Mat cuc han va day lap cua anh xa chinh hinh

Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic. Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut. Các khẳng định ngược lại đều không đúng. Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sa[r]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 

Đỗ Thị Phương Quỳnh

MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

MỤC LỤC

Mở đầu

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Ánh xạ chỉnh hình

1.2 Khoảng cách

1.3 Không gian Hyperbolic 12

1.4 Đa tạp phức 13

1.5 Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14

1.6 Miền taut 17

Chương 2

MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

2.1 Mặt cực hạn 21

2.2 Mặt cực hạn miền giả lồi 25 2.3 Dãy lặp ánh xạ chỉnh hình 31

Kết luận 48

MỞ ĐẦU

Cho D miền bị chặn n f : DDlà ánh xạ chỉnh hình

Khi định nghĩa dãy lặp  fn

f sau:

1

n n

f f

f f.f 

   

 

Một vấn đề đặt dãy  fn

có hội tụ tập compact hay không, hội tụ có hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình

n

h : D hay không ?

Vào năm 1926 Wolff Denjoy giải vấn đề D (là đĩa đơn vị  ) Cụ thể họ đ ã chứng minh định lí Denjoy – Wolff sau: “ Cho f :   hàm chỉnh hình từ đĩa đơn vị   lên Khi dãy lặp  f n không hội tụ

chỉ f đẳng cấu  có điểm cố định Hơn nữa, giới hạn của  fn , tồn tại, số x 

” Để chứng minh định lí trường hợp f có điểm cố định z0 Denjoy Wolff sử

dụng bổ đề Schwarz Tuy nhiên trường cịn lại, f khơng có điểm cố định, khơng thể tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz mà cần công cụ để thay Để đáp ứng yêu cầu đó, định nghĩa đường cực hạn sử dụng bổ đề Wolff: “Cho f :   hàm chỉnh hình khơng có điểm cố định Khi tồn x cho với R>0 có

 

 ,   , 

f E x R  E x R ” thay cho bổ đề Schwarz Về chất,

đường cực hạn đường tròn tiếp xúc với biên  x

bị chặn đường cong Jordan, f D: D hàm chỉnh hình Khi đó dãy lặp hội tụ f tự đẳng cấu D Hơn thế giới hạn, tồn tại, ánh xạ x D ”.

Năm 1983, MacCluer mở rộng kết Denjoy - Wolff hình cầu đơn vị n

 việc đưa khái niệm mặt cực hạn cổ điển Bn

Đến năm 1988, Marco Abate dựa vào mối liên hệ khoảng cách Kobayashi mặt cực hạn cổ điển để định nghĩa mặt cực hạn miền

Bây giờ, cho D miền bị chặn n

 xét ánh xạ chỉnh hình f : DD Giả thiết f có điểm cố định z0D, khả vi

0

z Theo định lí Cartan - Carathéodory, giá trị riêng

0

z

df thuộc vào  Sử dụng dạng tắc Jordan dfz0, dễ dàng kiểm tra  0

n z df

hội tụ giá trị riêng nằm   1 cho ta kết sau: “ Cho D miền taut, compact tương đối n

 ,

:

f DD ánh xạ chỉnh hình có điểm cố định z0D Khi đó dãy lặp  f n hội tụ

0

z

df khơng có giá trị riêng  1

  ” Định lí mơ tả cách rõ ràng giới hạn điểm dãy lặp

 fn

Mục đích luận văn nghiên cứu mặt cực hạn hội tụ dãy lặp ánh xạ chỉnh hình, nội dung luận văn gồm hai chương :

Chương trình bày khái niệm tính chất mặt cực hạn miền D miền giả lồi mạnh, hội tụ dãy lặp ánh xạ chỉnh hình

Trong trình hồn thành luận văn tơi nhận bảo, hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Với lịng thành kính tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc

Nhân dịp xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải, TS Phạm Hiến Bằng, PGS.TS Phạm Việt Đức, thầy cô giảng dạy, bảo suốt trình học tập hồn thành luận văn Trường ĐHSP - ĐHTN Đồng thời xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập nghiên cứu Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp người ln động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành khố luận

Chương

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ chỉnh hình [1]

1.1.1 Định nghĩa

+ Giả sử X tập mở n

 , hàm số f : X gọi

khả vi phức x0X tồn ánh xạ tuyến tính

n

:

   cho

     0 h

f x h f x h

lim

h



   



Trong n   n

1 n i

i

h ,h h ,h , ,h , h h



   

+ Hàm f gọi chỉnh hình x0X tồn lân cận

mở U x0 cho f khả vi phức với  x Ux0

+ Hàm f gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X

+ Cho ánh xạ f : Xn m;

viết dạng f f ,f , ,f m

Trong fi  i f : X , i=1, ,m hàm toạ độ,

 

m i

1 m i

:

f ,f , ,f f

 



 

Khi f gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với

i=1, ,m

Chú ý : Ánh xạ f : Xf X  n

 gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f1

ánh xạ chỉnh hình 1.1.2 Tính chất

Định lí : Giả sử U tập mở n

a f hàm chỉnh hình b f liên tục

c f liên tục f |U M chỉnh hình vớiM n, M khơng gian

con hữu hạn chiều 1.2 Khoảng cách

1.2.1 Định nghĩa [1]

Khoảng cách d tập X hàm

   

d : X X

x, y d x, y

 



thoả mãn điều kiện sau với x, y thuộc X

i) d x, y 0;d x, y 0  x y; ii) d(x,y)=d(y,x);

iii) d x, y     d x,z d z, y ;

Nếu d thoả mãn ii) iii) d x, y 0 d gọi giả khoảng cách X

1.2.2 Khoảng cách Bergman Poincaré [4] z :| z | 1

    đĩa đơn vị mặt phẳng phức  Trên , ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho

 0,z log1 | z |, z | z |



   



Lấy a,b, phép biến đổi w= z - b

1 - bz tự đẳng cấu  mà biến b thành biến a thành a b

1 ab



 

a b

1 ba

a,b log

a b

1 ba



 



 

 



1.2.3 Giả khoảng cách Kobayashi [1] 1.2.3.1 Định nghĩa

Giả sử X không gian phức, x y hai điểm tuỳ ý X Hol(D, X) tập tất ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, trang bị tơpơ compact mở Xét dãy điểm p0 x,p , ,p1 k y X, dãy điểm

1 k

a ,a , ,a của D dãy ánh xạ chỉnh hình f ,f , ,f1 2 k Hol (D, X) thoả mãn

   

i i i i i

f p ,f a p ;  i 1, ,k

Tập hợp  p , ,p ,a ,a , ,a ,f ,f , ,f0 k k k thoả mãn điều kiện

trên gọi dây chuyền chỉnh hình nối x y X Ta định nghĩa

  k  

X D i x,y

i

d x, y inf 0,a ,

 

