ChÝnh v× vËy mµ t«i chän chuyªn ®Ò nµy ®Ó nghiªn cøu vµ d¹y cho häc sinh nh»m bæ sung cho c¸c em phÇn kiÕn thøc cÇn cã trong ch¬ng tr×nh to¸n THCS, cïng víi mong muèn gióp c¸c em häc tèt[r]
(1)Môc lôc
A Đặt vấn đề ……… …… B Nội dung phơng pháp ……… ………… I Tình hình chung……… … II Những vấn đề đợc giải quyết……… … III Phơng pháp tiến hành……… ……… Kiến thức bản……… ……… Kiến thức bổ sung……… … Một số dạng tập phơng pháp chung………
3.1 D¹ng 1: Quy luật với số nguyên 1.1 Phơng pháp …… 1.2 Mét sè vÝ dô……… 1.3 Bài tập tơng tự 1.4 TiĨu kÕt……… 3.2 D¹ng 2: Quy lt víi phân số có mẫu số khác 3.2.1.Dạng 2.1: Tách phân số
2.1.1 Phơng pháp……… ……… …… 2.1.2 Một số ví dụ……… 2.1.3 Bài tập tơng tự ……… 2.1.4 Tiểu kết……… 3.2.2.Dạng 2.2: Phân số có dạng cấu trúc số……… ……… 2.2.1 Phơng pháp……… …… 2.2 Một số ví dụ……… 2.2.3 Bài tập tơng tự ……… 2.2.4 Tiểu kết……… 3.2.3.Dạng 2.3: Một số trờng hợp khác……… ………… 2.3.1 Phơng pháp……… ……… 2.3.2 Một số ví dụ……… 2.3.3 Bài tập tơng tự ……… 2.3.4 Tiểu kết……… 3.3 Dạng 3: Quy luật với lũy thừa……… 3.1 Phơng pháp……… …… 3.2 Một số ví dụ……… 3.3 Bài tập tơng tự ……… 3.4 Tiểu kết……… IV Kết quả…… ……… … V Vấn đề hạn chế……… ……… … VI Điều kiện áp dụng……… ……… VII Hớng đề xuất tiếp tục nghiên cứu ……… C Kết Luận ……… ……… … Tài liệu tham khảo ……… ……… …
Trang 3 3 5 5 10 11 11 11 11 12 20 21 21 21 22 23 23 24 24 24 27 27 27 27 28 36 37 37 38 38 38 39 40
A Đặt vấn đề
Nhà toán học Đức - Gauss đợc mệnh danh vua nhà toán học tính đợc tổng + + + + … + 99 + 100 xác cách giải cịn độc đáo từ ơng nhỏ Ngày nay, học sinh tiểu học đợc làm tốn nh Có thể nói toán nhất, đơn giản tốn có quy luật
(2)qua tốn quy luật, có tâm lí sợ làm tập liên quan đến quy luật… Điều dễ hiểu thông cảm cho học sinh tay em cha có nhiều cơng cụ hỗ trợ ngồi vài cơng thức sách giáo khoa, mà loại tốn lại địi hỏi em phải có phơng pháp học nghiêm túc, chăm chỉ, phải nắm vững kiến thức biết cách vận dụng linh hoạt kiến thức đó, phải biết phân tích tổng hợp để tìm mối liên hệ kiến thức trớc kiến thức sau, tập trớc tập sau Và điều đặc biệt phải không ngừng t duy, suy luận logic để tìm lời giải cho tốn Và phải cơng nhận tốn có quy luật mảng kiến thức rộng, hay khó chơng trình tốn THCS Tuy nhiên, loại sách tham khảo lại đề cập đến nó, có xuất vài câu nhỏ, không đa đợc nhiều quy luật khác nhau, nh cha đề cập đến dạng gặp… Đây vấn đề gây nhiều khó khăn cho ngời muốn tìm hiểu chinh phục tốn có quy luật, khơng có kiến thức quy luật, khơng có tập để luyện, để khắc sâu… Chính mà loại tốn cha chiếm đợc cảm tình ngời học
Vì nhiều lí mà tơi định sâu nghiên cứu tốn có quy luật Trong dạng tốn quy luật dạng tập thực phép tính dạng tập nhất, nói tảng cho dạng tập khác Vì vậy, với chuyên đề tơi xin đợc trình bày số nội dung dạng “Thực phép tính với tốn có quy luật” Hy vọng thơng qua chun đề này, tơi giúp tốn quy luật chinh phục hăng say học tập học sinh, đồng thời cung cấp kiến thức cần thiết kinh nghiệm cụ thể phơng pháp tính tốn với quy luật cho đối tợng học sinh Bên cạnh đó, giúp học sinh rèn luyện thao tác t duy, phơng pháp suy luận logic… tạo say mê cho bạn u tốn nói chung bạn u tốn quy luật nói riêng
B nội dung phơng pháp
I T×nh h×nh chung.
Thơng qua giảng dạy, tơi thấy hầu hết học sinh thấy tốn có chứa quy luật sợ Đặc biệt kồng kềnh, phức tạp, dạng tổng quát bỏ qua ln Nh nói “Thực phép tính với tốn có quy luật” dạng tập nhất, nhng đa dạng phong phú Học sinh đợc tiếp cận sớm nhng hiệu học tập em lại cha cao sách giáo khoa yêu cầu mức độ nhẹ nhàng, vừa phải, nhng thầy-cô thay đổi chút em gặp phải khó khăn chồng chất: Làm cách ? Làm nh ? Chứ cha cần trả lời câu hỏi: Làm nhanh hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn, độc đáo ?
Bên cạnh loại tốn sách tham khảo đợc trình bày tản mạn, rải rác, khơng đọng lí thuyết, phơng pháp, tập khơng hệ thống Chính mà tơi chọn chun đề để nghiên cứu dạy cho học sinh nhằm bổ sung cho em phần kiến thức cần có chơng trình tốn THCS, với mong muốn giúp em học tốt phần tốn có quy luật, giúp em khơng cịn thấy sợ gặp tốn quy luật hay khó
II Những vấn đề đợc giải quyết.
(3)Dạng 1:Quy luật với số nguyên.
Dạng 2: Quy luật với phân số có mẫu số khác Dạng 3: Quy luật với lũy thừa.
III Phơng pháp tiến hành.
1 Kiến thức bản:
1.1 PhÐp céng:
* Víi mäi sè nguyªn a, b:
+) Khi a, b cïng d¬ng: a b a b +) Khi a, b cïng ©m: a b a b
+) Khi a, b đối nhau: a + b =
+) Khi a ≥ 0, b ≤ vµ a b : a b a b +) Khi b ≥ 0, a ≤ vµ a b : a b b a +) Khi a > 0, b < vµ a b: a b b a
+) Khi a < 0, b > vµ a b : a b a b
* Víi mäi sè h÷u tØ x, y: +) Khi x a
m
, y b m
(m ≠ 0): x y a b a b m m m
+) Khi x a b
, y c d
(b ≠ d; b,d ≠ 0): x y a c ad bc b d bd
* Lu ý: –(–x) = x
x – y = x + (–y) * TÝnh chÊt cña phÐp céng: +) x y Q, : x + y = y + x
+) x y z Q, , : (x + y)+ z = x + (y + z) +) x Q: x + = + x = x
+) x y z Q, , : x.( y + z) = xy + yz
1.2 PhÐp nh©n:
* Víi mäi sè nguyªn a, b:
+) Khi a, b cïng dÊu: a b a b +) Khi a, b kh¸c dÊu: a b a b * Víi mäi sè h÷u tØ x, y:
Khi x a b
, y c d
(b,d ≠ 0): x y a c ac b d bd
1.3 Lòy thõa:
x y Q, vµ m n N, ta cã: +) xm.xn = xm+n
+) xm :xn = xm – n Víi x ≠ vµ m ≥ n +) (xn)m = xn.m
+) (x.y)n = xn.yn
+) (x:y)n = xn: yn Víi y ≠ 0 +) x0 = Víi x ≠ 0
+) (–x)2n = x2n Víi n N +) –x2n+1 = (–x)2n+1 Víi n N
(4)2 Kiến thức bổ sung:
2.1 Quy tắc dấu ngoặc:
+) (a – b + c) = +(a – b + c) = a – b + c +) – (a – b + c) = – a + b – c
2.2 TÝnh chÊt c¬ phân số:
Với số nguyên a, b, m kh¸c ta cã: +)
a a m b b m +) :
: a a n
b b n Víi n ¦C(a,b) 2.3 CÊu tróc sè:
a b c d n N, , , , ; a, n ≠ ta cã:
+)
n bo ab
ababab abab
=
1
.10101 101
n chu so
ab ThËt vËy:
n bo ab
ababab abab
=
2
00 00 00 00 00 00 00
n chu so n chu so n chu so
ab ab ab ab ab
=
2
.1 00 00 00 00 00 00 100
n chu so n chu so n chu so
ab ab ab ab ab
=
2
.(1 00 00 00 00 00 00 100 1)
n chu so n chu so n chu so
ab
=
1
.10101 101
n chu so
ab Biến đổi tơng tự ta đợc:
+)
n bo abc
abcabcabc abcabc
=
1
.1001001 1001
n chu so
abc
+)
n bo abcd
abcdabcdabcd abcdabcd
=
1
.100010001 10001
n chu so
abcd Mét số dạng tập phơng pháp chung
3.1 Dạng 1: Quy luật với số nguyên
1.1 Phơng pháp:
+) Nu quy luõt cú khong cách cố định ta làm nh sau: - Tìm quy lut
- Tính số số hạng cđa tỉng theo c«ng thøc:
(Sè lín Số nhỏ nhất) : Khoảng cách +
- Tính tổng theo cơng thức: (Số đầu + Số cuối) Số số hạng : +) Nếu quy luật có khoảng cách khơng cố định ta làm nh sau: - Tìm quy luật
- Vận dụng linh hoạt tính chất phép tốn để biến đổi đầu bài, tìm cách tính hp lớ nht
+) Chú ý: Không tính toán cách tính thông thờng
1.2 Một số vÝ dơ:
VÝ dơ TÝnh c¸c tỉng sau:
a) A1 = + + + + … + 2010 + 2011 + 2012 b) A2 = 98 + 93 + 88 + 83 + … + 13 + +3
(5)A1 = ( + 2012 ) 1012 : = 2013 2012 : = 025 078 VËy: A1 = 025 078
* Tìm quy luật câu b không khó khăn nên em học sinh tÝnh A2 rÊt nhanh:
b) Tæng A2 cã: ( 98 – ) : + = 95 : + 1= 19 +1 = 20 sè h¹ng A2 = ( 98 + ) 20 : = 101 20 : = 010
VËy: A2 = 010
* Thoạt nhìn câu c thấy quy luật rồi, nhng lại thắc mắc: số hạng dÃy tăng dần lại giảm dần, đoạn không theo quy luât Trớc lúng túng em, giáo viên gợi ý nhỏ: Không theo quy luật hai quy luật chăng?
