Vẽ các ñường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các ñiểm ñặc biệt (cực ñại, cực tiểu, ñiểm uốn, các giao ñiểm của ñồ thị với các trục tọa ñộ). Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số.. c) Chứng minh rằng ñ[r]
(1)2
KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ðỒ THỊ
Giải tốn khảo sát vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành bước sau 1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hồn
Nếu hàm số chẵn hay lẻ cần khảo sát x ≥ 0, với x < hàm số có tính đối xứng Nếu hàm tuần hồn cần xét chu kì
2) Tính y’, y”
Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu
Xét dấu y” ñể tìm khoảng lồi lõm, ñiểm uốn 3) Tìm điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn Tìm ñường tiệm cận
Xác ñịnh giao ñiểm ñồ thị với trục 4) Lập bảng biến thiên
5) Vẽ ñồ thị
Vẽ ñường tiệm cận (nếu có), rõ điểm đặc biệt (cực ñại, cực tiểu, ñiểm uốn, giao ñiểm ñồ thị với trục tọa ñộ)
Chú ý hàm y = f(x) chẵn đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, cịn hàm y = f(x) lẻ đồ thị có
tâm đối xứng gốc tọa ñộ
1 Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số
a) Hàm bậc hai : y = ax2 + bx + c a ≠
Ta có
2
b 4ac b
y a x
2a 4a
−
= + +
ðồ thị ñường parabol ñược suy từ ñồ thị hàm y = ax2 phép tịnh tiến song song theo véctơ
2 b 4ac b
r ,
2a 4a
−
= −
r
Với a > 0,
2 4ac b y
4a −
= ñạt ñược x b 2a
= − Hàm tăng b , 2a − +∞
, giảm b
, 2a −∞ −
Với a < 0, max
2 4ac b y
4a −
= , ñạt ñược x b 2a
= − Hàm tăng (−∞ −, b / 2a), giảm
(−b / 2a,+∞)
b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ − Tập xác ñịnh (−∞, + ∞)
− Ta có y’ = ax2 + 2bx + c, ∆’y’ = b2− ac y” = ax + b
Nếu a >
+ Với b2− 3ac < 0, y’ > với x, hàm ln đồng biến
+ Với b2− 3ac > 0, phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 y’ > ⇔ x ∉ [x1, x2] Hàm số tăng (giảm) (−∞, x1) (x2, + ∞) (tương ứng, (x1, x2)) ðiểm cực ñại (cực tiểu) (x1, y(x1)) (tương ứng (x2, f(x2))
Nếu a <
(2)4
Hàm y nghịch biến (−∞, x1) (x2, + ∞) y ñồng biến (x1, x2) ðiểm cực tiểu (cực ñại) (x1, f(x1)) (tương ứng (x2, f(x2))
− ðiểm uốn: y” = ⇔ x = − b/3a, ñiểm uốn (−b/3a, f(−b/3a))
− Tâm ñối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) ñiểm uốn
c) Hàm phân thức: y ax b cx d + =
+ , c ≠
Ta có
2 a bc ad y
c c d
x c −
= +
+
− Nếu bc − ad = y a c
≡ , x ≠− d/c
− Nếu bc − ad ≠ đồ thị hàm số ñược suy từ ñồ thị hàm số
k y
x = với
2 bc ad k
c − =
bằng phép tịnh tiến theo véctơ
r = r
(−d/c, a/c)
ðồ thị có hai tiệm cận x = − d/c y = a/c
d) Hàm phân thức: ( )
ax bx c y f x
x d + +
= = + , a ≠ Ta có
( ) ad2 bd c
f(x) ax b ad
x d − +
= + − + +
Tập xác ñịnh R\ { }−d
( )
( )
2
a x d m
y '
x d + − =
+ , m = ad
2
− bd + c
− Nếu m = y = ax + (b − ad), x ≠− d