 

    

 ,

trong x,y tập hợp tất dây chuyền chỉnh hình nối x y

X

Khi d : X XX   giả khoảng cách X gọi là giả

khoảng cách Kobayashi không gian phức X Tổng k D i

i

0,a







gọi tổng Kobayashi dây chuyền chỉnh hình

1.2.3.2 Một số tính chất giả khoảng cách Kobayashi

+ Nếu f : XY ánh xạ chỉnh hình hai khơng gian phức f

dấu xảy f song chỉnh hình

Hơn dX giả khoảng cách lớn X thoả mãn ánh xạ

chỉnh hình f : DX giảm khoảng cách

+ Giả sử X khơng gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

X

d : X X  hàm liên tục

+ Nếu D đĩa đơn vị  giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman Poincaré

1.2.4 Giả khoảng cách Carathéodory [10]

1.2.4.1 Định nghĩa: Cho khơng gian phức X, kí hiệu Hol(X,) tập ánh xạ chỉnh hình f: X  Giả khoảng cách Carathéodory Cxtrong X

được định nghĩa sau C p,qx sup f p ,f q ; p,q X     

Trong supremum lấy theo tồn f Hol X,   Khi  đĩa đơn vị nhất, thoả mãn để lấy supremum tồn tập

   

 

F f Hol X,D ;f p 0

1.2.4.2 Một số tính chất *Mệnh đề

Cho đa tạp phức X, ta có d p,qX C p,q ,X  p,q X

Chứng minh:

Như định nghĩa d p,qX , chọn p p ,p , ,p k q X,

và điểm a ,a , ,a ,b , ,b1 k kcủa  ánh xạ chỉnh hình f ,f , ,f1 k

trong Hol(,X) thoả mãn

   

i i i i i i

      

   

 

   

 

k k

i i i i i i

i i

1 k k

a ,b f f a ,f f b

f f a ,f f b f p ,f q ,

 

  

  

   

 

Trong bất đẳng thức thứ suy từ bổ đề Schwarz bất đẳng thức thứ hai hệ tiên đề tam giác Do ,

  k         

X i i X

i=1

d p,q inf a ,b sup f p ,f q C p,q 

* Mệnh đề 2:

Nếu X Y khơng gian phức    

     

Y x

C f p ,f q C p,q  f Hol X,Y ;p,q X

thì f : XY có tính giảm khoảng cách

*Mệnh đề 3:

Cho là đĩa mở  , C   Chứng minh:

Sử dụng bổ đề Schwarz ánh xạ chỉnh hình f :   ta thu

được

 p,q C p,q ,  p,q

   

Từ định nghĩa C, xét phép biến đổi đồng , ta thu bất

đẳng thức  p,q C p,q ,  p,q 

* Mệnh đề 4: Cho X không gian phức a) Nếu X giả khoảng cách sau

   

f p ,f q  X p,q f Hol X, ;p,q X

      

thì C p,qX  X p,q ; p,q X 

   

     

X f a ,f b a,b ; f Hol X, ;a,b

      

   

X p,q d p,qX

 

1.2.4.3 Bổ đề Schwarz [10]

Cho f hàm chỉnh hình biến hình trịn đơn vị (0,r) thành thoả mãn f(0)=0 Khi :

i) f z   z ;  z D

ii) Nếu f z 0  z0 với điểm z0 0  f z  z trong  1

Chứng minh:

Với r tuỳ ý , 0<r<1 theo cơng thức tích phân Cauchy ta có

   

 

D 0,r

f

f z d

2 i z



 

    ,

đặc biệt    

 

D 0,r

f

0 f d

2 i



  

  

Vì

   

 

 

 

 

D 0,r D 0,r

f

1 1 z

f z f d d

2 i z i z



 

       

         

tức hàm

       

 

D 0,r

f z f

z d

z i z



   

    

 z f z 

z r

  

nên theo nguyên lý môđun cực đại  z r

  với z r Cho r1 ta nhận

 z f z  1, z z

    

hay

 

f z  z ,  z

Nếu

   0

0 0

0

f z

z 1, z ,0 z

z

     

thì theo ngun lí mơđun cực đại f z  const

z 

Tức

 

f z  z;  1 

1.3 Không gian Hyperbolic [1] 1.3.1. Định nghĩa

Không gian phức X gọi không gian phức hyperbolic giả khoảng cách Kobayashi dxlà khoảng cách X, kí hiệu kx, tức :

 

x

k p,q   0 p q, p,q X 1.3.2 Một số tính chất

+ Giả sử X không gian phức không gian phức Y, Y hyperbolic X hyperbolic Hay nói cách khác không gian phức không gian phức hyperbolic hyperbolic

1.3.3 Ví dụ

+ Đĩa Dr đa đĩa m r

D hyperbolic

+ Một miền bị chặn m

 hyperbolic, tập mở tích đa đĩa

+ m

 khơng hyperbolic, d m 0



1.4 Đa tạp phức [1] 1.4.1 Định nghĩa

Giả sử X không gian tôpô Hausdorff

+ Cặp U,được gọi đồ địa phương X, U tập mở X : Un

ánh xạ, điều kiện sau thoả mãn:

i)  U tập mở n



ii) : U  U đồng phôi

+ Họ AU ,i ii I đồ địa phương X gọi

tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau thoả mãn: i)  Ui i I phủ mở X

ii) Với U ,Ui j mà UiUj , ánh xạ

   

1

j i : i Ui Uj j Ui Uj



       ánh xạ chỉnh hình

1.4.2 Ví dụ

Giả sử D miền n

 Khi đó, D đa tạp phức n chiều với đồ địa phương D,IdD

1.5 Miền giả lồi - giả lồi mạnh 1.5.1 Miền giả lồi [12]

Miền lồi miền mà với điểm x’,x” tuỳ ý, chúng chứa điểm x=tx’+(1-t)x”, t 0,1

Có định nghĩa tương đương: miền D n

 gọi lồi, hàm

 

lnd x, D

  d x, D   khoảng cách Ơclit từ điểm x đến biên miền, hàm lồi D

Định nghĩa: Miền D n

 gọi giả lồi, hàm  z lnd z, D , 

   

trong d z, D  là khoảng cách Ơclit điểm z đến biên D,đa điều hòa D

Ví dụ: mặt phẳng  miền tuỳ ý giả lồi

1.5.2 Miền giả lồi mạnh [10] 1.5.2.1 Định nghĩa

Cho X miền bị chặn n

 với

n

z zz ,z , ,z ,z1 n i ,

X miền giả lồi mạnh với biên C2

nếu tồn hàm đa điều hoà 

xác định lân cận U biên X cho:

i) X U x X; (x) 0   ; ii) d 0 U

     