Chắc chắn sau nghe giáo viên hỏi em biết tách A3 thành hai tổng: A3 = (1 +4 +7 +10 + … + 2008 + 2011) + (2011 + 2006 +2001 + … + 11 + +1) +) Tổng +4 +7 +10 + … + 2008 + 2011 có: (2011 – 1) : + = 671 số hạng Do đó: +4 +7 +10 + … + 2008 + 2011 = (1+2011).671:2 = 675 026
+) Tổng 2011 + 2006 +2001 + … + 11 + +1 có: (2011 – 1) : + = 403 số hạng Do đó: 2011 + 2006 +2001 + … + 11 + +1 = (2011+1).403:2 = 405 418
Khi đó: A3= (1 +4 +7 +10 +…+ 2008 + 2011) + (2011 + 2006 +2001 +…+ 11 + +1) = 675 026 + 405 418
= 080 444 VËy: A3 = 080 444
Ví dụ 2. Tính phơng pháp hợp lí:
a) B1 = + – + – + – + … + 2010 – 2011 + 2012
b) B2 = – – + + – 11 – 13 + 15 + … + 393 – 395 – 397 + 399 c) B3 = – + – 13 + 19 – 25 + 31 – … víi B3 cã 40 sè h¹ng
d) B4 = 1–5+9 –13+17–21+25+ … víi B4 cã n sè h¹ng (n số tự nhiên khác 0)
* Làm xong ví dụ học sinh nhanh chóng tìm quy luật ví dụ 2: quy luật dấu “+” dấu “ –”, nhóm hợp lí nhng lại bế tắc khơng tìm đợc khoảng cách, khơng tính đợc số số hạng câu a câu b Lúc giáo viên gợi mở: Đừng để ý đến dấu phép tốn mà quan tâm đến phần số thơi, ta tính đợc số số hạng cách dễ dàng:
a) Từ đến 2012 có: (2012 – 1):1 +1 = 2012 số
B1 = (1 + 2012) + (2 – 3) + (4 – 5) + (6 – 7) + … + (2010 – 2011) B1 = (1 + 2012) +
(2012 2):2 1005
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
so
B1 = 2013 + (– 1).1005
B1 = 2013 + (– 1005) B1 = 1008
VËy: B1 = 1008
b) Các số lẻ liên tiếp từ đến 399 có: (399 – 1):2 +1 = 200 số
B2 = (1 – – + 7) + (9 – 11 – 13 + 15) + … + (393 – 395 – 397 + 399) B2 =
200:4 50
0
so
B2 =
VËy: B2 =
c) B3 = – + – 13 + 19 – 25 + 31 – … víi B3 cã 40 sè h¹ng
Đến câu c em thấy khó gặp dấu “ … ” cuối dãy Liệu có phải tìm viết số hạng cuối dãy thực tính tốn đợc khơng ? Khơng cần, giáo viên hớng dẫn em lu ý đến tổng B3 có 40 số hạng:
B3 = (– + 7) + (– 13 + 19) + (– 25 + 31) + …
(6)B3 =
40:2 20
6 6
so
B3 = 6.20 B3 = 120 VËy: B3 = 120
d) B4= 1–5+9–13+17–21+25 + … với B4 có n số hạng (n số tự nhiên khác 0) Nhìn câu d giống câu c nhng lại làm cho học sinh thực bối rối, phải làm nh dấu “ … ” cuối dãy số số hạng số tổng quát: n Lúc cần giáo viên “xúc tác” vấn đề trở nên đơn giản biết bao: “Nếu giống câu c làm nh câu c, nhng trớc tiên em tính số cặp ta thực nhóm hợp lí” Khi đó, học sinh nghĩ số n phải có khả năng: Chẵn lẻ Với n chẵn nhóm dễ rồi, nhng n lẻ nhóm bị “thừa” số hạng Vậy, số hạng “thừa” nằm đâu?
+) NÕu n số tự nhiên chẵn (khác 0):
Khi đó: B4 = (1 – 5) + (9 – 13) + (17 – 21) + … B4 =
4
2
( 4) ( 4) ( 4)
n so
B4 = (– 4)
2 n B4 = – 2n
+) NÕu n số lẻ n số ch½n
Khi đó: B4 = +(– + 9) + (– 13 + 17) +(– 21 + 25) + … B4 = + 4
2
4 4
n so
B4 = +
2 n B4 = + 2.(n – 1) B4 = 2n –
VËy: B4 = – 2n n số chẵn (khác 0) B4 = 2n n số lẻ
VÝ dơ TÝnh c¸c tỉng sau:
a) S1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) (Víi n N*). b) S’1= 10.11 + 11.12 + 12.13 + … + 98.99
c) S2 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + 196.198 + 198.200 d) S3 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 95.97 + 97.99
e) S’ = n(n+2) + (n+2)(n+4) + (n+4)(n+6) + + (n+2k)(n+2k+2) (Víi n N, n > 1, k N)
f) S4 = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + … + 98.100 + 99.101 g) 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + 99.102
h) S5 = 1.999 + 2.998 + 3.997 + … + 998.2 + 999.1
i) S6 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… +n(n+1)(n+2) Víi n N*
Gặp tập kiểu hầu hết học sinh sử dụng máy tính để tính tích trớc tính tổng kết lại, cịn số học sinh “vắt óc” suy nghĩ cách tính khác nh ng phải “đầu hàng” Hãy phân tích chút đã:
a) S1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1)
Trong tỉng nµy, số hạng tích số tự nhiên liên tiếp Ta xét số hạng tổng lµ: 1.2, ta thÊy:
lµ sè tù nhiªn liỊn sau cđa sè tù nhiªn liỊn sau cđa lµ
(7)nên ta nghĩ đến tích 1.2.3
Do đó, giáo viên gợi ý học sinh nhân vế với xem sao? 3.S1 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n.(n+1).3
Theo dòng suy nghĩ này, có 1.2.3 sÏ cã 2.3.4, cã 3.4.5, …
3.S1 =1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + … + n.(n+1).[(n+2) – (n – 1)] 3.S1 =1.2.3+2.3.4–1.2.3+3.4.5–2.3.4+ … +n.(n+1).(n+2) – (n – 1).n.(n+1) 3.S1 = n.(n+1).(n+2)
S1 =
( 1)( 2)
3 n n n
VËy: S1 = ( 1)( 2)
3 n n n b) S’
1 = 10.11 + 11.12 + 12.13 + … + 98.99
Có cơng thức tổng quát nhng làm để áp dụng đợc cơng thức lại vấn đề với học sinh
Muốn sử dụng cơng thức phải có “đoạn đầu” 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 9.10, ta biến đổi nh sau:
S’
1 = (1.2 + 2.3 + … + 9.10 + 10.11 + 11.12 + … + 98.99 ) – (1.2 + 2.3 + … + 9.10) S’
1 =
98.99.100
3 –
9.10.11
S’
1 = 98.33.100 – 3.10.11 S’
1 = 323 070 VËy: S’
1 = 323 070
Hc cã thĨ tÝnh nh tÝnh S1: 3.S’
1 = 10.11.3 + 11.12.3 + 12.13.3 + … + 98.99.3 3.S’
1 = 10.11.(12–9) + 11.12.(13–10) + 12.13.(14–11) + … + 98.99.(100–97) 3.S’
1 = 10.11.12–9.10.11+11.12.13–10.11.12+12.13.14–11.12.13+ … + 98.99.100– 97.98.99
3.S’
1 = 98.99.100 – 9.10.11 3.S’
1 = 969 210 S’
1 = 969 210 : S’
1 = 323 070 VËy: S’
1 = 323 070
c) S2 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 + … + 196.198 + 198.200
Với tổng S2 số hạng lại tích số tự nhiên chẵn liên tiếp, sau biết cách tính tổng S1 chắn em thử tính S2 theo cách tính S1
6.S2 = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 + … + 196.198.6 + 198.200.6
6.S2 = 2.4.6+4.6.(8–2)+6.8.(10 – 4)+ … +196.198.(200 – 194)+198.200.(202 – 196)
6.S2 = 2.4.6+4.6.8–2.4.6+6.8.10–4.6.8+…+196.198.200–194.196.198+ 198.200.202–
196.198.200 6.S2 = 198.200.202 S2 = 198.200.202 : S2 = 333 200 VËy: S2 = 333 200
d) S3 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 95.97 + 97.99
Nhng đến câu cách suy luận câu khơng cịn tác dụng nữa, ta nhân vế làm cho việc tính tổng trở nên phức tạp hơn, khó
Một câu hỏi đặt là: Khi ta nói đến số chẵn đầu ta nghĩ đến số lẻ, ngợc lại Phải chúng có tơng đồng tong trờng hợp ?
