V× vËy viÖc ph¸t hiÖn ý tëng cña nh÷ng bµi tËp d¹ng nµy vµ ph¸t triÓn nã thµnh hÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n lµ vÊn ®Ò hÕt søc quan träng.. Néi dung bµi tËp vµ c¸ch gi¶i.[r]
(1)A.Đặt vấn đề:
Trong chơng trình SGK để đáp ứng yêu cầu giảm lý thuyết hàn lâm, tăng nội dung chơng trình với nhiều kiến thức đợc đa vào chơng trình THCS nhng thời lợng lại giảm ( Từ tiết/ tuần xuống tiết / tuần) Nên nhiều kiến thức không đựơc đa vào trực tiếp thành giảng mà lại đợc đa dới dạng tập hay câu đố Nhằm kích thích học sinh tìm tịi tiếp cận kiến thức khoa học thơng qua việc tìm đáp án cho tập dạng Đó cách làm hay giúp học sinh tiếp thu đợc nhiều kiến thức thời gian ngắn
Tuy nhiên thực tế nhiều lúc ,do nhiều lý khác mà ngời dạy cha phát đợc ý tởng xây dựng phần kiến thức nằm khuất sau tập Dẩn đến phần kiến thức không đợc xây dựng khắc sâu gây nhiệu khó khăn cho việc tiếp cận phần chơng trình
Vì việc phát ý tởng tập dạng phát triển thành hệ thống kiến thức vấn đề quan trọng Với suy nghĩ tơi chọn đề tài: “Phát triển toán dẫn học sinh đến với định lý”
Trong kinh nghiệm xin đề cập đến tập có nhiều ý tởng Đó tập 19 trang 49 – SGK toán tập
B Giải vấn đề: I Nội dung tập cách giải. 1 Ni dung:
Đố: Tại phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a> 0) vô nghiệm thì: ax2 + bx + c >0 với x.
2 Cách giải:
Ta có : ax2 + bx + c = a(x + a b
2 )2 - a ac b
4
2
= a(x + 2ba )2 - a
4
Do : a >0 => a(x + 2ba )2 0 Phơng trình vô nghiệm => < => -
a
4
> => a(x +
a b
2 )
2 - a
4
> víi mäi x hay ax2 + bx + c > víi mäi x.
II ý tởng đặt :
1 Vậy phải dấu tam thức ax2 + bx + c ( a0) phơ thc vµo a vµ ?
(2)3 Nếu phơng trình khơng vơ nghiệm mà có nghiệm nào? III Khai thác ý tởng vận dụng.
Với câu hỏi đặt ta có tập sau Bài 19.1:
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0( a< 0) v« nghiƯm H·y so s¸nh tam thøc ax2 + bx + c víi ?
a Lêi gi¶i:
Tơng tự cách biến đổi ta có: ax2 + bx + c = a(x +
a b
2 )
2 - a
ac b
4
2
= a(x + a b
2 )
2 - a
4
Do : a <0 => a(x + 2ba )2 0 Phơng trình vô nghiệm => < => -
a
4
< => a(x +
a b
2 )
2 - a
4
< víi mäi x hay ax2 + bx + c < víi mäi x.
b Nhận xét:
Từ tập ban đầu tập ta thấy: Nếu phơng trình bậc hai
ax2 + bx + c = v« nghiệm tam thức bậc hai tơng ứng dÊu víi a
hay a(ax2 + bx + c ) > víi mäi x. c Bµi tËp vËn dông:
Chøng minh r»ng: a./ 2x2 +5x + 10 > 0
b./ – 2x2 +x – < víi mäi x. Bµi tËp 19.2 :
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiÖm kÐp Chøng minh r»ng:
a./ NÕu th× ax2 + bx + c > víi mäi x
a b
2
bình phơng một nhị thức bậc nhất.
b./ Nếu a< ax2 + bx + c víi mäi x.
