[r]
(1)Nhớ:
ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
M
cos cotg
sin tg
P Q
O
K
H
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
Cô nằm , sin đứng
(2)Nhắc lại kiến thức đã học
sin học
cứ khóc hoài
thôi đừng khóc
có khó đâu
Chỉ áp dụng cho tam giác vuông
B A
(3)cứ khóc hoài
sin học
thôi đừng khóc
có khó đâu
sin
cos
cotg
(4)OP
Giá trị đại số của OP
Khi điểm M di chuyển đường (O) với bán kính
bằng đơn vị, hình chiếu vuông góc của M lên trục
cos là P có thể nằm về phần âm hay dương của trục
tính từ tâm O.
Vì v y, GIA TRI ĐAI SÔ có thể
â
âm
hay
dương
Lưu ý:
OP
1
0
OP
2
0
1
P
2
(5)tg
cos
OQ OM AH AH OAOQ
sin
AH
OQ
OP
PM OM1
OP
BK OP OM BK OBcot
g
BK
Vận dụng vào tam giác OPM vuông tại P:
Xét tam giác OBK vuông tại B :
Xét tam giác OAH vuông tại A :
(6)tg
PM
OP
OQ
OP
sin
cos
cot
g
OP
PM
OP
OQ
cos
sin
tg
cot
g
O P
M
α
Q
α
Đối với trục tg ta nhớ gốc đặt tại A , chiều dương hướng theo chiều mũi tên
Đối với trục cotg ta nhớ gốc đặt tại B , chiều dương hướng theo chiều mũi tên
(7)M
cos cotg
sin tg
P Q
O
K
H
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
α
OP
OQ
0
M thu c ptư I:
ô
0
0
0
sin
0
0
tg
0
cotg
AH
BK
cos
0
0
2
(8)cos cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
α
0
M thu c ptư II:
ô
0
0
0
sin
0
1
P
1
Q
cos
0
1
OP
1
OQ
2
1
AH
1
BK
0
tg
0
cotg
H11
K
M di chuyển cung
BA
(9)cos cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
α
0
M thu c ptư III:
ô
0
0
0
0
tg
0
cotg
cos
0
2
H
2
K
2
P
2
Q
sin
0
2
AH
2
BK
2
OP
2
OQ
3
2
M di chuyển cung
A B
(10)cos cotg sin tg O
+
-1 -1 1 B A A’ B’α
M di chuyển cung
0
M thu c ptư IV:
ô
0
0
0
cos
0
0
tg
0
cotg
sin
0
3 H
K
Q
POP
OQ
AH
BK
3
2
2
B A
(11)1
PM
2
cos
2
α
sin
2
α
+
(sinα)
2
(cosα)
2
Xét tam giác OPM vuông tại P :
Một số công thức bản :
Áp dụng định lý Pitago , ta có :
OP
2
OM
2
+
+
1
O P
M
α
OQ
2
+
OP
2
1
(12)Chia vế của pt (*) cho cos
2α ≠ 0
2
sin
cos
2
cos
cos
1
cos
2
2
1
1
cos
tg
Chia vế của pt (*) cho sin
2α ≠ 0
2
sin
sin
2
cos
sin
1
sin
2
2
1
1
sin
cotg
(13).
tg cotg
sin
cos
cos
sin
1
Vi d : Ch ng minh u
r ng :ă 3 2
3
sin
cos
1
cos
x
x
tg x tg x tgx
x
Gi i:
a
VT
sin
cos
cos
x
x
x
2
1
cos
x
(1
tgx
)
2
(1
tg x
)
3
1
tg x tg x tgx
VP
sin
cos
cos
cos
x
x
x
x
(1
tg x
2)
(14)Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau độc lập với x
Gỉai:
E
3cos
4x
2 cos
2x
cos
4x
3sin
4x
2sin
6x
4
3(cos
x
sin
x
)
2(cos
6x
sin )
6x
2 2 2 3
3[(cos )
x
(sin ) ] 2[(cos )
x
x
(sin ) ]
x
2 2 2
3[(cos
x
sin )
x
2sin
x
cos ]
x
2 4 2
2[(cos
x
sin )(cos
x
x
sin
x
sin
x
cos )]
x
2 2
3(1
2sin
x
cos )
x
2 2 2 2
2.1.[(cos
x
sin )
x
2sin
x
cos
x
sin
x
cos ]
x
2 2 2
3 6sin
x
cos
x
2(1
3sin
x
cos )
x
2 2
3 6sin
x
cos
x
2 6sin
x
cos
x
1
4
cos (3 2cos ) sin (3 2sin )
E
x
x
x
x
(15)Ví dụ : Tính cosx,tgx,cotgx Biết :
Trả lời:
3
(
2 )
2
x
2
sin
x
cos
x
1
cos2 x 1 sin2 x2
1
1
7
48 49 cos x
cos
48
48
4 3
49
7
7
x
sin
cos
x
tgx
x
7
1
7
7 3
1
4 3
1
cotgx
tgx
1 1 4 3
Ta có:
cos
x
1 49
Vì:
(16)0
0
0
6
3
4
2
0
30
45
060
090
0
sin
cos
tg
cotg
0
1
2
3
4
4
3
2
1
0
0
3
3
1
3
3
1
3
3
0
HSLG
Sin cos nửa phần
(17)cos cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
M
sin
0
cos