Để tính S2 ta nhân vế với 6, tính S3 ta không nhân vế với thử xem ?
6.S3 =1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 95.97.6 + 97.99.6
(8)95.97.99
6.S3 = + 97.99.101 S3 = (3 + 97.99.101) : S3 = 161 651
VËy: S3 = 161 651
e) S’ = n(n+2) + (n+2)(n+4) + (n+4)(n+6) + + (n+2k)(n+2k+2) (Víi n N, n > 1, k N)
Mỗi số hạng S’ tích số chẵn liên tiếp tích số lẻ liên tiếp, điều khơng ảnh hởng đến cách tính tổng Nhng em lúng túng số tổng quát n Giáo viên nhắc nhở em nắm vững quy luật làm nh cách làm câu c, câu d: 6.S’ = n(n+2).6 + (n+2)(n+4).6 + (n+4)(n+6).6 + + (n+2k)(n+2k+2).6
6.S’ = n(n+2)[(n+4)–(n–2)]+(n+2)(n+4)[(n+6)–n]+ + (n+2k)(n+2k+2)[(n+2k+4)–(n+2k– 2)]
6.S’ = n(n+2)(n+4)–(n–2)n(n+2)+(n+2)(n+4)(n+6)–n(n+2)(n+4)+
… + (n+2k)(n+2k+2)(n+2k+4)–(n+2k–2)(n+2k) (n+2k+2)
6.S’=n2k n 2k2 n2k4 n 2 n n2
S’= 2 4 2 2
6
n k n k n k n n n
VËy: S’= 2 4 2 2
6
n k n k n k n n n f) S4 = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + … + 98.100 + 99.101
Câu trở nên đơn giản với học sinh biết cách tính S2 S3 nhng tính cách khác đợc khơng ? Có thể đa tổng khác mà ta biết cách tính chẳng hạn:
S4 = 1.(2+1) + 2.(3+1) + 3.(4+1) + 4.(5+1) + … + 98.(99+1) + 99.(100+1) S4 = 1.2+1.1+2.3+2.1+3.4+3.1+4.5+4.1+ … +98.99+98.1+99.100+99.1 S4 = (1.2+2.3+3.4+4.5+ … + 98.99 + 99.100) + (1+2+3+4+ +98+99) Đến bớc học sinh quen gì!
Cỏch làm dẫn đờng cho học sinh tìm đáp án tổng: g) 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + 99.102
= 1.(2+2) + 2.(3+2) + 3.(4+2) + 4.(5+2) + … + 99.(100+2) = 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + 4.5 + 4.2+ … + 99.100 + 99.2 = (1.2+2.3+3.4+4.5+ … + 98.99 + 99.100) + 2.(1+2+3+4+ … +98+99)
Thật hay! Học sinh có cảm giác nh vừa khám phá vùng đất giàu tài nguyên
h) S5 = 1.999 + 2.998 + 3.997 + … + 998.2 + 999.1
Học sinh bảo “tắt điện” gặp câu này, làm cách biết mà cha tìm đợc đáp số Giáo viên cần hớng dẫn:
S5 = 1.999 + 2.(999 – 1) + 3.(999 – 2) + … + 998.(999 – 997) + 999.(999 – 998) S5 = 1.999+2.999–1.2+3.999–2.3+ … +998.999–997.998+ 999.999–998.999 S5 = (1.999+2.999+3.999+ … +998.999+999.999) – (1.2+2.3+ …
+997.998+998.999)
S5 = 999.(1+2+3+ … +998+999) – (1.2+2.3+ … +997.998+998.999) Bây em thi đọc kết cuối cho toán i) S6 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… +n(n+1)(n+2) Với n N*
S6 cã vỴ gièng S1, thực chất mở rộng chút nhng cách làm suy luận tơng tự :
4.S6 = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 +… +n(n+1)(n+2).4
(9)4.S6 = n(n+1)(n+2)(n+3) S6
1
4
n n n n
1.3 Bài tập tơng tù:
Sau tiếp cận với ví dụ, học sinh “ham” chinh phục đáp án cho tập hơn, giáo viên thay đổi nội dung tập để em thấy hơn, yêu cầu học sinh tập tơng tự cho bạn làm
Bµi TÝnh tỉng số tự nhiên chẵn nhỏ 100.
Bài Tính tổng số tự nhiên lẻ có chữ số.
Bài Tính tổng số tự nhiên chia hết cho có chữ số.
Bài Tính tổng n số tự nhiên đầu tiên.
Bài Tính cách hợp lí:
a) + + + – – – … + 97 98 + 99– b) + 11 + 14 17 + – – – … + 98 101–
c) + + + + – – – – … + 2009 2010 2011 + 2012– – d) 10 15 20 + 25 +30 35 40 + – – – – … + 1990 1995 2000 + 2005– –
Bµi TÝnh:
a) I = + + 11 + – – – … Víi I cã 100 sè h¹ng.
b) G = 12 18 + 24 30 + 36 42 + – – – … Víi G cã 2011 sè h¹ng. c) K = + + + – – – … Víi K có m số hạng ( m N*).
Bài 7. TÝnh c¸c tỉng sau:
a) H1 = 11.12 + 12.3 + 13.14 + … + 97.98 + 98.99 b) H2 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + 196.198 + 198.200
c) H3 = 111.113 + 113.115 + 115.117 + … + 995.997 + 997.999 d) H4 = 5.1 + 6.2 + 7.3 + 8.4 + … + 99.95+ 100.96
e) H5 = 999.10 + 998.11 + 997.12 + … + 11.998 + 10.999
Bài Tính hợp lí tổng sau:
a) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… + 2010.2011.2012 b) 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + … + 97.98.99.100
c) 10.11.12+11.12.13+12.13.14+ … + 47.48.49
d) 50.51.52.53+51.52.53.54+52.53.54.55+ … + 96.97.98.99
Vẫn thực phép tính nhng giáo viên thay đổi yêu cầu chút để học sinh thấy hứng thú hơn, phát triển tính t duy, suy luận logic cho em:
Bµi T×m x:
a) x +(x+1)+(x+2)+(x+3)+ … +(x+2010) = 029 099 b) x +(x+2)+(x+4)+(x+6)+ … +(x+4006) = 030 028 c) (x+2)+(x+7)+(x+12)+ … +(x+42)+ (x+47) = 655 d) + + + + … +2x = 210.
