Bo tro luong giac Co ban

[r]

Nhớ:

ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

M

cos cotg

sin tg

P Q

O

K

H +

-1

-1

1 B

A A’

B’

Cô nằm , sin đứng

Nhắc lại kiến thức đã học

sin học

cứ khóc hoài

thôi đừng khóc

có khó đâu

Chỉ áp dụng cho tam giác vuông

B A

cứ khóc hoài

sin học

thôi đừng khóc

có khó đâu

sin cos

cotg

OP Giá trị đại số của OP

Khi điểm M di chuyển đường (O) với bán kính bằng đơn vị, hình chiếu vuông góc của M lên trục cos là P có thể nằm về phần âm hay dương của trục tính từ tâm O.

Vì v y, GIA TRI ĐAI SÔ có thể â âm hay dương

Lưu ý: OP1  0 OP2 0

1 P

2

tg cos OQ OM AH AH OA OQ sin AH OQ  OP PM OM 1 OP BK OP OM BK OB

cot g BK

Vận dụng vào tam giác OPM vuông tại P:

Xét tam giác OBK vuông tại B : Xét tam giác OAH vuông tại A :

tg  PM

OP

OQ OP sin

cos 



cot g OP

PM

OP OQ cos

sin   



tg

 



cot g

O P

M

α

Q

α

Đối với trục tg ta nhớ gốc đặt tại A , chiều dương hướng theo chiều mũi tên

Đối với trục cotg ta nhớ gốc đặt tại B , chiều dương hướng theo chiều mũi tên

M

cos cotg

sin tg

P Q

O

K

H +

-1

-1

1 B

A A’

B’

α

OP

OQ

 0

M thu c ptư I:ô

0 0 0

sin   0 0

tg 

0

cotg 

AH

BK



cos  0

 

0

2

 

 

cos cotg

sin tg

O

+

-1

-1

1 B

A A’

B’

α

0

M thu c ptư II:ô

0 0 0

sin   0



1

P

1

Q

cos  0

1

OP

1

OQ

 2



 

 

1

AH

1

BK

0

tg 

0

cotg 



 H1

1

K

M di chuyển cung BA 

cos cotg

sin tg

O

+

-1

-1

1 B

A A’

B’

α



0

M thu c ptư III:ô

0 0 0

0

tg 

0

cotg 



cos  0



2

H

2

K

2

P

2

Q sin  0

2

AH

2

BK

2 OP

2

OQ

3 2

    

M di chuyển cung A B 



cos cotg sin tg O + -1 -1 1 B A A’ B’ α

M di chuyển cung

0

M thu c ptư IV:ô

0 0 0



cos  0



0

tg 

0

cotg 

sin   0

3 H K Q P OP OQ AH BK 3 2 2      

B A

 

1

PM2

cos2α

sin2α

+

(sinα)2 (cosα)2

Xét tam giác OPM vuông tại P :



Một số công thức bản :

Áp dụng định lý Pitago , ta có :

OP2 OM2

+ 

+  1

O P

M

α

OQ2 + OP2  1

Chia vế của pt (*) cho cos2α ≠ 0

2

sin cos



 

2

cos cos



 

1

cos 

2

2

1 1

cos

tg 



 

Chia vế của pt (*) cho sin2α ≠ 0

2

sin sin

 

2

cos sin





1

sin 

2

2

1 1

sin

cotg 



 

.

tg cotg   sin

cos 



cos sin



 1

Vi d : Ch ng minh u

r ng :ă 3 2

3

sin cos

1 cos

x x

tg x tg x tgx x



   

Gi i:a

VT  sin cos

cos

x x

x



2

1

cos x

(1  tgx)

2

(1 tg x)

3 1

tg x tg x tgx   VP

sin cos

cos cos

x x

x x

 



 

 



 (1 tg x2 )

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau độc lập với x

Gỉai:

E  3cos4 x  2 cos2 x cos4 x  3sin4 x  2sin6 x

4

3(cos x  sin x)  2(cos6 x  sin )6 x

2 2 2 3

3[(cos )x (sin ) ] 2[(cos )x x (sin ) ]x

   

2 2 2

3[(cos x sin )x 2sin x cos ]x

  

2 4 2

2[(cos x sin )(cosx x sin x sin x cos )]x

   

2 2

3(1 2sin x cos )x

 

2 2 2 2

2.1.[(cos x sin )x 2sin x cos x sin x cos ]x

   

2 2 2

3 6sin x cos x 2(1 3sin x cos )x

   

2 2

3 6sin x cos x 2 6sin x cos x 1

    

4

cos (3 2cos ) sin (3 2sin )

E  x  x  x  x



Ví dụ : Tính cosx,tgx,cotgx Biết :

Trả lời:

3

( 2 )

2 x





 

2

sin x  cos x 1 cos2 x  1 sin2 x

2 1 1 7         48 49 

cos x  cos 48 48 4 3

49 7 7

x   

sin cos x tgx x  7 

 1 7

7 3

       1 4 3  1 cotgx tgx  1   1           4 3  Ta có:

cos x 1 49

 

Vì:

0

0

0

6



3



4



2



0

30 450 600 900



sin 

cos

tg

cotg

0 1 2 3 4

4 3 2 1 0

0 3

3 1 3

3 1 33 0

HSLG

Sin cos nửa phần

cos cotg

sin tg

O

+

-1

-1

1 B

A A’

B’

M

sin 0 cos 1

0

tg 

cotg 

Các điểm đ c bi t M di chuyển đường ă ê tròn lượng giác

M A



thì:

0o

   0(rad)

0 k.2 k.2

      (k  )

Khi từ A, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về A, góc α có giá trị là:

Hay :

hay

0o k.360o k.360o

   

AOM 0o



O

cos cotg

sin tg

O

+

-1

-1

1 B

A A’

B’

M

cos 

cotg  

M A

 tgsin00

Khi từ A’, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về A’, góc α có giá trị là:

thì: AOA 180o

0

180

    (rad )

Hay :

hay

0

180 k.360

  

2

k

    (k  )

O

cos cotg

sin tg

O

+

-1

-1

1 B

A A’

B’

sin 1 cos 0

tg 

0

cotg 

M B



thì:

Hay :

hay

Khi từ B, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về B, góc α có giá trị là:

AOB 90o



2



   900

2 k



   

0

90 k.360

  

(k  )

M

1

cos cotg

sin tg

O

+

-1

-1

1 B

A A’

B’

thì:

Hay :

hay

Khi từ B’, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về B’, góc α có giá trị là:

(k  )

M

O B

sin  1

tg  

M B

 cos 0

0

cotg 

AOB 90o

 

0

90

  ( )

2 rad

  

0

90 k.360

  

2 k



   

cos cotg sin tg O + -1 -1 1 B A A’ B’

sin 1

sin 0

sin  cos 1

cos 0 cos 

0

tg 

tg 

tg  

0

cotg 

cotg 

cotg  

M A

M B

M A

M B





 sin 0

0

tg 

 cos 0

0

cotg 

( k2 )

(   k2 )

( )

2 k



   

( )

2 k      k    2 k     

Các cung liên kết sin(α + k2π) = sinα

cos(α + k2π) = cosα tg(α + k2π) = tgα cotg(α + k2π) = cotgα

1.Cung sai kém k2π:

Nhớ : nghĩa là : sin bằng sin

cos bằng cos

tg bằng tg

cotg bằng cotg

Sai thì bằng

(α+ k2π) α

+ M M’ P P’ Q Q’ O cos cotg -1 -1 B A A’ B’ α T

Lấy M’ là điểm đối xứng M qua đường phân giác thứ OT hệ trục xOy :

x y

' '( )

OPM OQ M g c g

   



s '