1
0
tg
cotg
Các điểm đ c bi t M di chuyển đường
ă
ê
tròn lượng giác
M
A
thì:
0o
0(rad)
0 k.2 k.2
(k )
Khi từ A, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về A, góc α có giá trị là:
Hay :
hay
0o k.360o k.360o
AOM
0
o
O
(18)cos cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
M
cos
cotg
M A
tgsin00Khi từ A’, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về A’, góc α có giá trị là:
thì: AOA 180o
0
180
(
rad
)
Hay :
hay
0
180 k.360
2
k
(
k
)
O
(19)cos cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
sin 1 cos 0
tg
0
cotg
M B
thì:
Hay :
hay
Khi từ B, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về B, góc α có giá trị là:
AOB 90o
2
90
02 k
0
90 k.360
(k )
M
1
(20)cos cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
thì:
Hay :
hay
Khi từ B’, điểm M quay thêm nhiều vòng theo chiều dương hoặc âm để trở về B’, góc α có giá trị là:
(k )
M
O B
sin
1
tg
M B
cos
0
0
cotg
AOB
90
o
0
90
(
)
2
rad
0
90 k.360
2 k
(21)cos cotg sin tg O
+
-1 -1 1 B A A’ B’sin 1
sin 0
sin cos 1
cos 0 cos
0
tg
tg
tg
0
cotg
cotg
cotg
M A
M B
M A
M B
sin 00
tg
cos 00
cotg
( k2 )
( k2 )
( )
2 k
( )
2 k
k
2
k
(22)Các cung liên kết
sin(α + k2π) = sinα
cos(α + k2π) = cosα
tg(α + k2π) = tgα
cotg(α + k2π) = cotgα
1.Cung sai kém k2π:
Nhớ
:
nghĩa là :
sin
bằng
sin
cos
bằng
cos
tg
bằng
tg
cotg
bằng
cotg
Sai thì bằng
(α+ k2π)
α
(23)+
M M’ P P’ Q Q’ O cos cotg -1 -1 B A A’ B’α
TLấy M’ là điểm đối xứng M qua đường phân giác thứ OT hệ trục xOy :
x y
' '( )
OPM OQ M g c g
s
'
2
đ AM
α
Lập tỉ số suy tg và cotg
Nên :
'
OP OQ
PM Q M
OQ OP
cos sin
OP OQ '
sin cos2
s
đ AM
,
sđ AM sđ M B
tg sin
(24)Ta có công thức sau về cung phụ với :
2
sin = cosα
cos = sinα
tg = cotgα
cotg = tgα
2
2
2
2
Nhớ :
nghĩa là :
sin
bằng
cos
cos
bằng
sin
tg
bằng co
tg
cotg
bằng
tg
Phụ thì chéo
2
(25)+
O cos
cotg
-1
-1 B
A A’
B’
1 x
y tg
sin
M
M’ Q
Q’
P
-α
α
3.Cung đối:
(-α)
AM AM
sđ AM sđ AM
Lấy M’ là điểm đối xứng M qua trục cos:
OPM OPM
OP OP
OP OP
cos cos( ) sin sin( ) cos( ) cos
sin( ) sin
(
)
tg
tg
( )
cotg
cotg
PM PM
(26)sin(-α ) =
-
sinα
cos(-α ) = cosα
tg(-α ) =
-
tgα
cotg(-α ) =
-
cotgα
Từ đó suy các công thức về cung đối:
(-α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin
bằng
-
sin
cos
bằng
cos
tg
bằng
-
tg
cotg
bằng
-
cotg
Đối “-” bỏ cos
(27)+
O cos
cotg
-1
-1 B
A A’
B’
1 x
y tg
sin
M M’
P P’
Q
α
α
4.Cung bù:
(π-α)
Lấy M’ là điểm đối xứng M qua trục sin:
AM
A M
sđ AM sđ M A
sđ AM
s
đ AM
=
s
đ M A
sin
sin
cos cos
cos
cos
sin
sin
tg tg
cotg cotg
OP
OP
(28)sin(π-α ) = sinα
cos(π-α ) =
-
cosα
tg(π-α ) =
-
tgα
cotg(π-α ) =
-
cotgα
Ta có công thức sau về cung bù:
(π-α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin
bằng
sin
cos
bằng
-
cos
tg
bằng
-
tg
cotg
bằng
-
cotg
Bù “-” bỏ sin
(29)5.Cung kém nửa pi:
sin = cosα
cos = - sinα
tg = - cotgα
cotg = - tgα
Nhớ
:
Nghĩa là
:
sin
bằng
cos
cos
bằng
-
sin
tg
bằng
-
co
tg
cotg
bằng
-
tg
Nửa pi sin cos chéo “-”
2
2
Chứng minh :
sin sin ( ) cos( ) cos
2
cos cos ( ) sin( ) sin
2 ( ) ( ) 2
tg tg cotg cotg
( ) ( )
2
cotg cotg tg tg
(30)sin(π+α ) =
-
sinα
cos(π+α ) =
-
cosα
tg(π+α ) = tgα
cotg(π+α ) =