Bµi 10. Chøng minh r»ng:
a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n 1).n – 1 1 n n n
Víi n lµ sè tù nhiên lớn
b) 2.4 + 4.6 + 6.8 + … + (2n 2).2n – 2 2 2 2
n n n
Với n số tự nhiên lớn
c) 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n 1).(2n + 1) – 2 2 2 3
n n n
Víi n N*
d) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +… +n(n+1)(n+2) 1 2 3
n n n n
Víi n N*
e) 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + … + n(n+1)(n+2)(n+3) 1 2 3 4
n n n n n
Víi n N*
(10)1.4 Tiểu kết: Quy luật với số nguyên đơn giản biết cách tính tổng nh sách giáo khoa, thực tế cách biến đổi khéo léo khó tìm đáp số cho toán Dạng tập yêu cầu học sinh phải nắm vững quy luật, cách biến đổi, đặc biệt kỹ tính tốn cẩn thận, xác dễ nhầm Dạng có nhiều ứng dụng cho số dạng tốn quy luật khác
3.2 D¹ng 2: Quy luật với phân số có mẫu số khác 3.2.1 Dạng 2.1: Tách phân số.
2.1.1 Phơng pháp:
+) Với phân số có dạng tỉng qu¸t
k
n n k ta thêng viÕt díi d¹ng
1
n n k
( Víi n N* vµ k N*)
Chøng minh: Ta cã: 1
n n k = n k n n n k
=
k n n k VËy:
k
n n k =
1
n n k +) Víi ph©n sè cã dạng tổng quát
m
n n k ta thêng viÕt díi d¹ng
1
m
k n n k
Hc m m k n n k
( Víi n N* vµ k N*)
Chøng minh:
Ta cã: m 1 k n n k
=
m n k n k n n k
=
m k
k n n k =
m n n k VËy:
m n n k =
1
m
k n n k
+) Víi phân số có dạng tổng quát
2 k
n n k ta thêng viÕt díi d¹ng
k k n n k
( Víi n N* vµ k N* )
Chøng minh:
Ta cã: k k
n n k =
( )
k n k nk n n k
=
(11)VËy:
k
n n k =
1
n n k
2.1.2 Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1. TÝnh nhanh:
a) M1 = 2
1.3 3.5 5.7 2009.2011
b) M2 =
1 1
10.12 12.14 14.16 98.100
c) M3 = 5
1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013
d) M4 =
36 36 36 36
1.7 7.13 13.19 94.100
e) M5 = 19
1.4 4.9 9.16 81.100
Khi trang bị kĩ cho học sinh tri thức phơng pháp câu khơng làm khó đợc em trình tìm lời giải cho toán
a) M1 =
2 2
1.3 3.5 5.7 2009.2011
Quan sát thấy tử số phần hơn-kém thừa số mẫu số Đúng dạng công thức phơng pháp học
M1 = 1 1 1 1
1 3 5 7 2009 2011
M1 =
1
1 2011
M1 = 2010
2011
VËy: M1 =
2010 2011
b) M2 = 1
10.12 12.14 14.16 98.100
Ta thấy phần hơn-kém thừa số mẫu số mà tử số lại Do đó, làm xuất tử số
M2 =
2
2 2
10.12 12.14 14.16 98.100
M2 =
2
1 1 1 1
10 12 12 14 14 16 98 100
M2 =
2
1
10 100
M2 =
1
9 100
M2=
200
VËy: M2=
9 200
(12)c) M3 = 5
1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013
Ta thấy phần hơn-kém thừa số mẫu số mà tử số lại nên ta biến đổi nh sau:
M3 =5
3
3 3
1002.1005 1005.1008 1008.1011 2010.2013
M3 =5
3
1 1 1 1
1002 1005 1005 1008 1008 1011 2010 2013
M3 =5
3
1
1002 2013
M3 =
5
1011 1002.2013
M3 = 1685
32017026
VËy: M3 =
1685 32017026
d) M4 = 36 36 36 36
1.7 7.13 13.19 94.100
Để ý đề chút ta phát tử số bình phơng phần hơn-kém thừa số mẫu số
M4 =
2 2
6 6
1.7 7.13 13.19 94.100
M4 =
6 6 6 6
1 7 13 13 19 94 100
M4 = 6
1 100
M4 =
594 100
M4 = 297
50
VËy: M4 =
297 50
e) M5 = 19
1.4 4.9 9.16 81.100
Nhìn tổng thể đầu phát quy luật số: Tử số số tự nhiên lẻ liên tiếp, mẫu số tích số phơng Nhng không gợi đợc cách làm Phải để ý phân tích số hạng tổng thấy lối dẫn đến lời giải:
19 1.4 4.9 9.16 81.100
1 1 1 1
1
4 9 16 81 100
1 100
(13)99
100
VËy: M5
99 100
Bây thấy thật đơn giản
Mở rộng với mẫu số tích 3, số tự nhiên liên tiếp xem có làm khó đ-ợc em không?
Ví dụ TÝnh c¸c tỉng sau: a) C1 =
2 2
10.11.12 11.12.13 13.14.15 997.998.999
b) C2 = 4
1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100
c) C3 =
18 18 18 18
10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 96.97.98.99
d) C4 = 5
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99
Các em làm ví dụ nh cách làm ví dụ 1, nhng gặp phải trở ngại viết phân số tổng dới dạng để tính nhanh gọn nh ví dụ Lúc này, giáo viên yêu cầu học sinh làm toán nhỏ:
TÝnh: 1
( 1) ( 1)( 2)
n n n n vµ
1
( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
n n n n n n Ta đợc: 1
( 1) ( 1)( 2)
n n n n =
2
( 1)( 2)
n n n
1
( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
n n n n n n =
3
( 1)( 2)( 3)
n n n n
Sau em tự vận dụng kết để làm cách hăng say
a) C1 = 2
10.11.12 11.12.13 13.14.15 997.998.999
Ta cần tử số, có sẵn C1 =
1 1 1 1
10.11 11.12 11.12 12.13 13.14 14.15 97.98 98.99
C1 = 1
10.11 98.99
C1 =
218 24255
VËy: C1 = 218
24255
b) C2 =
4 4
1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100
Ta cần tử số, biến đổi để làm xuất điều đó! C2 =
2 2
1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100
C2 =
1 1 1 1
1.2 2.3 2.3 3.4 4.5 5.6 98.99 99.100
(14)C2 =
1
1.2 99.100
C2 = 4949
99.100
C2 =
4949 4950
VËy: C2 = 4949
4950
c) C3 =
18 18 18 18
10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 96.97.98.99
Ta cÇn cã tử, làm xuất việc tách theo quy luật xong C3 =
3 3
10.11.12.13 11.12.13.14 12.13.14.15 96.97.98.99
C3 =6
1 1 1 1
10.11.12 11.12.13 11.12.13 12.13.14 12.13.14 13.14.15 96.97.98 97.98.99
C3 =
1
10.11.12 97.98.99
C3 = 97.49.3 20
97.98.99.20
C3 =
14239 3136980
VËy: C3 = 14239
3136980
d) C4 =
5 5
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99
Hãy làm xuất tử số đã, sau thực theo bớc nh câu c C4 =
5 3 3
3 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 96.97.98.99
C4 =
5 3
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 96.97.98 97.98.99
C4 =
5 1
3 1.2.3 97.98.99
C4 =
3
97.49.33 97.98.99
C4 =
5
78424 470547
C4 = 392120
1411641
VËy: C3 =
392120 1411641
Thay đổi chút xem có lạ khơng?
VÝ dơ 3. TÝnh nhanh:
(15)b) 1 1 90 110 132 156 870
c) 1
45 55 66 2015.2016
d) 1
10 40 88 (3n2)(3n5) Víi n N
Trơng thấy “mới lạ” nhng em tính cách … quy đồng mẫu số, việc làm dẫn em vào “ngõ cụt” Trong lúc khó khăn nh học sinh cần đến gợi mở giáo viên để giải vấn đề
Với phơng pháp “quy lạ quen”, giáo viên cần hỏi học sinh: biến đổi đầu ta biết cách làm khơng? viết mẫu số thành tích 2; số theo quy luật không?
a)Tổng nghịch đảo của: 2; 6; 12; 20; … ; 90
Bài cịn làm khó học sinh “dịch” chữ biểu thức số Muốn có tổng nghịch đảo phải tìm nghịch đảo trớc đã:
Các số 2; 6; 12; 20; … ; 90 có nghịch đảo lần lợt 1 1; ; ; ; ; 1;
2 12 20 72 90
Tổng nghịch đảo của: 2; 6; 12; 20; … ; 90 1 1 1 12 20 72 90
1 1 1 12 20 72 90
= 1 1 1
1.2 2.3 3.4 4.5 8.9 9.10
= 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 8 9 10
= 1 10
=
10
b) 1 1
15 110 132 156 870
Học sinh viết đợc quy luật nhng lại bị “vớng” dấu trừ, làm để đổi dấu trừ thành dấu cộng?