0

2

,x i j n

i j

L x , , , ,

z z 

 

        





Khi X miền giả lồi mạnh biên C2

dạng L,x0 xác định dương,

X

 compact, tồn hai số dương c ,c1 2 cho  

2

1 ,x

c  L  c 

1.5.2.2 Một số tính chất Bổ đề

Cho Br cầu Euclid bán kính r tâm O Khi với z B r

       

logr- logd , 0, 0, log log ,

r r

r B B r

z B C z d z  r d z B Định lí 1

Cho X n

 miền giả lồi mạnh bị chặn với biên C2 Khi tồn

tại lân cận X’ X hàm liên tục   : X X' cho điểm cố định x0X, x , 0  chỉnh hình X’ x , 0  chuẩn hoá nên x x0, 0 1, x z0,   1, z X \ x0

Định lí 2

Cho X n

 miền bị chặn với biên C2 K tập compact X Khi tồn số c1 phụ thuộc vào X K sao cho dXz z0,  c1 logd z X , , z X z, 0K

Định lí

ChoX n

 miền giả lồi mạnh với biên C2 K tập compact X Khi tồn số c2 phụ thuộc vào X K cho c2 logd z X , C z zX 0, ,  z X z, 0K

Cho X’ lân cận nhỏ X,   : X X' , cho

điểm cố định x0X, x ,  chỉnh hình X’ chuẩn hố

thế x , x0 0 1, x ,z0   1, z X \ x 0 , định nghĩa

     

 

0

0

0 0

: X X X D

1 x,z x,z

x,z ,

1 x,z 1 x,z

    

    

  

    

Khi có r0, r 0 1, cho x,z0    r0 1, x X,z0K,

x,z ,0 

  định nghĩa   X K D1/ r0 Thì ánh xạ

x,z ,z0  x,z0 z x,z ,0  x,z 

     

là xác định liên tục   X K K' X’ lân cận đủ nhỏ X,

0

x,z

 hàm chỉnh hình yếu X xD thoả mãn

 

0

x,z z0

 

Cho P x,  đa đĩa bán kính  tâm x Cho xX,z0K

  z P x, 

     

   

0

0 0

x,z x,z x,z x,z

P x,

2 X K P x,

1 z x z z x

z c

z x M z x ,

    



       



    



trong số M độc lập với z x Đặt

 

2

c min logM,log

Chú ý B x,  P x,  , đặt U x X B x,  , với >0 cho U compact tương đối X

+) z X U  Chọn xXsao cho d z, X     z x Khi

   

0

x,z X D, x,z z0

    , ta có

      

 

0

0

X x,z x,z

x,z

1

C z ,z z , z log

1 z

    

 

Vì

     

0

x,z x,z

1  z   1 z M z x Md z, X

Nên

     

X

C z ,z  logM logd z, X   c logd z, X +) z X U   Vì d z, X    Do đó,

     

X

C z ,z  0 log logd z, X  c logd z, X 

Miền giả lồi mạnh miền taut có mối liên hệ chặt chẽ với 1.6 Miền taut [4]

1.6.1 Định nghĩa

Giả sử M không gian phức:

a Dãy  fk k 1 Hol( ,M) gọi phân kì compact với

tập compact K  với tập compact L M tồn số j0  j K,L 

sao cho f Kj     L , j j0( đĩa đơn vị)

b M gọi taut dãy  fk k 1 Hol( ,M) chứa dãy

con hội tụ phân kì compact 1.6.2 Định lí Kiernan

Mỗi khơng gian phức taut M hyperbolic

Mỗi không gian phức hypebolic đầy M taut Các khẳng định ngược lại không

Giả sử p q hai điểm phân biệt khơng gian phức M Khơng tính tổng qt ta giả sử p=0

 

 2 

1 n n

B w , w , ,w ;| w |   | w | 1 lân cận p M

cho q B

 

 2 

s n n

B  w , w , ,w ;| w |   | w |  s

 

 

s

V  p' M; p,p'  s

 

z ; z



     

1.6.2.1 Định nghĩa : Một cặp có thứ tự  r, số dương gọi có tính chất A với ánh xạ chỉnh hình f : M với f 0 Br ta có

 

f   B

1.6.2.2 Bổ đề : Nếu tồn cặp  r, có tính chất A dMp q, 0. Chứng minh bổ đề

Chọn số c > cho d 0,a cd 0,a với a/

Giả sử Lp p ,p , ,p m q;a , ,a ;f , ,f1 m m dây chuyền

Kobayashi nối p q Theo giả thiết, khơng tính tổng qt ta giả sử a , ,a1 k/ 2,p ,p , ,p0 k 1 B ,pr kBr

Khi :

   

   

k k

i i

i i

k

B i i B k i

| L | d 0,a c d 0,a

c d p ,p cd 0,p c'



 

 

 

 

  

 



trong c’ số lớn

i) Giả sử M khơng gian hyperbolic Khi tồn hai điểm phân biệt p q cho dM p,q 0

Theo bổ đề trên, cặp 1/ 2;1/ n không thoả mãn tính chất A với n>0 Do tồn ánh xạ chỉnh hình f :n  M mà f 0n B1/

 

n 1/ n

f  B Dãy  fi khơng có dãy hội tụ tập compact

phân kì compact Do M khơng taut

ii) Do tính chất giảm khoảng cách khoảng cách Kobayashi nên

 

Hol ,M đồng liên tục Mặt khác M hyperbolic đầy nên tập bị chặn M compact tương đối Vì Hol ,M  chuẩn tắc,

đó M taut 

1.6.2.3 Nhận xét

Mọi miền giả lồi mạnh bị chặn X với biên C2 hyperbolic đầy

Chương

MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Denjoy Wolff chứng minh định lí sau:“ Cho f :   một hàm chỉnh hình đĩa đơn vị   lên Khi dãy lặp

 fn không hội tụ f đẳng cấu  có điểm cố

định Hơn nữa, giới hạn  fn , tồn tại, số x

” + Nếu f có điểm cố định z0 (và f id )  , xét f ' z 0 :

 0

f ' z 1, theo bổ đề Schwarz f phép quay (tức đẳng cấu với điểm cố định) dãy lặp không hội tụ Mặt khác, f ' z 0 1

f ánh xạ co , n

f z

+ Nếu f khơng có điểm cố định giới hạn điểm dãy  fn phải

là số thuộc vào biên  Vì ứng dụng bổ đề Schwarz để chứng minh được, mà ta cần công cụ để thay Khi Wolff sử dụng mặt cực hạn để thay cho bổ đề Schwarz, cụ thể bổ đề Wolff mang tên ông sử dụng để chứng minh cho định lí trường hợp : “Cho x; đường cực hạn x tập có dạng