2

đ AM   

α

Lập tỉ số suy tg và cotg

Nên :

'

OP OQ

PM Q M 

OQ OP 

cos sin          

 OP OQ '

 sin cos

2



     

 



sđ AM ,

 

sđ AM sđ M B

tg sin

Ta có công thức sau về cung phụ với :

2





 



 

 

sin = cosα cos = sinα tg = cotgα cotg = tgα

2





 



 

 

2





 



 

 

2





 



 

 

2





  

   

Nhớ : nghĩa là :

sin bằng cos

cos bằng sin

tg bằng cotg

cotg bằng tg

Phụ thì chéo

2





 



 

+

O cos

cotg

-1

-1 B

A A’

B’

1 x

y tg

sin

M

M’ Q

Q’

P

-α

α

3.Cung đối: (-α)

AM AM 

 

sđ AM  sđ AM 

Lấy M’ là điểm đối xứng M qua trục cos:

OPM OPM 

 

OP OP

   

OP OP

cos cos( ) sin  sin( ) cos( ) cos 

sin( )  sin 

( )

tg    tg

( )

cotg    cotg

PM  PM 

sin(-α ) = - sinα cos(-α ) = cosα tg(-α ) = - tgα cotg(-α ) = - cotgα

Từ đó suy các công thức về cung đối: (-α)

Nhớ : nghĩa là :

sin bằng - sin

cos bằng cos

tg bằng - tg

cotg bằng - cotg

Đối “-” bỏ cos

+

O cos

cotg

-1

-1 B

A A’

B’

1 x

y tg

sin

M M’

P P’

Q

α α

4.Cung bù: (π-α) Lấy M’ là điểm đối xứng M qua trục sin:

   

AM A M 

 

sđ AM sđ M A 



sđ AM    

 

sđ AM =  sđ M A 

 

sin sin   

 

cos  cos   

 

cos     cos

 

sin    sin

 

tg     tg

 

cotg     cotg

OP  OP

sin(π-α ) = sinα cos(π-α ) = - cosα tg(π-α ) = - tgα cotg(π-α ) = - cotgα

Ta có công thức sau về cung bù: (π-α)

Nhớ : nghĩa là :

sin bằng sin

cos bằng - cos

tg bằng - tg

cotg bằng - cotg

Bù “-” bỏ sin

5.Cung kém nửa pi: sin = cosα cos = - sinα tg = - cotgα

cotg = - tgα Nhớ :

Nghĩa là :

sin bằng cos

cos bằng - sin

tg bằng - cotg

cotg bằng - tg

Nửa pi sin cos chéo “-”

                                     2          2         

Chứng minh :

sin sin ( ) cos( ) cos

2                         

cos cos ( ) sin( ) sin

2                          ( ) ( ) 2

tg     tg       cotg    cotg

   

( ) ( )

2

cotg     cotg       tg    tg

sin(π+α ) = - sinα cos(π+α ) = - cosα tg(π+α ) = tgα cotg(π+α ) = cotgα

6.Cung kém nguyên pi: (π+α)

Nhớ :

nghĩa là :

sin bằng - sin

cos bằng - cos

tg bằng tg

cotg bằng cotg

Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng

(π+α ) α

Chứng minh :

 

sin( ) sin   ( ) sin( )  sin

 

cos( ) cos   ( )  cos( )  cos

 

( ) ( ) ( )

tg   tg      tg   tg

 

( ) ( ) ( )

Sai thì bằng, phụ thì chéo

Đối “-” bỏ cos, bù “-” bỏ sin. Nửa pi sin cos chéo “-”

Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng.