1 1
15 110 132 156 870
= 1 1
15 10.11 11.12 12.13 29.30
= 1 1 1 1
15 10 11 11 12 12 13 29 30
= 1
15 10 30
= 1
15 15
=
(16)c) 1 45 55 66 2015.2016
Trong tổng này, ta phải dựa vào số hạng cuối để viết số hạng khác quy luật:
1
45 55 66 2015.2016
= 2
2.45 2.55 2.66 2015.2016
= 2
9.10 10.11 11.12 2015.2016
= 2 2 2 2
9 10 10 11 11 12 2015 2016
= 2
9 2016
= 223
1008
d) 1
10 40 88 (3n2)(3n5) Víi n N
Sau tính đợc tổng câu c, nhìn số hạng
(3n2)(3n5) tổng việc đa số
hng cịn lại quy luật thực tính tổng không vấn đề nhng học sinh lại băn khoăn có mặt n Giáo viên nhắc em làm nh làm việc với số
1
10 40 88 (3n2)(3n5)
= 1
2.5 5.8 8.11 (3n2)(3n5)
=
3
3 3
2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)
=
3
1 1 1 1
2 5 8 11 3n 3n
=
3
1
2 3n
=
3
3( 1)
2(3 5)
n n
=
2(3 5)
n n
VÝ dơ 4. TÝnh hỵp lÝ:
a) 1 1 1
1.3 2.4 3.5 4.6 97.99 98.100
b) 99 99 99
100 100.101 101.102 999.1000
(17)a) 1 1 1 1.3 2.4 3.5 4.6 97.99 98.100
Học sinh thờng khơng thích làm việc với dấu “–” em hay bị “vấp” Do ta nên biến đổi dấu trớc tính toán sau:
1 1 1
1.3 2.4 3.5 4.6 97.99 98.100
= 1
1.3 3.5 97.99
1 1
2.4 4.6 98.100
= 2
2 1.3 3.5 97.99
1 2
2 2.4 4.6 98.100
= 1 1 1
2 3 97 99
1 1 1 1
2 4 98 100
= 1
2 99
1 1
2 100
= 98
2 99
1 49 100
= 98 49
2 99 100
=1 9800 4851
2 9900
= 4949
19800
VËy: 1 1 1
1.3 2.4 3.5 4.6 97.99 98.100 = 4949 19800
b) 99 99 99
100 100.101 101.102 999.1000
Quan sát ban đầu ta thấy số hạng không nằm quy luật số hạng cịn lại, nhóm số hạng theo quy luật vào nhóm tính Nh ng để ý kĩ chút ta đa đợc số hạng quy luật với số hạng lại:
99 99 99 100 100.101 101.102 999.1000
= 99 99 99 99
99.100 100.101 101.102 999.1000
= 99 1
99.100 100.101 101.102 999.1000
= 99 1 1 1 1
99 100 100 101 101 102 999 1000
= 99 1 99 1000
= 99 1000 99 99.1000
(18)= 901
1000
VËy: 99 99 99
100 100.101 101.102 999.1000= 901 1000
2.1.3 Bài tập tơng tự:
Khi nắm đợc phơng pháp làm xong ví dụ lúc em hình thành cho phản xạ, nh kỹ tách phân số thuộc quy luật Bây em độc lập làm tốn tơng tự:
Bµi TÝnh:
a) 1
1.2 2.3 3.4 n n.( 1) Víi n N
*; b) 3 11.12 12.13 13.14 98.99 c) 1
2.4 4.6 6.8 2010.2012 ; d)
8 8
11.13 13.15 15.17 2011.2013
e) 9
11.16 16.21 21.26 2011.2016 ; f)
7 7
1.2.3 2.3.4 3.4.5 48.49.50 g) 25 25 25 25
1.6 6.11 11.16 2011.2016 ; h)
4 4 4 4
3 7 11 11 15 2011 2015
i)
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1).( 2)
k k k k
n n n
Víi n N
*
Bài Tính tổng nghịch đảo của:
a) 20; 30; 42; 56; …; 2450
b) 110; 132; 156; 182; … ; 9702 c) 3; 15; 35; 63; … ; 2303
d) 10; 40; 88; 154; 238; 340
Bµi TÝnh nhanh:
a) 1 1
90 72 56 42 ; b)
9 9
28 70 1480
c) 1 1
80.73 73.66 66.59 59.52 10.3
1 1
2.9 9.16 16.23 23.30
d) 10 10 10 10 10 10 11.13 12.14 13.15 14.16 97.99 98.100 e) 101 101 101
100 100.99 99.98 2.1
Cũng thực phép tính, nhng thầy-cơ u cầu khác chút để em hứng thú làm bài:
Bài Tìm số tự nhiên x khác biết:
a) 1 44
1.2 2.3 3.4 x x.( 1) 45 ; b)
1 1 1999
1
3 10 x x.( 1) 2001
c) 1 19
15 21 28 4950 100
x
; d) 1 101
5.8 8.11 11.14 x x.( 3) 1540
e) 1 1
.( 4) ( 4).( 8) ( 8).( 12) 4.( 12)
x x x x x x x
f) 5 5
.( 2) ( 2).( 4) ( 4).( 6) 2.( 6) 40
(19)g) 36 36 36 36 313
1.7 7.13 13.19 x x.( 6) 53 ; h)
2 2
7 7 14063
8 120 330 x x.( 7)2010
i) 1 23
1.2.3 2.3.4 3.4.5 8.9.10 x 45
; k)
10 10 10 10
56 140 260 2400 x 14
Bµi 5. Chøng minh r»ng:
a) 1 1
1.2 2.3 3.4 2011.2012 b) 1 1
1.3 3.5 49.51 2
c) 1 1
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 47.48.49.50 18 d) 1 1 1 57
2 24 60 7980 9240 462
e) 5 80 1.4 4.7 7.10 46.4949
f)
1.3 3.5 5.7 (2 1).(2 1)
k k k k kn
n n n
Víi n vµ k lµ số tự nhiên khác
2.1.4 Tiểu kÕt:
Với dạng này, em phải ý đến quy luật mẫu số biến đổi tử số cách linh hoạt theo quy luật Học sinh gọi tên dạng “toán rút ruột”, sau tách phân số theo quy luật em lu ý đến dấu “–” dấu “+” để triệt tiêu số đối
3.2.2 Dạng 2.2: Phân số có dạng cấu trúc số.
2.2.1 Phơng pháp:
+) Với phân số có dạng tổng quát
aaa aa
bbb bb (cã n ch÷ sè a, n ch÷ sè b) ta đa a b (n số tự nhiên khác 0)
Chứng minh:
Ta cã:
n chu so a
aaa aa = a.
1
111 11
n chu so
n chu so b
bbb bb = b.
1
111 11
n chu so
Khi đó:
aaa aa bbb bb =
a b VËy:
aaa aa bbb bb =
a b
+) Với phân số có dạng tỉng qu¸t
abab ab
cdcd cd (cã n béab, n bécd) ta ®a vỊ ab cd (n số tự nhiên khác 0)
Chøng minh:
Ta cã:
n bo ab
abab ab
= ab.
1
10101 01
n chu so
n bo cd
cdcd cd = cd
1
10101 01
n chu so
(20)Khi đó:
abab ab cdcd cd =
ab cd VËy:
abab ab cdcd cd =
ab cd +) Víi sè có dạng tổng quát
1
1001001 1001
n chu so n bo abc
abcabc abc abc
(n lµ số tự nhiên khác 0)
2.2.2 Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1. TÝnh nhanh:
13131313 55555 21212121 66666
Nhìn thấy số to đùng này, nhiều học sinh phát hoảng Nhng có phơng pháp tay tìm đáp số khơng khó khăn em
13131313 55555 21212121 66666 =
13.1010101 5.1111 21.1010101 6.1111 = 13
21 6 = 61
42
VÝ dô 2. TÝnh nhanh: 222222 33333333
151515 20202020
Nhiều học sinh tách 222222 = 2.111111 333333 = 3.111111 nên rút gọn đợc phân số, ngồi “cắn bút” cần thầy-cô “mở đờng” cho Rất đơn giản: Hãy viết mẫu quy luật trớc, viết tử theo quy luật xong
222222 33333333 151515 20202020 =
22.10101 33.10101 15.10101 20.10101 = 22 33
15 20
= 11
60
VÝ dô 3. TÝnh nhanh:
234234234234 543543543 123123123123 246246246
Làm xong ví dụ em tự tin làm tập tơng tự, nhng có chữ số lặp lại Câu có tới chữ số lặp lại khiến em bó tay Lúc thầy-cô hÃy nhắc em dựa vào lí thuyết cấu trúc số mà tách tử mẫu phân số theo quy luËt råi rót gän
234234234234 543543543 123123123123 246246246 =
234.1001001001 543.1001001 123.1001001001 246.1001001 = 234 543
(21)= 75
246
= 25
82 2.2.3 Bài tập tơng tự:
Giỏo viờn yờu cu em học sinh lấy ví dụ tơng tự làm vào trao đổi cho bạn bên cạnh làm
Bµi TÝnh nhanh:
a) 12121212 404
17171717 17 1717 ; b)
555555 44444444 151515 20202020 c) 456456456456 26262626
132132132132 22222222 ; d)
88888888 216216216216 12121212 666666666666 e) 201120112011.20132013 – 201320132013.20112011
Vẫn cách làm nhng thay đổi yêu cu u bi mt chỳt:
Bài So sánh:
a) 201120112011
201220122012 Víi 11
12 ; b)
333333 123123
vµ –1
2.2.4 TiÓu kÕt:
Muốn làm tốt dạng tập học sinh phải có kiến thức cấu trúc số nh kỹ viết số dới dạng tích theo quy luật phù hợp để rút gọn đợc
