[r]
(1)thi vào chuyên ngữ Hà nội Năm học 2008-2009 (Ngày thi tháng năm 2008)
C©u Cho biĨu thøc
y x
y y x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
3
Chøng minh P nhận giá trị nguyên với x,y tho¶ m·n x,y>0,xy Gi¶i
Rót gän P
2
) (
2
) ( )
.(
2
) (
) (
2
3
y x
y y x
x y x
y x P
y x
y y x
xy x y x xy
y xy x
y x xy
y xy x
P
y x
y y x
xy x y x xy
y x y
x xy
y x P
y x
y y x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
P= ( đpcm)
Câu 2 1) Giải phơng trình :3 1 2 1 3 2
x x x
x
2) Tìm x,y nguyên thoả mÃn phơng trình: x2 -xy y +2 =0 Giải
1) ĐKXĐ xR
đặt x1u;3 x2v
1 :
) )( (
1
3
2
1 3
3
v hoac u
v u
uv v
u x
x x
x
Víi u=1 th× x=0
Víi v=1 x=-1
Vậy phơng trình có nghiệm x1=0;x2=-1
2) xÐt PT: x2 -xy –y +2 =0 (1) Coi phơng trình (1) phơng trình bậc Èn x tham
sè y
PT (1) có nghiệm nguyên số phơng
=y2 +4(y-2)=y2+4y-8 đặt =k2 (kZ)
Ta cã: y2+4y-8 =k2 (y+2)2-k2=12 (y-k+2)(y+k+2)=12
y-k+2;y+k+2 tính chẵn lẻ xÐt 12=2.6=(-2).(-6)
ta đợc nghiệm (x;y)=(-2;-6);(2;2); (-4;-6);(0;2).
* Có thể đa dạng (x+1)(y-x+1)=3
Câu 3
a)Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành
D
N
H
M K
C
O
(2)Ta cã
//
)1(
)90
(
)(
0
CH
BM
AMB
AM
BM
gt
AM
CH
MỈt kh¸c
)2(
)
(
)
(
)
90
(
BM
CH
BMK
CHK
dd
BKM
CKH
gt
KB
CK
BMK
CHK
Tõ (1 ) & (2) ta có tứ giác BHCM hình bình hành ( đpcm)
b) chøng minh OHCOHM
Ta cã CHM vuông H có CMH 450 nên CHM vuông cân t¹i H
suy CH=HM
xÐt tam gi¸c OCH;OHM cã:
.(
).
)
(
)
(
)
(
cc
c
OHM
OHC
chung
OH
cmt
HM
CH
bk
OM
OC
c) Chøng minh D,H,B thẳng hàng
Vì tứ giác BHCM hình bình hành nên BH//CM (3)
Ta lại có
HM
CH
OM
OC
OH lµ trung trùc cđa CM,mµ N thuộc OH nên NC=NM
Nên CNM cân N ,nªnCMN MCN cungCD=cungBM
) ( //CM BD CBD
MCB
tõ (3)& (4) ta có D,H,B thẳng hàng (đpcm)
Câu 4:Tìm nghiệm nhỏ -1 phơng trình
)
(
2
2
x x x
Gi¶i
) ( 1
1 ) (
) (
2
2
2
2
2 2
2 2
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
Đặt
x
x =t ta cã (1)
t2+2t-8=0 (t-2)(t+4)=0 t=2 hc t=-4
Với t=2 ta đợc phơng trình:x2-2x-2=0 có nghiệm lớn -1
Víi t=-4 ta có phơng trình :x2+ 4x +4 =0 có nghiệm x=-2 thoả mÃn điều
kiện
Câu 5
Cho a,b số không âm thoả mÃn 2
b
a
HÃy tìm giá trị lớn biểu thøc :
) ( ) (
3b a b b a b a a
M
Gi¶i
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpsky cho dãy Dãy : a ; b
(3)
12 3( )
36) 12 (
) 6 )( (
) ) ( ) ( (
2 2
2
2 2
M b
a ab
M
b ab a
ba b a a
b a b b a b a
VËy giá trị lớn biểu thức M=6
1 ;
0 ,
2
) ( ) (
2
b a b
a b a
b a
a b a
b b
a b