 

2

, | ,

1

z x

E x R z R

z

  

 

    

 

 

Trong trường hợp f : DD mà D=Bn, hình cầu đơn vị n

 , định nghĩa mặt cực hạn [5] : “Cho x B n R>0, mặt cực hạn tâm x bán

kính R tập

   

2

1 ,

, |

1

n z x

E x R z B R

z

  

 

    

 

 

, trong ( , ) tích Hermit n

 ”

Về mặt hình học, E(x, R) ellipxôit tiếp xúc với biên Bn

x Trong thực tế, MacCluer trình bày lại bổ đề Wolff Bn

chứng minh định lí Denjoy - Wolff trường hợp

Để mở rộng định lí Denjoy - Wolff trường hợp tổng quát ta cần cách tiếp cận khác Vào năm 1978, Yang [13] khám phá đặc trưng thú vị mặt cực hạn Bn

  n  n 

n

B B

1

E x,R z B | lim k z,w k 0,w log R ,

2

   

     

  (2.1)

trong kBnlà khoảng cách Kobayashi

n

B

Khi khoảng cách Kobayashi định nghĩa miền bất kỳ, ta cố gắng sử dụng (2.1) định nghĩa mặt cực hạn miền tuỳ ý Nhưng đáng tiếc thay, trường hợp tổng quát giới hạn (2.1) lúc tồn Vì vậy, để định nghĩa mặt cực hạn tổng quát miền Marco Abate đưa định nghĩa sau 2.1 Mặt cực hạn [5]

2.1.1 Định nghĩa

Cho D miền bị chặn n

 , chọn z0D,xD R>0 Khi mặt cực hạn nhỏ Ez0x,R mặt cực hạn lớn F x,Rz0 tâm x, cực z0

     

     

0

0

z w x D D

z w x D D

1

E x,R z D | lim sup k z, w k z , w log R ,

2

F x,R z D | lim inf k z, w k z , w log R

2                           (2.2) D

k khoảng cách Kobayashi D

Trong (2.2), limsup liminf hữu hạn Thực vậy,

0

z ,z,w D hiển nhiên theo tính chất bất đẳng thức ta ln có

     

D D D

| k z,w k z ,w | k z ,z ; với xD ta có

     

     

D w x D D

D D D

w x

k z ,z liminf k z,w k z ,w

limsup k z,w k z ,w k z ,z

                  

Mệnh đề trả lời cho câu hỏi định nghĩa mặt cực hạn Bn

lại giống định nghĩa mặt cực hạn cổ điển 2.1.2 Mệnh đề 2.1

Cho Bn cầu đơn vị

n Cho z B n, kí hiệu

z

 tự đẳng cấu Mobius Bn cho   0

z z ta có mệnh đề sau:

Cho xBn z B n      

2 w x

1 ,

1

lim , w 0, w log

2 1





  

 Bn Bn  

z x

k z k

z .

Chứng minh:

Vì khoảng cách Kobayashi có tính giảm qua ánh xạ chỉnh hình dấu xảy ánh xạ  song chỉnh hình, ta có

           

n n n n

2 z

z

B B B B

z

1 w w

1

k z,w k 0,w k 0, w k 0,w log

2 w w

    

      

  

 

    

 

2

2

2

1 z w

1 w

1 z, w

 

  



Vì n  n      

2

z

2

B B

1 w z,w

1

k z,w k 0,w log

2 w 1 z

                  

Vì z w 1 w x.Suy điều phải chứng minh 

2.1.3 Một số tính chất 2.1.3.1 Bổ đề

Cho D miền bị chặn n

 , z0D,xD Thì : i) Với R>0 ta có    

0 ,  ,

z z

E x R F x R ;

ii) Với 0R1R2 ta có     ,  ,

z z

E x R E x R

   

0 ,  ,

z z

F x R F x R ;

iii) Với R>1 ta có  

0

1

, logR ,

2

  

 

 

k z

B z E x R ;

iv) Với R<1 ta có  

0

1

, , logR

2

 

    

 

z k

F x R B z ;

v)    

0

0 , ,

 

 z   z 

R E x R R F x R D R0Ez0x R,  R0F x Rz0  ,  ; vi) Nếu Aut D( )C D0( ), với R>0

 

 ,   0   , 

 Ez x R E z  x R         ,  ,

 F x Rz F z  x R ;

vii) Nếu z1D,đặt  1   0 

w x

1

log lim sup , w , w

2 L  k zD k zD 

thì với R >0 ta có

   

1 ,  ,

z z

E x R E x LR     ,  ,

z z

F x R F x LR Chứng minh

vii) Ta có

           

           

D D D D D D

D D D D D D

k z,w k z ,w k z,w k z ,w k z ,w k z ,w ,

k z,w k z ,w k z,w k z ,w k z ,w k z ,w

 

      

   

      

lần lượt lấy limsup liminf wx, ta

       

       

D D D D

w x w x

D D D D

w x w x

1

limsup k z, w k z , w limsup k z, w k z , w log L,

2

liminf k z, w k z , w liminf k z, w k z , w log L,

2                         Mặt khác   z

z E x,R ta có w x D  D 

1

lim sup k z, w k z , w log R

2

   

Nên

       

D D D D

w x w x

1

limsup k z, w k z , w limsup k z, w k z , w log L

2

1 1

logR+ log L log RL

2 2

       

 

Từ suy z E z0 x,LR, Ez1x,REz0x,LR

Chứng minh tương tự ta có F x,Rz1 F x,LRz0 

2.1.3.2 Hệ

i) Với xB z, 0Bvà R>0 ta có     ,  ,

z z

E x R F x R ; ii) Với xB R>0 mặt cực hạn  

0 ,

z

E x R ellipxôit;

       

0

2

2

, ,

,   |     1

 

 

n z

z x r z z x x E x R z

r r (2.3)

Trong 0

i) Hiển nhiên

ii) Lấy zn ta có

     

          

2 2

2 2 2 2 2

z, x r r z z, x x r

z, x r z, x r r z z, x z, x x r

    

        

Vì x B x2 1

                                                          

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

z, x r z, x 2r r r z r z, x r

z, x r z, x r r r z r z, x

z, x r z, x r r z r z, x

z, x r z, x r r z, x r z

z, x r r z, x r r z

1 r z, x z, x r z

1 r z, x r z

1 z, x

1                                                                  2 B B

2 w x

r R r z

1 z, x

1 1

log log R lim k z, w k 0, w log R

2 z 

           

Suy z E x,R 0  

2.2 Mặt cực hạn miền giả lồi 2.2.1 Định lí [5]

Cho D miền giả lồi mạnh với biên C2, compact tương đối trong  n,

0

       

2 D

1

, log , , , log ,

2 D

z D c d z D C z z k z z c d z D

        

2.2.2 Định lí [5]

Cho D miền giả lồi mạnh với biên C2, compact tương đối

n

 Khi tồn lân cận D’ D ánh xạ liên tục

    

: ' \ , , | , '

    D D D x x z xD z D  cho :

i) Với x, yD; x y , ánh xạ   x,y  x, y ánh xạ chỉnh hình và x,y D  ;

ii) Với x, yD; x y , ta có x y,  x 1và x y,  y  1

Từ kết hai định lí ta chứng minh định lí sau: 2.2.3 Định lí [5]

Cho D miền giả lồi mạnh với biên C2, compact tương đối

trong  n: chọn hai điểm

1

x  x D Khi tồn   x x1, 20  2

K K x ,x  cho với z ,z1 2D mà zj xj   j 1,2 ta có

 2  2    

1

, , log , log ,

2

      

D D

k z z C z z d z D d z D K

Chứng minh :

Cho lân cận D’ Dvà ánh xạ liên tục

    

: D D D' \ x, x,z | x D,z D'

       

định lí 2.2.2 Vì

x ,x ,x1 1 1; x ,x ,x 2

       

 

       

 

1 2

1 2

y ,y y ,y j j j j

y ,y y ,y j j j j

inf z z | y P x ,2 ,z P y , , j 1,2 0,

inf z z | y P x ,2 ,z P y , , j 1,2

          

           (2.4)

Hơn nữa, ta lấy  đủ nhỏ để

 j 

P x ,4 compact tương đối D’ (j=1,2)

   

P x ,4 P x ,4  

Đặt UP x ,4    D   P x ,4    D Chọn y1P x ,2 

 

2

y P x ,2

Nếu cố định j=1 j=2, ta lấy z, w P y ,2  j   P x ,4j , ta

có

   

     

1

1 2 j

j j

y ,y

y ,y y ,y y ,y P x ,4

P y ,2 U P x ,4

z w z w c z w

z

c z w M z w ,

 

 



       



    

(2.5)

trong M khơng phụ thuộc y , y ,z,w1 hay j

Bây giờ, cho j=1,2, cố định zjB x , j  D chọn yjD

cho d z , D j  || zjy ||j Vì xjD, ta có

 

j j j j

z y  ; y P x ,2

Đặt f  y ,y1 2 ; theo (2.5)

       

       

1 1 1

2 2 2

1 f z f y f z M y z Md z , D ,

1 f z f y f z M y z Md z , D ,

      

       (2.6)

với M độc lập với z ,z , y , y1 2 nữa, f D  ,

        

D D 2

Bây giờ, ta thử lại sau:      2 1 , ,

1 1 1

           

  

         

Vì vậy, theo (2.4) ta có                               

2

1 2

1

2

1 2

1 f z f z f z f z

1

f z ,f z log

2 1 f z 1 f z

1

log log f z f z ,

2                    

từ (2.6) suy

     

     

2

1 1

2

2 2

1 f z f z 2Md z , D ,

1 f z f z 2Md z , D

    

     

Do

   

     

1 2

1

f z ,f z log logd z , D logd z , D

2M 2

  

      

Định lí sau trình bày tính chất đẹp tương tự tính chất mặt cực hạn cổ điển, mặt cực hạn tiếp xúc với biên miền giả lồi mạnh tâm x

2.2.4 Định lí [5]

Cho D miền giả lồi mạnh biên C2 compact tương đối

n

 Khi với z0D x, D R, 0:

   

0 ,   

z

F x R D x Chứng minh

 n 

B  z  | z z   

Vì D C2

miền, có  0 cho với    cầu B x  chứa D tiếp xúc với D x Khi theo định lí 2.2.1, cho   

   

D

1 1

k z ,z logc logd z , D logc log

2 2

        ,

trong c dương độc lập với  Do    x  

D B

1 - 2

k z ,z k z ,z log 0, log log

2 c c c

                        

Cho E B x   mặt cực hạn (trong B x ) cực z0, tâm x bán kính

cR / 2 Thì

0 B x   B x  

1 cR

z E lim k z,z k z ,z log

2

    

  

    



Do với z E 

       

 x    x  

D D D D

w x

B B

0

lim inf k z,w k z ,w liminf k z,z k z ,z

1

liminf k z,z k z ,z log

2 c log R,                              

và EF x,Rz ; đặc biệt x F x,R z 

Tồn L > cho

   

D D

w x

1

lim sup k z , w k z , w log L

2



   

Theo bổ đề 2.1.3.1(vii)

  0 

z z

F x,R / L F x,R ,

và x F x,R z0 

 

0

z

y D F x,R ; y x ; tìm thấy dãy

 z F x,Rz0  với z y

Theo định lí (2.2.3), với  0; K liên kết thành cặp (x, y); ta giả sử z y    Vì  

0

z

zF x,R , ta có

   

D D

w x

1

, lim k z , w k z , w log R

2



  

    :

vì  ta tìm dãy  w Dsao cho

limw x

  D  D 

1

lim k z , w k z , w log R

2

  

  

Hơn nữa, ta giả sử w x  

   

D D

1

k z , w k z , w log R

2

     với ,  Theo định lí 2.2.3 ta có

   

     

D D

D

1

, , log R k z , w k z , w

2

1

logd z , D logd w , D k z , w K

2

  

  

   

      



Mặt khác, ước lượng biên (theo định lí 2.2.1) cho ta c10 (độc lập với

w) cho

   

D

1

, , k z , w c logd w , D

2

 

    

Vì

  1,

1

, log R logd z , D K c

2 

      ,

2.3 Dãy lặp ánh xạ chỉnh hình

2.3.1 Định lí Cartan - Carathéodory (tr 268, [10])

Cho X không gian phức hyperbolic, x0 điểm khơng kì dị của X Cho f X:  X ánh xạ chỉnh hình cho f(x0) =x0,

0: 

x x x

df T X T X vi phân f x0 Khi : 1) Giá trị riêng

0

x

df có giá trị tuyệt đối nhỏ 2) Nếu

0

x

df phép biến đổi đồng

x

T X, f phép biến đổi đồng X;

3) Nếu  

det dfx 1, f ánh xạ song chỉnh hình Chứng minh

Ta lấy r > cho hình cầu mở U x ,r x X;d x ,x X r có

tập compact đóng B U x ,r   Gọi  tập ánh xạ có tính giảm

khoảng cách từ B lên với d |X B  tập compact ( theo định lí

Arzela - Ascoli: “ Cho X không gian compact địa phương tách được, Y không gian metric compact địa phương với hàm khoảng cách dy Khi

đó họ F C X,Y   compact tương đối C(X,Y) (tức là, dãy ánh xạ f C X,Y   hội tụ tập compact X)

a F liên tục điểm x X

b x X  tập f x ,f F    tập compact tương đối Y.”

1) Cho f Hol X,X   với f(x0) =x0, cho  giá trị riêng dfx0 Với số nguyên dương k, ánh xạ lặp k

f hạn chế B, thuộc  vi phân  dfx0 k có giá trị riêng

k

2) Kí hiệu m 0 x

d f là toàn đạo hàm riêng cấp m x0 f Ta cần dfx0là phép biến đổi đồng T Xx0 ,

0

m x

d f   0; m 2 Cho m số nguyên dương bé 2 cho

0

m x

d f 0 Khi

  0

m k m

x x

d f k.d f

với số nguyên dương k Khi k tiến vô cùng,   0

m k m

x x

d f k.d f

tiến vơ cùng, mâu thuẫn với tính compact 

3) Giả sử det df x0 1 Theo 1) giá trị riêng dfx0 có giá trị

tuyệt đối Đặt dfx0 dạng chuẩn tắc Jordan, ta cần

0

x

df có dạng ma trận chéo, khơng phải có dạng khối chéo

1

0

0 0



 

  

 

 

 

 

 

 

Với  1 ma trận đường chéo tương ứng  dfx0 k

k k

k k

k

k * *

0 k

0 0





  

   

 

 

 

 

  

 

Đây điều mâu thuẫn với tính compact  k tiến vơ k

Chúng ta chứng minh dãy  fki dãy  fk hội tụ đến phép biến đổi đồng X Vì dfx0 có dạng ma trận chéo số

trên đường chéo có giá trị tuyệt đối 1, tồn dãy   i

k x

df

của dãy   dfx0 k hội tụ đến ma trận đồng Vì  tập compact, lấy

một dãy cần thiết ta giả sử  fki hội tụ đến ánh xạ

 

U x ,r

h từ U x ,r 0  lên Vi phân hU x ,r 0  x0,

 i

k x

limd f , phép biến đổi đồng

0

x

T X Theo 2) hU x ,r 0 phải phép biến đổi đồng U x ,r 

Gọi W tập mở lớn X có tính chất dãy

 fki hội tụ đến phép biến đổi đồng W (Để có tập W vậy, xét hợp W= W j tất tập mở Wj X có tính chất

j

W dãy  fkj

hội tụ đến phép biến đổi đồng Một số đếm Wj's phủ W Ta xét đến dãy đếm tương ứng  fki trích dãy theo tiêu chuẩn Khơng tính tổng qt, ta giả sử  fki hội tụ đến phép biến đổi đồng W Vì

 

U x ,r W, W khác rỗng Nếu W X , lấy xW chọn s đủ nhỏ

sao cho U x,s y X;d X x,y s compact đóng Vì i k

limf x f giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình, có lân cận Uxcủa x

cho ki   

x

f U U x,s Cho i i 0 Cho F tập tồn ánh xạ có tính

một dãy từ  fki hội tụ

x

U .Vì hội tụ đến phép biến đổi đồng W U x, phải hội tụ đến phép biến đổi đồng

trên Ux Đó mâu thuẫn lớn W, ta phải có W=X,

chứng minh khẳng định ta Ta giả sử  fki hội tụ đến

X

id

Bây ta xét dãy   f k 1i

có dãy hội tụ đến ánh xạ nghịch đảo f Cùng lý luận trên, lấy dãy cần thiết ta giả sử   f k 1i

hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình gU x ,r 0 

của U(x0,r) lên

Cho V tập mở lớn X có tính chất vài dãy  

 f k 1i

hội tụ đến phép biến đổi chỉnh hình gV V Sự tồn

V chứng minh giống tồn W Từ tính lớn V ta thu V=X tương tự cách lý luận Lấy dãy ta giả sử   f k 1i

hội tụ đến phép biến đổi chỉnh hình g X lên Thì

 

 k 1i  ki

X

f g f   lim f  limf id

Tương tự, g f id  X Thì g nghịch đảo f 

định z0D, xét vi phân f z0 Theo định lí Cartan- Caratheodory giá

trị riêng dfz0được chứa  Sử dụng dạng tắc dfz0, dễ

kiểm tra  dfz0 nhội tụ giá trị riêng thuộc   1 , định lí cho ta kết sau:

2.3.2 Định lí [5]

Cho D miền taut compact tương đối  n, cho f D: D

ánh xạ chỉnh hình với điểm cố định z0D Thì dãy lặp  fn hội tụ

chỉ df z 0 khơng có giá trị riêng  1  1 Chứng minh:

Giả sử fn  h Hol D,C n

Thì h z 0 z0,

 0   0

n n

z z z

df d f dh

Trong trường hợp đặc biệt,  giá trị riêng  

0

n z

df ,  phải

hội tụ đến giá trị riêng dhz0; (theo định lí Cartan –

Carathéodory)  1  1, chiều định lí

chứng minh

Đảo lại, giả sử tất giá trị riêng dfz0nằm

 1

  , đặt

0

z

df dạng chuẩn tắc Jordan Ta cần chứng minh rằng, giá trị riêng dfz0thì ma trận tương ứng ma trận chéo

1

0 :

: :

:

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Khi  0

k z

df có dạng khối tương ứng k

0 :

: :

: k

0

 

 

 

 

 

 

 

 

,

và, cho k , ta có mâu thuẫn (  

0

k z

df ln có dãy hội tụ)

Bây dễ dàng kiểm tra  dfz0 k hội tụ đến ma trận phức A cấp

n n (thực tế , A có dạng

r

I

0

 

 

 ,

trong Ir ma trận đồng cấp r r r bội số giá

trị riêng dfz0)

Vì vậy, h Hol(D, n)

 điểm giới hạn  fn , nên ta có  0 z0

h z z ;dh A Do đó, theo tính taut, h Hol D,D  , theo định lí tính

duy Cartan, h xác định Mặt khác,  fn

có

Hệ

Cho D miền taut compact tương đối  n , f D: D

ánh xạ chỉnh hình với điểm cố định z0D Thì  fn hội tụ đến

hằng số z0

z

df 1, || || dạng chuẩn tắc toán tử

Tổng qt hố định lí ta định lí sau: 2.3.3 Định lí [10]

Cho X không gian phức taut, f Hol X X ,  Nếu dãy  fk

hội tụ, hội tụ đến co chỉnh hình , điểm khơng kì dị  

0

z X vi phân

z

df có giá trị riêng tập  1 Đảo lại, f có điểm khơng kì dị cố định z0X cho

0

z

df có giá trị riêng  1

 ,  fk hội tụ

Chứng minh: Giả sử  fk

hội tụ Theo định lí Bedford hội tụ đến co chỉnh hình     k  k 1   

k k

f z lim f f z lim f  z z

 

      X

cố định theo điểm f Cho z0 X điểm khơng kì dị 

là giá trị riêng dfz0 Thì   k

 tiến đến giá trị riêng

0

z

d , tức là, hay Do  1

Đảo lại, giả sử f có điểm khơng kì dị cố định z0 cho

0

z

df có giá trị riêng  1 , đặt dfz0trong dạng chuẩn tắc Jordan Thì

có dạng sau

r

I

A

0 A

 

  

Trong r bội giá trị riêng dfz0, A ma trận cho k

lim A 0 Khi f có điểm cố định,  fk

khơng phân kì Cho  co chỉnh hình, h điểm giới hạn  fk

Thì h cố định z0

và

0

r

z z

I

dh d

0

 

  

 

Vì chính đẳng cấu, giới hạn điểm  fk



Các định lí cho ta thấy  fn

hội tụ nào, để mơ tả cách có hiệu giới hạn điểm dãy  fn

thì Bedford chứng minh định lí sau:

2.3.4 Định lí (Bedford) [10]

Cho  miền liên thơng có tính taut compact tương đối

~

, cho fj,

1

      dãy lặp f, hội tụ tập compact  đến hàm F:   Khi

i) f    hay

ii) Có đa tạp nhẵn V , co chỉnh hình   : V  

Aut V

 cho F  

Hơn thế, dim V phụ thuộc vào f mà không phụ thuộc vào dãy

 j

Chứng minh

j j j

j j j j j

q p p ,

r q p p 2p ,





 

   

cả hai tiến vô Nếu cần thiết có hàm

~

,G :

   

   

j j

q j

r j

limf z

limf G z

 

  

hội tụ tập compact 

Xét đến fj 1  z fqjfj z , cho qua giới hạn j , ta có

    

F z   F z (2.7)

Vì      , lại theo tính taut,      Qua giới hạn j  hai vế đẳng thức

    

j j qj

f z f f z Ta

    

F z F  z (2.8)

Đặt

V  z :  z z

Thì V đa tạp  F     V   (2.9) Theo (2.9) hạng F điểm nhỏ hay hạng



Cho qua giới hạn j  hai vế đẳng thức

    

j j j

q r p

f z f f z

 z G F z  

  (2.10)

Tương tự ta chứng minh hạng  nhỏ hạng F

Khi  F có hạng Từ (2.10) suy 1 V

đa tạp n chiều  1 V

= tức  

V   Do   2

 co vào V Sau ta chứng minh V đa tạp Đặt k=dimV Với z0V ta chứng minh hạng vi

phân ' z 0 k Nếu vậy, có lân cận nhỏ U z0

cho  U đa tạp nhẵn k chiều

Vì vậy,   U   U V U V , theo định nghĩa V, V nhẵn z0 Nhưng  đồng V, khoảng biến

thiên vi phân ' z 0 chứa nón tiếp xúc Whitney C V,z 0 Vì C(V)

đa tạp phức k chiều, bao tuyến tính C(V) có chiều nhỏ k

Cuối cùng, đặt  F|V cần chứng minh Aut V  Theo (2.9)

 V V

  , theo tính taut (2.10), G :  , ta lấy giới

hạn j của đẳng thức

    

j j j

q r

f z f f z thu

 z F G z  

 

Vì  z z với z V , từ (2.10) suy F tương ứng 1-1 Hơn nữa,

Nếu  fj

dãy hội tụ khác, fj F

, giả sử sj   j jvà tj   j 1 j tiến đến vơ Lí luận tương tự

như trên, ta kết luận F F có hạng, chiều V

chỉ phụ thuộc vào f, không phụ thuộc vào  j

Xét ánh xạ phép thấu xạ f : H* k, Hk,  Chọn

cơ sở Hk,  chứa phần tử Hk,  ta viết f*Tk

Trong Tk ma trận vuông với phần tử nguyên 

2.3.5 Mệnh đề [5]

Cho D tập compact tương đối nvà f Hol D D ,  cho

f(D) tập compact tương đối D f có điểm cố định

0

z D

Định lí dạng tổng quát bổ đề Wolff 2.3.6 Định lí [5]

Cho D miền lồi compact tương đối  n

: 

f D D ánh xạ chỉnh hình khơng có điểm cố định Khi tồn xD cho

0 ,

z D R và n

 

 0 ,  0 , 

n

z z

f E x R F x R Chứng minh:

Ta giả sử D Chọn dãy số thực dương  r

hội tụ đến 1, định nghĩa

 

g : D D

z g z r z



 





Khi D lồi, g D  compact tương đối D với  , dãy  g hội tụ đến ánh xạ đồng D

Đặt f g f.Theo mệnh đề 2.3.5, f có điểm cố định wD Lấy dãy con, ta giả sử  w hội tụ đến điểm x D Nếu x D ,

     

f x lim f w  lim w x

 

   ,

Điều khơng thể, xD

Bây giờ, với z0D có

       

D D w x D D

z D, lim k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w (2.11)

    

       

Cố định R>0 z E z0 x,R, theo (2.11), tồn  0   0 cho

   

0 D D

1

k z, w k z , w log R

2

 

      

Vì w điểm cố định  f n n , ta có

   

 n   

0 D D

1

k f z , w k z , w log R

2

  

      

Và

   

 n   n    n   n 

D D D

k f z , w k f z , w k f z ,f z 0 ,

khi   ; tồn   1 cho

 

 n   

1 D D

1

k f z , w k z , w log R

2

 



     

Vì

 

 n     n    

D D D D

w x

1

lim inf k f z , w k z , w liminf k f z , w k z , w log R

2

 

      

và f zn F x,R 

2.3.7 Định lí [5]

Cho D miền C2 giả lồi mạnh compact tương đối  n,

: 

f D D ánh xạ chỉnh hình khơng có điểm cố định Khi dãy lặp f hội tụ đến điểm biên

Chứng minh :

Vì f khơng có điểm cố định, theo định lí (2.3.6) với điểm xD

chúng ta cần chứng tỏ fn x

Gọi h Hol D,  n

điểm giới hạn  fn

; ta cần chứng minh h x

Chọn dãy  fn hội tụ đến h Theo định lí 2.3.4 Bedford,

có hai trường hợp xảy ra: h D  D, h Hol D,D  

+ Trong trường hợp thứ nhất, h số, D miền lồi mạnh Theo định lí 2.3.6, cho z0Dvà R > ta có

 

 0  0 

n

z z

, f  E x,R F x,R

 

Cho qua giới hạn    ta

 

 z0  z0   

h E x,R F x,R  D x Do h x

+ Trường hợp thứ hai: Giả sử ngược lại h Hol D,D   theo định lí 2.3.4 (Bedford), ta thay h co chỉnh hình từ D vào đa tạp X, kí hiệu h Đặt  f |x; ta

  Aut X

 Trước tiên, qua giới hạn đẳng thức

n n

f f  f  f

ta

       

z X; f z f h z h f z ,

và f X X Lấy dãy con, giả sử  1 f 

hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình  Qua giới hạn đẳng thức

1

f  f f f   f f  

ta

 

      

z X, f z h z z f z ,

       (2.12)

đặc biệt,    idX Hol D,D  Bây giờ, qua giới hạn đẳng thức

n n n n

f  f  f  f 

ta

 z h z  h  z 

    

Vậy  X X; từ (2.12) suy

X X

| id

   Aut X  Gọi  bao đóng  n

Hol X, n

 ; ta chứng tỏ

 nhóm giao hốn, compact tự đẳng cấu X Vì D taut,

 compact; nên cần phần tử  có nghịch đảo (rõ ràng idX nằm )

Lấy , chọn dãy  k

 hội tụ đến ; dãy  k

là số,  luỹ thừa  Ta giả sử k

 

      k hội tụ đến ánh xạ chỉnh hình  Lấy giới hạn

n k   k   k k

       ta  

    

z X, z z z

       

Vì    1

          

1 D X X D

z ,z X k z ,z k z ,z k h z ,h z k z ,z

    

Đặc biệt, hình cầu Kobayashi X giao hình cầu Kobayashi D với X

Lấy z0X;  z0    z |0  tập compact chứa X

Đặt

C B w,r | w X,r>0;B w,rk   k   z0 ,

(trong B w,rk  cầu Kobayashi D) Mọi B w,rk  tập compact

và lồi (vì D tập lồi ); vậy, C C là khác rỗng tập compact lồi D Ta cần f C C

Cho z C , ta phải f z B w,rk  với w X r>0

thì B w,rk   z0 Bây    

1 k

B  w ,r  C :

 

  1    1    

k k 0

B  w ,r X   B w,r X    z   z

Vì  1  

k

z B  w ,r

 

    1     1  

D D D

k w,f z k f  w ,f z k  w ,z r,

nên f z B w,rk 

Cuối cùng, f C C Theo định lý Brouwer, f phải có điểm cố định C, mâu thuẫn Vì  fn

khơng thể có giới hạn điểm

2.3.7.1 Hệ quả

Cho D miền C2 lồi mạnh compact tương đối  n,

: 

f D D ánh xạ chỉnh hình Lấy điểm z0 tuỳ ý thuộc D; f có một điểm cố định dãy f n z0  có điểm giới hạn

D

Chứng minh: Nếu dãy  n 

f z có giới hạn điểm D, dãy  fn

khơng hội tụ đến điểm biên, theo định lí 2.3.7, f phải có điểm cố định

Đảo lại, giả sử f có điểm cố định w D Khi dãy

 

 n 

0

f z được chứa hình cầu Kobayashi đóng tâm w bán kính

 

D

k z ,w tập compact Do  n 

f z có điểm giới hạn D.

2.3.7.2 Hệ

Cho D miền C2 lồi mạnh compact tương đối  n,

 , 

f Hol D D Giả sử tồn tập compact K D cho  

f K K Khi f có điểm cố định D 2.3.7.3 Chú ý

Định lí 2.3.7 khơng tổng quát hoá miền lồi tuỳ ý hay miền giả lồi mạnh Thực vậy, cho D   2

, cho f :  2

cho

  i

1 2

1

1 z

f z ,z ,e z ,

3 z



  

   

 

mỗi  ei 1

Khi dễ thấy f có điểm cố định,  fn

Mặt khác, cho Dz,w2| z2  w  w2 3

; D miền giả lồi mạnh nhẵn

 Định nghĩa f : DD

  i

f z,w z,e w ,

2



 

  

mỗi  ei 1

Khi (z, w) D ,w 0 , f có điểm cố định

nhưng  fn

không hội tụ

Năm 1964, Shields chứng minh hệ thú vị định lí Denjoy - Wolff: “nếu f ,g :   chỉnh hình , liên tục 

và f g g f , ta có điểm cố định ” Kết mở rộng lần miền   Eustice, mở rộng Bn

Sau tổng qt hố miền lồi nhẵn 2.3.8 Mệnh đề [5]

Cho D miền lồi mạnh nhẵn compact tương đối  n, cho f,

g :DD chỉnh hình D, liên tục D cho



 

f g g f f g có điểm chung cố định D

Chứng minh: Giả sử f khơng có điểm cố định D Thì theo định lí 2.3.7, dãy  fn

hội tụ đến điểm xD Hiển nhiên, f(x)=x, ta cần

chỉ g(x)=x Thực vậy, lấy z D ,    n  n  

n n

g x limg f z limf g z x

 

  

Vì vậy, giả sử giao tập điểm cố định X f với D khác rỗng Vì f g giao hốn, g X X Dễ thấy X đồng phôi với tập lồi đóng n

KẾT LUẬN

Dựa vào kiến thức sở trình bày chương 1, luận văn trình bày lại cách có hệ thống kiến thức sau:

Mặt cực hạn cổ điển

Mặt cực hạn miền tính chất Mặt cực hạn tính chất miền giả lồi

Các tính chất dãy lặp ánh xạ chỉnh hình

Và cuối luận văn có trình bày mối liên hệ mặt cực hạn lớn, mặt cực hạn nhỏ ánh xạ lặp ánh xạ chỉnh hình

 

 0  0 

n

z z

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt

1 Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian Hyperbolic, NXB Đại học Sư Phạm

2 Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội

3 Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục

4 Đỗ Đức Thái (2003), Cơ sở lý thuyết hàm hình học, NXB Đại học Sư Phạm

Tiếng Anh

5 Abate M (1988), Horospheres and Iterates of holomorphic maps, Math.Z, 198, tr 225- 238

6 Burkel R (1981), Iterating self – maps of the disk Am, 88, tr 396-407

7 Bedford E (1983), On the automorphism group of a stein manifod, Math Ann, 266, tr 215- 227

8 Josph J, H Kwach M (1977), A generalization of a theorem, New York, 199, tr 235- 249

9 Hiens M (1941), On the iteration of functions which are analytic and single valued in a given multiply connected region,Math, 63, tr 461- 480

10 Kobayashi S (1998), Hyperbolic complex spaces, Berlin 11 Kobayashi S (1970),Hyperbolic manifolds and holomorphic

mappings, Berlin.

12 Sabat BV (1979),Nhập môn giải tích phức, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội