VÝ dô 1. TÝnh:
a) D = 1 + a + a2+ a3+ … + an (Với a là số hữu tỉ khác 0 và khác 1, n N) b) D1 = 7100 – 799 – 798– 797 – 796– … – 72– 7 – 1
c) D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599 d) D3 = 1 12 13 ... 20101 20111
3 3 3 3 3
e) D4 = 1 – 2 + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012 f) D5= 1 2 22426... 2 100
g) (100 – 12) (100 – 22) (100 – 32) (100 – 42) … (100 – 12012) (100 – 20122) Các bài tập đơn giản mà có liên quan đến lũy thừa đã là khó đối với học sinh, bài này mà không có sự hớng dẫn của giáo viên thì chắc chắn các em không thể làm đợc.
a) D = 1 + a + a2+ a3+ … + an
Đây là bài tập tổng quát, sau khi làm xong bài này - các em có thể sử dụng kết quả
nh một công thức để làm các bài toán có liên quan. Do đó, thầy-cô hãy khắc sâu cách làm cũng nh kết quả cho học sinh.
Ta cã: D = 1 a a2a3...an= 1
a.(a + a2+ a3+ … + an+1) = 1
a.(D – 1 + an+1) Suy ra: a.D = D – 1 + an+1
a.D – D = an+1 – 1 D.(a – 1) = an+1 – 1 D =
1 1
1 an
a
VËy:
1
2 3 1
1 ...
1
n
n a
a a a a
a
b) D1 = 7100 – 799 – 798– 797 – 796– … – 72– 7 – 1
Quan sát thấy câu này cha thể vận dụng ngay công thức tính tổng ở câu a, mà phải qua một số bớc biến đổi thì mới áp dụng đợc.Với “vốn” kiến thức và kỹ năng có đợc khi làm các dạng bài tập trớc, học sinh sẽ nghĩ: Để sử dụng công thức tổng quát thì ta phải biến đổi dấu “ – ” thành dấu “ + ”:
D1 = 7100 – (799 + 798+ 797 + 796+ … + 72+ 7 + 1) D1 = 7100 –
7100 1 7 1
D1 =
100 100
6.7 7 1
6
Trờng THCS Phùng Hng GV: Hoàng Dơng
D1 =
5.7100 1 6
VËy: D1 =
5.7100 1 6
c) D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599
Nhìn thấy quy luật ở D2 và có thể tính đợc nhng khi phát hiện ra: So với công thức tổng quát thì D2 “thiếu” 1 + 5+ 52 + … + 59 nên các em không biết làm thế nào. Khi
đó, giáo viên gợi ý: ta có thể “vay” rồi “trả” phần “thiếu” đó.
D2 = (1 + 5+ 52 + … + 59 + 510 + 511 + 512 + … + 598 + 599) – (1 + 5+ 52 + … + 59)
100 2
5 1
D 5 1
510 1 5 1
100 10 2
5 5
D 4
VËy:
100 10 2
5 5
D 4
Có thể tính D2 bằng cách khác không ? Có thể dựa vào cách tính công thức tổng quát
để tính D2 không ?
D2 = 510 + 511 + 512 + … + 598+ 599 D2 = 1
5.(511 + 512 + 513 + …+ 599 + 5100) D2 = 1
5.(D2 – 510 + 5100) 5.D2 = D2 – 510 + 5100
5.D2 – D2 = 5100– 510 4. D2 = 5100– 510
100 10 2
5 5
D 4
d) D3 = 1 12 13 ... 20101 20111 3 3 3 3 3
Học sinh có thể đa các số hạng về cùng cơ số, rồi áp dụng công thức tổng quát.
Giáo viên hãy yêu cầu các em làm theo cách khác xem sao? Lúc này học sinh sẽ nghĩ ngay đến cách thứ hai ở câu b. Có thể trình bày khác một chút:
3.D3 = 3 32 33 ... 20103 20113 3 3 3 3 3 3.D3 = 1 1 12 ... 20091 20101
3 3 3 3
D3 = 1 12 13 ... 20101 20111 3 3 3 3 3 3.D3 – D3 = 1 20111
3
2.D3 =
2011 2011
3 1
3
D3 =
2011 2011
3 1
2.3
e) D4 =1 – 2 + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012 Học sinh sẽ đa ngay dấu “ – ” về dấu “ + ”:
D4 =1 + (–2) + 22 + (–23) + … + 22010 +(–22011)+ 22012
Nhng gặp phải khó khăn vì các em thấy cơ số lúc thì là 2, lúc lại là -2. Thầy-cô hãy
“ra mặt” giúp đỡ các em: hãy lu ý đến tính chất –a2n+1 = (–a)2n+1 với n N. Bây giờ thì học sinh có thể viết về cùng một cơ số để áp dụng công thức tổng quát:
D4 = 1 + (–2) + (–2)2 + (–2)3 + … + (–2)2010 +(–2)2011+ (–2)2012
2013 4
( 2) 1 ( 2) 1
D
2013 4
2 1
D 3
2013 4
2 1
D 3
VËy:
2013 4
2 1
D 3
Hoặc làm tơng tự câu c:
D4 = 1 – 2 + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012
2. D4 = 2 – 22 + 23 – 24 + … + 22011 – 22012 +22013 D4 = 1 – 2 + 22 – 23 + … + 22010 – 22011 + 22012
2. D4 + D4 = 22013 + 1 3.D4 = 22013 + 1
2013 4
2 1
D 3
f) D5= 1 2 22426... 2 100
Nếu áp dụng cách làm nh các câu trên thì sẽ không tìm đợc đáp số cho bài toán này.
Vì ở các câu trên ta chỉ cần để ý đến cơ số, câu này thì phải quan tâm đến cả số mũ nữa: cơ số là 2, khoảng cách ở số mũ là 2. Giáo viên có thể hớng dẫn:
D5 = 1 2 2 2426... 2 100
22.D5 = 22 1 222426... 2 100
22.D5 = 22242628... 2 102
D5 = 1 2 22426... 2 100
4.D5 – D5 = 2102 – 1 3.D5 = 2102 – 1
102 5
2 1
D 3
Trờng THCS Phùng Hng GV: Hoàng Dơng
VËy:
102 5
2 1
D 3
g) (100 – 12).(100 – 22).(100 – 32).(100 – 42) … (100 – 12012).(100 – 20122) Với câu này học sinh nhìn thấy ngay quy luật nhng chỉ có thể làm theo thứ tự thực hiện phép tính thôi, cũng chẳng giải quyết đợc vấn đề vì số rất to. Giáo viên hãy nhắc các em để ý đến thừa số đặc biệt 100 – 102 thì các em sẽ “ ồ ” vì bất ngờ quá:
(100 – 12).(100 – 22).(100 – 32).(100 – 42) … (100 – 12012).(100 – 20122)
= (100 – 12).(100 – 22).(100 – 32) ... (100 – 102) … (100 – 12012).(100 – 20122)
= (100 – 12).(100 – 22).(100 – 32) ... (100 – 92).0.(100 – 112) … (100 – 12012).(100 – 20122)
= 0
VÝ dô 2. TÝnh:
a) 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 víi n N* b) 22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2 víi n N* c) 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n+1)2 víi n N d) 102 + 112 + 122 + 132 + … + 492 + 502 e) 12 2232 42 52 62... 2011 2
Nhìn thấy cơ số thay đổi, mà không thể đa về cùng một cơ số đợc, các em không biết bắt đầu từ đâu, làm nh thế nào? Có thể biến đổi quy luật này về những quy luật ta đã
biết cách tính không?
a) 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2
Ta thấy cơ số là các số tự nhiên liên tiếp nên có thể tách nh sau:
= 1+ 2(1+1)+ 3(2+1)+ 4(3+1)+ … + n[(n–1)+1]
= 1+ 1.2+ 2 + 2.3+ 3 + 3.4 + 4+ … + (n–1)n + n
= (1 + 2 +3 +4 + … + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+ … + (n–1)n]
( 1)
2 n n
( 1) ( 1)
3 n n n
3 ( 1) 2( 1) ( 1) 6
n n n n n
( 1)[3 2( 1)]
6 n n n
( 1)(2 1) 6
n n n
VËy: 12 22 32 42 ... 2 ( 1)(2 1) 6
n n n
n
b) 22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2
Câu này không thể tách giống câu a đợc vì cơ số là các số chẵn liên tiếp. Ta thấy các số chẵn liên tiếp thì hơn - kém nhau 2 đơn vị, điều này có gợi cho chúng ta điều gì
không ? Học sinh chỉ có thể làm đợc dới sự dẫn dắt của giáo viên:
22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2
= 1 2.2.2 4.4.2 6.6.2 8.8.2 2n . 2n .2
2
= 1 2.4 4.8 6.12 8.16 2n . 4n
2
= 122. 1 3 4. 3 5 6. 5 7 8. 7 9 2n . 2n –1 2n 1
= 1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 2n –1 . 2n 2n 2n 1
2
= 1 2 (2 1)(2 2)
2 3
n n n
= 2 (2 1)(2 2) 6
n n n
Có học sinh phát hiện ra cơ số ở câu b gấp 2 lần cơ số ở câu a, có thể biến đổi câu b về câu a không ? Ta có một cách làm khác:
22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2 = (2.1)2 + (2.2)2 + (2.3)2 + (2.4)2 + … + (2.n)2 = 22.12 + 22.22 + 22.32 + 22.42 + … + 22.n2 = 22.(12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 )
= 4 ( 1)(2 1) 6
n n n
= 2 (2 1)(2 2) 6
n n n c) 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n+1)2
Câu này có cơ số là các số lẻ liên tiếp, có thể làm tơng tự nh cơ số chẵn liên tiếp ở câu b không ?
12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n+1)2 = 1
2 .[ 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + … + (2n+1).(2n+1).2 ] = 1
2 .[ 1.2+ 3.6 + 5.10 + 7.14 + … + (2n+1).(4n+2) ] = 1
2 .{ 1.2 + 3.(2+4) + 5.(4+6) + 7.(6+8) + … + (2n+1).[(2n)+(2n+2)] } = 1
2 .[ 1.2 + 2.3 + 3.4+ 4.5 + 5.6+ 6.7 +7.8 + … + (2n)(2n+1)+ (2n+1)(2n+2)]
= 1 (2. 1)(2 2)(2 3)
2 3
n n n
= (2 1)(2 2)(2 3) 6
n n n
Khi có công thức tính ở câu a và câu b rồi thì ta cũng có thể sử dụng chúng để tính câu c, ta sẽ biến đổi:
12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n+1)2
= [12 + 22 + 32 + 42 + … + (2n+1)2 ] - [ 22 + 42 + 62 + 82 + … + (2n)2 ] (2 1)(2 2)(4 3)
6
n n n
2 (2 1)(2 2)
6 n n n
= (2 1)(2 2)[4 3 2 ]
6
n n n n
Trờng THCS Phùng Hng GV: Hoàng Dơng
= (2 1)(2 2)(2 3) 6
n n n
d) 102 + 112 + 122 + 132 + … + 492 + 502
Quy luật này, với cơ số là các số tự nhiên liên tiếp thì các em có thể áp dụng cách làm cũng nh kết quả của câu a.
102 + 112 + 122 + 132 + … + 492 + 502
= 10.(1+9) + 11.(1+10) + 12.(1+11) + 13.(1+12) + … + 49.(1+48)+ 50.(1+49)
= 10 +9.10 + 11 + 10.11 + 12 + 11.12 + 13 + 12.13 + ... + 49 + 48.49 + 50 + 49.50
= (10+11+12+13+ ...+ 49+50) + (9.10+10.11+11.12+12.13+ ... + 48.49+ 49.50)
= (10+11+12+ ...+ 49+50) + [(1.2+2.3+ ... +8.9+9.10+ ... + 48.49+ 49.50)–(1.2+2.3+ ...+ 8.9)]
= 10 50 [ 50 10 1]
2
49.50.51 8.9.10 3
= 60.41
2
3.(49.50.17 8.3.10) 3
= 30.41 + (49.50.17 – 8.3.10)
= 1 230 + 41 650 – 240
= 42 640
Hoặc:102 + 112 + 122 + 132 + … + 492 + 502
= (12+22+32+ ... + 92+102 + 112 + … + 492+502) – (12+22+32+ ... + 92) 50.51.101
6 9.10.19
6
= 25.17.101 – 3.5.19 = 42 640
e) 12 2232 42 52 62... 2011 2
Với quy luật dấu đan xen nh thế này, học sinh thờng biến đổi dấu “ – ” thành dấu
“+”, bằng cách nhóm hợp lí:
12 22 32 4252 62... 2011 2
= (12 + 32 + 52 + … + 20112) – (22 + 42 + 62 + … + 20102 ) Sau đó áp dụng kết quả của câu b và câu c ở ví dụ 1, ta có:
(12 + 32 + 52 + … + 20112) – (22 + 42 + 62 + … + 20102 )
= 2011.2012.2013 6
2010.2011.2012
6
= 2011.2012.(2013 2010) 6
= 2011.2012.3 6
= 2011.1006
= 2 023 066
VËy: 12 22 32 4252 62... 2011 2= 2 023 066 Hoặc đa về dạng câu a ở ví dụ 1:
12 22 32 4252 62 ... 2011 2
= (12 + 22 + 32 + 42 + … + 20112) – 2.(22 + 42 + 62 + … + 20102 )
= (12 + 22 + 32 + 42 + … + 20112) – 2.22 (12 + 22 + 32 + … + 10052) 2011.2012.4023
6 1005.1006.2011
8 6
= 2011.1006.1341 – 4.335.1006.2011
= 2011.1006.(1341 – 4.335)
= 2011.1006.1
= 2 023 066 VÝ dô 3. TÝnh:
a) 1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+ … + 98.992 b) 1 22 33 44 ... 9999
3 3 3 3 3
c) 1 12 . 1 12 . 1 12 ... 1 12 . 1 1 2
2 3 4 99 100
Đã làm nhiều bài tập quy luật rồi, kiến thức và kỹ năng cũng tích lũy đợc tơng đối, nhng gặp bài này lại khác hơn một chút, các em học sinh lúc nào cũng thấy mình ở trong t thế “với” lấy kiến thức và rất cần đến sự giúp đỡ của thầy-cô.
a) 1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+ … + 98.992
Gặp cơ số thay đổi ở những câu trên đã khó, câu này còn phức tạp hơn nhiều. Mặc dù
đang bị cuốn hút khi tính toán với quy luật, nhng hầu hết các em đều lùi bớc, bỏ cuộc khi gặp câu này vì không định hớng đợc cách làm. Lúc này, vai trò của giáo viên rất quan trọng, gợi mở giúp các em t duy cao hơn nữa:
1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+ … + 98.992
= 1.2.2+ 2.3.3+ 3.4.4+ 4.5.5+ … + 98.99.99
= 1.2.(3–1)+ 2.3.(4–1)+ 3.4.(5–1)+ 4.5.(6–1)+ … + 98.99.(100–1)
= 1.2.3 –1.2 + 2.3.4–2.3+ 3.4.5–3.4+ 4.5.6–4.5+ … + 98.99.100–98.99
= (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6+ … +98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5+ … +98.99)
= 98.99.100.101 4
98.99.100
3
= 98.99.25.101 – 98.33.100
= 98.33.25.(3.101 – 4)
= 98.33.25.299
= 24 174 150
b) 1 22 33 44 ... 9999 3 3 3 3 3
Nếu các tử số của câu này là 1 thì đơn giản rồi, nhng các tử số lại là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần nên các em không biết phải làm nh thế nào. Thầy-cô hãy động viên các em không cần quan tâm đến các tử số, cứ thử làm theo cách mà em biết, nh câu d và câu e ở ví dụ 1:
W= 1 22 33 44 ... 9999 3 3 3 3 3 3.W= 3 1 22 33 44 ... 9999
3 3 3 3 3
3.W= 1 2 32 43 ... 9998
3 3 3 3
W= 1 22 33 44 ... 9999 3 3 3 3 3 3.W + W=1 1 12 13 ... 198 9999
3 3 3 3 3
Trờng THCS Phùng Hng GV: Hoàng Dơng
4.W= 1 1 12 13 ... 198 3398
3 3 3 3 3
Đến đây thì học sinh thấy quen thuộc rồi, và có thể tính trong ngoặc riêng:
1 1 12 13 ... 198
3 3 3 3
Q
3. 3 1 1 12 13 ... 198
3 3 3 3
Q
3. 3 1 1 12 ... 197
3 3 3
Q 3. 2 1 12 ... 197
3 3 3
Q
1 1 12 13 ... 198
3 3 3 3
Q 3.Q + Q = 3 198
3 4.Q = 3 198
3 Q = 3 198
4 4.3
Học sinh thờng mất điểm ở đoạn này vì kết luận luôn giá trị cần tìm thay cho việc phải tính tiếp:
Khi đó:
4.W= 3 198 3398 4 4.3 3 4.W=
99 98
3 1 4.33 4.3
4.W=
99 98
3 133 4.3
W=
99 98
3 133 16.3
c) 1 12 1 12 1 12 1 12 1 1 2
2 3 4 99 100
Nhìn thấy quy luật nhng chỉ có thể tính ở trong ngoặc:
1 12 1 12 1 12 1 12 1 1 2
2 3 4 99 100
=
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 1 3 1 4 1 99 1 100 1
2 3 4 99 100
= 3 8 152 2 2 9800 99992 2 2 3 4 99 100
Đến đây mà thực hiện nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu thì sẽ không tìm đợc đáp số cho bài toán. Ta phải tìm cách rút gọn các thừa số chung của tử và mẫu. Nhng làm thế nào để xuất hiện các thừa số chung đó thì lại là cả một vấn đề.
Quan sát các mẫu số thấy ngay quy luật, nhng tử số theo quy luật nào? Có thể biến
đổi tử số thành tích theo cùng một quy luật không ? 3 8 152 2 2 9800 99992 2
2 3 4 99 100
= 1.3 2.4 3.52 2 2 98.100 99.1012 2 2 3 4 99 100
= 1.2.3 ... 98.99 3.4.5 ...100.101 2.3.4 ... 99.100 2.3.4 ... 99.100 .
= 1 101 100 2
= 101 200
VËy: 1 12 1 12 1 12 1 12 1 1 2
2 3 4 99 100
= 101