a Lêi gi¶i:
a./ ax2 + bx + c = a(x + a b
2 )
2 - a
ac b
4
2
= a(x + a b
2 )
2 - a
(3)Do : a >0 => a(x + 2ba )2 0 Phơng trình cã nghiÖm kÐp => = => -
a
4
= => ax2 + bx + c = a(x +
a b
2 )
2 >0 víi mäi x
a b
2
Vµ ax2 + bx + c = a(x +
a b
2 )
2 = (
a b x a
2
)2 = (mx + n)2
( víi m = a vµ n = a b
2 )
b./ a <0 => a(x + a b
2 )
2 0
Do phơng trình nghiệm có nghiÖm kÐp => = => -
a
4
= => a(x +
a b
2 )
2 - a
4
víi mäi x
hay ax2 + bx + c víi x. b Nhận xét:
*Nếu phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = ( a > 0) cã nghiƯm kÐp th× a(ax2 + bx + c ) >0 víi mäi x
a b
2
Vµ ax2 + bx + c cã d¹ng (mx +n)2
*NÕu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a < 0) cã nghiƯm kÐp th× a(ax2 + bx + c ) víi mäi x. c Bµi tËp vËn dơng:
Đem đa thức sau dạng bình phơng để chứng minh; a./ x2 + 2x +1
b./ 2x2+ x +
8
c./ -
2
x2 + 2x – <0 víi mäi x 2. Bµi tËp 19.3 :
Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt a./ Nếu a >0 tìm giá trị x để ax2 + bx + c >0
b./ Nếu a >0 tìm giá trị x để ax2 + bx + c 0 c./ Nếu a < kiểm tra điều kiện trên
(4)Ta cã : ax2 + bx + c = a(x + a b
2 )2 - 4a
= a[(x + 2ba )2 -
4a
] = a[(x + 2ba )2 - )2 (
a
] (*) a./ Do a> phơng trình có hai nghiệm ( > 0)
nên ax2 + bx + c >0 <=> ( x + a b
2 )
2 > )2 (
a
<=> | x +
a b
2 | > | 2a
|
<=> x + a b
2 > 2a
hc x +
a b
2 <- 2a
<=> x > -a b
2 + 2a
hc x <
-a b
2 - 2a
<=> x >
a b
2
hc x <
a b
<=> x > x1 hc x < x2 b./ ax2 + bx + c 0 <=> a[(x +
a b
2 )
2 - )2 (
a
]
( x + a b
2 )
2 )2 (
a
<=> | x +
a b
2 | | 2a
|
<=> -
a
2
x +
a b
2 2a
<=> -a b
2 - 2a
x
-a b
2 + 2a
<=> a b
x a b
<=> x1 x x2
c./ Víi a < ta nh©n hai vÕ víi – råi tính toán tơng tự ta có ax2 + bx + c 0 <=> x1 x x2
ax2 + bx + c < <=> x < x1 hc x > x2 b NhËn xÐt :
Trong trờng hợp
*Với x < x1 x > x2 ax2 + bx + c >0 nÕu a > vµ ax2 + bx + c < nÕu a < 0 hay a(ax2 + bx + c) >
*Víi x1 x x2 th× ax2 + bx + c 0 nÕu a <0
vµ ax2 + bx + c nÕu a > 0 hay a(ax2 + bx + c) < 0
c Bài tập áp dụng:
a./ Tỡm x để biểu thúc sau nhận giá trị âm * x2 + 2x –
(5)b./ Tìm x để biểu thúc sau nhận giá trị không âm * x2 – 5x –
* - 2x2 – 5x +
IV Tổng kết vấn đề triển khai.
Tỉng qu¸t hãa:
Mét ®a thøc f(x) = ax2 + bx + c ( a0) với phơng trình bậc hai tơng ứng lµ
ax2 + bx + c =
Nếu < ( phơng trình vô nghiệm ) th× f(x) > nÕu a>
vµ f(x) < nÕu a < hay af(x) > víi mäi x
NÕu = ( phơng trình có nghiệm kép) af(x) >0 víi mäi x
-a b
2
Nếu > (phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1< x2)
Th× af(x) > nÕu x < x1 x> x2 af(x) < nÕu x1 < x < x2
Đó kiến thức khởi đầu định lý dấu tam thức bậc hai
2 VËn dông:
HÃy giải phơng trình bậc hai tơng ứng råi rót kÕt ln vỊ nghiƯm cđa c¸c bÊt phơng trình sau:
a./ 2x2 + x + >0 b./ x2 + 2x + > 0 c./ - x2 + 2x – >0 d./ x2 – 5x + < 0 e./ -2x2 - 5x + >
C KÕt qu¶ nghiên cứu áp dụng
Tụi ó ỏp dng cách làm cho học sinh nhửng năm gần thu đợc kết khả quan:
- Có 70% HS lớp 9giải thành thạo bất phơng trình bËc hai
- 75% HS biến đổi thành thạo để khai thác tốt cách tìm giá trị lớn nhỏ tam thức bậc hai
- 90% HS thấy đơc vai trò trong bi toỏn v gii bt
ph-ơng trình bậc hai
- 100% HS cho cách làm giúp HS dể tiếp cậnvới định lý dấu tam thức bậc hai
(6)Trên số suy nghĩ tìm tịi GV giảng dạy HS phần đả thu nhận đợc kết khả quan Gây đợc hứng thú cho HS học lớp nhận đơc phản ứng tích cựccủa HS đả học xong
Tuy nhiên điều kiện lực thời gian nên vấn đề đa chă có chổ cịn hạn chế
Mong đơc quan tâm đọc góp ý vận dụng bạn đồng nghiệp