3.2.3 D¹ng 2.3: Mét số trờng hợp khác.
2.3.1 Phơng pháp:
Với phân số có dạng tử mẫu biểu thức có chứa quy luật phân tích, tổng hợp vận dụng linh hoạt kiến thức, phơng pháp biết để lập luận đa đáp án cách hợp lí
2.3.2 Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1. TÝnh:
a) 1 1 1 1 1
2 10
b) 190072572 2011.20122012 20112011.2012
1 2011
c) 50 3333 333333 33333333 3333333333 33333333 333333 3333
1212 202020 30303030 4242424242 56565656 727272 9090
Trải qua dạng quy luật khả suy luận nh kĩ trình bày làm học sinh loại tốn trở thành “lối mịn”
a) 1 1 1 1 1
2 10
Gặp câu em tính tự nhiên theo thứ tự thực phép tính
1 1 1 1 1
2 10
1
2 10
10
(22)b) 190072572 2011.20122012 20112011.2012
1 2011
Nhìn quy luật, học sinh làm ngay: tính tử số, tính mẫu số theo quy luật biết Đến đây, thầy-cô nhắc nhở em: tính tử số khơng cần phải tính mẫu số
190072572 2011.20122012 20112011.2012 2011
= 190072572 2011.2012.10001 2011.10001.2012 2011
= 190072572
1 2011
= 190072572.0 =
c) 50 3333 333333 33333333 3333333333 33333333 333333 3333 1212 202020 30303030 4242424242 56565656 727272 9090
= 50 33.101 33.10101 33.1010101 33.101010101 33.1010101 33.10101 33.101
12.101 20.10101 30.1010101 42.101010101 56.1010101 72.10101 90.101
= 50 33 33 33 33 33 33 33 12 20 30 42 56 72 90
= 50.33 1 1 1
3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
= 50.33 1 1 1 1 1 1 1
3 4 5 6 7 8 9 10
= 50.33 1 10
50 33
30
= 385
VÝ dơ 2. TÝnh hỵp lÝ:
a) 1.2011 2.2010 3.2009 2011.1
1.2 2.3 3.4 2011.2012
b)
1 1
2 100
99 98 97
1 99
c)
1 1
1
3 97 99
1 1 1
1.99 3.97 5.95 97.3 99.1
(23)sao? Thầy-cô động viên em bình tĩnh, quan sát thật kĩ đặc điểm biểu thức liên hệ với kiến thức quy luật biết để làm
a) 1.2011 2.2010 3.2009 2011.1
1.2 2.3 3.4 2011.2012
Phát tử số thuộc quy luật, mẫu số thuộc quy luật khác nên em tính tử, tính mẫu riêng cho đỡ nhầm lẫn nhng nhớ ghi kết dới dạng tích để dễ rút gọn
Ta cã:
+) 1.2011 2.2010 3.2009 2011.1
= 1.2011+2.(2011–1)+3.(2011–2)+… +2011.(2011–2010) = 1.2011+2.2011–1.2+3.2011–2.3+… +2011.2011–2010.2011
= (1.2011+2.2011+3.2011+… +2011.2011) – ( 1.2+2.3+…+2010.2011) = 2011.(1+2+3+…+2011) – ( 1.2+2.3+…+2010.2011)
= 2011 2012.2011
– 2010.2011.2012
3
= 2011.1006.2011 – 670.2011.2.1006 = 2011.1006.(2011 – 670.2)
= 2011.1006.671
+) 1.2 2.3 3.4 2011.2012
= 2011.2012.2013
= 2011.2012.671
Do đó: 1.2011 2.2010 3.2009 2011.1 1.2 2.3 3.4 2011.2012
=
2011.1006.671 2011.2012.671 =
2 b)
1 1
2 100
99 98 97
1 99
Học sinh biến đổi tử số nhng mẫu số có thể: Ta có: 99 98 97
1 99 = 99 +
98 97
99
= (98 1) (97 1) ( 1)
2 99
= 100 1 1
2 99 100
Do đó:
1 1
2 100
99 98 97
1 99
=
1 1
2 100
1 1
100
2 100
(24)
=
100
c)
1 1
1
3 97 99
1 1 1
1.99 3.97 5.95 97.3 99.1
Tinh ý mét chót th× ta thÊy tỉng 1 1
1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 sè h¹ng
xuất lần nên biến đổi:
1 1
1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 =
1 1
1.99 3.97 5.95 49.51
Từ gợi cách biến đổi: 1 1
3 97 99
= (1 ) (1 ) (1 ) (1 1)
99 97 95 49 51
= 100 100 100 100 1.99 3.97 5.95 49.51
= 100 1
1.99 3.97 5.95 49.51
Khi đó:
1 1
1
3 97 99
1 1 1
1.99 3.97 5.95 97.3 99.1
=
1 1
2
1.99 3.97 5.95 49.51
1 1
100
1.99 3.97 5.95 49.51
=
100
=
50 2.3.3 Bài tập tơng tự:
TÝnh nhanh:
1) 636363.37 373737.63 11 12 13 2015
; 2)
555555.406 406406.55 2012
3)
2011 2011 2011 2011
2 100
2011 2010 2009
1 2011
; 4) 1313 131313 131313 1313 1515 353535 636363 9999 5) 231 3939 393939 35 :1 414141 41414141
3 3030 424242 565656 72727272
6) 1 1 1 1 1
10 11 12 99 100
7) 1 1 1 1 1
2 49 50
2.3.4 TiÓu kÕt:
(25)hoạt biến đổi quy luật để làm xuất thừa số chung tử số mẫu số để rút gọn cách nhanh chóng
3.3 D¹ng 3: Quy lt với lũy thừa.
3.1 Phơng pháp:
+) Nắm vững biết sử dụng linh hoạt công thức lũy thừa để biến đổi biểu thức +) Học sinh cần nắm vững cơng thức tính cách tính tổng dãy số có quy luật dạng trớc, ví dụ làm Biết vận dụng linh hoạt kiến thức tr-ờng hợp để biến đổi điều cha biết toán quen thuộc
3.2 Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1. TÝnh:
a) D = + a + a2+ a3+ … + an (Víi a lµ số hữu tỉ khác khác 1, n N) b) D1 = 7100 – 799 – 798– 797 – 796– … – 72– –
c) D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599 d) D3 = 12 13 20101 20111
3 3 3 3 3
e) D4 = – + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012 f) D5= 2 22426 2 100
g) (100 – 12) (100 – 22) (100 – 32) (100 – 42) … (100 – 12012) (100 – 20122) Các tập đơn giản mà có liên quan đến lũy thừa khó học sinh, mà khơng có hớng dẫn giáo viên chắn em làm đợc a) D = + a + a2+ a3+ … + an
Đây tập tổng quát, sau làm xong - em sử dụng kết nh công thức để làm tốn có liên quan Do đó, thầy-cơ khắc sâu cách làm nh kết cho học sinh
Ta cã: D =
1 n
a a a a
=
a.(a + a
2+ a3+ … + an+1) =
a.(D – + a n+1) Suy ra: a.D = D – + an+1
a.D – D = an+1 – D.(a – 1) = an+1 – D =
1 1
1
n
a a
VËy:
1
2
1
1
n
n a
a a a a
a
b) D1 = 7100 – 799 – 798– 797 – 796– … – 72– –
Quan sát thấy câu cha thể vận dụng công thức tính tổng câu a, mà phải qua số bớc biến đổi áp dụng đợc.Với “vốn” kiến thức kỹ có đợc làm dạng tập trớc, học sinh nghĩ: Để sử dụng cơng thức tổng qt ta phải biến đổi dấu “ – ” thành dấu “ + ”:
D1 = 7100 – (799 + 798+ 797 + 796+ … + 72+ + 1) D1 = 7100 –
100
7
7
D1 =
100 100
6.7
6
(26)D1 =
100
5.7
6
VËy: D1 =
100
5.7
6
c) D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599
Nhìn thấy quy luật D2 tính đợc nhng phát ra: So với công thức tổng quát D2 “thiếu” + 5+ 52 + … + 59 nên em làm Khi đó, giáo viên gợi ý: ta “vay” “trả” phần “thiếu”
D2 = (1 + 5+ 52 + … + 59 + 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599) – (1 + 5+ 52 + … + 59)
100
5
5
D
10
5
5
100 10
2
5
4
D
VËy:
100 10
2
5
4
D
Có thể tính D2 cách khác khơng ? Có thể dựa vào cách tính cơng thức tổng qt để tính D2 không ?
