HD chuyen ngu 2008

[r]

thi vào chuyên ngữ Hà nội Năm học 2008-2009 (Ngày thi tháng năm 2008)

C©u Cho biĨu thøc

y x

y y x

y x x y y x

y x x

y y x

y x P

       

  

   





3

Chøng minh P nhận giá trị nguyên với x,y tho¶ m·n x,y>0,xy Gi¶i

Rót gän P

2

) (

2

) ( )

.(

2

) (

) (

2

3

    

 

       

  

  

 

 



       

  

  

  

       

  

   

 

y x

y y x

x y x

y x P

y x

y y x

xy x y x xy

y xy x

y x xy

y xy x

P

y x

y y x

xy x y x xy

y x y

x xy

y x P

y x

y y x

y x x y y x

y x x

y y x

y x P

P= ( đpcm)

Câu 2 1) Giải phơng trình :3 1 2 1 3 2

     

 x x x

x

2) Tìm x,y nguyên thoả mÃn phơng trình: x2 -xy y +2 =0 Giải

1) ĐKXĐ xR

đặt x1u;3 x2v

1 :

) )( (

1

3

2

1 3

3

 

    

          

v hoac u

v u

uv v

u x

x x

x

 Víi u=1 th× x=0

 Víi v=1 x=-1

Vậy phơng trình có nghiệm x1=0;x2=-1

2) xÐt PT: x2 -xy –y +2 =0 (1) Coi phơng trình (1) phơng trình bậc Èn x tham

sè y

PT (1) có nghiệm nguyên số phơng

=y2 +4(y-2)=y2+4y-8 đặt =k2 (kZ)

Ta cã: y2+4y-8 =k2 (y+2)2-k2=12 (y-k+2)(y+k+2)=12

y-k+2;y+k+2 tính chẵn lẻ xÐt 12=2.6=(-2).(-6)

ta đợc nghiệm (x;y)=(-2;-6);(2;2); (-4;-6);(0;2).

* Có thể đa dạng (x+1)(y-x+1)=3

Câu 3

a)Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành

D

N

H

M K

C

O

Ta cã // )1( )90

( )(

0 CH BM

AMB AM BM

gt AM CH

 

 

   

MỈt kh¸c )2(

) ( ) (

) 90

(

BM CH BMK CHK dd

BKM CKH

gt KB CK

BMK CHK

      

   

  



   

Tõ (1 ) & (2) ta có tứ giác BHCM hình bình hành ( đpcm)

b) chøng minh OHCOHM

Ta cã CHM vuông H có CMH 450 nên CHM vuông cân t¹i H

suy CH=HM

xÐt tam gi¸c OCH;OHM cã: .( ).

) (

) (

) (

cc c OHM OHC chung

OH

cmt HM CH

bk OM OC

    

   

 

c) Chøng minh D,H,B thẳng hàng

Vì tứ giác BHCM hình bình hành nên BH//CM (3)

Ta lại có

  

 

HM CH

OM OC

OH lµ trung trùc cđa CM,mµ N thuộc OH nên NC=NM

Nên CNM cân N ,nªnCMN MCN  cungCD=cungBM

) ( //CM BD CBD

MCB  



 tõ (3)& (4) ta có D,H,B thẳng hàng (đpcm)

Câu 4:Tìm nghiệm nhỏ -1 phơng trình

)

(

2

2 

 

x x x

Gi¶i

) ( 1

1 ) (

) (

2

2

2

2

2 2

2 2

        

        

 

  

          

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x x

Đặt

x

x =t ta cã (1)

 t2+2t-8=0 (t-2)(t+4)=0 t=2 hc t=-4

 Với t=2 ta đợc phơng trình:x2-2x-2=0 có nghiệm lớn -1

 Víi t=-4 ta có phơng trình :x2+ 4x +4 =0 có nghiệm x=-2 thoả mÃn điều

kiện

Câu 5

Cho a,b số không âm thoả mÃn 2

 b

a

HÃy tìm giá trị lớn biểu thøc :

) ( ) (

3b a b b a b a a

M    

Gi¶i

áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpsky cho dãy Dãy : a ; b

12 3( ) 36

) 12 (

) 6 )( (

) ) ( ) ( (

2 2

2

2 2

      

 

   

 

 

M b

a ab

M

b ab a

ba b a a

b a b b a b a

VËy giá trị lớn biểu thức M=6

1 ;

0 ,

2

) ( ) (

2

  

      

 

  

 

 



b a b

a b a

b a

a b a

b b

a b