Nhớ :

Đồ thị các hàm số lượng giác:

1 Hàm số y = sinx

X 0 π/2 Π

y=sinx

0

1

0

Hàm y = sinx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T=2π

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-3 -2 -1

x y

y=sinx

0

y=1

-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

-3 -2 -1

x y

y=cosx y=1

0

y=-1

X 0 π/2 Π

y=cosx 1 0

-1

2 Hàm số y = cosx

Hàm y = cosx là một hàm chẵn và tuần

hoàn với chu kỳ T=2π

Bảng biến thiên:

X 0 π/2

y = tgx

0

||

3 Hàm số y = tgx

Hàm y = tgx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T = π

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

-3 -2 -1

x y

y=tgx y=tgx

X 0 π/2 Π

y=cotgx || 0

||

4 Hàm số y = cotgx

Hàm y = cotgx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T = π

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2

-3 -2 -1

x y

y=cotgx y=cotgx

y=cotgx

Tính chất các hàm số lượng giác

Hàm số y = f(x) có miền xác định D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại ít một số L≠0 cho, với mọi x Є D ta có :

x ± L Є D

f(x ± L) = f(x)

Giá trị dương nhỏ L, nếu có, ký hiệu là T và gọi là chu kỳ hàm sớ

1 Tính tuần hoàn:

a Định nghĩa :

Định lý :

• Các hàm số y = sinx và y = cosx là hàm tuần hoàn và có chu kỳ 2π

Chứng minh :

Xét hàm số : y sin x

 

0  0; 2

2

T  

Vận dụng cung sai kém k2π :

Xét ngoài giá trị 2π còn giá trị nào nhỏ thỏa mãn sin(x±L) = sinx hay không?

Ta có :

Nhưng : ( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên ta chỉ xét 0<x<2π )

Áp dụng tương tự cho hàm y = cosx

sin(x 2 ) sin  x

sin(x k 2 ) sin  x

sin(x 0) sin x

(x 2 ) R

  

x R

 

Xét hàm số : y tgx

( )

tg x  tgx

Vận dụng cung nguyên π cho tg(x+π) : tg x(  ) tgx Vận dụng cung đối và cung bù cho tg(x-π) :

( ) [ ( )] ( ) ( )

tg x   tg    x  tg   x   tgx tgx

Ta có : tg x( 0) tgx

 

 

0  0;

Nhưng : ( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên ta chỉ xét 0<x<π )

Áp dụng tương tự cho hàm y = cotgx

T 

x D

  (x  )  D

\

2

D R x x    k 

 

2 Tính chẵn lẻ hàm số lượng giác:

Định lý:

y = cosx là hàm số chẵn

y = sinx , y = tgx, y = cotgx là các hàm số lẻ

Chứng minh :

a Hàm số y = cosx có D=R nên : x D  ( x)  D

cos( x) cos x f ( x)  f x( ) hàm chẵn

b Hàm số y = sinx, y= tgx,

y = cotgx có miền xác định D :  x D  ( x)  D

sin( x)  sin x

 tg x( )  tgx

( )

cotg x  cotgx

( ) ( )

• Hàm sớ y = sinx tăng [0;π/2] và giảm

[π/2;π]

• Hàm sớ y = cosx giảm [0;π]

• Hàm số y = tgx tăng [0; π/2)

• Hàm sớ y = cotgx giảm (0; π/2]

3.Tính đơn điệu các hàm số lượng giác :

a Định lý :

cos cotg

sin tg

O

+

-1

-1

1 B

A A’

B’

M M’

P P’

Q Q’

OP

OQ





 

 



M  AB

OP

OQ

 

Hàm cosx giảm Hàm sinx tăng Hàm cosx giảm Hàm sinx giảm (M tăng dần từ đến π/2)

(M’ tăng dần từ π/2 đến π)



 

       

sin

. cos

x tgx

x



     



   

1 cot gx

tgx

  



OP

OQ





 

 



M  AB



M  BA OP

OQ

 

Hàm cosx giảm Hàm sinx tăng Hàm cosx giảm Hàm sinx giảm (M tăng dần từ đến π/2)

(M tăng dần từ π/2 đến π )

0

2

x 

 

