BÀI TẬP 3: Thu gọn biểu thức: 2 6 8P = + + + Gợi ý: Thu gọn các căn thức đồng dạng đặt nhân tử chung rồi rút gọn 2/Dạng bài tập sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ bình phương một tổng, bì
Trang 1A B A B
=
TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 MÔN ĐẠI SỐ
BÀI 1: BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI.
I/CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: A,B là các biểu thức đại số.
1.Định nghĩa về căn bậc hai số học : a x x2 0
x a
≥
Ví dụ : 9 3 = vì 3 0≥ và 32 = 9
2.Hằng đẳng thức: 2 , 0
A A
A A
≥
= = − <
Trong đó A là biểu thức đại số.
Ví dụ : a/ 52 = = 5 5 vì 5 0 ≥ b/ 2 2 1
( 1) 1
x
−
3.Điều kiện tồn tại của căn thức bậc hai: A có nghĩa ⇔ ≥ A 0
Ví dụ: 2 x + 3 có nghĩa khi và chỉ khi 2x+3≥0 2 3 3
2
⇔ ≥ − ⇔ ≥ (lưu ý nếu hệ số của x bé hơn 0 thì ta phải đổi chiều
của bất phương trình )
4.Khai phương một tích - nhân các căn bậc hai: A B = A B ĐK A ≥ 0, B ≥ 0
Ví dụ: a/ 121.196 = 121 196 11.14 154 = = b/ 27 3 = 27.3 = 81 9 =
x − = x − = x − x + = x − x + ĐK:x ≥ 3
5.Khai phương một thương – chia hai căn bậc hai: A A
B = B ĐK: A ≥ 0, B > 0
Ví dụ: a/ 49 49 7
25 = 25 = 5 b/ 50 50 25 5
2
c/ Rút gọn biểu thức: 2 1 2 1 ( 1)( 1) 1
1
x
x
+ ĐK: x≥1
6.Biến đổi đơn giản các căn bậc hai:
a/Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: 2 ; 0, 0
A B A B
A B A B
A B A B
(Vận dụng hai phép biến đổi là khai phương một
tích, rồi dùng hằng đẳng thức)
Ví dụ: Tính :a/ 18 − 72 = 9.2 − 36.2 3 2 6 2 = − = − 3 2 (Phương pháp: Phân tích các số thành tích hai số trong đó có các thừa số là số chính phương là 9 và 36, thực hiện đưa thừa số ra ngoài dấu căn ta được hai căn thức đồng dạng là 2 rồi thực hiện trừ các hệ số lấy 3 trừ cho 6)
b/ Rút gọn biểu thức: ĐK là các căn thức có nghĩa
( )2
(9 x + 12 x + 4)(3 x − 2) 3 x − = 2 3 x + 2 (3 x − 2) 3 x − = 2 (3 x + 2) (3 x − 2)(3 x − 2) (3 = x + 2)(3 x − = 2) 9 x − 4
(Phương pháp: Dùng HĐT đáng nhớ, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, nhân hai căn bậc hai,dùng HĐT)
b/ Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Nếu x ≥1
Nếu x < 1
Trang 22 2
; 0,
BC
B C
B C
B C
−
±
−
±
m m
(Vận dụng với A ≥ 0 thì A = ( ) A = A2 ,rồi dùng phép biến đổi nhân hai căn bậc hai)
Ví dụ: Tính: 3 5 = 9.5 = 45
c.Khử mẫu của biểu thức lấy căn: A AB2 AB
B = B = B (A B ≥ 0, B ≠ 0) (Nhân cả tử và mẫu với biểu thức B,rồi dùng phép biến đổi khai phương một thương)
Ví dụ: Với a ≥ 0, b > 0 chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
b − b − = b − b − = − (Phương pháp : Thực hiện khử mẫu của biểu thức lấy căn ở phân thức đầu tiên, trừ hai phân thức cùng mẫu cùng tử bằng 0)
d.Trục căn thức ở mẫu:
(Nhân cả tử và mẫu với C,rồi dùng hằng đẳng thức)
(Nhân với lượng liên hợp B m C rồi dùng HĐT đáng nhớ (A+B)(A-B)= 2 2
A − B ) (Nhân với lượng liên hợp B m C rồi dùng HĐT đáng nhớ (A+B)(A-B)=
A − B )
Ví dụ: Rút gọn biểu thức: 2 2( 7 5) 2( 7 5) 7 5
−
−
*Chú ý: Ngoài ra còn có các công thức sau vận dụng để giải phương trình có chứa căn thức hoặc chứa dấu giá trị tuyệt đối
A hayB
A B
2
0
B
A B
A B
≥
2
0
B
≥
= −
II/ CÁC DẠNG BÀI TẬP:
1/ Dạng bài tập tính các căn thức đồng dạng:
PHƯƠNG PHÁP:- Dùng các phép biển đổi để suy ra các căn thức đồng dạng (chủ yếu là phép biến đổi đưa thừa số ra ngoài
dấu căn)
-Nhóm các căn bậc hai đồng dạng (cùng loại) lại với nhau rồi thực hiện tính các hệ số của chúng,
BÀI TẬP 1: Rút gọn: a/ 8 3 32 − + 72 b/− 2 12 + 54 − 27 − 6
BÀI TẬP 2: Chứng minh rằng: 18 3 + − 50 1 + = 2 (Gợi ý: Thu gọn các căn thức đồng dạng trong căn rồi dùng hằng đẳng thức 2 2 ( )2
2
A − AB B + = A B − )
Trang 3BÀI TẬP 3: Thu gọn biểu thức: 2 6 8
P = + +
+ (Gợi ý: Thu gọn các căn thức đồng dạng đặt nhân tử chung rồi rút gọn )
2/Dạng bài tập sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ (bình phương một tổng, bình phương một hiệu) để đưa các biểu thức ra ngoài
dấu căn rồi rút gọn:
PHƯƠNG PHÁP: - Biến đổi các số hoặc các biểu thức về dạng A2 +2AB+B2 hoặc A2-2AB+B2 sau đó viết dưới dạng bình phương (A+B)2 ;(A-B)2 rồi đưa ra ngoài căn thức theo công thức A2 = A (Chú ý về dấu của biểu thức trong căn)
-Thu gọn các hạng tử đồng dạng hoặc phân tích thành nhân tử để xuất hiện các nhân tử chung của tử và mẫu rồi rút gọn BÀI TẬP 1: Tính a/ 4 + 12 b/ 7 4 3 + + 21 8 5 + + 21 8 5 −
BÀI TẬP 2: Thu gọn biểu thức:a/ 6 2 5 + − 29 12 5 − b/ 5 − 3 − 29 12 5 −
BÀI TẬP 3: Tính giá trị biểu thức: 3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
10 84 15 224
11 2 24
+
BÀI TẬP 4: Rút gọn biểu thức : x + 2 x − − 1 x − 2 x − 1
BÀI TẬP 5: Cho biểu thức : P = 2 4 2 2 4 2
2( 2)
x
−
a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức P
b/ Rút gọn biểu thức P c/ Tìm x để 1
3
P =
BÀI TẬP 6: Giải phương trình: x + 6 x + = 9 7
3/Dạng bài tập rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và các bài toán phụ: LƯU Ý:Trước khi làm bài toán rút phải tìm
ĐKXĐ (nếu bài toán chưa cho)
a/Dạng phân tích các đa thức ở tử và mẫu rồi rút gọn:
PHƯƠNG PHÁP: - Dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp
nhóm hạng tử, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, phối hợp) để phân tích các tử và mẫu thức thành nhân tử hoặc biến đổi trên tử và dưới mẫu
-Khi đó trên tử và dưới mẫu xuất hiện các nhân tử chung sau đó rút gọn
BÀI TẬP 1: Cho biểu thức M=2 ( 3 1) 1
1
− +
a/ Rút gọn biểu thức M b/ Tìm x để M = 0
c/ Tìm x để M đạt giá trị lớn nhất (Gợi ý: Dùng công thức a-A2 ≤a với a là số, A là biếu thức đại số)
BÀI TẬP 2: Cho biểu thức
2 ( x y ) 4 xy A
x y
=
−
x y y x B
xy
+
=
Trang 4a/ Tìm điều kiện có nghĩa của mỗi biểu thức.
b/ Rút gọn A và B c/ Tính tích A.B với x = 3 − 2 và y = 3 + 2
BÀI TẬP 3: Cho biểu thức
2
x y
x y
−
a/ Rút gọn biểu thức Q
b/ Tính giá trị của Q biết x = 3 2 2 − và y = 6 4 2 −
BÀI TẬP 4: Cho biểu thức
B
a/ Rút gọn biểu thức B b/ Chứng minh rằng B luôn luôn dương
c/ Tìm x để B đạt giá trị bé nhất (Gợi ý: Dùng công thức a + A2 ≥a với a là số, A là biểu thức đại số)
d/Tìm x đđể biểu thức A 2 x
B
= nhận giá trị là số nguyên
BÀI TẬP 5: Cho biểu thức P x x 1 x x 1 x 4
a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm x để P bằng 9
2
c/ Tìm giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên (Gợi ý: Thực hiện chia tử cho mẫu rồi tìm ước của phân thức )
BÀI TẬP 6: Cho biểu thức Q a a b b a b
a/ Rút gọn Q b/ Tìm a để Q = a+1
b/ Dạng rút gọn biểu thức trong đó có chứa nhiều phép toán:
PHƯƠNG PHÁP:- Thực hiện rút gọn biểu thức trong ngoặc trước (nếu có) bằng cách dùng phương pháp như dạng bài tập thứ
nhất để rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân thức đó hoặc phân tích các mẫu thức tìm mẫu chung rồi quy đồng các phân thức trong ngoặc Tính toán các phép toán đại số như (nhân đa thức với đa thức (A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD, nhân đơn thức với
đa thức A(B+C)=AB+AC , khai triển các hằng đẳng thức đáng nhớ) để thu gọn các biểu thức trong ngoặc
-Thực hiện theo đúng thứ tự thực hiện phép toán (trong ngoặc trước-nâng lên lũy thừa-nhân, chia- cộng, trừ)
CHÚ Ý: CÁC BƯỚC QUY ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN THỨC:
B1:Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu có) để tìm mẫu thức chung chính là tích của các nhân tử chung và riêng với số mũ lớn nhất
B2: Xác định nhân tử phụ của từng mẫu bằng cách lấy mẫu chung chia cho mẫu tương ứng
B3: Nhân cả tử và mẫu của từng phân thức với nhân tử phụ tương ứng đã xác định ở bước 2
VÍ DỤ: QUY ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN THỨC SAU: x ; y ; x y
xy y xy x xy
+ + − ĐK: các căn thức có nghĩa
B1: Phân tích tìm mẫu thức chung: M1= xy y + = y ( x + y ) ; M2= xy x − = x ( y − x ) ; M3= xy = x y
Tích các nhân tử chung và riêng với số mũ lớn nhất đó là MTC: x y ( y + x )( y − x ) = xy y x ( − )
B2:Nhân tử phụ M1 là: MTC:M1= x ( y − x ) Nhân tử phụ M2: MTC:M2= y ( y + x )
Nhân tử phụ của M3: TC:M3=( y − x )( y + x ) = − y x
Trang 5B3: Nhân cả tử và mẫu của các phân thức với nhân tử phụ tương ứng:
x x y x
x
xy y xy y x
−
=
+ − ;
y y y x y
xy x xy y x
+
=
− − ;
x y x y y x
xy xy y x
−
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
BÀI TẬP 1:Cho biểu thức 1 : 1
A
a
−
a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm tất cả các giá trị của a để A = 2
BÀI TẬP 2: Cho biểu thức: Q x 1 : x 1 1 x
= − ÷ + + ÷ ÷ a/ Rút gọn biểu thức Q b/Tính giá trị của Q biết
2
x = +
c/ Tìm giá trị của x thõa mãn Q x = 6 x − − 3 x − 4
BÀI TẬP 3: Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
2 : ( )
với a ≥ 0, b ≥ 0
BÀI TẬP 4: Cho biểu thức :P n ( m n ) m : m n m n
a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tính giá trị của P biết m ,n là hai nghiệm của phương trình x2-7x+4=0
c/ Chứng minh rằng 1 1
P < m n
+
BÀI TẬP 5: Cho biểu thức
2
Q
a/ Rút gọn P b/ Cho x = + 4 2 3; y = − 4 2 3 Chứng minh 1
6
Q =
BÀI TẬP 6: Cho biểu thức
2
2
P
a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm x để P 2
x >
BÀI TẬP 7: Cho biểu thức 1 3 : 3 2 9
Q
a/Rút gọn biểu thức Q b/ Tìm các giá trị của x để Q = 1
Bài tập 8: Cho biểu thức 2 1
1
M
x
−
a/ Rút gọn biểu thức M
b/Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất
BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I.HỆ THỐNG KIẾN THỨC:
Trang 61.Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất có dạng
ax by c
a x b y c
trong đó a,b,a’,b’ không đồng thời bằng 0
Ví dụ: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
1
2 8
9
x y
x y
− =
3 3 2 4
5
x
− =
Không là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
2
x y
x y
x y
x y
− =
2 Các phương pháp giải hệ phương trình: Có hai phương pháp PHƯƠNG PHÁP CỘNG và PHƯƠNG PHÁP THẾ 2.1: Phương pháp thế: - Biến đổi một phương trình trong hệ để biểu diễn ẩn này qua ẩn kia rồi thay thế vào phương trình còn
lại ta được phương trình bậc nhất một ẩn, giải phương trình đó thay lại tìm nghiệm kia
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x;y)=(10;7)
2.2: Phương pháp cộng: Nhân hai vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu có) sao cho hệ số của cùng một ẩn là bằng
nhau hoặc đối nhau Thực hiện cộng hai phương trình vế theo vế (nếu hệ số của cùng ẩn là đối nhau) hay trừ hai phương trình vế theo vế (Nếu hệ số của cùng ẩn là bằng nhau) khi đó ta có phương trình bậc nhất một ẩn giải phương trình đó tìm nghiệm của hệ
Vậy HPT có nghiệm (x;y)=(11;4)
CHÚ Ý : -Nếu các hệ số là tham số ta vận dụng một trong hai phương pháp trên làm tương tự như với số.
-Nếu hệ cho không có dạng bậc nhất một ẩn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về bậc nhất một ẩn rồi giải
_Với phương pháp cộng đại số nếu phương trình sau khi cộng(trừ) là vô nghiệm thì hệ phương trình vô nghiệm, tương tự vô số nghiệm hay có nghiệm duy nhất
3.Phương pháp xác định số nghiệm của hệ phương trình: Cho hệ phương trình: (I)
ax by c
a x b y c
trong đó a,b,a’,b’ không
đồng thời bằng 0
* Hệ (I) có nghiệm
' '
a b
a b
⇔ ≠ * Hệ (I) vô nghiệm
a b c
a b c
⇔ = ≠ * Hệ (I) vô số nghiệm
a b c
a b c
⇔ = = II/ BÀI TẬP:
1/ Dạng bài tập có chứa tham số :PHƯƠNG PHÁP: -Thay giá trị của tham số vào rồi giải theo các số đã cho
-Giải tìm nghiệm theo tham số rồi làm theo các điều kiện theo ẩn
-Xác định số nghiệm của hệ phương trình dựa vào phương pháp xác định số nghiệm (các hệ số có chứa tham số a)
BÀI TẬP1 :Cho hệ phương trình 2 5
mx my
mx y
(m là tham số)
a/ Giải hệ trên khi m = 1 b/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất? (Gợi ý : Dùng công thức
a b
a ≠ b )
Trang 7BÀI TẬP 2: Cho hệ phương trình 2
mx y
x my
− =
+ =
a/ Giải hệ phương trình với m = 3.
b/ Với giá trị nào của m hệ có nghiệm thoả mãn 21
3
x y
m
+ =
+ (Gợi ý: Giải hệ tìm x;y theo tham số m thay vào giải PT theo m )
c/ Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm x > 0 và y > 0 (Gợi ý: Lấy kết quả x;y theo câu b rồi xác định m)
BÀI TẬP 3: Cho hệ phương trình ( 1) 2 2 1
2
m x my m
mx y m
a/ Giải hệ phương trình trên với m=2
b/ Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x > 0 và y < 0 (Gợi ý:Giải x;y theo m sau đó giải bất phương trình theo m)
c/ Tìm giá trị của m để hệ phương trình thoả mãn x.y đạt giá trị lớn nhất.(Gợi ý: Lấy kết quả x;y của câu b rồi xác định theo a-A2 ≤ a )
BÀI TẬP 4: Cho hệ phương trình: 3 1
3
x my
mx y
a/ Giải hệ phương trình với m = 2
b/ Chứng tỏ rằng hệ phương trình trên luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m (Gợi ý: Dùng công thức
' '
a b
a ≠ b ) c/ Tìm giá trị của m để hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình trong hệ cắt nhau tại góc phần tư thứ ba trên mặt phẳng tọa độ (Gợi ý: Tương tự bài toán tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x < 0; y < 0)
d/ Tìm giá trị của m để sao cho 2 3 2
1 3
m
x y
m
− =
+ (Gợi ý: Lấy kết quả x; y câu c thay vào đẳng thức giải theo m)
BÀI TẬP 5: Cho hệ phương trình ( 1) 1
m x y m
+ − =
a/ Giải hệ trên với m = 2.
b/ Với giá trị nào của m để hệ trên có nghiệm
c/ Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x – y là số nguyên
d/ Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) sao cho x + y đạt giá trị nhỏ nhất
BÀI TẬP 6: Cho hai đường thẳng (d): mx – y = 3 và (d’): x + 3my = m
a/ Xác định giao điểm của hai đường thẳng trên với m = -1 (Gợi ý: Giải hệ phương trình lập bởi hai đường thẳng trên)
b/ Xác định giá trị của m để hai đường thẳng trên cắt nhau tại góc phần tư thứ hai trên mặt phẳng tọa độ
(Gợi ý: Tương tự bài toán tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x < 0 ; y>0)
2/ Dạng bài tập giải hệ phương trình không là bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
PHƯƠNG PHÁP: -Chọn các biểu thức giống nhau của hai phương trình để thay bằng hai ẩn phụ
-Giải hệ phương trình theo ẩn mới là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
CHÚ Ý:Đôi khi ta không thấy được các biểu thức giống nhau ta vẫn đặt ẩn phụ rồi thực hiện biến đổi để tìm mối quan hệ của chúng hoặc thực hiện các phép biến đổi để tìm mối quan hệ của hai phương trình rồi dùng phương pháp thế để giải
BÀI TẬP 1: Giải hệ phương trình:
1 2
3
3 5
3
x y
x y
− =
+ = −
BÀI TẬP 2: Giải hệ phương trình:
2
21
x y x y
x y x y
BÀI TẬP 3: Giải hệ phương trình: 1 1 3
BÀI TẬP4: Giải hệ phương trình: 2 2
11 30
x y xy
x y xy
(Gợi ý: đặt
nhân tử chung ở phương trình thứ hai rồi sau đó đặt ẩn phụ rồi dùng kiến thức của hệ thức Viét Nếu u+v = a và u.v = b thì khi đó u và v là hai nghiệm của phương trình X2 – aX + b = 0 )
Trang 8' 0
∆ >
b
BÀI TẬP 5: Giải hệ phương trình: 3 3 1
21
x y
x y
+ = −
+ = −
(Gợi ý: Biến đổi phương trình thứ hai dùng phương pháp thế để đưa về BT4) BÀI 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
I/ Hệ thống kiến thức:
1/ Định nghĩa: Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó a, b là các số cho trước , a khác 0
Ví dụ: Phương trình bậc hai một ẩn: 2 1
2
2
a = b = − c = ); x2 – 3 = 0 (a = 1; b = 0 ; c = -3 gọi là phương trình khuyết hệ số b) ;0.3x2 +2x = 0 (Phương trình khuyết hệ số c) …
Phương trình không là bậc hai một ẩn: 3x+1=0; 9x – 2y = 0 ; 0x2 – 3x +1 =0 ; 2x3 – 6x -1 = 0;…
2/ Các phương pháp giải phương trình bậc hai:
2.1/ Nếu phương trình khuyết hệ số b giải như sau: Chuyển hệ số tự do sang vế phải (chú ý đổi dấu của nó), lấy hệ
số tự do chia cho hệ số của ẩn nếu hệ số a và c khác dấu thì ta khai phương kết quả đó ( Chú ý là có hai nghiệm là âm và dương ) nếu hệ số a và c cùng dấu thì kết luận phương trình vô nghiệm.
;
x = − x = 2.2/ Nếu phương trình khuyết hệ số c giải như sau: Đặt x làm nhân tử chung để đưa về phương trình tích rồi giải theo
công thức A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ: Giải phương trình: 3 x2+ 2 x = ⇔ 0 x x (3 + = ⇔ 2) 0 x = 0 hoặc 3x + 2 =0 ⇔ =x 0 hoặc 2
3
x = − Vậy phương trình có hai nghiệm 1 2
2 0;
3
x = x = −
2.3/ Nếu phương trình không khuyết hệ số nào:
-Thử nhẫm nghiệm: nếu a+b+c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 1; x2 c
a
= = Nếu a-b+c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 1; x2 c
a
Ví dụ: Giải phương trình: -3x2 +8x -5 = 0 ta có a+b+c=-3+8+(-5)=0 vậy phương trình có hai nghiệm 1 2
5 1;
3
x = x =
-Nếu nhẫm nghiệm không được thử xem hệ số b có chia hết cho 2 không nếu chia hết cho 2 ta dùng công thức nghiệm thu gọn: Khi đó b = 2b’ '
2
b b
⇔ = phương trình ax2 + bx + c =0 ⇔ ax2 +2b’x +c = 0 (a ≠ 0)
∆ =' b'2 − ac
' 0
∆ < '
0
∆ =
P Phương trình vô nghiệm PT có nghiệm kép
'
b
x x
a
= = − PT có hai nghiệm phân biệt
Trang 92 4 52 4.2.( 1) 25 8 33 0
b ac
0
∆>
1,2
2
b x
a
− ± ∆
=
Ví dụ: Giải phương trình: 3x2 – 6x + 5 = 0 (b =-6 ' 6
3 2
b −
⇔ = = − ) khi đó ta có
_ Nếu tất cả các cách trên không sử dụng được thì ta sử dụng đến công thức nghiệm
ax2 +bx +c = 0 (a≠0)
∆ = b2 − 4 ac
∆<0
∆=0
P Phương trình vô nghiệm PT có nghiệm kép 1 2
2
b
x x
a
= = − PT có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ : Giải phương trình sau: 2 x2+ 5 x − = 1 0 (a = 2; b = 5 ;c = -1)
Ta có: Vậy phương trình có hai nghiệm
1
b
x
a
b x
a
3/ Hệ thức vi ét: Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) thì x1 x2 b ; x x1 2 c
−
Nếu tổng hai số là S và tích của chúng là P (nghĩa là x1 + x2 = S và x1.x2 = P) thì hai số đó là nghiệm của phương trình:
X2 – Sx + P = 0 Để tìm được hai số đó thì điều kiện là S2 – 4P ≥ 0
4/ Một số cách biến đổi nghiệm về để áp dụng định lý Vi ét : 2 2 ( )2
2
II/ BÀI TẬP: Bài tập 1: Cho phương trình (m - 4)x2 – 2mx + m-2 = 0 (Với m là tham số)
a/ Giải phương trình với m =5
b/ Xác định m để phương trình có nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại (Gợi ý: Thay x = -1 vào phương trình)
c/ Xác định m để phương trình có nghiệm kép (Gợi ý: Tính đenta theo tham số m và cho đenta bằng 0)
Bài tập 2: Cho phương trình x2 + 2(m-1)x + m2 – 3 = 0
a/ Giải phương trình khi m = 0
b/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 + x2 + x1x2 +1 = 0 (Gợi ý: Dùng định lí vi ét)
Bài tập 3: Cho phương trình x2 – 2(m-1)x + 2m -4 = 0 , Với m là tham số
a/ Giải phương trình khi m = 3
b/ Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m (gợi ý: Tính đenta theo m)
Bài tập 4: Cho phương trình (m + 1)x2 -2(m - 1)x + m – 3 = 0
a/ Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m khác -1(gợi ý: Tính đenta theo m)
b/gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình tìm m để x1.x2 > 0 và x1 = 2x2 (Gợi ý: x1.x2 > 0 khi
0 0
c a
∆ >
>
và dùng định lí vi ét để
tìm x1 và x2 ) CHÚ Ý: Câu hỏi x1.x2 > 0 có thể thay bằng câu hỏi tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Bài tập 5: Cho phương trình mx2 + (2m - 1)x + m – 2 = 0
' b'2 ac 3 3.5 9 15 6 0
∆ = − = − − = − = − <
Trang 10( )
x + x = x + x − x x
( )2
x + x = x + x − x x
( )2
x + x = x + x − x x
( )2
x + x = x + x − x x
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thõa mãn x1 + x2 = 2008(Gợi ý: Dùng công thức )
Bài tập 6: Cho phương trình (2 - m)x2 – (1 – 2m)x – m – 1 = 0
a/ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm sao cho nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.( Gợi ý: Tương tự câu b BT 4) b/ Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thõa mãn 2 2
x + x > (Gợi ý: Dùng công thức )
Bài tập 7: Cho phương trình x2 – 2(m - 1)x + 2m – 4 = 0 (Có ẩn số là x)
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.(Gợi ý: Dùng biệt thức đenta)
b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của y = 2 2
x + x (Gợi ý: Dùng công thức rồi thực hiện biến đổi để có A2 + a ≥ a
Bài tập 8: Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0 có hai nghiệm là x1, x2
Tính giá trị của biểu thức
3 x 3 x 3
M
x x x x
=
+ (Gợi ý: Đặt nhân tử chung rồi dùng công thức )
Bài tập 9: Cho phương trình (2m - 1)x2 – 2mx + 1 = 0
a/ Định m để phương trình trên có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;0) (Gợi ý: Xét 2m – 1 =0 và 2m – 1 khác 0 nhẫm nghiệm ) b/ Định m để phương trình có hai nghiệm thõa mãn x12− x22 = 1(Gợi ý: Lấy kết quả hai nghiệm câu thay vào công thức giải )
BÀI 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I/Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : Có 4 bước
B1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (Thông thường thì bài toán hỏi cái gì thì chọn ẩn cho cái đó)
B2: Biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết (Thiết lập các biểu thức đại số theo ẩn) Lập mối quan hệ giữa các đại lượng trên (Thiết lập được phương trình hoặc hệ phương trình )
B3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình B4: Đối chiếu điều kiện để kết luận bài toán
II/ BÀI TẬP: BT1:Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ.Nếu mỗi đội làm một mình để xong
công việc thì đội thứ nhất cần ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình thì xong công việc ấy trong bao lâu? (Gợi ý: Chọn ẩn là thời gian của đội thứ nhất, biểu diễn thời gian trong một giờ của hai đội làm và lập PT)
BT2: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài lên 2m, chiều rộng lên 3m thì diện tích tăng lên 100m2 Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2 Tính diện tích thửa ruộng đó (Gợi ý: Chọn x là chiều dài, y là chiều rộng, biểu diễn diện tích qua x,y và lập hệ phương trình )
BT3:Hai thợ máy cùng làm chung thì sau 12 giờ thì xong công việc Sau khi làm chung 8 giờ thì một người phải đi làm việc
khác nên người còn lại phải làm mất 5giờ nửa mới xong Hỏi làm một mình thì mỗi người phải mất mấy giờ mới xong?
(Gơi ý: Chọn x,y là thời gian tương ứng của hai người, biểu diễn thời gian làm trong một giờ, tính phần việc còn lại sau khi hai người cùng làm 8 giờ, khi đó thiết lập được hệ phương trình)
BT4: Hai bến sông A và B cách nhau 40km Cùng một lúc chiếc canô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến
B với vận tốc 3km/h Sau khi đến B canô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa diểm cách A là 8km.Tính vận tốc của canô (Gợi ý: Chọn ẩn là vận tốc ca nô, khi đó biểu diễn được thời gian ca nô và bè là bằng nhau CHÚ Ý vận tốc dòng nước là 3km)
BT5:Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau.Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi
và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp chia thành bao nhiêu dãy? (Gợi ý:Biểu diễn số chỗ ngồi trong mỗi dãy lúc đầu và lúc sau khi đó lập được phương trình )