Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AHCE.. Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE.[r]
(1)Bài tập phần rút gọn Baøi :
1) Đơn giản biểu thức : P = 14 5 14 5 2) Cho biÓu thøc : Q = x x x
x
x x x
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm x để Q > - Q
c) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên H
íng dÉn : 1 P =
2 a) §KX§ : x > ; x BiĨu thøc rót gän : Q =
1
x
b) Q > - Q x > c) x = 2;3 th× Q Z
Bài : Cho biĨu thøc P = x x1 x x a) Rót gän biĨu thøc sau P
b) Tính giá trị biểu thức P x =
H
íng dÉn : a) §KX§ : x > ; x BiĨu thøc rót gän : P =
x x
1
b) Víi x =
2 th× P = - – 2 Baøi : Cho biÓu thøc : A =
1 1
1
x x x
x x
a) Rót gọn biểu thức sau A
b) Tính giá trị cđa biĨu thøc A x =
4
c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A
H
íng dÉn : a) §KX§ : x 0, x BiĨu thøc rót gän : A =
1
x x
b) Víi x = 41 th× A = -
c) Víi x < th× A < d) Víi x > th× A = A
Bài : Cho biÓu thøc : A = 1
a a a
a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A >
2
H
(2)a) §KX§ : a > vµ a9 BiĨu thøc rót gän : A =
3
a
b) Víi < a < th× biĨu thøc A >
2
Bài : Cho biÓu thøc: A =
2
x x x 4x x 2003
x x x x
1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A
3) Với x Z ? để A Z ?
H
íng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠
b) BiĨu thøc rót gän : A = x x2003
víi x ≠ ; x ≠ c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z
Bài : Cho biĨu thøc: A = x x x x :2 x x 1 x
x x x x
a) Rót gän A
b) Tìm x để A <
c) Tìm x ngun để A có giá trị ngun
H
íng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A =
1
x x
b) Víi < x < th× A <
c) x = 4;9 th× A Z
Bài : Cho biĨu thøc: A = x x : x
2
x x x x 1 x
a) Rót gän biĨu thøc A
b) Chøng minh r»ng: < A <
H
íng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A =
1
x
x b) Ta xÐt hai trêng hỵp :
+) A >
1
x
x > với x > ; x ≠ (1)
+) A <
1
x
x < 2(x x1) > x x > theo gt x > (2) Từ (1) (2) suy < A < 2(đpcm)
Baøi : Cho biÓu thøc: P = a a a 4 a
a a
(a 0; a 4)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P víi a =
H
íng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 4 BiĨu thøc rót gän : P =
2
(3)Bài : Cho biĨu thøc: N = a a a a
a a
1) Rót gän biĨu thøc N
2) Tìm giá trị a để N = -2004
H
íng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 1 BiĨu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005
Bài 10 : Cho biĨu thøc
3 x 3 x 1 x x 2 3 x 2 x 19 x 26 x x P
a Rót gän P
b TÝnh gi¸ trÞ cđa P x7 4 3
c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ H
íng dÉn : a ) §KX§ : x 0, x 1 BiĨu thøc rót gän :
3 x 16 x P b) Ta thÊy x7 4 3 §KX§ Suy
22 3 3 103
P c) Pmin=4 x=4
Baøi 11 : Cho biÓu thøc
2 : 3 3 x x x x x x x x P
a Rút gọn P b Tìm x để
2 1
P c Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P H
íng dÉn : a ) §KX§ : x 0, x 9 BiĨu thøc rót gän :
3 x 3 P
b Víi 0x9 th×
2 1
P
c Pmin= -1 x =
Bµi 12: Cho A= 1
1
a a
a a
a a a
víi x>0 ,x1 a Rót gän A
b TÝnh A víi a = 4 15 10 4 15 ( KQ : A= 4a )
Bµi 13: Cho A= :
9
x x x x x
x x x x x
víi x0 , x9, x4 a Rót gän A
b x= ? Thì A < c Tìm x Z để A Z
(KQ : A=
2 x ) Bµi 14: Cho A = 15 11 2
2 3
x x x
x x x x
(4)a Rót gän A
b Tìm GTLN A c Tìm x để A =
2
d CMR : A
3
(KQ: A =
3 x x
)
Bµi 15: Cho A = 1
1 1
x x
x x x x x
víi x0 , x1 a Rót gän A
b T×m GTLN cđa A ( KQ : A =
1 x x x
) Bµi 16: Cho A =
1 1
x x x x x víi x0 , x1 a Rót gän A
b CMR : 0 A ( KQ : A =
1 x x x
)
Bµi 17: Cho A = : 25
25 15
x x x x x
x x x x x
a Rót gän A
b Tìm x Z để A Z
( KQ : A =
5 x ) Bµi 18: Cho A =
5
a a a
a a a a
víi a 0 , a9 , a4 a Rót gän A
b Tìm a để A <
c Tìm a Z để A Z ( KQ : A =
3 a a
)
Bµi 19: Cho A= : 2
4 2
x x x x x
x x x x x
víi x > , x4 a Rót gän A
b So s¸nh A víi
A ( KQ : A = x
x
)
Bµi20: Cho A =
2
3
: x y xy
x y
x y
y x
x y x y
(5)b. CMR : A 0 ( KQ : A = xy
x xyy )
Bµi 21 : Cho A = 1 1
1
x x x x x x
x
x x x x x x x
Víi x > , x1 a Rót gän A
b Tìm x để A = ( KQ : A = 2x x 1
x
)
Bµi 22 : Cho A =
4
:
2
2
x x x
x x x
x x
víi x > , x4 a Rót gän A
b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A = 1 x)
Bµi 23 : Cho A= 1 : 1
1 x x x x x
víi x > , x1 a Rót gän A
b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A =
2 x )
Bµi 24 : Cho A= 3 1 :
1
1
x x
x x x
x
víi x0 , x1 a Rót gän A
b Tìm x Z để A Z (KQ: A =
3 x x
)
Bµi 25: Cho A= 2 :
1
1 1
x
x
x x x x x x
víi x0 , x1 a Rót gän A
b Tìm x Z để A Z
c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A =
1 x x
)
Bµi 26 : Cho A = 3 : 2
9
3 3
x x x x
x
x x x
víi x0 , x9 a Rót gän A
b Tìm x để A < -1
2
( KQ : A =
3 a
)
Bµi 27 : Cho A = 1 :
1
1 1
x x x x x
x x
x x x
(6)b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A =
4 x x
) c CMR : A 1
Bµi 28 : Cho A = 1 :
1
x
x x x x x
víi x > , x1
a Rót gän A (KQ: A = x
x
) b.So s¸nh A víi
Bµi 29 : Cho A = 1 :
9
3 3
x x x
x
x x x
Víi 0,
9
x x
a Rút gọn A b Tìm x để A =6
5
c Tìm x để A <
( KQ : A =
3
x x
x
)
Bµi30 : Cho A =
2
2 2
1 2
x x x x
x x x
víi x0 , x1 a Rót gän A
b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 2
d T×m GTLN cđa A (KQ: A = x(1 x) )
Bµi 31 : Cho A = :
2
1 1
x x x
x x x x x
víi x0 , x1
a Rót gän A
b CMR nÕu x0 , x1 th× A > , (KQ: A =
1 x x ) Bµi 32 : Cho A = :
1
1
x x
x x
x
víi x > , x1, x4 a Rót gän
b Tìm x để A =
2
Bµi 33 : Cho A = :
1
1
x x x x
x x
x x
víi x0 , x1 a Rót gän A
b TÝnh A x= 0,36
c Tìm x Z để A Z
Bµi 34 : Cho A= : 2
1
x x x x
x x x x x
(7)a Rót gän A
b Tìm x Z để A Z
c Tìm x để A < (KQ: A =
1 x
x
)
BAØI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài :
1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành
H
ớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b
Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta có hệ pt :
b a
b a
4 2
1 3
b a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = 3x –
2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
3
Baøi : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m +
1) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến
2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + 2; y = 2x – đồng quy H
íng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + m – < m <
2) Do đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Suy : x= 3; y = Thay x= 3; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m =
4
3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + 2; y = 2x – nghiệm hệ pt:
1 2
2
x y
x y
(x;y) = (1;1)
Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2và y = 2x – đồng quy cần: (x;y) = (1;1) nghiệm pt : y = (m – 2)x + m +
Víi (x;y) = (1;1) m =
2
Bài : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m +
1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1; -4)
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m H
íng dÉn :
1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần: m – = - m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc: m = -3 Vậy với m = -3 đồ thị hàm số qua điểm (1; -4)
(8)y0 = (m – 1)x0 + m + (x0 – 1)m - x0 - y0 + =
2 1
0
y x
Vậy với m đồ thị qua điểm cố định (1;2)
Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB
2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng
AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2)
H
ớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b
Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) (2 ;-1) ta có hệ pt :
b a
b a
2 1 1
3 2
b a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = - 2x +
2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua
điểm C(0 ; 2) ta cần :
2 2 2
2 3
2
m m
m m
m =
Vậy m = đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời đi
qua ®iĨm C(0 ; 2)
Baứi : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 2 1 H
íng dÉn : 1) m =
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0 ;y0) Ta có
y0 = (2m – 1)x0 + m - (2x0 + 1)m - x0 - y0 - =
2 5 2
1
0
y x
Vậy với m đồ thị ln qua điểm cố định (
2 ;
1
) Baứi : Tìm giá trị k để đờng thẳng sau:
y = x
; y = 4x
vµ y = kx + k + cắt mét ®iĨm
(9)Baứi : Cho hàm số: y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D): 1) Đi qua điểm A(1; 2003)
2) Song song với đờng thẳng x – y + =
Chủ đề : Phơng trình – bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn
A kiÕn thøc cÇn nhí : Phơng trình bậc : ax + b = Ph
ơng pháp giải :
+ Nếu a phơng trình có nghiệm : x =
b a
+ Nếu a = b phơng trình vô nghiệm
+ Nếu a = b = phơng trình có vô số nghiệm 2 Hệ phơng trình bậc hai ẩn :
c' y b' x a'
c by ax Ph
ơng pháp giải :
Sử dụng c¸c c¸ch sau :
+) Phơng pháp : Từ hai phơng trình rút ẩn theo ẩn , vào phơng trình thứ ta đợc phơng trình bậc ẩn
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số ẩn (làm cho ẩn hệ có hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn
- Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai B VÝ dô minh họa :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình sau :
a)
2 x
x -x
x
§S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = 4
b)
1 x x
1 -2x
3
=
Giải : ĐKXĐ : x3 x 1
≠ (*)
Khi :
1 x x
1 -2x
3
= 2x = - x =
3
Víi x =
2
thay vµo (* ) ta cã (
2
)3 +
2
+ ≠ VËy x =
2
lµ nghiƯm
Ví dụ 2 : Giải biện luận phơng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – = (1)
+ NÕu m 2 th× (1) x = - (m + 2) + Nếu m = (1) vô nghiệm
Ví dụ 3 : Tìm m Z để phơng trình sau có nghiệm ngun (2m – 3)x + 2m2 + m - = 0.
Gi¶i :
Ta cã : víi m Z 2m 0 , vây phơng trình có nghiÖm : x = - (m + 2) -
3 -m
4
(10)để pt có nghiệm ngun 2m –
Giải ta đợc m = 2, m =
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 7x + 4y = 23 Gi¶i :
a) Ta cã : 7x + 4y = 23 y =
4 7x -23
= – 2x +
4 x V× y Z x –
Giải ta đợc x = y =
BÀI TẬP PHẦN HE PHệễNG TRèNH Baứi : Giải hệ phơng trình:
a) 2x 3y
3x 4y
b) x 4y
4x 3y
c) 2x y
5 y 4x
d) x y
x y
e) 2x
4x 2y
f)
2
2
x x y
3
1,
x x y
Baứi : Cho hệ phơng trình :
mx y
x my
1) Giải hệ phơng trình theo tham số m
2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
H
íng dÉn : Bài : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
x 2y m
2x y 3(m 2)
1) Giải hệ phơng trình thay m = -1
2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Baøi : Cho hệ phơng trình: (a 1)x y a
x (a 1)y
cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y)
1) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức 2x 5y x y
nhận giá trị nguyên Baứi : Cho hệ phơng trình:
x ay (1) ax y
1) Gi¶i hƯ (1) a =
(11)Baứi : Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình mx y n
nx my
cã nghiƯm lµ 1; 3
Baứi : Cho hệ phơng trình a x y
ax y 2a
(a tham số)
1) Giải hệ a =
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y
Bài (trang 22): Cho hệ phơng trình :
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m tham số) a) Giải hệ m = -1
b) Giải biện luËn pt theo m
Baøi : (trang 24): Cho hệ phơng trình :
1 m 4y mx
0 y m -x
(m lµ tham sè) a) Gi¶i hƯ m = -1
b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y >
Bài 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng.
Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau 454 đầy bể.
Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai sau 56 bể Nếu vịi thứ hai chảy bể
Đáp số : giờ.
Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C.
Hường dãn : Ta có hệ pt :
400 20y 100x
10 y x
7,5 y
(12)Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y khối lượng dung dịch ban đầu
Theo ta có hệ pt :
% 40 % 100 . 500 y
200) (
% 50 % 100 . 200 y
200) (
x x
1000 y
400 x
Vaọy nồng ủoọ phần traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40% Phơng trình bậc hai định lý viet ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ
1.Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét trường hợp
a) Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm
- vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a 0
Lập biệt số = b2 – 4ac / = b/2 – ac
* < (/ < ) phương trình (1) vơ nghiệm
* = (/ = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - a b
2 (hoặc x1,2 =
-a b/
) * > (/ > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt:
x1 = a b
2
; x
2 = a b
2
(hoặc x1 = a b/ /
; x
2 = a b/ /
)
2.Định lý Viét.
Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0)
S = x1 + x2 = - a b
p = x1x2 = a c
Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai sốđó l nghim (nu có ) phơng trình bậc 2:
x2 – S x + p =
3.Dấu nghiệm số phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phơng trình Ta
có kết sau:
(13)Hai nghiƯm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) 0 0 0 S p
Hai nghiƯm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0)
0 0 0 S p
Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm d¬ng( x2 > x1 = 0)
0 0 0 S p
Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm ©m (x1 < x2 = 0)
0 0 0 S p
4.Vài toán ứng dụng nh lý Viột a)Tớnh nhm nghim.
Xét phơng trình bËc hai: ax2 + bx + c = (a 0)
NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 =
a c
NÕu a b + c = phơng trình cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = -
a c
NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m
b) Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 nó
Cách làm : - LËp tæng S = x1 + x2
- LËp tÝch p = x1x2
- Phơng trình cần tìm : x2 S x + p =
c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc
(Các điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*) 2 1 x x x x x x = p S *) 2 2 1 2 x x x x x x x x = p p S2
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*) 2
2 2 ) )( ( 1 a aS p a S a x a x a x x a x a
x
(14)d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trc Tỡm nghim
thứ 2 Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm: 0 (hoặc /
) (*)
- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá trị
tham sè
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc /
) mà ta thay lu«n
x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số
- Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình cho mà phơng trình bậc hai có < kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc
Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên)
+) Cách :Thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ
+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm đợc nghiệm thứ
B Bµi tËp áp dụng
Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i.
Ta cã /
= (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – + NÕu /
> m2 – > m < - m > Phơng trình cho có nghiệm phân biệt:
x1 = m + - m2 x2 = m + + m2 + NÕu / = m = 3
- Với m =3 phơng trình có nghiệm x1.2 =
- Với m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2
+ NÕu /
< -3 < m < phơng trình vô nghiệm Kết kuận:
Với m = phơng trình có nghiƯm x = Víi m = - phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - m > phơng trình có nghiệm phân biệt x1 = m + - m2 x2 = m + + m2
Víi -3< m < phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m – = 0
Híng dÉn
Nếu m – = m = phơng trình cho có dạng - 6x – = x = -
2
* Nếu m – 0 m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số /
= m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu /
= 9m – 18 = m = phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 = -
3
2 /
a b
= - - NÕu /
(15)x1,2 =
3
m m m
- NÕu / < m < Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = phơng trình có nghiệm x = -
2
Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 = x2 = -2
Víi m > m phơng trình có nghiÖm x1,2 =
3
m m m
Víi m < phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh a) 2x2 + 2007x – 2009 =
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3 5)x - 15 =
d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Gi¶i
a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) =
Vậy phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = , x2 =
2 2009
a c
b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biÖt: x1 = -1 ,
x2 = -
17 204
a c
= - 12 c) x2 + ( 3 5)x - 15 = cã: ac = - 15 <
Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :
x1 + x2 = -( 3 5) = - +
x1x2 = - 15 = (- 3)
Vậy phơng trình có nghiệm x1 = - , x2=
(hc x1 = , x2 = - 3)
d ) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = cã : ac = - 6 7 <
Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có
) 7 3(-2 7 6 - x x
7 2 - 3 x x
2
2
Vậy phơng trình có nghiệm x1 = , x2 = -
Bµi 4 : Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = 0
Híng dÉn :
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + =
Suy : x1 =
Hc x2 =
3
m
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)
(16)* m – m (*) 2 m m x x
Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x =
a) TÝnh:
A = x12 + x22 B = x1 x2
C= 1 1 x
x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
b) lập phơng trình bậc có nghiệm
1
1
x vµ
1
2
x Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình có hai nghiệm ph©n
biƯt x1 , x2
Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1 x2 = S2 4p 37
+ C =
1 1 x
x =
1 ) )( ( ) ( 2 S p S x x x x + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2
= 10x1x2 + (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta cã : S = 1 1 x
x (theo c©u a)
p = 1 ) )( (
x p S
x VËy
1
1
x vµ
1
2
x nghiệm hơng trình : X2 – SX + p = X2 +
9
X -
9
= 9X2 + X - = 0 Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)
1 Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >
Giải Phơng trình (1) phơng trình bậc hai cã:
= (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -
5 k + ) = 5(k2 – 2.
5 k + 25 + 25 36
) = 5(k -
5
) +
5 36
> với giá trị k Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < - k2 + k – < - ( k2 – 2.
2 k + +
(17) -(k -
2
)2 -
4
< với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với k
3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –
x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
= (k – 1)[(2k -
4
)2 +
16 87
] Do x13 + x23 > (k – 1)[(2k -
4
)2 +
16 87
] > k – > ( v× (2k -
4
)2 +
16 87
> víi mäi k) k >
Vậy k > giá trị cần tìm Bài 7:
Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số)
1 Giải phơng tr×nh (1) víi m = -5
2 Chøng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi m
3 Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phơng trình (1) nói
phần 2.)
Giải
1 Với m = - phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x
1 = , x2 = -
2 Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +
= m2 + 2.m.
2
+
4
+
4 19
= (m +
2
)2 +
4 19
> với m Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2
3 Vì phơng trình có nghiệm với m ,theo hệ thức ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –
Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +
2
)2 +
4 19
] => x1 x2 =
4 19 )
(
m
4 19
= 19 m +
2
= m = -
2
Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ 19 m = -
2
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè)
1) Giải phơng trình m = -
2
2) Chứng minh phơng trình cho có nghim vi mi m
3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm
Gi¶i: 1) Thay m = -
2
vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2=
2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành; 5x – = x =
+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số : = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 >
(18)x1 = ) ( m m
=
4 m m
x2 =
2 ) ( ) ( ) ( m m m m m m
Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m
3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp
Trêng hỵp : 3x1 = x2 =
2 m m
giải ta đợc m = -
2
(đã giải câu 1) Trờng hợp 2: x1 = 3x2 1=
2 m m
m + = 3m – m =
2 11
(tho¶ m·n ®iỊu kiƯn m - 2)
KiĨm tra l¹i: Thay m =
2 11
vào phơng trình cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm
x1 = , x2 =
15
=
3
(thoả mÃn đầu bài)
Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè
1 Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu
3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải
1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = x =
4
+ NÕu m 0 LËp biÖt sè /
= (m – 2)2– m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m
= - m +
/
< - m + < m > : (1) v« nghiƯm
/
= - m + = m = : (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 =
-2 2 / m m a b /
> - m + > m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt x1 =
m m
m 2 4 ; x =
m m m 2 4
VËy : m > : phơng trình (1) vô nghiệm
m = : phơng trình (1) Cã nghiÖm kÐp x =
2
m < : phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 =
m m
m 2 4 ; x =
m m m 2 4
m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
2 (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu a c
< m m
(19) 0 0 3 0 0 3 m m m m 0 3 0 3 m m m m Trêng hỵp 0 3 m m
không thoả mÃn
Trờng hợp 0 3 m m
< m <
3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/
m (*) (ở câu a có) - Thay x = vào phơng trình (1) ta có :
9m – 6(m – 2) + m -3 = 4m = -9 m =
-4
Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =
-4
thoả m·n
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện / mà thay x = vào (1) để tìm đợc m =
-4
.Sau thay m =
-4
vào phơng trình (1) :
-4
x2 –
2(-4
- 2)x -
4
- = -9x2 +34x – 21 = 0
cã / = 289 – 189 = 100 > => x x
VËy víi m =
-4
phơng trình (1) có nghiệm x= *)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm
Cách 1: Thay m = -
4
vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 =
9
(Nh phần làm)
C¸ch 2: Thay m =
-4
vào công thức tính tổng nghiệm:
x1 + x2 =
(20) x2 =
9 34
- x1 =
9 34
- =
9
C¸ch 3: Thay m = -
4
vào công trức tính tÝch hai nghiÖm
x1x2 =
9 21
9
m m
=> x2 =
9 21
: x1 =
9 21
: =
9
Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x12 + x22 = 10
Giải. 1.Phơng trình (1) có nghiệm kép /
= k2 – (2 – 5k) = k2 + 5k – = ( cã
= 25 + = 33 > ) k1 =
2 33 5
; k
2 =
33 5
VËy cã giá trị k1 =
33
hc k
2 =
33 5
phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có cách giải
Cỏch 1: Lp iu kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/
k2 + 5k – (*) Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10
Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = -
a b
- 2k vµ x1x2 = – 5k
VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – = 0
(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -
2
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k –
+ k1 = => / = + – = > ; tho¶ m·n
+ k2 = -
2
=> /=
8 29
8 70 49 2 35 49
không thoả mÃn
Vậy k = giá trị cần tìm
Cách : Không cần lËp ®iỊu kiƯn /
Cách giải là: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = -
2
(cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 =
+ Víi k2 = -
2
(1) => x2- 7x +
2 39
= (cã = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình vô nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm
BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài : Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gäi x
1 vµ x2 lµ hai nghiệm phơng trình Không giải
phơng trình, hÃy tÝnh: 1) x12 + x22
(21)3)
2
1 x
2 2
1 2
x x x x x x
x x x x
Baứi : Cho phơng trình: 2x2 5x + = 0.
TÝnh x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 hai nghiệm phơng trình)
Baứi : Cho phơng trình bậc hai:
x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0
1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm ca phng trỡnh)
Baứi : Cho phơng trình:
x2 – 2mx + 2m – = 0.
1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để:
x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8
Baứi : Cho phơng trình:
x2 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m =
2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 =
Baứi : Cho phơng trình: x2 + 4x + = (1)
1) Giải phơng trình (1)
2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tính B = x13 + x23
Baứi : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè).
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23
Baứi : Cho phơng trình:
(m – 1)x2 + 2mx + m – = (*)
1) Giải phơng trình m =
2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt Câu9 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có
,
= m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)
víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=
1
1
m m m
=
1
1
m pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<
1
1
m <0
0 1 2
0 1 1 2
1
m
m =>
0 1 2
0 1 2
2
m m m
=>m<0
(22)GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Baứi : Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ giờ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô
Hướng dẫn : Gọi vận tốc ôtô thứ x (km/h ĐK x > 0) Ta có : Vận tốc tô thứ hai : x – 10 (km/h)
Do ôtô thứ đến B sớm ôtô thứ hai ta có phương trình : x 300 -10 -x
300
Giải ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60
Đáp số : Vận tốc ôtô thứ : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h
Baứi : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km qng đờng cịn lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB
Hướng dẫn : Gọi x quảng đường AB (Km ĐK x > 0)
Theo giả thiết tốn ta có phương trình : 3.x40 50 21 50
2
x
x
Giải ta được: x = 300 (tmđk)
Vậy quảng đường AB : 300km
Baứi : Hai vịi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Neỏu chảy thời gian nh lợng nớc vịi II 2/3 lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể
H
íng dÉn : Gäi x, y lÇn lợt thời gian vòi I, vòi II chảy đầy bể
Theo ta có hệ phơng trình :
2y 3 x 1
24 5 y 1 x
1
Giải ta đợc :
8 x
12 y
(tmđk)
Đáp số : Vòi chảy đầy bể
Vòi chảy đầy bể 12
Bai : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
H
íng dÉn : Gäi quảng đường AB x (km), thời gian dự định y(giờ) ĐK : x > 0, y >
Theo baøi ta có hệ pt :
x 1) -50(y
x 2) y ( 35
suy : 35y + 70 = 50y -50 y = (TMĐK) Thay vào hệ ta x = 350 (TMĐK)
(23)Baứi : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ơtơ thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô?
Hướng dẫn : Gäi x (km) vận tốc ca ôtô thứ ĐK x > 0. Theo gt toán ta có pt:
15 x
180 x
180
Giải ta đợc: x = 30; x = -45(loi)
Đáp số: Vận tốc ôtô thø hai : 30 (km/h) VËn tèc «t« thø nh©t: 45 (km/h)
Baứi : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng đ ợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc nhau; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ
Gi¶i: Gäi sè học sinh nam x (em) ĐK: x nguyên dơng, x 13 Theo gt ta có pt:
x -13
40 x
40
3x2 – 119x + 520 = ( = 89)
Giải ta đợc: x =
6 89
119
(loại); x = (TMĐK)
§¸p sè: Sè HS nam: (em) Sè HS n÷: em
Baứi : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc ụ tụ
Giải: Gọi vận tốc lúc x (km/h) ĐK: x > Theo gt ta cã pt: 10
5 -x 180 x 180
17x2 – 805x + 1800 = ( = 725)
Giải ta đợc: x =
34 725 805
(loại) ; x = 45 (TMĐK)
Đáp số: Vận tốc lúc : 45 (km/h)
Baứi : Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dịng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ
Giải: Gọi vận tốc thực canô x (km/h) §K x > Theo gt bµi ta cã pt:
4 -x
16 x
24
2x
2 – 40x = 0
Giải ta đợc: x = (loại); x = 20
Đáp số: Vận tốc thực canô : 20 (km/h) Baứi : Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe
Gi¶i: Gäi vËn tèc cđa xe thứ hai x (km/h) ĐK x > Theo gt bµi ta cã pt:
5 108 x
108
x x2 + 6x – 3240 = ( ' = 57 ) Giải ta đợc: x = - 60 (loại) ; x = 54
(24)nh
Giải: Gọi x số công nhân lúc đầu ( công nhân) ĐK: x nguyên dơng, x > Theo gt bµi ta cã pt :
x 360 x
360
x
2 – 3x – 270 = ( = 33 )
Giải ta đợc: x = -15 (loại); x =18
Đáp số: Số công nhân lúc đầu: 18 ( công nhân)
Bai 12 : Ba bình tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 1/3 thể tích Tìm thể tích bình
Gi¶i: Gäi x, y, z (lÝt) theo thø tù lµ thĨ tÝch cđa ba bình ĐK: x,y, z >
Theo gt bµi ta cã hpt:
z y
y z x
120 z y x
x
30 z
40 y
50 x
(TMĐK)
Đáp số: Bình thứ có thĨ tÝch: 50 (lÝt) B×nh thø hai cã thĨ tÝch: 40 (lÝt) B×nh thø ba cã thĨ tÝch : 30 (lÝt)
Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km
Giải: Gọi x (giờ) thời gian từ A đến C ĐK : x > Theo gt ta có pt: 10x + 14(x – 2) = 56
Giải ta đợc: x =
2
3 (TMĐK)
Đáp số: Gặp lúc: 10h15 Cách A : 35 (km)
Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ng ợc từ B trở A Thời gian đi xuôi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nơ khơng đổi, vận tốc dịng nớc 3km/h
Giải: Gọi x (km) quảng đờng AB ĐK: x > Theo gt ta có pt:
24 x 30
x
Giải ta đợc: x = 80 (TMĐK)
Đáp số: Quảng đờng AB: 80 (km)
Baứi 15 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp Giải: Gọi x (km/h) vận tốc ngời xe đạp ĐK x >
Theo gt bµi ta cã pt: 50x 2,5x50 25
Giải ta đợc: x = 12 (TMĐK)
Đáp số: Vận tốc ngời xe đạp : 12 (km/h) Vận tốc ngời xe máy: 30(km/h)
Baứi 16 : Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng bằng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có ghế?
(25)Theo gt bµi ta cã pt : (x + 1)( 1)
x 360
= 400 x2 – 39x –360 = ( = )
Giải ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK) Đáp số : Có thể xảy khả
+) KN : Phßng häp cã 24 d·y ghế dÃy có 15 ghế +) KN : Phòng họp có 15 dÃy ghế dÃy có 24 ghế
Bai 17 : Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ ngời thứ làm họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc giời xong?
Gi¶i: Gäi x, y (giờ) lần lợt thời gian ngời làm hoàn thành công việc ĐK x, y >
Theo gt bµi ta cã hpt:
4 1 y 6 3
16 1 y 1 1
x x
48 y
24 x
(TM§K)
Đáp số : Ngời thứ hồn thành cơng việc trong: 24 Ngời thứ hai hoàn thành công việc trong: 48 Baứi 18 : Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m , xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật
Gi¶i: Gäi x, y (m/s) lần lợt vận tốc hai vật §K x > y >
Theo gt bµi ta cã hpt:
10y 62.8 10x
62,8 2y 2x
13 y
18,84 x
(TMĐK)
Đáp số: Vận tốc hai vât lần lợt : 18,84 (km/h); 13 (km/h)
Baứi 19 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ v-ợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc sản phẩm
Giải: Gọi x, y lần lợt sản phẩm tổ tổ làm đợc tháng thứ ĐK: x, y nguyờn d-ng
Theo gt toán ta cã hpt:
145 100 20y 100 15x
800. y x
500 y
300 x
(TMĐK)
Đáp số: Trong tháng 1:
Tổ sản xuất đợc 300 (sản phẩm) Tổ sản xuất đợc 500 (sản phẩm)
Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày
Tính số chi tiết máy dự định sản xuất
Giải: Gọi x số chi tiết mà nhà máy dự định làm ĐK: x ngun dơng Theo gt tốn ta có pt:
400 600 x 300
x
x = 3000 (TM§K)
(26)Bài 21: Một ca nô xuôi dòng 42km ngợc dòng trở lại 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc dòng chảy 2km/h Tìm vận tốc ca nô lúc dòng nớc yên lặng
Giải: Gọi x vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK: x > 2) Theo gt toán ta có pt:
2 -x
20 x
42
5x
2 - 62x + 24 = ( '= 29)
Giải ta đợc: x =
5
(loại); x = 12
Đáp số : Vậy vận tốc ca nô lúc n ớc yên lỈng : 12 (km/h)
Bài 22: Một đội xe cần chun chở 120 hàng Hơm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?
Giải: Gọi x số xe đội lúc đầu (xe ĐK: x > 2) Theo gt tốn ta có pt: 16
x 120 x
120
x
2 - 2x -15 = ( '= 4)
Giải ta đợc: x = - (loại) ; x =
Đáp số: Vậy đội xe có xe
Bài 23: Hai tô khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc tơ thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km
Giải: Gọi x vận tốc ôtô thứ hai (Km/h ĐK: x > 0) Theo gt to¸n ta cã pt:
3 x 240 x
240
5x
2 - 60x – 8640 = ( '=210)
Giải ta đợc: x = -36 (loi); x = 48
Đáp số: Vận tốc «t« thø hai : 48 km/h VËn tèc ôtô thứ : 60 km/h
Bài 24: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?
Giải: Gọi x th
Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc số sân trờng
Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ
Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đợc tổ hai gấp đôi số tổ
Hỏi tổ trng c bao nhiờu cõy?
Bài 25: Hai ô tô A B khởi hành lúc từ hai tỉnh cách 150km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cđa « t« A tăng thêm 5km/h vận tốc ô tô B giảm 5km/h vận tốc ô tô A lần vận tốc ô tô B
Bi 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã ó
bán cho nhà nớc Biết lần số thóc hợp tác xà thứ bán cho nhà nớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xà thứ hai bán 280
ôn tập hình học 9
Phần 1: hình học phẳng I.Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tp hp cỏc im cách điểm cho trớc khoảng cách R > khơng đổi gọi đờng trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của điểm với đờng tròn : xét (0 ; R ) điểm M
(27)M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ; R) OM = R
M n»m ( O ; R ) OM < R
* Của đờng thẳng với đờng tròn :
xét ( O ; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a c¾t ( O ; R ) d < R
a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R
a vµ ( O ; R ) kh«ng giao
nhau d > R
* Của hai đờng tròn :
xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt R – r < d < R- r
Hai đờng trịn tiếp xúc :
+ tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc :
1
d = R + r d = R – r Hai đờng trịn khơng giao
nhau :
+hai đờng trịn ngồi :
+đờng trịn lớn đựng đờng tròn nhỏ :
0
d > R + r d < R -r TiÕp tuyến đ ờng tròn :
a Định nghĩa :
đờng thẳng d đợc gọi tiếp tuyến đờng trịn có điểm chung với đờng b, Tính chất :
+ Tính chất : Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đI qua tiếp điểm
+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng trịn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
c, C¸ch chøng minh :
(28) Cách : chứng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đờng trịn điểm điểm thuộc đờng trịn
4 Quan hệ đ ờng kính dây cung :
* Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần
* Định lí : Đờng kính đI qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc víi d©y cung Êy
5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :
* Định lí : Trong đờng trịn hai dây cung chúng cách tâm
* Định lí : Trong hai dây cung khơng đờng trịn, dây cung lớn gần tâm
II Góc đờng trịn:
1, Các loại góc đ ờng tròn: - Góc t©m
- Gãc néi tiÕp
- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
2, Mối quan hệ cung dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây
b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Cung lớn căng dây lớn
b, D©y lín trơng cung lớn 3, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa:
T giỏc ni tip mt đờng trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn Đơng trịn đợc gọi đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
b, C¸ch chøng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc
B Bµi tËp:
Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F
a CM: tứ giác AEHF hình chữ nhật b CM: tø gi¸c EFCB néi tiÕp
(29)Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M Nối OM cắt BC I
1 Chứng minh tam giác BMC cân Chứng minh: gãc BMA < gãc AMC
3 Chøng minh: gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC
4 §êng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OH // AH Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?
6 Chứng minh AM phân giác góc OAH
7 OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chøng minh OE MB
2
8 Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp
10 Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK 11 So sánh góc KMC vµ KCB víi gãc A
12 Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M 13 13.Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC
14 Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15 Chøng minh gãc ABF = gãc AON
16 Tõ A kỴ AF // BC, F thc (O) Chøng minh BF = CA
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD
1 Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI
4 Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE u.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E
a) Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân
b) Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c) Tính bán kính cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm
Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM CMR:
a) Tø giác AMNB hình thang cân
b) PH AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c) ON tiếp tuyến đờng trịn đơnngf kính PH
Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F CMR:
a Tam giác MAE MCA đồng dạng b ME MC = MF MD
(30)d Khi ABR tam giác OAM
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC F
a Tứ giác AEHF hình gì?
b Chứng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c Chøng minh AE AB = AF AC
d Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I)
e Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E
a Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp b TÝnh gãc AHE
c Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d Chứng minh AD = AE
e Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào?
Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng:
a EF ┴ AC
b DA DF = DC DE c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp
Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I
a Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O)
b Chøng minh CK tia phân giác góc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI
Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax vµ By cho gãc MON = 900 Gäi I
là trung điểm MN Chứng minh : a AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO) b MO tia phân giác góc AMN
c MN tiếp tuyến đờng trịn đờng kính AB
d Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi
Bài 12: Cho (O;R) (O’; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M
a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M
b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’ , M
d Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M
Bài 13: Cho (O) (O’)tiếp xúcngồi A Đờng thẳng Ơ’ cắt (O) (O’) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh rng :
a Góc DME góc vuông
(31)c MD MB = ME MC
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp
b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE
d Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác đều.
Bµi 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE
a Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp
b Chøng minh HA tia phân giác góc BHA
c Gọi I giao điểm BC DE Chøng minh : AB2 = AI AH.
d BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK
Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N
a Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b Tứ giác MNDC nội tiếp
c Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động
Bài 17: Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng trịn D, tia AD BC cắt E
a Chứng minh tam giác ABE cân B
b Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK ┴ AB c Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T
a Chøng minh r»ng OT // AB
b Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng c Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R
d Tính diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R
Bài 19: Hai đờngtrịn (O) (O’) có bán kính R R’ ( R > R’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) F
a Tứ giác AEBD hình gì?
b Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c Chøng minh tø gi¸c MDBF néi tiÕp
d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui
e Chøng minh MF DE
2
(32)Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng trịn tâm O’ đ-ờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O’) ti I
a.Tứ giác ADBE hình ? t¹i sao? b.Chøng minh BI // AD
c.Chøng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng MD = MI
d.Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)
Bài 21: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đ-ờng trịn Gọi I trung điểm dây MN
a Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn
b Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình trịn độ dài đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O)
Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M
a Chøng minh MA = MD
b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S
a Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp CA tia phân giác góc SCB
b Gi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c Chứng minh DM phân giác góc ADE
d Chứng minh M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông ti A
a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C
b Hai đờng trịn (O) (O’) vị trí tơng đối nào?
c Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O’) d Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’)
Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N
a Chứng minh tích AM AN không đổi
b Vẽ CD ┴ AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A
a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
(33)c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn
Bài 27: Cho (O,R) (O’,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung AB (A(O),B(O') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I
a Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông b Chứng minh AB2 R.r
c Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB’2 + AA’2.
d Gọi N N’ lần lợt giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r
Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’
a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB
b Gọi D,E theo thứ tự giao điểm thứ hai CA, CB với (O’) Chứng minh D, O’, E thẳng hàng c Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC
Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E ) a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng
b Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp
c Khi D C di động nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const
Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ đ ờng thẳng vng góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:
a Gãc MAH = góc MCB b Tam giác ADE cân c Tø gi¸c AHBK néi tiÕp
Bài 31. Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:
a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB
c APB vu«ng
d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bài 32. Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)
a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng tròn b Chứng minh góc AOC=góc BIC
c Chøng minh BI//MN
d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
Bài 33. Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB Vẽ CE vng góc với AD (EAD)
a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp
b Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
(34)Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F
a Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiếp
b Gọi M trung điểm EF Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)
d TÝnh diƯn tÝch hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhá AC cña (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.
Bài 35 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D
a Chøng minh CD//AB
b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định
c Chứng minh tích KM.KN cố định
d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc
Bài 36 Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K
a CM: NKD MAK cân
b CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So sánh góc CAK với góc DAK
d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND
Bài 37 Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng
d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E
a Chøng minh M trung điểm BC b Chứng minh O1MO2 vuông
c Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng
d Gi I l trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc
víi d d
Phần 2: Hình học không gian
A.Lý thuyết:
I Một số kiến thức hình học khơng gian: 1 Các vị trí t ơng đối:
a.Vị trí t ơng đối hai đ ờng thẳng:
* a // b a , b (P), a b ®iĨm chung * a c¾t b a , b (P), a b có điểm chung
* a b chéo a b khơng thuộc mặt phẳng b Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng a mặt phẳng (P):
* a // (P) a (P) khơng có điểm chung * a cắt (P) a (P) có điểm chung * a (P) a (P) có vơ số điểm chung c Vị trí t ơng đối hai mặt phẳng (P) (Q):
* (P) // (Q) điểm chung
* (P) (Q) = a có đờng thẳng a chung ( a gọi giao tuyến hai mặt phẳng) * (P) (Q)
2 Mét sè c¸ch chøng minh:
(35)a b ®iĨm chung C2: a // c vµ b // c
C3 : a b
b R Q a R P Q P // ) ( ) ( ) ( ) ( ) //( ) (
b.Chøng minh đ ờng thẳng song song với mặt phẳng: ) //( ) ( // P a P b b a
c.Chøng minh hai mặt phẳng song song:
) //( ) ( ) //( ), //( ), ( , Q P P b P a aXb Q b a
d.Chứng minh hai đ ờng thẳng vuông gãc:
b a P b P a ) ( ) (
e.Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt ph¼ng:
( ) ) ( ), ( , , P a P c P b bXc c a b a
g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông gãc:
( ) ( ) ) ( ) ( Q P Q a P a
II Một số hình không gian: Hình lăng trụ:
Sxq = P h với P: chu vi đáy
V = B h h : chiều cao B: diện tích đáy
1 H×nh trơ:
Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy
V = B.h = R2.h h: chiÒu cao.
2 H×nh chãp:
h B V d P Sxq
với d: đờng cao mặt bên
2 H×nh nãn:
h R h B V l R d P Sxq 2
d: đờng sinh; h: chiều cao Hình chóp cụt:
B B BB h
V d P P Sxq ' ' '
3 H×nh nãn cơt:
B B BB h hR r Rr
V d r R d P P Sxq ' ' ' 2
(36)3
3 4
R V
R S
B Bµi tËp:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD điểm S n»m ngoµi mp(ABCD) Gäi M, N theo thø tù lµ trung điểm SA, SD Tứ giác MNCB hình gì?
Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G, H theo thứ tự trung điểm AD, CD LÊy ®iĨm E AB, F BC
sao cho: AE AB CF CB
4 ;
4
a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH
b Gọi I giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng
Bi 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a
Bµi 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyến a vµ b CMR:
a Nếu a x d = M a, b, d đồng qui b Nếu a // d a, b, d đơi song song
Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm D SA cho SD SA,EAB
4
cho BE BA
4
Gọi M
trung điểm SC, I giao điểm DM AC, N giao ®iĨm cđa IE vµ BC CMR: a SB // (IDE)
b N trung điểm BC
Bi 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d (ABC) A Trên d lấy điểm S
a Chøng minh BC SH
b Kẻ AI đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI (SBC)
c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cđa h×nh chãp S
ABC
Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), d lấy điểm S
a Chøng minh SA = SB = SC
b Gọi IH đờng cao tam giác SIM CMR: IH (SBC)
c TÝnh Sxq vµ V cđa h×nh chãp S ABC biÕt AB 3 3cm; SA = cm
Bµi 8: Cho tø diƯn S ABC §iĨm E SA, F AB cho SE SA BF BA
3 ;
3
Gäi G, H theo
thứ tự trung điểm SC, BC CMR: a EF // GH
b EG, FH, AC đồng qui
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đờng thẳng d vng góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm
a CMR: SB AC b TÝnh SB, BC, SC
(37)d TÝnh Stp , V
Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = cm CMR:
a (SAB) (SAD) b SC BD
c Các tam giác SBC SDC vuông d TÝnh Sxq , V cđa h×nh chãp S ABCD
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm
a TÝnh AB?
b Tính Sxq, V hình lăng trụ ABCD ABCD
c TÝnh Sxq, V cđa h×nh chãp B’ ABCD
Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tính S
xq vµ V
Bài 13: Hình hộp chữ nhật ABCD ABCD cã AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh Sxq vµ V ?
Bµi 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm a CM: Các tứ giác ACCA, BDDB hình chữ nhật
b CM: AC2 = AB2 + AD2 + AA’2.
c TÝnh Stp , V ?
Bài 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300 TÝnh S
tp vµ V ?
Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh cm a Tính đờng chéo BD
b Tính Stp V hình chóp A’ ABD
c TÝnh Stp vµ V cđa h×nh chãp A’.BC’D
Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc lít nớc ? ( biết dm3 = lít ).
Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO’ hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( cịn gọi thiết diện) hình chữ nhật có diện tích 72 cm2 Tính bán kính đáy, đờng cao hình
trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao
Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm Tính Sxq V hình trụ
Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a Tính Sxq hình nón
b TÝnh V hình nón
c Gọi CD dây cung cđa (O; OB)vu«ng gãc víi OB CMR: CD (AOB)
Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vịng quanh AB Tính bán kính đáy, đờng cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600
Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính Sxq V
Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm a Tính Sxq hình nón cụt
b Tính V hình nón sinh hình nún ct ú
Bài 24: Một hình thang ABCD cã gãc A vµ gãc D =900, AB = BC = a , gãc C = 600 TÝnh S
tp hình
tạo thành quay hình thang vuông vòng xung quanh: a Cạnh AD
(38)Bài 1: Cho phơng trình
3
1
x m x m
x
x (*)
a) Giải phơng trình m =
b) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân bit
Giải tóm tắt:
ĐKXĐ: x Đặt x t
x phơng trình (*) trở thµnh
t t t m 0 a) m = (Tù gi¶i)
b) Với t = x2 – x – = phơng trình ln có nghiệm dơng (vì ac < 0) Để phơng trình (*) có nghiệm dơng phân biệt phơng trình t2 + t + – m = phải có nghiệm kép khác Hay m = 11
4
Bµi 2: a) Cho a, b, c Z tháa m n ®iỊu kiƯn ·
2
2 2
1 1 1
a b c a b c
Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3
b) Giải phơng trình x3 + ax2 + bx + = 0, biÕt r»ng a, b, c số hữu tỉ +
2 nghiệm phơng
trình
Giải tóm tắt: a) ĐK: a, b, c Từ gt suy a + b + c = Mµ a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1 )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hÕt cho vµ a + b + c = chia hÕt cho nªn a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 3
b) V× + 2 nghiệm phơng trình nên ta có
2 2a b 3a b v× a, b số hữu tỉ nên
2a b 3a b
a
b Thay vào HS tự giải tiếp Bài 3: Cho x, y N* tháa m n x + y = 2011 Ã
Tìm GTNN GTLN cđa biĨu thøc P = x x 2yy y 2x
Giải tóm tắt:
Cách 1: Vì x, y N* nªn 1 x y 2009 2
1 x y 2009
Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do –xy =
2
x y 4044121
VËy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031
2
1
x y 4044121
4
Ta cã 20113 + 6031.
2
1 4044121
4 P 2011
3 + 6031.
2
2009 4044121
Hay 2035205401 P 8120605021
VËy GTNN P 2035205401 Dấu = xảy x = 1006 y = 1005 x = 1005 vµ y = 1006 GTLN cđa P lµ 8120605021 DÊu = xảy x = 2010 y = x = y = 2010
Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo ta cã x, y 2010 Ta chøng minh 2010 xy 1005 1006 ThËt vËy
xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x2 – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010 = (2010 – x)(x – 1) (v× x, y 2010)
Ta có xy 2010 Do P 8120605021
(39)Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển nửa đờng tròn Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB E Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB F
a) CMR: MNE NFM
b) Gọi K giao điểm EN FM H y xác định vị trí dây MN để chu vi tam giác MKN lớn nhấtã
Giải tóm tắt:
a) D dng chng minh đợc
EMN FNM 120
Mặt khác EMO ONF ME MO ME MN
NO NF MN NF (vì MON đều) b) MNE NFM MNE NFM FMO
mà MKN 180 0 MNE NMF 1800 FMO NMF 1800 600 120 khơng đổi0
K thuộc cung trịn chứa góc 1200 dựng đoạn thẳng MN = R không đổi Từ suy K điểm giữa cung MKN hay MK = NK Kéo dài EM FN cắt I ta chứng minh đ ợc MN vị trí cho AM = MN = NB = R
Bµi 5: Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng
3 3
a b c
1 b c c a a b
Giải tóm tắt: áp dụng BĐT CauChy ta cã
3
3
a b c a b c 3a
3
1 b c 8 b c 8
tơng tự cộng lại đợc
3 3
a b c a b c
1 b c c a a b