0

2

x 

 

Hàm tgx tăng, vì:

b Miền giá trị các hàm số lượng giác:

Với mọi x Є D , ảnh x là y = f(x) có các giá trị thuộc về một tập hợp T , thì T gọi là miền giá trị hàm số f

cos cotg tg

O

+

-1

-1

1 B

A A’

B’

M

P Q

sin

Khi M di chuyển đường tròn (0) với R=1 đvị, thì hình chiếu nó lên các trục sin và cos là P và Q nằm giá trị từ -1 đến +1 Do đó :  1 sin x 1

1 cos x 1

  



Đối với các điểm H và K xác định trục tg và cotg kéo dài OM (trừ M≡B đối với tg và M≡A đối với cotg) nên : T = (-∞;+∞)

H K

Các ví dụ :

i Tính các hàm số lượng giác các góc (cung ) sau:

1.

i

2. i

0 0

135 ; 495 ;1305

13 17 ;

6

  

Trả lời :

1.

i

0 0 0

sin1305 sin(225 1080 ) sin(225 3.360 )

0 0

sin 225 sin(180 45 ) sin 45

2

    

Tính :1350 và 13050

0

sin135 

0

cos135 

0

135

tg 

0 135

cotg 

0

sin(90  45 ) cos 450 22

0

cos(90  45 )  sin 450

2



0

(90 45 )

tg   cot 45g  1

0

1 135

tg

1

1 1

Tương tự : Áp dụng cung sai kém k3600 (hay sai kém k2π) vào

góc 13050 đối với các hàm cos , tg và cotg

2.

i Tính : 17π và -13π/6

sin17  sin 16    sin 2.8    sin 0

cos17  cos 16    cos 2.8    cos 

   

17 16 2.8

tg  tg   tg   tg tg(  0) tg0 0

1 17 17 cotg tg  

 

0     13 sin          13 sin 6          (12 1) sin          sin           sin   

ii Tính giá trị biểu thức :

2

2

sin 2sin cos 2cos

2sin 3sin cos 4cos

x x x x

M

x x x x

 



  Với cotgx = -3

Vì cotgx = -3 nên sinx ≠ , đó chia tử và mẫu cho sin2x

Trả lời :

2

2 2

2

2 2

sin 2sin cos cos

sin sin sin

2sin 3sin cos cos

sin sin sin

x x x x

x x x

M

x x x x

x x x

     2 2 cos cos

1 2

sin sin

cos cos

2

sin sin x x x x x x x x      2

1 2

2

cotgx cotg x

M

cotgx cotg x

 



 

2

1 2( 3) 2( 3) 2 3( 3) 4( 3)

iii Đơn giản biểu thức :

Trả lời :

   

sin sin cos cos sin cos

N  x x  x  x x  x

 sin cos 

N  x  x

sin cos

N  x  x N sin x  cos x

   

2

sin 1 cos 1

N  x  cotgx  x  tgx

2 cos sin

sin 1 cos 1

sin cos

x x

N x x

x x

   

       

   

2 sin cos cos sin

sin cos

sin cos

x x x x

N x x

x x

 

   

     

   

 sin cos   sin cos 

iv Cho A, B, C là ba góc một tam giác Chứng minh rằng :

sin cos

2 2

B C A

A 

 

 

 

 

Trả lời :

Theo giả thiết A, B, C là ba góc một tam giác nên: A + B + C = π A + A + B + C = π + A

2A + B + C = π + A

2 2

B C A

A    

2 2 2

B C A

A    

sin sin

2 2 2

B C A

A  

   

  

   

   

sin cos

2 2

B C A

A 

 

 

 

Vài cảm nghĩ:

• Khi học Lượng giác, các em chú ý học kỹ

đường tròn bài này.

• Những cơng thức các em học sẽ dễ dàng

nếu đưa dòng thơ gần gũi vào nơi cần thiết.

• Chúc các em học tốt !