cotgα
6.Cung kém nguyên pi:
(π+α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin
bằng
-
sin
cos
bằng
-
cos
tg
bằng
tg
cotg
bằng
cotg
Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng
(π+α )
α
Chứng minh :
sin( ) sin ( ) sin( ) sin
cos( ) cos ( ) cos( ) cos
( ) ( ) ( )
tg tg tg tg
( ) ( ) ( )
(31)Sai thì bằng, phụ thì chéo
Đối “-” bỏ cos, bù “-” bỏ sin.
Nửa pi sin cos chéo “-”
Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng.
Nhớ :
(32)Đồ thị các hàm số lượng giác:
1 Hàm số y = sinx
X 0 π/2 Π
y=sinx
0
1
0
Hàm y = sinx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T=2π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-3 -2 -1
x y
y=sinx
0
y=1
(33)-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-3 -2 -1
x y
y=cosx y=1
0
y=-1
X 0 π/2 Π
y=cosx
1
0
-1
2 Hàm số y = cosx
Hàm y = cosx là một hàm chẵn và tuần
hoàn với chu kỳ T=2π
Bảng biến thiên:
(34)X 0 π/2
y = tgx
0
||
3 Hàm số y = tgx
Hàm y = tgx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T = π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
-3 -2 -1
x y
y=tgx y=tgx
(35)X 0 π/2 Π
y=cotgx
||
0
||
4 Hàm số y = cotgx
Hàm y = cotgx là một hàm lẻ và tuần hoàn với chu kỳ T = π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
-3 -2 -1
x y
y=cotgx y=cotgx
y=cotgx
(36)Tính chất các hàm số lượng giác
Hàm số y = f(x) có miền xác định D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại ít một số L≠0 cho, với mọi x Є D ta có :
x ± L Є D
f(x ± L) = f(x)
Giá trị dương nhỏ L, nếu có, ký hiệu là T và gọi là chu kỳ hàm sớ
1 Tính tuần hoàn:
a Định nghĩa :
Định lý :
• Các hàm số y = sinx và y = cosx là hàm tuần hoàn và có chu kỳ 2π
(37)Chứng minh :
Xét hàm số :
y
sin
x
0
0; 2
2
T
Vận dụng cung sai kém k2π :
Xét ngoài giá trị 2π còn giá trị nào nhỏ thỏa mãn sin(x±L) = sinx hay không?
Ta có :
Nhưng : ( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên ta chỉ xét 0<x<2π )
Áp dụng tương tự cho hàm y = cosx
sin(
x
2 ) sin
x
sin(
x k
2 ) sin
x
sin(
x
0) sin
x
(
x
2 )
R
x R
(38)Xét hàm số :
y tgx
(
)
tg x
tgx
Vận dụng cung nguyên π cho tg(x+π) :
tg x
(
)
tgx
Vận dụng cung đối và cung bù cho tg(x-π) :(
)
[ (
)]
(
)
(
)
tg x
tg
x
tg
x
tgx
tgx
Ta có :
tg x
(
0)
tgx
0
0;
Nhưng : ( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên ta chỉ xét 0<x<π )
Áp dụng tương tự cho hàm y = cotgx
T
x D
(
x
)
D
\
2
D R
x x
k
(39)2 Tính chẵn lẻ hàm số lượng giác:
Định lý:
y = cosx là hàm số chẵn
y = sinx , y = tgx, y = cotgx là các hàm số lẻ
Chứng minh :
a Hàm số y = cosx có D=R nên :
x D
(
x
)
D
cos(
x
) cos
x
f
(
x
)
f x
( )
hàm chẵn
b Hàm số y = sinx, y= tgx,
y = cotgx có miền xác định D :
x D
(
x
)
D
sin(
x
)
sin
x
tg x
(
)
tgx
(
)
cotg x
cotgx
(
)
( )
(40)• Hàm sớ y = sinx tăng [0;π/2] và giảm
[π/2;π]
• Hàm sớ y = cosx giảm [0;π]
• Hàm số y = tgx tăng [0; π/2)
• Hàm sớ y = cotgx giảm (0; π/2]
3.Tính đơn điệu các hàm số lượng giác :
a Định lý :
cos cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
M M’
P P’
Q Q’
OP
OQ
M AB
OP
OQ
Hàm cosx giảm Hàm sinx tăng Hàm cosx giảm Hàm sinx giảm (M tăng dần từ đến π/2)
(M’ tăng dần từ π/2 đến π)
(41)
sin
.
cos
x
tgx
x
1
cot
gx
tgx
OP
OQ
M AB
M BA OP
OQ
Hàm cosx giảm Hàm sinx tăng Hàm cosx giảm Hàm sinx giảm (M tăng dần từ đến π/2)
(M tăng dần từ π/2 đến π )
0
2
x
0
2
x
Hàm tgx tăng, vì:
(42)b Miền giá trị các hàm số lượng giác:
Với mọi x Є D , ảnh x là y = f(x) có các giá trị thuộc về một tập hợp T , thì T gọi là miền giá trị hàm số f
cos cotg tg
O
+
-1
-1
1 B
A A’
B’
M
P Q
sin
Khi M di chuyển đường tròn (0) với R=1 đvị, thì hình chiếu nó lên các trục sin và cos là P và Q nằm giá trị từ -1 đến +1 Do đó :
1 sin
x
1
1 cos
x
1
Đối với các điểm H và K xác định trục tg và cotg kéo dài OM (trừ M≡B đối với tg và M≡A đối với cotg) nên : T = (-∞;+∞)
H K
(43)Các ví dụ :
i Tính các hàm số lượng giác các góc (cung ) sau:
1
.
i
2
.
i
0 0
135 ; 495 ;1305
13
17 ;
6
Trả lời :
1
.
i
0 0 0
sin1305 sin(225 1080 ) sin(225 3.360 )
0 0
sin 225 sin(180 45 ) sin 45
2
Tính :135
0và 1305
00
sin135
0
cos135
0
135
tg
0 135
cotg
0
sin(90 45 ) cos 450 22
0
cos(90 45 ) sin 450
2
0
(90 45 )
tg cot 45g
1
0
1 135
tg
1
1
1
(44)Tương tự : Áp dụng cung sai kém k3600 (hay sai kém k2π) vào
góc 13050 đối với các hàm cos , tg và cotg
2
.
i
Tính : 17π và -13π/6
sin17 sin 16
sin 2.8
sin
0
cos17 cos 16
cos 2.8
cos
17 16 2.8
tg tg tg tg tg(
0) tg0 01 17 17 cotg tg
0
13 sin
13
sin
6
(12 1) sin sin sin (45)ii Tính giá trị biểu thức :
2
2
sin 2sin cos 2cos
2sin 3sin cos 4cos
x x x x
M
x x x x
Với cotgx = -3
Vì cotgx = -3 nên sinx ≠ , đó chia tử và mẫu cho sin2x
Trả lời :
2
2 2
2
2 2
sin 2sin cos cos
sin sin sin
2sin 3sin cos cos
sin sin sin
x x x x
x x x
M
x x x x
x x x
2 2 cos cos
1 2
sin sin
cos cos
2
sin sin x x x x x x x x 2
1 2
2
cotgx cotg x
M
cotgx cotg x
2
1 2( 3) 2( 3)
2 3( 3) 4( 3)
(46)iii Đơn giản biểu thức :
Trả lời :
sin
sin
cos
cos
sin
cos
N
x
x
x
x
x
x
sin
cos
N
x
x
sin
cos
N
x
x
N
sin
x
cos
x
2
sin
1
cos
1
N
x
cotgx
x
tgx
2
cos
sin
sin
1
cos
1
sin
cos
x
x
N
x
x
x
x
2
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
N
x
x
x
x
sin
cos
sin
cos
(47)iv Cho A, B, C là ba góc một tam giác Chứng minh rằng :
sin
cos
2
2
B C
A
A
Trả lời :
Theo giả thiết A, B, C là ba góc một tam giác nên: A + B + C = π A + A + B + C = π + A
2A + B + C = π + A