D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598+ 599 D2 =
1 5.(5
11 + 512 + 513 + …+ 599 + 5100) D2 =
5.(D2 –
10 + 5100) 5.D2 = D2 – 510 + 5100
5.D2 – D2 = 5100– 510 D2 = 5100– 510
100 10
2
5
4
D
d) D3 = 2 3 2010 2011
1 1 1
3 3 3 3 3
Học sinh đa số hạng số, áp dụng công thức tổng quát Giáo viên yêu cầu em làm theo cách khác xem sao? Lúc học sinh nghĩ đến cách thứ hai câu b Có thể trình bày khác chút:
3.D3 = 2 3 2010 2011
3 3 3
3 3 3 3 3 3.D3 = 2 2009 2010
1 1
1
3 3
D3 = 2 3 2010 2011
1 1 1
3 3 3 3 3
3.D3 – D3 = 2011 1
3
(27)2.D3 =
2011 2011
3
3
D3 =
2011 2011
3
2.3
e) D4 =1 – + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012 Häc sinh sÏ ®a dÊu “ – ” vÒ dÊu “ + ”:
D4 =1 + (–2) + 22 + (–23) + … + 22010 +(–22011)+ 22012
Nhng gặp phải khó khăn em thấy số lúc 2, lúc lại -2 Thầy-cơ “ra mặt” giúp đỡ em: lu ý đến tính chất –a2n+1 = (–a)2n+1 với n N Bây giờ học sinh viết số để áp dụng công thức tổng quát:
D4 = + (–2) + (–2)2 + (–2)3 + … + (–2)2010 +(–2)2011+ (–2)2012
2013
( 2)
( 2)
D
2013
2
3
D
2013
2
3
D
VËy:
2013
2
3
D
Hoặc làm tơng tự câu c:
D4 = – + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012
D4 = – 22 + 23 – 24 + … + 22011 – 22012 +22013 D4 = – + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012
D4 + D4 = 22013 + 3.D4 = 22013 +
2013
2
3
D
f) D5= 2 22426 2 100
Nếu áp dụng cách làm nh câu khơng tìm đợc đáp số cho tốn Vì câu ta cần để ý đến số, câu phải quan tâm đến số mũ nữa: số 2, khoảng cách số mũ Giáo viên hớng dẫn:
D5 = 2 2426 2 100 22.D
5 = 22 1 222426 2 100 22.D
5 = 22242628 2 102 D5 = 2 22426 2 100 4.D5 – D5 = 2102 –
3.D5 = 2102 –
102
2
3
D
(28)VËy:
102
2
3
D
g) (100 – 12).(100 – 22).(100 – 32).(100 – 42) … (100 – 12012).(100 – 20122) Với câu học sinh nhìn thấy quy luật nhng làm theo thứ tự thực phép tính thơi, chẳng giải đợc vấn đề số to Giáo viên nhắc em để ý đến thừa số đặc biệt 100 – 102 em “ ” bất ngờ quá:
(100 – 12).(100 – 22).(100 – 32).(100 – 42) … (100 – 12012).(100 – 20122) = (100 – 12).(100 – 22).(100 – 32) (100 – 102) … (100 – 12012).(100 – 20122)
= (100 – 12).(100 – 22).(100 – 32) (100 – 92).0.(100 – 112) … (100 – 12012).(100 – 20122)
=
VÝ dô 2. TÝnh:
a) 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 víi n N* b) 22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2 víi n N* c) 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n+1)2 víi n N d) 102 + 112 + 122 + 132 + … + 492 + 502 e) 12 22 32 42 52 62 20112
Nhìn thấy số thay đổi, mà đa số đợc, em đâu, làm nh nào? Có thể biến đổi quy luật quy luật ta biết cách tính khơng?
a) 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2
Ta thấy số số tự nhiên liên tiếp nên tách nh sau: = 1+ 2(1+1)+ 3(2+1)+ 4(3+1)+ … + n[(n–1)+1]
= 1+ 1.2+ + 2.3+ + 3.4 + 4+ … + (n–1)n + n
= (1 + +3 +4 + … + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+ … + (n–1)n]
( 1)
2
n n
( 1) ( 1)
3
n n n
( 1) 2( 1) ( 1)
6
n n n n n
( 1)[3 2( 1)]
6
n n n
( 1)(2 1)
n n n
VËy: 12 22 32 42 ( 1)(2 1)
n n n
n
b) 22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2
Câu khơng thể tách giống câu a đợc số số chẵn liên tiếp Ta thấy số chẵn liên tiếp - đơn vị, điều có gợi cho điều khơng ? Học sinh làm đợc dới dẫn dắt giáo viên:
22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2
= 2.2.2 4.4.2 6.6.2 8.8.2 2n 2n 2
2
= 2.4 4.8 6.12 8.16 2n 4n
(29)= 2 3 5 7 9 2n 2n –1 2n 1
2
= 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 2n –1 2n 2n 2n 1
2
= (2 1)(2 2)
2
n n n
= (2 1)(2 2)
n n n
Có học sinh phát số câu b gấp lần số câu a, biến đổi câu b câu a khơng ? Ta có cách làm khác:
22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2 = (2.1)2 + (2.2)2 + (2.3)2 + (2.4)2 + … + (2.n)2 = 22.12 + 22.22 + 22.32 + 22.42 + … + 22.n2 = 22.(12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 )
= ( 1)(2 1)
n n n
= (2 1)(2 2)
n n n
c) 12 + 32 + 52 + 72 + + (2n+1)2
Câu có số số lẻ liên tiếp, làm tơng tự nh số chẵn liên tiếp câu b không ?
12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n+1)2 =
2 [ 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + … + (2n+1).(2n+1).2 ] =
2 [ 1.2+ 3.6 + 5.10 + 7.14 + … + (2n+1).(4n+2) ] =
2 { 1.2 + 3.(2+4) + 5.(4+6) + 7.(6+8) + … + (2n+1).[(2n)+(2n+2)] } =
2 [ 1.2 + 2.3 + 3.4+ 4.5 + 5.6+ 6.7 +7.8 + … + (2n)(2n+1)+ (2n+1)(2n+2)] = (2 1)(2 2)(2 3)
2
n n n
= (2 1)(2 2)(2 3)
n n n
Khi có cơng thức tính câu a câu b ta sử dụng chúng để tính câu c, ta biến đổi:
12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n+1)2
= [12 + 22 + 32 + 42 + … + (2n+1)2 ] - [ 22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2 ] (2 1)(2 2)(4 3)
6
n n n
(2 1)(2 2)
6
n n n
= (2 1)(2 2)[4 ]
n n n n
(30)= (2 1)(2 2)(2 3)
n n n
d) 102 + 112 + 122 + 132 + … + 492 + 502
Quy luật này, với số số tự nhiên liên tiếp em áp dụng cách làm nh kết câu a
102 + 112 + 122 + 132 + … + 492 + 502
= 10.(1+9) + 11.(1+10) + 12.(1+11) + 13.(1+12) + … + 49.(1+48)+ 50.(1+49) = 10 +9.10 + 11 + 10.11 + 12 + 11.12 + 13 + 12.13 + + 49 + 48.49 + 50 + 49.50 = (10+11+12+13+ + 49+50) + (9.10+10.11+11.12+12.13+ + 48.49+ 49.50) = (10+11+12+ + 49+50) + [(1.2+2.3+ +8.9+9.10+ + 48.49+ 49.50)–(1.2+2.3+ .+ 8.9)] = 10 50 [ 50 10 1]
2
49.50.51 8.9.10
3
= 60.41
2
3.(49.50.17 8.3.10)
= 30.41 + (49.50.17 – 8.3.10) = 230 + 41 650 – 240 = 42 640
Hc:102 + 112 + 122 + 132 + … + 492 + 502
= (12+22+32+ + 92+102 + 112 + … + 492+502) – (12+22+32+ + 92) 50.51.101
6
9.10.19
6
= 25.17.101 – 3.5.19 = 42 640
e) 12 22 32 42 52 62 20112
Với quy luật dấu đan xen nh này, học sinh thờng biến đổi dấu “ – ” thành dấu “+”, cách nhóm hợp lí:
12 22 32 42 52 62 20112
= (12 + 32 + 52 + … + 20112) – (22 + 42 + 62 + … + 20102 ) Sau áp dụng kết câu b câu c ví dụ 1, ta có: (12 + 32 + 52 + … + 20112) – (22 + 42 + 62 + … + 20102 ) = 2011.2012.2013
6
2010.2011.2012
= 2011.2012.(2013 2010)
= 2011.2012.3 = 2011.1006 = 023 066
VËy: 12 22 32 42 52 62 20112
= 023 066
Hoặc đa dạng câu a ví dụ 1: 12 22 32 42 52 62 20112
= (12 + 22 + 32 + 42 + … + 20112) – 2.(22 + 42 + 62 + … + 20102 ) = (12 + 22 + 32 + 42 + … + 20112) – 2.22 (12 + 22 + 32 + … + 10052)
2011.2012.4023
1005.1006.2011
6
(31)= 2011.1006.1341 – 4.335.1006.2011 = 2011.1006.(1341 – 4.335)
= 2011.1006.1 = 023 066
VÝ dô 3. TÝnh:
a) 1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+ … + 98.992 b) 22 33 44 9999
3 3 3 3
c) 12 12 12 12 1 2
2 99 100
Đã làm nhiều tập quy luật rồi, kiến thức kỹ tích lũy đợc tơng đối, nhng gặp lại khác chút, em học sinh lúc thấy t “với” lấy kiến thức cần đến giúp đỡ thầy-cô
a) 1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+ … + 98.992
Gặp số thay đổi câu khó, câu cịn phức tạp nhiều Mặc dù bị hút tính tốn với quy luật, nhng hầu hết em lùi bớc, bỏ gặp câu khơng định hớng đợc cách làm Lúc này, vai trò giáo viên quan trọng, gợi mở giúp em t cao nữa:
1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+ … + 98.992
= 1.2.2+ 2.3.3+ 3.4.4+ 4.5.5+ … + 98.99.99
= 1.2.(3–1)+ 2.3.(4–1)+ 3.4.(5–1)+ 4.5.(6–1)+ … + 98.99.(100–1) = 1.2.3 –1.2 + 2.3.4–2.3+ 3.4.5–3.4+ 4.5.6–4.5+ … + 98.99.100–98.99
= (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6+ … +98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5+ … +98.99) = 98.99.100.101
4
98.99.100
= 98.99.25.101 – 98.33.100 = 98.33.25.(3.101 – 4) = 98.33.25.299
= 24 174 150
b) 22 33 44 9999 3 3 3
Nếu tử số câu đơn giản rồi, nhng tử số lại số tự nhiên liên tiếp tăng dần nên em phải làm nh Thầy-cô động viên em không cần quan tâm đến tử số, thử làm theo cách mà em biết, nh câu d câu e ví dụ 1:
W= 22 33 44 9999 3 3 3 3.W= 22 33 44 9999
3 3 3
3.W= 32 43 9998
3 3
W= 22 33 44 9999 3 3 3 3.W + W=1 12 13 198 9999
3 3 3
(32)4.W= 1 12 13 198 3398
3 3 3
Đến học sinh thÊy quen thc råi, vµ cã thĨ tÝnh ngoặc riêng: 1 12 13 198
3 3
Q
3 1 12 13 198
3 3
Q
3 1 12 197
3 3
Q
12 197
3 3
Q
1 12 13 198
3 3
Q
3.Q + Q = 198
4.Q = 198
Q = 198 4.3
Häc sinh thờng điểm đoạn kết luận giá trị cần tìm thay cho việc phải tính tiÕp:
Khi đó:
4.W= 198 3398 4.3 3 4.W=
99 98
3 4.33
4.3
4.W=
99 98
3 133
4.3
W=
99 98
3 133
16.3
c) 12 12 12 12 1 2
2 99 100
Nh×n thÊy quy lt nhng chØ cã thĨ tÝnh ë ngc:
12 12 12 12 1 2
2 99 100
=
2 2 2
2 2 2
2 99 100
2 99 100
(33)= 152 2 2 9800 99992 2 4 99 100
Đến mà thực nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu khơng tìm đợc đáp số cho tốn Ta phải tìm cách rút gọn thừa số chung tử mẫu Nhng làm để xuất thừa số chung lại vấn đề
Quan sát mẫu số thấy quy luật, nhng tử số theo quy luật nào? Có thể biến đổi tử số thành tích theo quy luật khơng ?