− Nếu am <
+ Với a > 0, y’ > (∀ x ≠−d), hàm ñồng biến (−∞, −d), (−d, +∞) + Với a < 0, y’ < (x ≠−d), hàm nghịch biến (−∞, −d), (−d, +∞)
− Nếu am > phương trình y’ = có hai nghiệm x1,2 d m a = − m
+ Nếu a > hàm tăng (−∞, x1), (x2, +∞) giảm (x1, − d), (−d, x2) ñiểm cực ñại (cực tiểu) (x1, 2ax1 + b), (tương ứng, (x2, 2ax2 + b)
+ Nếu a < hàm tăng (x1, − d1), (−d1, x2) giảm (−∞, x1), (x2, +∞) ðiểm cực tiểu (x1, 2ax1 + b)
ðiểm cực ñại: (x2, 2ax2 + b)
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2− (m − 1)x −
a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số với m = b) Xác ñịnh m ñể hàm y = f(x) khơng có cực trị
Giải a) với m = 1, y = x3 + 3x2−
Tập xác ñịnh R
(3)6
y tăng (giảm) thực (−∞, − 2) (0, +∞) (tương ứng (−2, 0)) Hàm có ñiểm cực ñại (− 2, 3) cực tiểu (0, − 1)
y” = 6x + 6, y” = ⇔ x = − 1, y” ñổi dấu qua x = − y = f(x) có điểm uốn (−1, 1) Ta có bảng biến thiên
X 2
y’ + +
Y 1
ðồ thị y
-2 x
-1
b) y’ = 3mx2 + 6mx − (m − 1)
ðiều kiện cần ñủ ñể y = f(x) khơng có cực phương trình f’ (x) = khơng có hai nghiệm phân biệt, nghĩa
2 m
1
m 0 m
4 ' 9m 3m(m 1)
= ≠
⇔ ≤ ≤
∆ = + − ≤
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 + mx2− m
a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số m =
b) Khi ñồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt c) Xác ñịnh m cho x≤ ⇒y≤
Giải a) m = ⇒ y = x3 + 3x2−
Tập xác ñịnh R
Chiều biến thiên y’ = 3x2 + 6x, y’ = ⇔ x = x = − y’ > ⇔ x < − x >
Trên (−∞, − 2), (1, +∞) hàm ñồng biến y’ < ⇔ x ∈ (−2, 0), y nghịch biến y” = 6x + 6, ta có điểm uốn (−1, −1) Bảng biến thiên
X 2
y’ + +
Y 3
(4)8
y
-2 -1 x
-3
b) ðồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt hàm số có cực ñại cực tiểu ycñ yct <
Thấy y’ = 3x2 + 2mx = x(3x + 2m) y’ = ⇔ x = x = − 2m/3
Hàm có cực đại cực tiểu ⇔− 2m/3 ≠ ⇔ m ≠
( ) ( )
c® ct
4m 27m
y y y y 2m / m
27 −
= − = − <
2
4m 27
⇔ − > m 3 ⇔ >
Vậy ñồ thị cắt trục hồnh ba điểm phân biệt m >3 /
c) y x( ) ≤1 với x ≤1 ⇒ y 0( ) = m ≤1
Với m ≤1, m ≠ 0, ta có −2m / ≤1 Vậy, với m ∈ [−1, 1]\{ }0 ñể y x( ) ≤1 với x ≤1 ñiều kiện ñủ
là
( ) 4m3
1 y 2m / m
27
≥ − = −
(vì y (−1) = − 1, y(1) = 1, y (0) = −m ñều thuộc [−1, 1]) Nhưng
3
4m 4m
, m m
27 27
− = − ≤ ≤
m ≤1 m = thỏa mãn
Kết luận m ∈ [−1, 1]
Ví dụ 3. Cho hàm số y = (m − 2)x3− mx + (1)
a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số m = −
b) Chứng minh m ∈ (0, 2) hàm khơng có cực đại cực tiểu c) Chứng minh đồ thị hàm số (1) ln qua ba ñiểm cố ñịnh
Giải
a) Tập xác ñịnh R
y’ = − 9x2 + = ⇔ x = − 1/3 x = 1/3 ðiểm cực ñại (−1/3, 16/9), cực tiểu (1/3, 20/9) y” = − 18x = ⇔ x= 0, ñiểm uốn (0, 2) Bảng biến thiên
X 1/3 1/3
Y’ +
(5)10
y 20/9 16/9
-1 -1/3 1/3 x b) y’ = 3(m − 2)x2− m
Khi m ∈ (0, 2) ⇒ m / 3(m − 2) < phương trình y’ = vơ nghiệm c) y = mx3− 2x3− mx + ⇔ mx (x2− 1) − 2(x3− 1) − y = ðiểm cố ñịnh (xo, yo) phải thỏa mãn
( )
( )
2 o o
o o
o o
3
o o o o
x 0, y
x x
x 1, y ,
y x x 1 y 0
= =
− =
⇔ = − =
= − − = =
ðồ thị ln qua điểm cố định (0, 2), (− 1, 4), (1, 0)
Ví dụ 4. Cho hàm số
y = f(x) = 2x3− 3(2m + 1)x2 + 6m (m + 1)x + (1) a) Tìm quĩ tích điểm uốn
b) Tìm quĩ tích điểm cực đại
c) Tìm quĩ tích trung ñiểm ñoạn nối ñiểm cực ñại cực tiểu ñồ thị
Giải a) y’ = 6x2− 6(2m + 1) x + 6m(m + 1)
y” = 12x − 6(2m + 1), y” = ⇔ x 2m
+ =
y” ñổi dấu x biến thiên qua (2m + 1)/2 Vậy ñiểm uốn U 2m 1, f 2m
2
+ +
Từ
2m x
2 + =
suy m 2x
−
= , thay vào phương trình y = f(x) ta thu ñược y 2x3 3x
= − + Vậy quĩ tích đồ thị hàm
3
y 2x x
2
= − +
b) y’ = 6[x2− (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = ⇔ x m x m
=
= +
đó hai nghiệm phân biệt rõ ràng yỖ(x) < ⇔ x ∈ (m, m + 1)
y’(x) > ⇔ x ∈ (−∞, m) ∪ (m + 1, +∞)
Vậy hàm ln có cực đại cực tiểu x = m x = m + tương ứng ðiểm cực ñại (m, f(m)) Khử m cách thay m = x, vào (1) ta ñược y = 2x3 + 3x2 + Vậy ñồ thị hàm
(6)12
là quĩ tích ñiểm cực ñại hàm số m thay ñổi
c) Trung ñiểm ñoạn nối ñiểm cực ñại cực tiểu ñiểm uốn, mà quĩ tích ñã biết câu a)
Ví dụ 5 Cho hàm số
y = f(x) = x4− mx3− (2m + 1)x2 + mx +
a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số với a =
b) Tìm điểm trục tung cho qua kẻ ba tiếp tuyến với ñồ thị y = f(x) với m = c) Xác ñịnh m cho phương trình
f(x) =
có hai nghiệm khác lớn
Giải a) Với m = 0, hàm số có dạng
y = x4− x2 + T.X.ð R
y’ = 2x(2x2− 1), y’ = ⇔ x = x = ± /2
y” = 2(6x2− 1), y” = ⇔ x = ± /6
y” ñổi dấu qua x = ± /6 nên hàm số có hai điểm uốn (− /6,31/36 ,) ( /6,31/36) Bảng biến thiên
X − 2 /2 2 /2
Y’ + + −
Y
4
1
4
y 3/4
- 2/2 2/2 x
b) f(x) hàm chẵn nên trục tung trục ñối xứng Nên qua ñiểm trục tung kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị phải có tiếp tuyến song song với trục hồnh Từ điểm cần tìm phải điểm M(0, 1) Ta kiểm tra điều Giả sử y = ax + tiếp tuyến khác qua a Khi phải có
4
o o o
3
o o
x x ax
4x 2x a
− + = +
− =
nếu xo hồnh độ tiếp điểm
Giải hệ (đối với (xo, a)) ta có nghiệm (0, 0), (± /3, ±4 /9 ) Từ tiếp tuyến khác y = y = ±(4 /9 x) +1
Vậy điểm cần tìm M (0, 1)
c) Phương trình x4− mx3− (2m + 1)x2 + mx + = (1) tương ứng với
( )
2
1
x m x 2m
x x
+ − − − + =
(2)
ðặt t x x
= − t’(x) =
2 1
x
(7)14
t2− mt − (2 − 1) = (3)
Vậy để có hai nghiệm lớn 1, phương trình (3) phải có hai nghiệm dương Tức phải có
( )
2
m 2m m 8m 4 0
S / m / m
p 2m m /
∆ = − − > + − >
= > ⇔ >
= − > <
⇔ m∈ − +( 5, / 2)
Ví dụ 6 Cho hàm số
mx y
x m −
= − (1)
a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số với m =
b) Với m hàm đồng biến, nghịch biến khơng đổi?
c) Chứng minh m thay ñổi ñồ thị ln qua hai điểm cố định d) Tìm quĩ tích tâm đối xứng đồ thị
Giải a) Với m = 2, y 2x
x x
−
= = +
− −
Tập xác ñịnh R\ { }2
ðồ thị có hai tiệm cận x = y =
( )2
3 y '
x = − >
− với ∀ x ≠ Vậy y giảm khoảng (−∞, 2) (2, +∞)
Các ñiểm ñặc biệt
x = ⇒ y = 1/2; y = ⇒ x = 1/2 Vậy ñồ thị ñi qua ñiểm (0, 1/2) (1/2, 0) Bảng biến thiên
X
y’
Y
∞ +2 ∞
ðồ thị có tâm đối xứng giao điểm I hai tiệm cận
y
I
1/2
(8)16
b)
( )
2 m y '
x m − =
− , x ≠ m
• Nếu − m2 > (⇔− < m < 1) hàm ln đồng biến khoảng (−∞, m) (m, +∞)
• Nếu − m2 < (⇔ m ∉ [−1, 1] hàm ln nghịch biến khoảng xác định
• Nếu − m2 = (⇔ m = ± 1) y khơng đổi m = ⇒ y ≡ R\ { }1
m = − ⇒ y ≡− R\ { }−1
c) Giả sử (xo, yo) ñiểm cố ñịnh Khi
( )
o
o o o o
x m
x y m x y víi mäi m ≠
+ − + =
o o
o o o o
2
o o o o o
x y
x y x 1, y
x y x 1 x 1, y
= −
+ = = = −
⇒ ⇔ ⇔
= − = = − =
Vậy đồ thị ln qua hai ñiểm cố ñịnh (1, −1) (−1, 1)
d) Tâm ñối xứng giao hai tiệm cận tức ñiểm (m, m) Khi m thay ñổi ñiểm vạch ñường thẳng y = x
Ví dụ 7 Cho hàm số ( )
2
m x m
y
x m
+ −
= −
a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số m =
b) Chứng minh với m tiệm cận xiên đồ thị ln tiếp xúc với parabơn cố định Xác định parabơn
c) Tìm tất điểm mà tiệm cận xiên khơng qua
Giải
a) Tập xác ñịnh R\ { }1
Với m = 1, ( )
2
2x 1
y x
x x
−
= − = + + −
( )2
1 y '
x = −
− , y’ =
2 x
2 ⇔ = ±
y’ > ⇔ x , 2 ,
2
∈ −∞ − ∪ + +∞
y’ < ⇔ x ,
2
∈ − +
ðiểm cực ñại 2, 2
− −
, cực tiểu
2
1 , 2
+ +
Bảng biến thiên
X 2
1
− 1
2 +
y’ + || − +
4−2 2 4+2 2
(9)18
x =
b) Ta có tiệm cận xiên y = (m + 1)x + m2 + m y +2 I
-1 x
Giả sử tiệm cận xiên tiếp xúc parabôn cố ñịnh y = ax2 + bx + c, a ≠
Khi phương trình
ax2 + bx + c = (m + 1)x + m2 + m có nghiệm kép với m Ta phải có
∆ = (b − m − 1)2− 4a(c − m2− m) = với m, hay
(4a + 1)m2 + 2(2a − b + 1)m + b2− 4ac − 2b + = với m
2
4a a /
2a b b /
c / b 4ac 2b
+ = = −
⇔ − + = ⇔ =
= −
− − + =
Như parabơn cần tìm
2
1 1
y x x
4
= − + − =
c) Giả sử (xo, yo) điểm mà tiệm cận khơng qua Từ phương trình
yo = (m + 1)xo + m2 + m vơ nghiệm, hay phương trình m2 + (xo + 1)m + xo − yo = vô nghiệm
⇔∆ = (xo + 1)2− 4(xo − yo) <
⇔
o o o
1 1 1
y x x
4 2 4
< − + −
đó ựiểm nằm parabôn
2
1 1 1
y x x
4 2 4
= − + −
Ví dụ 8 Cho hàm số
( )
2
x 3x y
2 x − + =
−
(10)20 10
b) Tìm ñiểm ñồ thị cho tổng khoảng cách từ đến tiệm cận nhỏ c) tìm điểm đồ thị cho tổng khoảng cách từ đến hai trục nhỏ
d) Tìm điểm M, N hai nhánh ñồ thị (mỗi ñiểm thuộc nhánh) cho ñộ dài ñoạn MN nhỏ
Giải a) Ta có y x
2 x
= − + −
Tập xác ñịnh R\ { }1
( )2
1
y '
2 x 1
= −
−
, y’ = ⇔ x = −1 x =
y’(x) < với − < x < < x < 3/2 ñiểm cực ñại 1, − −
y’(x) > với x < − x > 3/2 ñiểm cực tiểu 3,3
X 1
y’ + || − +
Y
2
−
2
y 3/2
-1
x -5/2
-3 Tiệm cận xiên : y 1(x 2)
2
= − ~ x − 2y − = Tiệm cận ñứng: x =
x = 0, y = −3
b) Giả sử M(x, y) ñiểm thuộc ñồ thị mà tổng khoảng cách d = d1 + d2 d1 (tương ứng d2) khoảng cách từ M ñến tiệm cận ñứng (tương ứng tiệm cận xiên) bé
Ta có d1 = x−1, 2
2
4
x x 2
x 4
d
5 x 1
− − + − −
= =
− +
và d x
5 x = − +
−
Vậy
4
4
d x
5 x
≥ − =
−
Dấu xảy
4
4
x x
5 x
− = ⇔ = ±
−
4 d
5 = c) ðiểm M(x, y) thuộc đồ thị x ≠ y x
2 x
= − + −
Tổng khoảng cách từ M ñến trục
(11)22 11
( ) ( ) ( )
f x x x , x , 1,
2 x
= + − + − ∈ −∞ ∪ +∞
( )
( )
1
x x víi x 1,+
2 x
1
x x víi x ,
2 x
+ − + ∈ ∞ − − − + ∈ −∞ −
c1) Xét f(x) với x > 1
Ta có ( )
( )2
1
f ' x
2 x 1
= + −
− = ( )2
3
2 − x−1
f’(x) = ⇔ (x 1)2 4 3
− = ⇒ x − =
3 ,
2 x
3 = +
f’(x) < x 1,
∈ +
f’(x) >
2
x ,
3
∈ + +∞
Vậy ( )
x
2
min f x 1
2 3 > = + + + − +
x 3
2 = +
c2) Xét f(x) với ≤ x < Khi
( ) ( )
( )2
x 2
f x 1, f ' x
2 x x 1
= − − + = + > −
Vậy ( ) ( )
0 x
min f x f
≤ < = =
c3) Xét f(x) với x < Khi
( ) ( )
f x x x
2 x
= − − − + −
( )
( )2
3
f ' x
2 x 1
= − +
− , f ' x( )=0 ⇔
2 x
3 = −
f’(x) < x
< − f(x) > x > −
Vậy ( )
x
3 2
min f x 1
2 3 2
3 <
= − − + − = − +
−
So sánh ta thấy ( ) ( )
x
min f x f
≠ = =
d) Giả sử M(s, y(s)) N (t, y(t)) ñây t < < s điểm thuộc đồ thị Khi
( ) ( ) ( s()( t) )
y s y t s t
2 s 1 t
−
− = − +
− −
( )2 ( s()( t) )
MN s t s t
4 s 1 t
−
= − + − +
− −
(12)24 12
Nhưng ( )
( )( ) ( )
4 s t s t 16
s t s 1 t s 1 1 t
2
− −
≥ = −
− − − + −
, ñó
( )
2 16
MN s t s t
4 s t
≥ − + − + − =
( )
( )
2
2
5 64
s t
4 s t
− = − + + ≥
−
2 64
≥ =
Dấu ñạt ñược
( )
( )
2
2
s 1 t s t 2
5 64 4
s t s t
4 s t 5
− = −
+ =
⇔
− = − =
−
vậy o
4
4
s /
5
= + = +
o 4
2 t
5 = −