[r]
(1)đề thi học sinh giỏi
Môn thi : Toán học - Thời gian : 150 phút Câu I: Cho đờng thẳng y = (m-2)x + (d)
a) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d)
c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn
C©uII: Giải phơng trình: a) x2 2x1 x2 6x9 6 b) x2 x 1 x x 11
Câu III:
a) Tìm giá trị nhỏ của: A= xyz yzx zxy víi x, y, z số dơng x + y + z= 1
b) Giải hệ phơng trình:
12 2
3
2 2 3
2 5
1
z y x
z y
x
c) B =
x x x
x x x x x x
x x x
2 2
2
2 2
2
1 Tìm điều kiện xác định B Rút gọn B
3 Tìm x để B<2
C©u IV:
Cho tam giác vuông ABC vuông A, với AC < AB; AH đờng cao kẻ từ đỉnh A Các tiếp tuyến A B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E Đoạn MC cắt đờng cao AH F Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM D Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM N
a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iĨm cđa BD b) Chøng minh EF // BC
c) Chứng minh HA tia phân giác gãc MHN d) Cho OM =BC = 4cm TÝnh chu vi tam gi¸c ABC
Câu V: Cho (O;2cm) đờng thẳng d qua O Dựng điểm A thuộc miền ngồi đ-ờng trịn cho tiếp tuyến kẻ từ A với đđ-ờng tròn cắt đđ-ờng thẳng d B C tạo thành tam giác ABC có diện tớch nh nht
Đáp án
Câu Nội dung §iĨm
I
(3đ) a) y ln qua điểm cố định với mb) Xác định giao (d) với Ox A Oy B, ta có: OA = 2: (|2 - m|); OB =
+OH khoảng cách từ O đến AB Do OH = Thay vào tính m = - m = +
+ Các đờng thẳng tơng ứng y = 3x + y = - 3x + c) OH đạt GTLN m2 - 4m + đạt GTNN m = 2 + Đờng thẳng y = OH =
(2)II (4®)
a) Đa dạng: 2|x+1| + |x-3| = + Xác định ĐK x:
+ Víi x < cã x =
-8
+ Víi -1 x < cã x =1 + Víi x > cã x =
3
TX§ KÕt luËn : x =
-8
x =1 nghiệm b) ĐKXĐ: x
+ Đa dạng: 2x + x2 4(x 1) 4 + Pt : x + | - x| =
+ KÕt luËn 1 x lµ nghiƯm
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 III
(6đ) a) Dùng BĐT Cô si
x yz z xy x yz z xy
hay
x yz z xy
2y
t¬ng tù z
y zx x yz 2 ; x z xy y zx
KL: A nhá nhÊt b»ng víi x = y = z =
3
b) ¸p dơng tÝnh chất dÃy tỉ số đa dạng:
12 2 3 2 2 6 )2 (2 15 )1 (3 z y x z y x
Giải tìm hệ số tỉ lệ Tính x = 6; y = 5; z =
c) Tìm ĐKXĐ B x 0 x 2 Biến đổi rút gọn có kết B = x2 2x
3 B< x2 2x< ( x - 1)2 <
Kết luận giá trị x: 1- < x< vµ 2 x < 1+
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 IV
(5đ) + Vẽ hình xác , đẹp ghi GT , KL xáca) + OM // CD ( vng góc với AB)
+ Do O trung điểm BC OM // CD M trung điểm BD b) Do AH // DB ( cïng vu«ng gãc víi BC)
theo (a) MD = MB, theo định lí Ta lét
MB FH DM
AF
AF = FH hay F trung điểm AH
+ Chỉ E trung điểm AB EF đờng trung bình tam giác AHB hay EF// BC
c) Gọi giao điểm NH với đờng thẳng BM P Do AH//MP F trung điểm AH Chỉ B trung điểm MP
+ Tam giác HMD cân đỉnh H ( HB vừa trung tuyến, vừa đ-ờng cao HB phân giác góc MHD
(3)d) + Chứng minh đợc ABC = BMO ( c.h- g.n) có OB = 2cm; OM = 4cm
+ Tính đợc BM = ( cm)
BC = 4cm; AC = BO = 2cm tính AB = + Tính đợc chu vi ABC ( + 3) cm
0.5 0.25 0.25 0.5
V (2®)
+ Vẽ hình đúng, xác , đẹp + Diện tích ABC S, viết đợc S =
2 OH ACOH
AB
+ Tính đợc S
+ Do Smin = AB = AC, AC = CI Vậy tam giác ABC phải vng cân A Từ có cách dựng điểm A