152 2 2 9800 99992 2 4 99 100
= 1.3 2.4 3.52 2 2 98.100 99.1012 2
2 3 4 99 100
= 1.2.3 98.99 3.4.5 100.101 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 = 101
100 2 = 101
200
VËy: 12 12 12 12 1 2
2 99 100
=
101 200
3.3 Bài tập tơng tự:
Bµi TÝnh:
a) 1 22 23 24 22012
; b) 211212 213214 2 99
c) 32011 32010 32009 32008 32 3
; d) 599 598597 596 5 3 525
e) 111 112 113 114 149 150
2 2 2 ; g) 5
11 + 513 + 515+ … + 597 + 599 h) 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 ; i) 22 + 42 + 62 + 82 + … + 502 k) 12 + 32 + 52 + 72 + … + 20112 ; l) 112 + 122 + 132 + 142 + … + 1012
m) 222 + 242 + 262 + 282 + … + 882 ; n) 1002 992 982 972 122 112 102
«) 11.122+ 12.132+ 13.142+ 14.152+ … + 998.9992 p) 12 12 12 12
2 50
q) 12 12 12 12 12
10 11 12 98 99
Vẫn thực phép tính nhng giáo viên thay thay đổi u cầu tốn để học sinh đợc rèn luyện phát triển khả t duy, lập luận, trình bày tốn
Bài So sánh: 1 12 20091 20101
3 3
víi 1
Bµi Chøng minh r»ng:
a) 1 12 13 20101 20111
2 2 2 2 2
(34)b) 1 12 13 14 20111 20121 2 2 2 3
3.4 TiÓu kÕt:
Học đến dạng tập học sinh cần tập trung cao độ, căng thẳng độ khó độ phức tạp tăng lên nhiều so với dạng tập trớc Đặc biệt phải huy động nhiều kiến thức có liên quan, vận dụng chúng cách linh hoạt, học sinh phải t không ngừng để chiếm lĩnh tri thức
IV KÕt qu¶
Qua việc tham khảo, chọn lọc, phân loại xếp hệ thống nh trình bày trên, giảng dạy thấy khả tổng hợp kiến thức, phát quy luật nh phán đốn tìm tòi lời giải học sinh tốt hẳn trớc học Các em chuyển từ tâm lí sợ sang hào hứng, hăng say học tập, có ý thức nghiên cứu t logic để tìm lời giải cho toán
Cụ thể với học sinh lớp 7A năm học 2011-2012 (40 học sinh) trờng THCS Phùng Hng, kiểm tra thu đợc kết sau:
Xếp loại Trớc dạy thực nghiệmSố lợng Phần trăm Sau dạy thực nghiệmSố lợng Phần trăm
Giái 0 % 15 %
Kh¸ % 13 32,5 %
Trung b×nh 12,5 % 16 40 %
Díi T.b 33 82,5 % 12,5 %
V Vấn đề hạn chế
* Víi häc sinh:
+) Là học sinh trờng thờng nên t học sinh cha nhanh, khả suy luận, phát vấn đề cha thật tốt, vận dụng kiến thức cha thật linh hoạt
+) Có thể áp dụng chuyên đề cho học sinh trung bình, chủ yếu học sinh học sinh giỏi
* Với giáo viên:
+) Thời gian nghiên cứu hạn chế
+) Khả tổng hợp, phân loại cha thật phù hợp, cha khoa học * Tài liệu tham khảo:
Kin thức rộng khó mà nguồn tài liệu tham khảo thị trờng lại nên tập cha đợc phong phú đa dạng
VI §iỊu kiƯn ¸p dơng
+) Có thể sử dụng phần toàn chuyên đề tùy theo mức độ nhận thức đối tợng học sinh
+) Với học sinh khá, giỏi việc trang bị tri thức, đặc biệt tri thức phơng pháp kỹ cách thờng xuyên liên tục điều cần thiết
VII Hớng đề xuất tiếp tục nghiên cứu
Đây mảng kiến thức khó khơng học sinh lớp 6, lớp mà cịn khó với học sinh lớp cao Nhng dạy thực nghiệm chuyên đề thấy em học tập say mê Loại toán giúp em phát triển t logic nh khả phân tích, tổng hợp, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo, linh hoạt làm toán
(35)C KÕt Ln
§Ĩ häc tốt môn toán nói chung, toán quy luật nói riêng điều quan trọng biết rèn nÕp suy nghÜ qua viÖc häc lÝ thuyÕt, qua viÖc tìm lời giải giải tập, qua nghiên cứu tìm tòi lời giải
ng trớc tốn khó, cha tìm cách giải, học sinh thực lúng túng, hoang mang… bỏ qua tốn đó, nhng có đợc giúp đỡ, gợi mở em khơng cịn sợ nữa, mà thay vào thích thú làm tốn nh Do đó, ngồi dẫn dắt, gợi mở kịp thời giáo viên cho dạng bài, em gặp vấn đề thân học sinh phải cố gắng tích lũy kiến thức có liên quan, kiến thức nâng cao phải biết vận dụng cách linh hoạt phơng pháp phù hợp với loại, dạng, tập… , phải biết phân tích, tổng hợp, suy luận logic từ biết đến yếu tố cha biết, liên hệ trớc sau để biết đợc liên quan, móc xích gữa chúng…
Với chun đề “Thực phép tính với tốn có quy luật” chứa đựng nhiều tốn hay, lí thú với cách biến đổi ngắn gọn mang đến nhiều điều bất ngờ cho ngời học, ngời đọc Để chiếm lĩnh đợc khơng phải việc đơn giản, dễ làm Với hệ thống tập từ dễ đến khó dạng tốn, tơi muốn cung cấp số phơng pháp kỹ làm tập liên quan tới quy luật, giúp em yêu thích mơn tốn đào sâu kiến thức mảng tốn quy luật dới dạng tập Tùy theo khả mức độ nhận thức học sinh mà giáo viên truyền thụ kiến thức, phơng pháp, tập cho phù hợp với đối tợng Tôi hy vọng tài liệu bổ ích học sinh, phụ huynh học sinh, đồng nghiệp với độc giả u thích mơn tốn nối chung, tốn quy luật nói riêng!
Tuy cố gắng việc nghiên cứu, phân chia, xếp nhng thời gian kinh nghiệm hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đợc tham gia, đóng góp ý kiến từ đồng nghiệp, bạn đọc để chuyên đề hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn !
Phùng Hng, ngày 20 tháng 12 năm 2011
Ngêi thùc hiƯn:
Hoµng Dơng
(36)Tài liệu tham khảo
Nâng cao phát triển toán (tËp 1)
Tun chän bµi thi häc sinh giái to¸n THCS (tËp 1) Båi dìng to¸n (tËp 1)
Báo toán học tuổi trẻ
Tuyển chọn 400 tập toán
Phơng pháp giải toán 200 toán chọn lọc lớp Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán