) vừatìm
B
BBBààààiiii 14:14:14:14: XXXáXááácccc địđịđịđịnhnhnhnh hhhhààààmmmm ssssốốốố y=ax+by=ax+b biy=ax+by=ax+b bibibiếếếếtttt rrrrằằằằngngngng hhhhààààmmmm ssssốố đốốđđđiiii quaquaquaqua B(-3;2)B(-3;2)B(-3;2)B(-3;2) vvvàvààà songsongsongsong songsongsongsong vvớvvớớớiiii đườđườđườđườngngngng th
thththẳẳẳẳngngngng y=2x+5.y=2x+5.y=2x+5.y=2x+5. B
BBBààààiiii 15:X15:X15:X15:Xáááácccc địđịnhđịđịnhnhnh hhhhààààmmmm ssssốốốố y=ax+by=ax+by=ax+by=ax+b bibibibiếếếếtttt rrrrằằngằằngngng hhhhààààmm ssssốmm ốốố đđđđiiii quaquaquaqua C(-1;2)C(-1;2)C(-1;2)C(-1;2) vvvvàààà vuvuvuvuôôngôôngngng ggggốốốốcccc vvớvvớớớiiii đườđườđườđườngngngng th
thththẳẳẳẳngngngng y=-2x+1.y=-2x+1.y=-2x+1.y=-2x+1. *
*** LLLLưưưưuu ýuuýýý:::: HaiHaiHaiHai đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng songsongsongsong songsongsongsong ththththìììì a=aa=aa=aa=a’’’’ Hai
HaiHaiHai đườđườđườđườngngngng ththththẳẳẳẳngngngng vuvuvuvơơơngngngng ggóggóóócccc ththththìììì a=-aa=-aa=-aa=-a’’’’
Ch
ChChChủủủủ ĐềĐềĐềĐề 3:3:3:3: PH
PH PH
PHƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG TRTRTRTRÌÌÌÌNHNHNHNH VVVVÀÀÀÀ HHỆHHỆỆỆ PHPHPHPHƯƠƯƠNGƯƠƯƠNGNGNG TRTRTRTRÌÌÌÌNHNHNHNH B
B B
BÀÀÀÀIIII 1:1:1:1: ĐẠĐẠĐẠĐẠIIII CCCCƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG VVỀVVỀỀỀ PHPHPHPHƯƠƯƠNGƯƠƯƠNGNGNG TRTRTRTRÌÌÌÌNHNHNHNH Bi
Bi
BiBiêêêênnnn sosososoạạạạn:n:n:n:CôTrần Thị Diễm Thúy I.
I.I.I. CCCCÁÁÁÁCCCC KIKIKIKIẾẾẾẾNNNN THTHỨTHTHỨỨỨCCCC CCCCẦẦNẦẦNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ::::
1 Hai pt (phương trình) gọi tương đương chúng có tập nghiệm
2 Nếu nghiệm pt f(x)=g(x) (1) nghiệm pt f x1( )=g x1( ) (2) pt (2) gọi
là pt hệ pt (1)
Kí hiệu: (1)⇒( )2 Pt hệ có thêm nghiệm ngoại lai khơng phải nghiệm pt ban đầu.Khi ta phải thử lại nghiệm vào pt ban đầu thỏa nhận
3 Điều kiện pt
Cho pt f(x)=g(x) Điều kiện để f(x) g(x) có nghĩa (tức phép toán thực được) gọi điều kiện xác định pt (gọi tắt điều kiện pt)
II.
II.II.II. BBBBÀÀÀÀIIII TTTTẬẬPẬẬPPP MINHMINHMINHMINH HHỌHHỌỌỌA:A:A:A:
BÀI 1: Cho pt (x+1)2 =0 1( ) pt ( ) ( )
2
ax − a+ x a+ =
Tìm giá trị a cho (1)⇔( )2
(15)• Điều kiện cần:
Giả sử (1)⇔( )2 , nghiệm x = -1 pt (1) nghiệm pt (2)
Khi đó: ( )1 (2 1)( )1
4 a − − a+ − +a= ⇔a= −
• Điều kiện đủ: Nếu
4
a= − ( ) ( )2 ( )
2 ⇔x +2x+ =1 0⇔ x+1 =0 *
Nhận thấy (*) pt (1) Vậy (2)⇔( )1
Kết luận: (1)⇔( )2
4 a= −
Bài 2: Giải pt:
a x+ +1 x= +3 x+1 b. 2
3
x x
x x
+ +
=
− −
Giải:
a.
a.a.a. Điều kiện pt x≥ −1
Khi đó:
1 3 1
x+ +x= + x+ ⇔ x= + x+ − x+
⇔x =
x=3 thỏa điều kiện x≥ −1và nghiiệm pt Vậy x=3 nghiệm pt
b.
b.b.b. Điều kiện pt x>3
Với điều kiện ta có:
2
3
2
3
1
x x
x x
x x
x x
x x
x
+ +
=
− −
+ +
⇔ − = −
− −
⇔ =
Giá trị x=1 không thỏa điều kiện x > nên bị loại Vậy pt ban đầu vô nghiệm
III.B III.B
III.BIII.BÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP LUYLUYỆLUYLUYỆỆỆNNNN TTẬTTẬẬẬP:P:P:P: DẠNG 1:Viết điều kiện pt
2
2
2
) 1 )
2
2
) )
1
) )3 2
) )
3
) 3
x
a x b x x
x
x x
c d x
x
x x
e x x f x x x
x
g x x h x x x
x
i x x x
+
+ = = + +
+ +
= = +
−
− +
= − − − = − +
−
= + − + − = −
−
− − = − +
2
3
3 )
3 11
x
j x
x x
+
= +
+ +
DẠNG 2: Xác định tham số m để cặp pt sau tương đương
a) x+2=0 (1) 0(2)
3 mx
(16)b)
9 0(3)
x − = ( ) ( )
2x + m−5 x−3 m+1 =0(4)
c) 3x-2=0 (5) (m+3)x m− + =4 6( )
d) x+2=0 (7) ( ) ( )
3 2
m x + x+ +m x+ =
DẠNG 3: Giai pt sau
( )
2
2
2
) 3 )
3 4
) )2
1
4
) 3
a x x x b x x x
x x x
c x d x
x x
x
e x x x
− − = − + + − − = + − −
+ + +
= + + + =
− −
+
− + − =
DẠNG 4: Giải pt sau cách bình phương hai vế
) ) 2 ) 2 ) ) )
)2
a x b x x c x x
d x x e x x f x x
g x x
+ = − = − − = −
− = − − = − − = −
− = +
B B B
BÀÀÀÀIIII 2:2:2:2: PTPTPTPT QUYQUYQUYQUY VVVVỀỀỀỀ PTPTPTPT BBBBẬẬCẬẬCCC NHNHNHNHẤẤẤẤT,T,T, BT,BBBẬẬẬẬCCCC HAIHAIHAIHAI I:
I:I:I:CCCCÁÁÁCÁCCC KIKIKIKIẾẾNẾẾNNN THTHTHTHỨỨỨỨCCCC TRTRỌTRTRỌỌỌNGNGNGNG TTTTÂÂÂÂMM CMMCCCẦẦẦẦNNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ::::
1.G
1.G1.G1.Giiiiảảảảiiii vvvvàààà bibiệệệệnbibi nnn lulululuậậậậnnnn ptptptpt ddddạạạạngngngng axax +axax+++ bbbb ==== 0:0:0:0:
ax + b = 0.(1) + a≠0, (1) có nghiệm nhất x b
a − = + a=0, b≠0 (1)vô nghiệm
+ a=0, b=0, (1) nghiệm với x.hay pt (1) VSN 2.
2. 2.
2 PhPhPhPhươươươươngngngng trtrììììnhtrtrnhnhnh bbbbậậậậcccc hai:hai:hai:hai:
ax2+ bx + c = (a≠0) (2)
* a=0: Trở giải biện luận pt bx+c=0. * a≠0:Tính
• ∆=b2-4ac
+∆>0:pt (2) có hai nghiệm phân biệt x1=
4a b− −
; x2=
4a b+ Δ −
; +∆=0:pt (2)có nghiệm (kép) x=
2a b
− ; +∆<0:pt (2)vơ nghiệm
• '
∆ =b’2-ac với b’=b/2
+ '
∆>0:pt (2) có hai nghiệm phân biệt x1=
' '
−b − ∆
2a ; x2=
' '
Δ −b +
2a ;
+ '
∆ =0:pt (2)có nghiệm (kép) x=
'
−b a ; + '
∆ <0:pt (2)vô nghiệm
Cơng thức tính nhẩm nghiệm pt bậc hai: + a+b+c=0 suy x = x = c/a
+
+++a-b+c=0 suy x = -1 x = -c/a 3.
(17)Thuận: Nếu pt bậc hai ax2+ bx + c = (a≠0) có hai nghiệm
1,
x x
1
1
b x x
a c x x
a ⎧
+ = − ⎪
⎪ ⎨
⎪ =
⎪ ⎩
Đảo: Nếu hai số u,v có tổng u+v = S tích uv = P u,v nghiệm phương trình:
2
0 X −SX +P=
• CHÚ Ý:
a c trái dấu tức ac<0 pt ax2+ bx + c = (a≠0) có hai nghiệm hai nghiệm cũng
trái dấu
4.
4.4.4 PtPtPtPt quyquyquyquy vvvvềềềề ptptptpt bbbbậậậậcccc nhnhnhnhấấấấtttt vvvvàà bààbbbậậậậcccc hai:hai:hai:hai: a.
a.a.a.ptptptpt ccccóóóó chchchchứứứứaaaa ddddấấuấấuuu gigigigiáááá trtrtrtrịịịị tuytuytuytuyệệệệtttt đốđốđốđối:i:i:i:
• DDDDạạạạngngngng A =B(1)
C C C
Cááááchchchch gigigigiảảảải:i:i:i:
C1: Bình phương hai vế
2 ⎡ =
= ⇒ = ⇔ ⎢
= − ⎣
A B
A B A B
A B
Sau thử lại nghiệm vào pt ban đầu, loại bỏ nghiệm ngoại lai
•••• DDDDạạạạngngngng A = B
C C C
Cááááchchchch gigigigiảảảải:i:i:i:
( ) ( )
2
2 A B
A B A B
A B
= ⎡
= ⇔ = ⇔ ⎢
= − ⎣
Giải (1) (2) ta suy tập nghiệm pt Không cần thử lại nghiệm b.Ph
b.Phb.Phươb.Phươươươngngngng trtrtrtrììììnhnh chnhnhchchchứứứứaaaa ẩẩẩnẩnnn ddddướướướướiiii ddddấấuấấuuu ccccăăăănnnn:
D
DDDạạạạng:ng:ng:ng: A=B
C C C
Cááááchchchch gigigigiảảảải:i:i:i:
2
0 B A B
A B ≥ ⎧ = ⇔ ⎨
= ⎩
Giải hệ ta suy nghiệm pt
D
DDDạạạạng:ng:ng:ng: A= B
C C C
Cááááchchchch gigigigiảảảải:i:i:i:
0 ( 0)
≥ ≥
⎧
= ⇔ ⎨
= ⎩
A hoac B
A B
A B
c.Ph
c.Phc.Phc.Phươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh trtrtrtrùùùùngngngng phphphphươươươương:ng:ng:ng:
•••• DDDDạạạạngngngng ttttổổổổngngngng ququququáááát:t:t:t:ax4+ bx2+ c = (a≠0) (1)
•••• CCCCááááchchchch gigigigiảảảảiiii::::
- Đặt ( )
,
t=x t≥
Chuyển (1) dạng ( )
0 at +bt+ =c
Giải (2) tìm t, so với điều kiện chọn t thích hợp
Sử dụng
t=x để tìm x
II:
II:II: BII:BBBÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPP MINHPPMINHMINHMINH HHHHỌỌỌỌA:A:A:A: B
BBBààààiiii 1:1:1:1:Giải biện luận pt: 2( ) ( )
1
m x+ − = −m x
(18)( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )( )
2
2
1
2
1 1
m x m x
m m x m
m m x m m
+ − = −
⇔ + − = −
⇔ − + = − − +
- Nếu
2 m m
≠ ⎧ ⎨
≠ − ⎩
(1) có nghiệm ( 1)
2 m x
m
− +
= +
m = 1, (1) tương đương với 0x = 0, pt có vơ số nghiệm m = -2, (1) tương đương với 0x = -3, pt vô nghiệm * Kết luận:
-
2 m m
≠ ⎧ ⎨
≠ − ⎩
, ( 1)
2 m x
m − + =
+
- m = pt có vơ số nghiệm
- m = -2, pt vô nghiệm
B B
BBààààiiii 2:2:2:2:Cho pt ( )
3
mx + m − x m+ = (1)
a Tìm m để (1) có nghiệm kép tính nghiệm kép b m= ? (1) có hai nghiệm x x1, thỏa điều kiện
13 x +x =
Giải:
a Pt (1) có nghiệm kép
0 m≠ ⎧ ⎨
∆ = ⎩
Ta có:
4
10
1
3
3
m m
m m m m
∆ = − +
= ± ⎧ ∆ = ⇔ ⎨
= ± ⎩ = ⎡ + ⎢ = −
⎣
Thì (1) có nghiệm kép x =
b Điều kiện để pt (1) có hai nghiệm
4
0
0 10
m m
m m
≠ ≠
⎧ ⎧
⇔
⎨ ⎨
∆ ≥ − + ≥
⎩ ⎩
Theo định lí Viet:
2
2
2
3
3 13
4 13 12
4
3
b m
x x
a m
m
ycbt m m
m m
m
− −
+ = =
−
⇔ = ⇔ + − =
= − ⎡ ⎢ ⇔
⎢ = ⎣
Thế hai giá trị m vào điều kiện
10
m − m + ≥ thỏa
(19)B
BBBààààiiii 3:3:3:3:Giai pt:
( )
) 5, (1) ) , a x− = −x b x+ = x−
Giải: a Bình phương hai vế (1)
( ) ( )2 ( )2
2
1 8
5 x
x x
x = − ⎡ ⎢
⇒ − = − ⇒
⎢ = ⎣
Thử lại x = -2 x = 8/3 không thỏa pt(1), nên loại hai nghiệm Kết luận pt ban đầu vơ nghiệm
b Bình phương hai vế (2) ta
( ) ( )2 ( )2
7
2 3
5 x
x x
x = ⎡ ⎢
⇔ + = − ⇔
⎢ = − ⎣
Kết luận: Vậy pt có hai nghiệm x = x = -3/5
B
BBBààààiiii 4:4:4:4:Giải pt:
( ) ( )
+5=2 −5, −4 −4= +5,
a x x b x x x
Giải:
a Điều kiện phương trình: 5( )*
2 x− ≥ ⇔x≥
Khi đó: ( ) ( )2
1 5 24 20
5 = ⎡
⇔ + = − ⇔ − + = ⇔ ⎢
= ⎣
x
x x x x
x
So với điều kiện (*) pt (1) có nghiệm làx=
b Điều kiện pt (2) là: {2 5( )*
2 + ≥ ⇔ ≥ −
x x
2
(2) 4
3 x
x x x
x = − ⎡
⇔ − − = + ⇔ ⎢
= ⎣
Cả hai nghiệm thỏa điều kiện (*) Vậy pt (2) có nghiệm x = -1 x =
III:
III:III:III: BBBBÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP TTTTỰỰỰỰ LUYLUYLUYLUYỆỆỆỆNNNN
Ph
PhPhươPhươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh bbậbbậậậcccc nhnhnhnhấấấất:t:t:t: Bài 1: Giải biện luận pt:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
) )
) 3 )
)2 1 )3
)2 )
a m x x m b m x m m x
c m x mx m x d m x x m
e m x m x m f m x x m
g m x m x h m m x m x m
+ + = + − − + = + −
− + = + − + = +
+ − − = + + + = + +
− + = − − + = − + −
(20)( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3
1
3
1
3 3
2
1
8
1
m x m x
a m b m
x x
m x m x
c d m
x m x
m x m m x
e m x f m
x x
mx
g m x
x
− + − +
= − = −
+ +
− − − +
= − = −
− +
+ + + +
= − + = +
+ −
= + +
+
( )
( )
( )
2
1
2
1 2
3
m x
h m x
x
m x m a
i m j a
x x
−
= − −
−
+ + − −
= = −
+ −
Bài 3: Giải biện luận pt:
( ) ( )
) )
) ) 2
4
) )
) 4 )
) ) 1
a x m x mb x m x m
c x m x m d x m x m
x
e m f x m x m
x
g x m x m h mx x x
i mx x x j k x x
− = + − = + +
+ = − + = − +
−
= − − = −
−
+ = − + − =
− + = + ⎡⎣ + − ⎤⎦ − =0
Bài 4: Tìm giá trị p để pt sau vô nghiệm:
( ) ( ) ( )
2
) 2 )
)
a p x p x b p x x
c p x p x
− = + − + − + =
− = −
Bài 5: Tìm giá trị q để pt sau có vơ số nghiệm
( ) ( )
2
)2 ) 25
) )
a qx x q b q x q x
c q x x d q x q x
− = + − = −
+ − + = − = −
Bài 6: Tìm giá trị để pt sau có nghiệm:
( )( ) ( )
) ) 1
a x m− x− = b m m− x=m −
Bài 7: Cho pt a(2x – 3) = x + b Định a,b để pt a có nghiệm
b vơ nghiệm
c có nghiệm ∀ ∈x R
Ph
PhPhPhươươươươngngngng trtrtrtrììììnhnhnhnh bbbbậậậậcccc hai:hai:hai:hai:
B
BBBààààiiii 1:1:1:1:Giải biện luận pt sau theo m
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
) )2 ) ) 2
) )
) 2
) 36
a mx x b x x m
c m x x d m x x
e x m x m f x x m
g m x m x m
h m m x m x
+ + = − + − =
− − − = − − + =
− + + = − + − =
+ − + + − =
− − − + + =
B
BBBààààiiii 2:2:2:2:Với pt sau, biết nghiệm, tìm nghiệm cịn lại
( ) ( )
) 5
a m − m+ x + mx− m − m+ = có nghiệm x =
( ) ( )
) 2
b m + m− x − mx− m −m+ = có nghiệm x = -1
2
) 21
(21)2
)
d x − x m+ = có nghiệm x = -3
( )
) 25 32
e m− x − x+ = có nghiệm x =
) 15
f x +mx+ = có nghiệm x =
2
) 15
g mx − x+ = có nghiệm x =
B
BBBààààiiii 3:3:3:3:Tìm giá trị tham số m để pt sau có hai nghiệm nhau:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
) 2 )3
) 3 ) 2
a x m x m b mx m x m
c m x m x m d m x mx m
− − + + = + − + − =
− − − + − = − − + − =
Đị
ĐịĐịnhĐịnhnhnh llllíííí VietVietVietViet vvvvàààà ccccáááácccc ứứngứứngngng ddddụụụụng:ng:ng:ng:
*
*** ỨỨỨỨngngngng ddddụụụụngngngng 1:1:1:1: TTTTíííínhnhnhnh gigigiágiááá trtrtrtrịịịị ccccáááácccc bibibibiểểểểuuuu ththththứứứứcccc đốđốđốđốiiii xxxxứứứngứngngng ccccủủủủaa haiaahaihaihai nghinghinghinghiệệệệmmmm Vd
VdVdVd 1:1:1:1:Giả sử x x1, nghiệm pt:
2x −11x+13=0
Hãy tính:
2 3
1 2
2
1 2
) )
1
) )
a x x b x x
c d x x x x
x x
+ +
+ − +
Ch ChChChúúúú ýýýý::::
3 2 2
1 2
1
1
( ); ; S
x x S S P x x S P
x x P
+ = − + = − + =
Ứ
ỨỨỨngngngng ddddụụụụngngngng 2:2:2:2: XXXXéééétttt ddddấấuấấuuu ccccáááácccc nghinghinghinghiệệệệmm ((((địmm địđịđịnhnhnhnh llllíííí VietVietVietViet chochochocho bibibibiếếếếtttt ddddấấấấuuuu ccccáácccc nghiáá nghinghinghiệệệệmmmm ccccủủủủaaaa ptptptpt mmmmàààà khkhkhkhơơơơngngngng ccccầầầầnnnn ttttíííínhnhnhnh ccccáááácccc nghinghinghinghiệệệệm.)m.)m.)m.)
,
b c
S P
a a
−
= =
P<0
P<0P<0P<0 pt bậc hai có hai nghiệm trái dấu (x1<0<x2)
P>0,
P>0,P>0,P>0, SSSS >0>0>0>0thì pt bậc hai có hai nghiệm dương (0<x1 ≤x2)
P>0,
P>0,P>0,P>0, S<0S<0S<0S<0thì pt bậc hai có hai nghiệm âm (x1≤x2 <0)
B
BBBààààiiii ttttậậậậpppp ứứứứngngngng ddddụụụụng:ng:ng:ng: B
BBBààààiiii 1:1:1:1:Không giải pt
2 15
x − x− = Hãy tính:
2 3 4
1 2
) ) ) a x +x b x +x c x +x B
BBBààààiiii 2:2:2:2:Giả sử x x1, nghiệm pt:
2
x + mx+ = Hãy tìm giá trị m để có đẳng
thức
2
1
2
3
x x
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B
BBBààààiiii 3:3:3:3:Tìm m để pt: ( )
2
x − m− x m+ = có hai nghiệm x x1, thỏa
2 2 14
x +x = B
BBBààààiiii 4:4:4:4:Tìm m để pt:
4
x − x m+ − = có hai nghiệm x x1, thỏa
3 40
x +x = B
BBBààààiiii 5555: Xét dấu nghiệm pt (không cần giải pt)
( ) ( )
( )
2
2
2
) 3
) 12
) 1,5 2,
) 2
a x x
b x x
c x x
d x x
− + − + =
+ + =
− − + =
− + − − =
B
BBBààààiiii 6666: Cho pt bậc hai ( )
1
m− x − mx m+ + = với m tham số, m≠1 Không giải pt, xác định
(22)B
BBBààààiiii 7777: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 7, tổng nghịch đảo 7/2
B
BBBààààiiii 8:8:8:8:Cho pt: ( )
2
x − m+ x m+ − = (1) a Giải pt m =
b CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với m c Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
d CMR biểu thức M =x1(1−x2)+x2(1−x1) không phụ thuộc vào m
B
BBBààààiiii 9:9:9:9:cho pt ( )
4
mx − m− x+ m= Tìm m để pt có hai nghiệm x x1, thỏa: ( )
2
1 2
2 x +x −5x x =0 B
BBBààààiiii 10:10:10:10:Cho pt ( )
2
x − m+ x m+ + = Định m để pt có hai nghiệm phân biệt nghiệm
bằng lần nghiệm
B
BBBààààiiii 11111111:Định m để pt ( )
2
x − m+ x+ m+ = có hai nghiệm phân biệt cho tổng hai nghiệm
bằng tổng bình phương hai nghiệm
B
BBBààààiiii 12121212: Xác định p pt:
36 x −px+ = để: a Pt có hai nghiệm
b Pt có hai nghiệm x x1, thỏa hệ thức
1
1
12 x +x = B
BBBààààiiii 13131313: Cho pt ( ) 2
1
x − − m x +m + = Tìm m để pt:
a Vơ nghiệm
b Có nghiệm phân biệt
B
BBBÀÀÀÀIIII 3:3:3:3: HHHHỆỆỆ PTỆPTPTPT BBBBẬẬẬẬCCCC NHNHẤNHNHẤẤẤTTTT HAIHAIHAIHAI ẨẨN,ẨẨN,N,N, BABABABA ẨẨẨẨNNNN H
HHHỆỆỆỆ PTPTPTPT BBBBẬẬẬẬCCCC HAIHAIHAIHAI HAIHAIHAIHAI ẨẨẨẨNNNN II.
II.II.II CCCCÁÁÁÁCCC KICKIKIKIẾẾẾẾNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCCCC CCCCẦẦẦẦNNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ:::: 1.
1.1.1 CCCCáááácccc kikikikiếếếếnnnn ththththứứứứcccc ccccầầầầnnnn nhnhnhnhớớớớ:::: D
DDDạạạạng:ng:ng:ng: ( )
( )( )
1
' ' '
ax by c
I a x b y c
+ = ⎧
⎪ ⎨
+ =
⎪ ⎩ C
CCáCáááchchchch gigiảgigiảảải:i:i:i:
Để giải hệ (I) ta có nhiều phương pháp giải: + Giải phép thế
+ Giải phép cộng đại số + Giải đồ thị
+ Giải phương pháp định thức Cramer Nhắc lại: Định thức Cramer
' ' ' '
' ' ; ' '
' ' ' '
x y
a b
D ab a b
a b
b c a c
D bc b c D ac a c
b c a c
= = −
= = − = = −
N
NNNếếếếuuuu D≠0 hhhhệệệệ (I)(I)(I)(I) ccccóóóó nghinghinghinghiệệệệmmmm duyduyduyduy nhnhnhnhấấấất.t.t.t. x
y D x
D D y
D ⎧
= ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩
N
NNNếếếếuuuu 0, 0 y x D D
D ≠ ⎡ = ⎢
≠ ⎣
H
(23)N
NNNếếếếuuuu D=Dx =Dy =0 hệệệệ (I)hhh (I)(I)(I) vvvvôôôô ssssốốốố nghinghinghinghiệệệệm.m.m.m. 2.
2.2.2 HHHHệệệệ ptptptpt bbbbậậậậcccc nhnhnhnhấấấấtttt babababa ẩẩẩẩnnnn ssssốốốố::::
D DDDạạạạng:ng:ng:ng:
( )
1 1
2 2
3 3
a x b y c z d a x b y c z d II
a x b y c z d
+ + =
⎧ ⎪
+ + =
⎨
⎪ + + =
⎩ C
CCáCáááchchchch gigiảgigiảảải:i:i:i: Để
ĐểĐểĐể gigigigiảảảảiiii hhhệệệệ (III)h (III)(III) ta(III)tatata ccccóóóó haihai phhaihaiphphphươươươươngng phngngphphphááááp:p:p:p:
+ Từ pt tìm ẩn số theo ẩn cịn lại vào pt lại hệ, chuyển hệ (II) hệ (I), tìm hai ẩn số cần tìm sau vào pt rút ẩn lúc đầu để tìm ẩn cịn lại hay cịn gọi phương pháp đưa hệ pt pt dạng tam giác
+ Sử dụng máy tính 3.
3.3.3 HHHHệệệệ ptptptpt bbbbậậậậcccc haihaihaihai haihaihaihai ẩẩẩẩnnnn ssssốốốố::::
D
DDạDạạạngngngng 1:1: H1:1:HHHệệệệ ggggồồồmồmmm mmmmộộộộtttt ptptptpt bbbbậậậậcccc nhnhấnhnhấấấtttt vvvvàààà mmmmộộộộtttt ptptptpt bbậbbậậậcccc haihaihaihai haihai ẩhaihaiẩẩẩnnnn ssssốốốố
+Cách giải:Từ pt bậc kéo ẩn số theo ẩn lại đem vào pt hai ẩn số Sau tìm ẩn Thế vào pt ban đầu tìm ẩn cịn lại
+ Ví dụ: Giải hệ pt: ( )
( )( ) 2
2
2
x y
I
x y xy
+ =
⎧ ⎪ ⎨
+ − =
⎪ ⎩
Giải
( )
2 2
2 5
2 10 30 20
x y x y
II
x y xy y y
+ = = −
⎧ ⎧
⇔
⎨ ⎨
+ − = − + =
⎩ ⎩
Giải hệ (II) suy nghiệm hệ (I)
D
DDạDạạạngngngng 2:2:2:2: HHHHệệệệ ptpt đốptptđốđốđốiiii xxxxứứứứngngngng
+ Loại 1: Đối xứng loại 1: hệ pt có đặc điểm pt hệ khơng thay đổi ta thay đồng thời x y thay y x
Ví dụ: Giải hệ phương trình ( )
( ) ( )
2
4, 2, x xy y
III xy x y
⎧ + + =
⎪ ⎨
+ + = ⎪
⎩
C
CCáCáááchchchch gigiảgigiảảải:i:i:i:
Đặt S = x + y; P = xy
Chuyển hệ (III) theo S P giải hệ tìm S P sau tiếp tục sử dụng định lí Viet tìm hai số x, y biết tổng S tích P.
Gi Gi Gi
Giảảảảiiii hhhhệệệệ (III)(III)(III)(III)
Đặt S = x + y; P = xy
( )
( )
( )
2
3,
5,
3
2
S S
S P III
P P
S P x y
IIIa xy
x y
IIIb xy
= − =
⎧ − = ⎧
⇔⎨ ⇔⎨
= =
+ = ⎩
⎩ ⎡⎧ + = −
⎨ ⎢
= ⎩ ⎢ ⇒
⎢⎧ + = ⎢ ⎨
= ⎢ ⎩ ⎣
-Giải (IIIa), x,y nghiệm pt
3
X + X + = PT vô nghiệm, suy hệ pt cho vô nghiệm.
- Giải hệ (IIIb) x,y nghiệm pt
2
(24)+Lo
+Lo+Lo+Loạạạạiiii 2:2:2:2: HHHHệệệệ đốđốđốđốiiii xxxxứứứứngngngng lolololoạạạạiiii 2:2:2:2: ccccóóóó đặđặcccc đđặđặ đđđiiiiểểểểmmmm llllàààà nnếếếếunn uuu thaythaythaythay xxxx bbbbởởởởiiii y,y,y,y, yyyy bbbởbởởởiiii xxxx ththththìììì ptptpt thptthththứứứứ nhnhnhnhấấấấtttt bi
bibibiếếếếnnnn ththththàààànhnhnhnh ptptptpt ththththứứứứ haihaihaihai
C C C
Cááááchchchch gigigigiảảảải:i:i:i: Trừ vế hai pt hệ.
V
VVVíííí ddddụụụụ::::Giải hệ pt sau: ( )
( )( )
2
2 ,
2 ,
x x y
IV y y x
⎧ − =
⎪ ⎨
− =
⎪ ⎩
Lấy (1)-(2) vế theo vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
0
0
1
x y x y x y x y x y
x y x y
x y
IVa x x y IV
x y
IVb x x y
− − − = − − ⇔ − + − =
− = ⎡
⇔ ⎢ + − = ⎣
⎡⎧ − = ⎨
⎢
− = ⎩
⎢ ⇔
⎢⎧ + − = ⎢⎨
− = ⎢⎩
⎣ Gi
GiGiGiảảảảiiii (Iva)(Iva)(Iva)(Iva) vvvvàà (Ivb)àà(Ivb)(Ivb)(Ivb) ttttììììmmmm nghinghinghinghiệệệệm.m.m.m. Ch
ChChChúúúú ýýýý::::
N
NNNếếếếuuuu mmmmộộộộtttt hhhhệệệệ ptptpt đốptđốđốđốiiii xxxxứứứứngngngng ccccóóóó nghinghiệệệệmnghinghi mmm llllàààà (a;b)(a;b)(a;b)(a;b) ththththìììì ccccũũũũngngngng ccccóóóó nghinghinghinghiệệệệmmmm llllàààà (b;a).(b;a).(b;a).(b;a).
B
BBBÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP LUYLUYỆLUYLUYỆỆỆNNNN TTTTẬẬẬẬP.P.P.P. B
BBBààààiiii 1:1:1:1:Giải hệ pt:
3
) )
2
6
3
2
) )
9 10
1
2
x y x a
a b
x y x y
x y x y x y
c d
x y x y x y
⎧ + − = ⎧ − =
⎪
⎨ ⎨
− = − + =
⎪ ⎩
⎩
⎧ ⎧
+ = + =
⎪ ⎪ − +
⎪ ⎪
⎨ ⎨
⎪ − = ⎪ + = −
⎪ ⎪ − +
⎩ ⎩
B
BBBààààiiii 2:2:2:2:Tìm giá trị m để hệ pt sau vô nghiệm
3
) )
2
x y x my
a b
mx y x y
+ = − =
⎧ ⎧
⎨ ⎨
− = + =
⎩ ⎩
B
BBBààààiiii 3:3:3:3:Tìm giá trị a b để hệ pt sau vô số nghiệm:
3
) )
2
x ay ax y a
a b
x y b x y b
+ = + =
⎧ ⎧
⎨ ⎨
+ = − = +
⎩ ⎩
B
(25)2 2
2 2
2
2
2
2
) )
164
5 ) ) 8 96 ) ) 208 )
x y x y
a b
x y x xy y
xy x y xy x y
c d
x y x y x y x y
xy
x x y
e f
x y
y y x
g − = + = ⎧ ⎧ ⎨ ⎨ + = − + = ⎩ ⎩ + + = + + = ⎧ ⎧ ⎨ ⎨ + + + = + + + = ⎩ ⎩ = ⎧ − = ⎧ ⎨ ⎨ + = − = ⎩ ⎩
2 2
2
2 2
24 11
)
55 30
5
) )
8
xy xy x y
h
x y x y y x
xy x y x xy x
i j
x y x y xy y y
= + + = ⎧ ⎧ ⎨ ⎨ − = + = ⎩ ⎩ + + = ⎧ + = ⎧ ⎨ ⎨ + + + = + = ⎩ ⎩
( )2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
7
) )
3
2
) )
10
2
) )
2
x y xy x y xy
k l
x y xy x y y x
x y x y xy
m n
x y x y xy
x xy x x y xy
o p
y xy y x y
⎧ ⎧ + + = ⎪ + − = ⎨ ⎨ + − = ⎪ + = ⎩ ⎩ + = ⎧ + + = ⎧ ⎨ ⎨ + = + − = ⎩ ⎩ ⎧ + = + + = ⎨ + = + ⎩ 2 2 2 2 ) ) 4 )
xy x y x y xy
q r
x y xy x y xy
x y s
x y xy
⎧ ⎨ = ⎩ + + = ⎧ + + = ⎧ ⎨ ⎨ + + = + − = ⎩ ⎩ − = ⎧ ⎨ + − = − ⎩ Ch Ch Ch
Chủủủủ đềđềđềđề 4:4:4:4: V
V
VVÉÉÉÉC-TC-TC-TC-TƠƠƠƠ VVVVÀÀ CÀÀCCCÁÁÁÁCCCC PHPHPHPHÉÉPÉÉPPP TOTOTOTOÁÁÁÁNNNN VVỀVVỀỀỀ VVVVÉÉC-TÉÉC-TC-TC-TƠƠƠƠ Bi Bi Bi
Biêêêênnnn sosososoạạạạn:n:n:n:ThầyBùi Phú Hữu
I.C I.C I.C
I.CÁÁÁÁCCCC ĐỊĐỊĐỊNHĐỊNHNHNH NGHNGHNGHNGHĨĨĨĨAAAA A.
A.A.A KIKIKIKIẾẾẾẾNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCẦẦẦẦNNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ
1 Vec tơ đoạn thẳng có hướng
2 Để xác định vec tơ cần biết hai điều kiện * Điểm đầu điểm cuối vec tơ
* Độ dài hướng Hai vec tơ
→ →
b và
a gọi phương giá chúng song song trùng
Nếu hai vec tơ phương chúng hướng ngược hướng Độ dài vec tơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vec tơ → → → → → → = ⇔
=b a b và a b
(26)6 Với điểm A ta gọi AA vec tơ – khơng Vec tơ – khơng kí hiệu: →0 quy ước |0|=0
→
, vec tơ – không phương hướng với vec tơ
B.
B.B BB.BBBÀÀÀÀIIII TTẬTTẬẬẬP.P.P.P.
1/ Hãy tính số vec tơ ( 0)
→
≠ mà điểm đầu điểm cuối lấy từ điểm phân biệt
cho trường hợp sau:
a) Hai điểm b) Ba điểm c) Bốn điểm
2/ Cho hình vng ABCD tâm O Liệt kê tất vec tơ nhận đỉnh tâm hình vng làm điểm đầu điểm cuối
3/ Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA
Chứng minh NP=MQvà PQ=MN
4/ Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB AC So sánh độ dài hai vec tơ
BC và
NM Vì nói hai vec tơ phương?
5/ Cho tứ giác ABCD, chứng minh ���� ����AB=DC ���� ����AD=BC
6/ Xác định vị trí tương đối ba điểm phân biệt A, B, C trường hợp sau: a) ABvà AC hướng, | AB|>| AC|
b) ABvà AC ngược hướng
c) ABvà AC phương
7/ Cho hình bình hành ABCD Dựng ����� ���� ����� ����AM =BA MN, =DA, NP���� ���� ���� ����=DC PQ, =BC Chứng minh
→
= AQ
8/ Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M, N trung điểm AD, BC
a) Có vec tơ khác vec tơ – khơng có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D, O, M, N
b) Chỉ hai vec tơ có điểm đầu điểm cuối lấy điểm A, B, C, D, O, M, N mà
- Cùng phương với AB
- Cùng hướng với AB
- Ngược hướng với AB
c) Chỉ vec tơ vec tơ MO,OB
II. II. II.
II TTTTỔỔỔỔNGNGNGNG VVÀVVÀÀÀ HIHIHIHIỆỆỆỆUU CUUCCCỦỦỦỦAAAA HAIHAI VECHAIHAIVECVECVEC TTTTƠƠƠƠ A.
A.A.A KIKIKIKIẾẾẾẾNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCẦẦẦẦNNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ 1.
1.1.1 ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩaa ttttổaa ổổổngngngng ccccủủủủaaaa haihaihai vechaivecvecvec ttttơơơơ vvvvàààà quyquy ttttắquyquy ắắắcccc ttttììììmmmm ttttổổổổngngngng * Cho hai vec tơ tùy ý
→ →
b và
a Lấy điểm A tùy ý, dựng
→ →
= = a BC b
AB , Khi đó: a+b = AC
→ →
* Với ba điểm A, B, C tùy ý ta ln có: AB+BC =AC (quy tắc ba điểm)
(27)a + b b a
A
B
C
C
A B
D
2.
2.2.2 ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩaa vecaavecvecvec ttttơơơơ đốđốđốđối.i.i.i.
* Vec tơ
→
b vec tơ đối vec tơ
→
a |
→ → → →
= a vàa b
b| | | , hai vec tơ ngược hướng Kí hiệu:
→ →
− = a b
* Nếu →a vec tơ đối vec tơ →b →b vec tơ đối vec tơ
→ → →
= −
− a a
hay
a ( )
* Mỗi vec tơ có vec tơ đối Vec tơ đối ABlàBA Vec tơ đối vec tơ
→ →
0 0là
3.
3.3.3 ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩaa hiaahihihiệệệệuuuu ccccủủủủaaaa haihaihaihai vecvecvecvec ttttơơơơ vvvvàààà quyquyquyquy ttttắắắắcccc ttttììììmmmm hihihihiệệệệu.u.u.u.
* ( )
→ → → →
− + =
−b a b a
* Ta có: OB−OA= AB với ba điểm O, A, B
4.
4.4.4 TTTTíííínhnhnhnh chchấchchấấấtttt ccccủủủủaaaa phphéééépphph ppp ccccộộộộngngng ccccáng ááácccc vecvecvecvec ttttơơơơ
Với ba vec tơ ta có: *
→ → → →
+ = +b b a
a (tính chất giao hoán)
* ( ) ( )
→ → → → → →
+ + = +
+b c a b c
a (tính chất kết hợp)
*
→ → → → →
= + =
+ a a
a 0 (tính chất vec tơ – khơng)
*
→ → → → →
= + − = −
+( a) a a a
B
BB BBBBBÀÀÀÀIIII TTẬTTẬẬẬP.P.P.P.
1/ Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD a) Tính tổng hai vec tơ
; ;
NC MC AM CD AD NC
���� ����� ����� ���� ���� ����
b) Chứng minh AM + AN = AB+AD
2/ Cho tam gác ABC Các điểm M, N, P trung điểm AB, AC, BC a) Tìm hiệu AM −AN,MN−NC,MN−PN,PB−CB
b) Phân tích AM theo hai vec tơ MN vàMP
3/ Cho hình thoi ABCD có góc BAD = 600 và cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo.
Tính
|AB+AD|,|BA−BC ,||OB−DC|
4/ Cho hình vng ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo Hãy tính |OA−CB|,| AB+DC|,|CD−DA|
5/ Cho sáu điểm A, B, C, D, E F Chứng minh rằng: AD+BE+CF = AE+BF +CD
6/ Cho năm điểm A, B, C, D E Chứng minh rằng: AC+DE−DC−CE+CB= AB
7/ Cho tam giác ABC Các điểm M, N P trung điểm cạnh AB, AC BC
Chứng minh với điểm O ta có: OA+OB+OC=OM +ON+OP
8/ Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi D điểm đối xứng với A qua O Chứng minh rằng:
(28)b) OB+OC= AH Từ chứng minh OA+OB+OC =OH
c) HA+HB+HC =2HO
III. III. III.
III TTTTÍÍÍÍCHCHCHCH CCCCỦỦỦỦAAAA VECVECVECVEC TTTTƠƠƠƠ VVVVỚỚỚỚIIII MMMMỘỘỘỘTTTT SSSSỐỐỐỐ A.
A.A.A KIKIKIKIẾẾẾẾNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCẦẦẦẦNNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ
1 Định nghĩa tích vec tơ với số Cho số thực k ≠0
→ →
≠
a Tích
→
a với số thực k vec tơ, kí hiệu:
→
a k
- Cùng hướng với
→
a k >
- Ngược hướng với
→
a k < - Có dài |k|.| |
→
a
2 Các tính chất phép nhân vec tơ với số: Với hai vec tơ
→ →
b
a, tùy ý với số k,h
R ∈
*
→ → → →
+ =
+b ka kb a
k( )
*
→ → →
+ =
+k a ha ka h )
(
*
→ →
= hk a a
k
h( ) ( )
*
→ → → → → → →
→
= =
− = −
= ;( 1) ;0 0; 0
1 a a a a a k
3 Hai vec tơ
→ →
b a, với
→ →
≠0
b phương tồn duyy số k để
→ →
=kb a
4 Áp dụng: *
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
= = ⇔
= → →
→ →
0 0
a k a
k
* Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃ ∈k R AB|����=k AC����
* M trung điểm đoạn thẳng AB⇔ AM =MB⇔MA+MB=0⇔OA+OB=2OM
→
(với O bất kì)
* G trọng tâm tam giác ABC⇔GA+GB+GC =0 ⇔OA+OB+OC =3OG
→
(với O bất kì)
5 Cho hai vec tơ
→ →
b và
a không phương →x vec tơ tùy ý Bao tìm
cặp số thựcm, nduy cho →x =m→a+n→b
B.B
B.BB.BB.BÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP
1/ Cho tam giác ABC có trọng tam G Cho điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh: ���� ���� ���� �AD+BE+CF =0, GD GE���� ���� ���� �+ +GF =0
b) Gọi I giao điểm AD EF Đặt u = AE v = AF
→ →
, Hãy phân tích vec tơ
DC DE AG
AI, , , theo hai vec tơ ,
→ →
v u
2/ Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC cho MB = 2MC Hãy phân tích AM theo hai
vec tơ u = AB v = AC
→ →
(29)3/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = 1/3AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
4/ Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác đinh hệ thức: BC MA 0,
→
+ =
���� ����
3
AB NA AC
→
− − =
���� ���� ����
Chứng minh MN // AC
5/ Gọi M, N trung điểm hai đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng:
BD AC MN = +
6/ Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: AB+2AC+ AD=3AC
7/ Chứng minh G G’ trọng tâm hai tam giác ABC A’B’C’
.' ' ' '
3GG = AA +BB +CC
8/ Cho tam giác ABC, gọi E trung điểm AB, F điểm cạnh AC cho EA = 2EC, D điểm đối xứng với B qua C
c) Phân tích ����AD theo ����AB ����AC
d) Chứng minh D, E, F thẳng hàng
IV. IV.
IV.IV HHHHỆỆỆỆ TRTRTRTRỤỤỤỤCC TCCTTTỌỌỌỌAAAA ĐỘĐỘĐỘĐỘ A.
A.A.A KIKIKIKIẾẾẾẾNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCẦẦẦẦNNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ
1 Trục tọa độ (trục) đường thẳng xác định điểm O gọi điểm gốc vec tơ đơn vị
→
e Kí hiệu: (O; )
→
e Ox,
2 Cho M điểm tùy ý trục Ox Khi có số m cho
→
=m e OM Ta gọi số m tọa độ điểm M hệ trục cho
3 Cho hai điểm A B trục Ox Khi có số k cho
→
=ke
AB Ta gọi số k
là độ dài đại số AB hệ trục cho, kí hiệu: k = AB
4 Nếu A B trục Ox có tọa độ a b AB=b−a
5 Hệ thức Sa- lơ: Hệ thức AB+BC = AC⇔ AB+BC = AC
6 Tọa độ vec tơ, điểm mặt phẳng tọa độ Oxy *
→ → → →
+ = ⇔
= a a a a i a j a ( ; 2)
* M(x ; y) ⇔OM =(x; y) với O gốc tọa độ
* Nếu A (xA; yA), Bđộ (xB; yB) thì: AB=(xB −xA;yB −yA)
7 Cho a= a a b = b b k∈R
→ →
), ; ( ), ;
( 1 2 1 2 ta có:
* a+b =(a1+b1;a2 +b2)
→ →
* a−b =(a1 −b1;a2 −b2)
→ →
* ka=(ka1;ka2)
→
* ( 0)
→ → → →
≠ a b và
a phương
2 1 2
1
:
a b a b ka b
ka b a k b
k ⇔ =
⎩ ⎨ ⎧
= = ⇔ =
∃ ⇔
→ →
8 * Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB
⇔
2 ;
2
B A I B A I
y y y x x
x = + = +
(30)⇔
3 ;
3
C B A G C B A G
y y y y x x x
x = + + = + +
B.
B.B BB.BBBÀÀÀÀIIII TTẬTTẬẬẬP.P.P.P.
1/ Cho hình vng ABCD có cạnh a = Chọn hệ trục tọa độ (A ; ; )
→ →
j
i i và AD
→
cùng
hướng, j và AB
→
cùng hướng Tìm tọa độ đỉnh hình vng, giao điểm I hai đường chéo, trung điểm N BC trung điểm M CD
2/ Cho tam giác ABC Các điểm M(1 ; 0), N(2 ; 2), P(-1 ; 3) trung điểm cạnh BC, CA AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác
3/ Cho hình bình hành ABCD có A(-1 ; 3), B(2 ; 4), C(0 ; 1) Tìm tọa độ đỉnh D 4/ Cho =(3;−2), =(7;4)
→ →
v
u Tính tọa độ vec tơ , ,2 ,3 , (3 )
→ → → → → → → → →
− − − −
+v u v u u v u v
u
5/ Cho A(3 ; 4), B(2 ; 5) Tìm x để điểm C(-7 ; x) thuộc đường thẳng AB
6/ Cho bồn điểm A(0 ; 1), B(1 ; 3), C(2 ; 7), D(0 ; 3) Chứng minh hai đường thẳng AB// CD 7/ Cho tam giác ABC có A(1 ; -1), B(5 ; -3), đỉnh C Oy trọng tâm G Ox Tìm tọa độ điểm C
8/ Trong mặt phẳng Oxy cho A(-2 ; 1), B(4 ; 5) a) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB
b) Tìm tọa độ điểm C cho tứ giác OACB hình bình hành c) Tìm tọa độ điểm D cho B trọng tâm tam giác OAD
9/ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3) a) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành
b) Xác định tọa độ điểm E điểm đối xứng điểm A qua điểm B c) Tìm tọa độ điểm M thỏa �����AM +2�����BM −5CM����� �=0
d) Tìm tọa độ hai điểm E, F thuộc trục Ox, Oy cho AO = AE = AF
Ch Ch Ch
Chươươươươngngngng II.II.II.II TICHTICHTICHTICH VVVVÔÔÔÔ HHHHƯỚƯỚƯỚƯỚNGNGNGNG CCCCỦỦỦỦAAAA HAIHAIHAIHAI VECVECVECVEC TTTTƠƠƠƠ VVVVÀÀÀÀ ỨỨỨỨNGNGNGNG DDDDỤỤỤỤNGNGNGNG I.
I.
I.I GIGIGIGIÁÁÁÁ TRTRTRTRỊỊỊỊ LLƯỢLLƯỢƯỢƯỢNGNGNGNG GIGIGIGIÁÁÁÁCCCC CCCCỦỦỦỦAAAA MMMMỘỘỘỘTTTT GGĨGGĨĨĨCCCC BBBBẤẤẤẤTTTT KKKKÌÌÌÌ TTTTỪỪ 0ỪỪ0000000ĐỀĐỀĐỀĐỀNNNN 1801801801800000. A.
A.A.A KIKIKIKIẾẾẾẾNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCẦẦẦẦNNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ 1.
1.1.1 ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩa:a:a:a:Với góc α (00 ≤α ≤1800)ta xác định điểm M đường trịn đơn vị cho góc xOM = α Giả sử M(x0 ; y0) Khi đó:
* Tung độ y0của M gọi sin góc α
Kí hiệu: sinα = y0
* Hoành độ x0của M gọi cosin góc α
Kí hiệu: cosα =x0
* Tỉ số
0
x y
với x0≠0 gọi tang góc α
Kí hiệu:
0
tan x y =
α
* Tỉ số
0
y x
với y0 ≠0 gọi cotang góc α
Kí hiệu:
0
cot y x =
α
2.
2.2.2 CCCCáááácccc hhhhệệệệ ththththứứứứcccc llllượượượượngngngng gigiágigiááác.c.c.c.
(31)) 180 cot( cot
) 180 tan( tan
) 180 cos( cos
) 180 sin( sin
0 0
α α
α α
α α
α α
− −
=
− −
=
− −
=
− =
b) Các hệ thức lượng giác
Từ định nghĩa giá trị lượng giác góc α ta suy hệ thức:
1 cos sin2α + 2α =
) 180 ;
0 ( cot sin
cos ;
) 90 ( tan cos
sin 0
≠ ≠ =
≠
= α α α
α α α
α α
α
α α
α α
cot tan
; tan
1
cot = =
α α
α
α 2
2
sin cot
1 ; cos
1 tan
1+ = + =
3.
3.3.3 GGGGóóóócccc gigigigiữữữữaaaa haihaihaihai vecvecvecvec ttttơơơơ
Cho hai vec tơ
→ →
b
a, khác
→
0 Từ điểm O ta vẽ
→ →
= =a vàOB b
OA Khi
góc AOB với số đo từ 00đến 1800 được gọi góc hai vec tơ →a và→b.Kí hiệu:
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛→ →
b a, 4.
4.4.4 BBBBảảảảngngngng gigigiágiááá trtrtrtrịịịị llllượượượượngngngng gigiágigiááácccc ccccủủủủaaaa ccccáááácccc ggggóóóócccc đặđặđặđặcccc bibibibiệệệệt.t.t.t.
00 300 450 600 900 1800
α
sin
2
2
2
1
α
cos
2
2
2
0 -1
α
tan
3
1 ||
cotα ||
3
0 ||
B.
B.B BB.BBBÀÀÀÀIIII TTẬTTẬẬẬP.P.P.P.
1/ Với giá trị góc α (00 ≤α ≤1800) a) sinα vàcosα dấu
b) sinα vàcosα khác dấu c) sinα vàtanα dấu d) sinα vàtanα khác dấu
2/ Tính giá trị lượng giác góc:
a) 1200; b) 1500; c) 1350.
(32)a) A = 2 2 30 cos 180 cos 60 cos
4a + ab + b
b) B = (asin900+ btạn450)(acos00+ bcos1800)
4/ Cho
4
sinα = với 900 <
180 <
α Tính cosα vàtanα
5/ Cho
4
cosα =− Tính sinα vàtanα
6/ Cho tanα =2 2,(00 <α <900).Tínhsinα vàcosα 7/ Biết tanα = Tính giá trị biểu thức
A = α α α α cos sin cos sin + −
8/ Biết
3
sinα = Tính giá trị biểu thức B = α α α α tan cot tan cot + −
9/ Chứng minh với 0
180
0 ≤x≤ ta có:
a) (sinx + cosx)2 = + 2sinxcosx.
b) sin4x + cos4x = – 2sin2xcos2x.
10/ Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x a) A = (sinx + cosx)2+ (sinx – cosx)2.
b) B = sin4x – cos4x – 2sin2x + 1
II. II. II.
II TICHTICHTICH VTICHVVVÔÔÔÔ HHƯỚHHƯỚƯỚƯỚNGNGNGNG CCỦCCỦỦỦAAAA HAIHAI VECHAIHAIVECVECVEC TTTTƠƠƠƠ A.
A.A.A KIKIKIKIẾẾẾẾNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCẦẦẦẦNNNN NHNHNHNHỚỚỚỚ 1.
1.1.1 ĐịĐịĐịĐịnhnhnhnh nghnghnghnghĩĩĩĩa.a.a.a.Cho hai vec tơ
→ → → ≠0 b và
a Tích vơ hướng hai vec tơ
→ →
b và
a số, kí
hiệu:
→ →
b
a xác định công thức sau: ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = → → → → → → b a b a b
a | || |cos , L
L L
Lưưưưuuuu ýýýý:::: ****Với
→ → →
≠ ,b
a ,,,,ta có::::
→ → → → ⊥ ⇔
= a b
b a
*
2 | | cos | || | → → → → =
= a a a
a 2.
2.2.2 CCCCáááácccc ttttíííínhnhnh chnhchchấchấấấtttt ccccủủủủaa ttttííííchaa chchch vvvvôôôô hhhhướướướướng.ng.ng.ng. Với ba vec tơ
→ → →
c b
a, , số k ta có:
→ → → →
=b a b
a (tính chất giao hốn)
→ → → → → → → + =
+c a b a c b
a.( ) (tính chất phân phối)
) ( ) ( ) ( → → → → → → = =k a b a kb b a k ≥ → a → → → = ⇔
=0
2 a a 2 ) ( → → → → → → + + =
+b a a b b
a 2 ) ( → → → → → → + − =
−b a a b b
a 2 ) )( ( → → → → → → − = −
+b a b a b a
3.
3.3 Bi3.BiBiBiểểểểuuuu ththththứứcccc ttttọứứ ọọọaaaa độđộđộđộ ccccủủủủaaaa ttttííííchchchch vvvvơơ hơơhhhướướướướngngngng
Trong mặt phẳng tọa độ (O; , )
→ →
j
i cho hai vec tơ a ( ;a a1 2), →
= b (b b1; 2) →
= Khi tích vơ hướng
2 1
.b a b a b
a = +
→ →
4.
4.4.4 ỨỨỨỨngngngng ddụddụụngụngngng ccccủủủủaa ttttííííchaa chchch vvvvơơơ hơhhhướướướướng.ng.ng.ng.
a)Tính độ dài vec tơ Cho a=(a1 ;a2)
→
, đó:
2
|
|a = a +a
→
(33)b)Tính góc hai vec tơ Cho a =(a1;a2),b =(b1 ;b2)
→ →
, đó:
2 2 2
2 1
|
|| |
) , cos(
b b a a
b a b a b
a b a b a
+ +
+ =
= → →
→ → → →
B.B
B.BB.BB.BÀÀÀÀIIII TTTTÂÂÂÂP.P.P.P.
1/ Tam giác ABC vuông C có AC = 9, CB = Tính AB.AC
2/ Tam giác ABC có góc A = 900, góc B = 600 và AB = a Tính: a) AB.AC b) CA.CB
c) AC.CB
3/ Tam giác ABC vng cân A có AB = AC = a Tính
a) AB.AC b) BA.BC c) AB.BC
4/ Cho tam giác ABC có AB=5 cm, BC = cm, CA = cm a) Tính AB.AC suy giá trị góc A
b) TínhCA.CB
5/ Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M tùy ý ta có: MA.BC+MB.CA+MC.AB=0
6/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng
minh BK ⊥ AC
7/ Trong mặt phẳng Oxy cho A(4 ; 6), B(1 ; 4), C(7 ; 3/2) a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Tính chu vi tam giác ABC
8/ Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2 ; 4), B(1 ; 1) Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC tam giác vuông cân B
9/ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2 ; 4), B(-3 ; 1), C(3 ; -1) Tính: a) Tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành
b) Tọa độ chân A’ đường cao vẽ từ đỉnh A
10/ Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2), C(3 ; 1), D(0 ; -2) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân
CH CH
CHCHỦỦỦỦ ĐỀĐỀĐỀĐỀ 5:5:5:5: H
H H
HỆỆỆỆTHTHTHTHỨỨCỨỨCCC LLLLƯỢƯỢNGƯỢƯỢNGNGNG TRONGTRONGTRONGTRONG TAMTAM GITAMTAMGIGIGIÁÁÁÁCCCC
Bi
BiBiBiêêêênnnn sosososoạạạạn:n:n:n:CôNguyễn Thúy Kiều A/
A/A/A/ LLLLÝÝÝÝ THUYTHUYTHUYTHUYẾẾẾẾT:T:T:T:
I.
I.I.I ĐỊĐỊĐỊĐỊNHNHNHNH LLLLÝÝÝÝ CCCCÔÔSINÔÔSINSINSIN TRONGTRONGTRONGTRONG TAMTAMTAM GITAMGIGIGIÁÁÁÁC:C:C:C: Đị
Đị Đị
Địnhnhnhnh LLLLýýýý::::Với tam giác ABC ta có: a2 = b2 + c2 - 2bcCosA
b2= a2 + c2- 2acCosB
c2= a2 + b2-2abCosC
II.
II.II.II. ĐỊĐỊĐỊĐỊNHNHNHNH LLLLÝÝÝÝ SINSINSINSIN TRONGTRONGTRONGTRONG TAMTAMTAMTAM GIGIGIGIÁÁÁÁC:C:C:C: Đị
ĐịĐịĐịnhnhnhnh llllýýýý::::Trong∆ABC, R bán kính đường trịn ngọai tiếp tam giác, ta có:
sin sin sin
a b c
R
A = B = C =
III.
III.III CIII.CCCÁÁÁÁCCCC CCÔCCÔÔÔNGNGNGNG THTHTHTHỨỨCỨỨCCC VVVVỀỀỀỀ DIDIDIDIỆỆỆỆNNNN TTTTÍÍÍÍCH:CH:CH:CH:
Ta có cơng thức tính diện tích sau: a
c b
B
A
(34)1 1 1
2 2 2
ABC a b c
S△ = ah = bh = ch
( )( )( )
1 1
sin sin sin
2 2
4
( )
ABC
ABC ABC ABC
S ab C ac B bc A
abc S
R
S pr
S p p a p b p c Herong
= = =
=
=
= − − −
△
△
△ △
Với *R bk đường tròn ngọai tiếp tam giác *r bk đường tròn nội tiếp tam giác
* p nửa chu vi tam giác ABC
IV/
IV/IV/ CIV/CCCÔÔÔÔNGNGNGNG THTHỨTHTHỨỨỨCCCC ĐỘĐỘĐỘĐỘ DDDDÀÀÀÀIIII ĐƯỜĐƯỜĐƯỜĐƯỜNGNGNGNG TRUNGTRUNGTRUNGTRUNG TUYTUYTUYTUYẾẾẾẾNNNN:
Ký hiệu ma, mb, mclà độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, B, C.Ta có:
Đị Đị Đị
Địnhnhnhnh llllýýýý: Trong tam giác ABC ta có:
2 2
2
2 2
2
2 2
2
(1 )
2
(1 )
2
(1 )
2
a
b
c
b c a
m
a c b
m
a b c
m
+
= −
+
= −
+
= −
B/
B/B/B/ BBBBÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP MMMMẪẪẪẪU:U:U:U:
B BBBààààiiii 1:1:1:1:
Giải
B BBBààààiiii 2:2:2:2:
(35)B BBBààààiiii 3333
Giải
B BBBààààiiii 4:4:4:4:
Giải
B BBBààààiiii 5:5:5:5:
Giải
B BBBààààiiii 6:6:6:6:
(36)B BBBààààiiii 7:7:7:7:
Giải
B BBBààààiiii 8:8:8:8:
Giải
Giải: a2= b2+ c2– 2bcCosA
= 6,122+ 5,352– 2(6,12)(5,35)(Cos840)
a2= 59,23
a 7,7
(tính p = (a+b+c)/2 = (7,7 + 6,12 + 5,35)/2 = 19,17/2= 9,585 áp dụng rông
S= = =
16,3 (đvdt) C/
C/C/C/ BBBBÀÀÀÀIIII TTTTẬẬẬẬPPPP RRÈRRÈÈÈNNNN LUYLUYLUYLUYỆỆỆỆN:N:N:N:
1/
1/1/1/Tam giác ABC có a = a 3, b = C^ = 300 Tính cạnh c, góc A, diện tích tam giác ABC,
chiều cao havà đường trung tuyến ma tam giáv ABC
2/
2/2/2/Giải tam giác biết a)
^
A = 600, ^
40 =
B , c = 14 ; b)a = 6,3, b = 6,3, ^
40 = C
c)a = 14, b = 18, c = 20 ; d) a = 7,1 ; b = 5,3 ; c = 3,2
3
333/ Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8.Tính diện tích tam giác ABC, góc B
4/
(37)5/
5/5/5/Cho �ABC cân A Kẻ hai đường cao AH, BK Cho AH = 20, BK = 24 Tính độ dài cạnh
của�ABC
6/
6/6/6/Cho�ABC có AB = cm, AC = cm, �
A =60
a Tính độ dài cạnh BC, diện tích đường cao AH của�ABC
b Tính bán kính đường trịn nội, ngoại tiếp�ABC, độ dài trung tuyến BM tam giác
c Tính độ dài phân giác AD của�ABC
7/
7/7/7/Cho�ABC có a = 21, b = 17, c = 10
a Tính cosA, sinA diện tích�ABC
b Tính ha, mc, R, r của�ABC
8/
8/8/8/ a Cho �ABC có AB = 7, AC = 8, A� 1200
= Tính cạnh BC bán kính R đường trịn
ngoại tiếp tam giác
b Cho�ABC có AB = 3, AC = 5, BC = Tính góc A
c Cho A� 1200
= , BC = 7, AB + AC = Tính AB, AC
9/
9/9/9/Cho�ABC Đặt a = BC, b = AC c = AB
a Cho a=2 3, b= 6+ ,c= 6− Tính góc A
b Cho a=2 3, b=2 ,c= − Tính số đo góc c Cho a= 6, b=2 ,c = 1− Tính số đo góc
10/
10/10/10/Cho�ABC, kẻ đường cao AH Cho HA = 12, HB = 4, HC = Tính số đo góc A
11/
11/11/11/Cho ̂
B=60 , b = 7, c = tính cạnh a, bán kính R đường cao BH của�ABC
12/
12/12/12/Cho hình bình hành ABCD tâm O
a Cho AB = 5, AD = 8, �A 600
= Tính độ dài hai đường chéo diện tích
b Cho AB = 13, AD = 19, AC = 24 Tính BD
13/
13/13/13/Cho ΔABC có AB = 2, AC = 3, BC = Gọi D trung điểm BC, tính bán kính đường trịn qua ba điểm A, B, D
14/
14/14/14/ a Cho ΔABC có A = 1200, C = 150, AC = Tính độ dài hai cạnh cịn lại
b Cho ΔABC có BC = 8, AB = 3, AC = Lấy điểm D BC cho BD = Tính AD
c Cho ΔABC có ba cạnh AB= 13, AC= 14, BC= 15 Kẻ AH ⊥ BC, Tính độ dài đoạn BH
HC
M M M
MỘỘỘỘTTTT SSSSỐỐỐỐ ĐỀĐỀĐỀĐỀ THAMTHAMTHAMTHAM KHKHKHKHẢẢẢẢOOOO Đề
Đề ĐềĐề 1:1:1:1:
1/ Giải biện luận phương trình: m2x = m(4x + 3).
2/ a)Tìm Parbol y = ax2+ bx + 2, biết Parabol qua điểm A(3 ;- 4) có trục đối
xứng x = -3/2
b)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số vừa tìm câu a) 3/ Tìm miền xác định xét tính chẵn lẻ hàm số sau:
a)
1
2 − + + =
x x
y b)
6
1
2
+ +
− =
x x
x y
4/ Giải phương trình hệ phương trình:
a) 5x+2 =3x+1 b)
⎩ ⎨ ⎧
= +
= −
10
1
y x
y x
5/Cho hình bình hành ABCD, gọi E, F trung điểm AB, CD CMR:
EF BC
AD+ =2
(38)Đề Đề ĐềĐề 2:2:2:2:
1/ Giải biện luận phương trình: (m2+ m)x = m + 1.
2/ a)Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(4 ; 3) B(2; - 1) b)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = 3x2– 2x + 1.
3/ Tìm miền xác định xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a)
2
1
2
+ −
+ =
x x
x
y b) 1+x− 1−x
4/ Giải phương trình hệ phương trình: a)
⎩ ⎨ ⎧
= +
= + +
6
2
xy y x
xy y x
b)
x x x
x −
= −
3
5/Cho hình bình hành ABCD, gọi E, F trung điểm AB, CD CMR:
EF BC
AD+ =2
6/ a Cho ΔABC có A = 1200, C = 150, AC = Tính độ dài hai cạnh cịn lại
b Cho ΔABC có BC = 8, AB = 3, AC = Lấy điểm D BC cho BD = Tính AD
c Cho ΔABC có ba cạnh AB= 13, AC= 14, BC= 15 Kẻ AH⊥BC, Tính độ dài đoạn BH