[r]
(1)MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Mởđầu
Hầu hết đề thi ĐH & CĐ có tốn giải biện luận phương trình (pt) hệ pt, tìm giá trị tham số m∈R để phương trình (hệ pt) có nghiệm miền D đó… Một cơng cụ chủ đạo để giải dùng khảo sát hàm số chương trình 12 đa số thơng qua biến phụtđểđưa phương trình dạng quen thuộc hay đặt dạng hàm số mà khảo sát Một điều cần lưu ý nữa, chương trình THPT giảm tải phần so sánh nghiệm pt bậc hai với số
α hayβ cho trước, việc dùng tính chất đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số điều tất yếu để giải vấn đề Bài viết xin điểm qua toán dạng đề thi gần đây, qua phân tích, nhận xét mối tương quan số hạng, yếu tố, tính chất biến… tốn để hình thành phương pháp giải đưa số lỗi kĩ thuật mà thí sinh hay mắc phải thói quen hay nhầm lẫn trình trình bày lời giải Để giúp cho tất học sinh (đủ trình độ) hiểu rõ đọc, chúng tơi trình bày bước một, nên giải dài, bạn lướt qua thấy nắm vấn đề Tuy nhiên thi phải trình bày chặt chẽ, lập luận thật loogic để đến kết quả, không làm tắt bắt giám khảo phải hiểu cho điều nên tránh Bài giải trình cột: cột bên trái ghi nhận xét hay bước giải; cột bên phải trình bày lời giải, cuối số tập tự luyện Mong viết giúp ích cho số em học sinh hay chí cho em ơn lại điều mà biết để chuẩn bị cho tốt kì thi, đồng thời trao đổi, học hỏi với đồng nghiệp Chúc em học sinh đạt kết cao kì thi tới 1 Các ví dụ
Ví dụ (ĐH & CĐ 2002–A) Cho phương trình: 2
3
log x+ log x+ −1 2m− =1 (1) (m tham số) a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [1; ]3
Giải: Nhận xét:
2
3
log x=log x+ − ≥1
⇒
3
log x+ ≥1 Thêm bớt vào (1) Đặt t bình phương t
(1) ⇔ 2
3
log x+ +1 log x+ −1 2m− =2 (2)
Đặt
3
log 1
t= x+ ≥ ⇒
3
log 1
t= x+ ≥ (*) Thay t vào (1) (1) ⇔ t2 + t – 2m – = , t ≥1 (3)
Câu a) Với m =
(2) ⇔ t2 + t – = , t ≥1 (4) Giải pt (4) chọn nghiệm thỏa
điều kiện (*)
⇔( t = –3) V ( t = 2), t ≥1 ⇔t =
Vậy nghiệm phương trình (3): t = 2
Gv Phan Hữu Thiềm Thạc sỹ Toán học
(2)Tìm x t = ⇔
log x+ = ⇔1
log x=3 ⇔ log3x= ± ⇔ x=3± 3
Kết luận Vậy m = 2, nghiệm của phương trình (1): x=3± 3
Câu b) Tìm điều kiện biến phụ t
3
3
1≤ ≤x ⇔ ≤0 log x≤ ⇔
1 log≤ x+ ≤1 ⇔
3
1≤ log x+ ≤1 ⇔1 ≤ t ≤ (**) Bài toán trở thành: Tìm m để pt
(5) có nghiệm thuộc đoạn [1; 2]
(1) ⇔ t2 + t – 2m – = , ≤ t ≤
⇔ t2 + t – = 2m , ≤ t ≤ (5)
Lập bảng biến thiên hàm: y = t2 + t – + y’=2t + 1
+ y’ = ⇔t = – ½
Đặt 2 ( )
2 ( ) / /Ox
y t t P
y m d
⎧ = + − ⎨ =
⎩ Như số nghiệm
(5) số giao điểm (P) đường thẳng (d) đoạn [1; 2] Ta có bảng biến thiên (P) sau:
Chú ý: Ở em học sinh hay nhầm 0 ≤ m ≤ 4, thói quen hay đặt y = m sai, mà phải: ≤ 2m ≤ 4
Căn vào bảng ta được:
Pt (1) có nghiệm thỏa điều kiện tốn ⇔pt (5) có nghiệm t thỏa (**) ⇔0 ≤ 2m ≤ ⇔ ≤ m ≤ 2.
Nhận xét:
∗ Đối với pt có chứa tham số m có câu hỏi giải pt với giá trị m cụ thể (ví dụ 1), khơng nên thay m liền để giải, mà nên biến đổi đến mức tối thiểu (pt 3) có thểđược, sau thay giá trị m để giải câu a Làm để tránh lập lại bước biến đổi từ pt (1)→ pt(3) trong câu a) b)
∗ Học sinh dễ mắc bẩy ởđây: Hể cứđặt t= f x( )thì liền viết t≥0, điều thường dẫn đến dư nghiệm, tốn có chứa tham số m Như ví dụ 1) trên:
2
3
log x=log x+ − ≥1 ⇔
log x+ ≥1 ⇔
log x+ ≥1 1, nên điều kiện t≥1 Hơn hàm f đơi lúc cịn xác định miền D cho trước [(**)], vì phải tìm miền giá trịcủa hàm f ⇒ cận t Bằng cách quen thuộc khảo sát hàm t: xem biến phụ t hàm theo x tập xác định x ví dụ sau
Ví dụ (ĐH & CĐ 2004–A) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( 1 1 2) 2 1 1 1 2.
m +x − −x + = −x + +x − −x (1)
Giải:
Nhận xét: 1+x2 1−x2 = 1−x4
Tìm miền giá trị t Khảo sát t = f(x) / [–1; +1]
Điều kiện: –1≤ x ≤
Đăt t= f x( )= 1+x2 − 1−x2, với x∈[–1; +1]
Cách Ta có:
2 2
1
'( )
1 1
x x
f x x
x x x x
⎛ ⎞
= + = ⎜ + ⎟
(3)Do
2
1
1+x + 1−x >0 với x ∈ (–1; 1) Nên: f’(x) = ⇔x =
Bảng biến thiên t=f(x).
Như vậy: 2≤ ≤t Nhận xét: 1+ x2 ≥ 1 – x2≥0.
Bình phương t:
Cách
Với x∈[–1; +1].Ta có:
2
1+x ≥ 1−x ⇒t= 1+x2 − 1−x2 ≥0
⇒t2= −2 1+x2 1−x2 ≤2
Điều kiện biến phụ t ⇒0≤ ≤t 2 Tính 1−x4 theo t
t2 = −2 1+x2 1−x2 =2(1− 1−x4)
⇔ 2 1−x4 = −2 t2
Thay t vào (1) (1) ⇔ m( t + 2) = – t2 + t, 0 2≤ ≤t Tính m theo t ⇔
2 2
2
t t
m t − + + =
+ ; 2≤ ≤t
Chia đa thức ⇔ m= − + + −t t+42 ; 2≤ ≤t (2) Bài tốn trở thành: Tìm m để
phương trình (2) có nghiệm t thỏa: ≤t ≤ 2
Đăt: ( )
2
m g t t
t = = − + + −
+ ; 2≤ ≤t
'( ) 2 ( 2) g t
t = − +
+ ; g’(t) = ⇔(t = –4) V (t = 0)
Dùng phương pháp đồ thị để tìm m
Lập bảng biến thiên
Cách
Kết luận: Căn vào bảng biến
thiên ta có kết Vậy pt (1) có nghiệm ⇔⇔pt (2) có nghi2 1− ≤ ≤m 1 ệm / [0; 2] Chú ý: Phải nói m = g(t) hàm
xác định liên tục đoạn
đang xét ⇒ Hàm đạt giá trị nhỏ
nhất lớn đoạn
Kết luận
Cách
Nhận xét: m= g(t) hàm liên tục đoạn [0; 2] có đạo hàm g’(t) < (0; 2) , thế:
0;
min ( )f t f( 2)
⎡ ⎤
⎣ ⎦
= = −
0;
m ax ( )f t f(0)
⎡ ⎤
⎣ ⎦
= =
Vậy pt(1) có nghiệm ⇔pt (2) có nghiệm / [0; 2] ⇔
0; 0;
min ( )f t m m ax ( )f t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
≤ ≤
(4)Nhận xét
∗ Ta có: a b = ab ( a≥0 & b ≥0)⇒ a.b≥0 Tuy nhiên điều ngược lại: a b = a b thường không đúng, a.b ≥0 ⇒ a; b dấu ⇒ a; b có thểđều âm ⇒ a, bvơ nghĩa Tương tự như: logaA+logaB=log (a AB), ngược lại không có: log (a AB) log= aA+logaB.
∗ Cách việc tìm cận (chận) t cách làm đẹp, nhiên không nhận dược t≥0 thì tốn khơng hồn chỉnh, chí sai Hơn phép bình phương phép biến đổi khơng tương đương, cẩn thận việc bình phương vế
Ví dụ (ĐH & CĐ 2007–A)
Tìm m để phương trình 3 x− +1 m x+ =1 24 x2−1. (1) có nghiệm thực.
Giải:
Tìm điều kiện để pt có nghĩa: Điều kiện 1≤x (*) Chú ý: với x ≥1 ta có:
∗(4 x−1)2= x−1,(4 x+1)2 = x+1
∗ x−1.4 x+ =1 4x2−1
Chia hai vế phương trình (1)
cho (4x+1)2 (1) ⇔
2
4
3
1
x x
m
x x
⎛ − ⎞ + = −
⎜ ⎟
⎜ + ⎟ +
⎝ ⎠ (2) Đặt t =
1 x x −
+ ; x≥1 (*)
Tìm miền giá trị t với x ≥1 Ta có: 1
1
x
x x
−
≤ = − <
+ + ⇒0 ≤ t =4
1 x x −
+ < 1.(**)
Bài tốn trở thành: Tìm m để pt (3)
nghiệm t∈ [0; 1) (2) ⇔3t2+ =m 2t (0 ≤ t < 1) (3)
⇔m = –3t2 + 2t, (0 ≤ t < 1) (4) Dùng phương pháp đồ thịđể tìm m Đặt m = f(t) = –3t2 + 2t, (0 ≤ t < 1)
Đồ thị f(t) parabol (***): + Tọa độđỉnh
0
1
1
( ) 3
b t
a S
y f t
⎧ = − = ⎪
⎨
⎪ = =
⎩
+ a = –3 <0 có bề lõm quay phía y < Ta bảng biến thiên
Kết luận Như (1) có nghiệm ⇔
(4) có nghiệm t∈ [0; 1)
⇔ 1;
3 m∈ −⎛⎜ ⎤⎥
⎝ ⎦
Nhận xét:
Điều mấu chốt ởđây nhận biết: a =( )4a 2và 2na b2n =2nab(1) với a≥0, b≥0
Sau đặt 1, x
1 x t
x −
= ≥
+ Cũng ví dụ trên, phải tìm miền giá trị t [(**)] hay cách làm quen thuộc lập bảng biến thiên ( )
1 x
t f x
x −
= =
(5)Tính đạo hàm f’(x)
24
1
'( )
4 ( 1) ( 1) f x
x x
=
+ + >0, với x ≥1
Tìm giá trị t hai cận f(1)= 0; lim ( )
x→+∞ f x = (***) Lập bảng biến thiên
Kết luận Căn vào bảng biến thiên ta có: ≤ t <1
Làm theo cách nói chung khó so với học sinh trung bình phải tính đạo hàm phức tạp tìm giới hạn (***) ở hai đầu mút tập xác định Tuy nhiên có vẽ tự nhiên cách (**) ở trên, đòi hỏi học sinh phải thành thạo kĩ thuật thêm bớt cách tìm cận (chận) trên, dưới hàm Nói chung đưa cách khác nhau, cách thuận tiện quen thuộc với thực
Chúng ta khảo sát hàm bậc (***) đạo hàm không nhớ bảng biến thiên hàm bậc hai chương trình lớp10
Ví dụ (ĐH & CĐ 2007–D)
Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
3
3
1 5
(I)
1 15 10.
x y
x y
x y m
x y
⎧ + + + = ⎪⎪
⎨
⎪ + + + = −
⎪⎩
Giải
Nhận xét tương quan
3
1
& x x
x x
+ + Đặt u x 1, v y
x y
= + = +
Chú ý: |a b+ =| | | | |a + b , a.b >
Vì x.1 x= > =>
1
| |
x x
x x
+ = +
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số | |, x
x ta có
1 1
| | | |
x x x
x x x
+ = + ≥ = Do |u|;|v|≥2. (*) Chú ý:
(a b+ )3=a3+ +b3 3 (ab a b+ )
Ta có:
3
3
3
1 1
3
u x x x
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ + ⎟ = + + ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇒
3
3
1
3
x u u
x
+ = −
Tương tự: 3
1 3
y v v
y
+ = −
(I): hệ pt đối xứng loại 1, nên đưa dạng tổng & tích
Viết u3+v3 theo u v u v+ , .
Hệ pt (I) trở thành: 3 35 (a)
3( ) 15 10 (b) u v
u v u v m
+ = ⎧
⎨ + − + = −
⎩ |u|, |v| ≥2
⇔ 35 (a)
( ) ( ) 3( ) 15 10(b)
u v
u v uv u v u v m
+ = ⎧
⎨ + − + − + = −
(6)Thay u+v=5 vào (b) ta hệ (II) ⇔ ⎧⎨ = −u vuv+ =8 5m
⎩ (|u|; |v| ≥2) (II)
⇔ u, v là nghiệm pt:
t2 – 5t + – m = 0, |t|≥2 (1) Bài tốn phát biểu: Tìm m để
pt (1) có nghiệm thỏa |t| ≥2 Hệ pt (I) có nghiệm ⇔Pt (1) có nghiệm t1; t2 thỏa điều kiện |t1|≥2 |t2| ≥2 (2 nghiệm t1; t2 có thể trùng nhau)
Xét hàm: f(t) = t2–5t+8, với |t| ≥2 Bảng biến thiên:
+ f'(t)=2t–5
+f’(t) = ⇔t=5/2 (f =7/4)
Căn vào bảng biến thiên hàm số ta được: Kết luận Hệ pt (I) có nghiệm ⇔⎛⎝⎜74≤ ≤m V 22⎞⎟⎠ ( ≤m)
Nhận xét
Để tìm điều kiện (*) biến phụ, làm sau: Giả sử có
0
1
u x
x
= + ⇔
0
x −u x+ = có nghiệm x ≠0 ⇔
0
u − ≥ ⇔|u0| ≥2 Ở đây tương tự như đặt
u= tanx + cotx, điều kiện |u| ≥2 Tuy nhiên đăt u0 x x
= − thì khơng có điều kiện u! Thật có u0 x
x
= − ⇔
2 1 0
x −u x− = ln có nghiệm trái dấu a.c=–1<0, với u0.
Sau đặt u, v Nếu hệ pt có (II) có nghiệm (u; v), khơng hẳn hệ (I) có nghiệm khơng cần điều kiện (*) Do học sinh dễ bị mắc lỗi ởđây! Đối chiếu với bảng biến thiên khơng có điều kiện (*)→ kết luận m≥7/4: sai
Khi vẽ bảng biến thiên xem việc ghi giá trị y hàm số (hàng thứ bảng), sao cho thể tính thứ tự nó, ghi trục Oy tức là: phải ghi vị trí tương đối của chúng (lớn ghi trên, ngược lại ghi vị trí thấp hơn, bảng biến thiên ví dụ 4), để xác định giá trị m cho pt có nghiệm khơng bị nhầm lẫn, sai sót.
Ví dụ (ĐH Thương mại–2001) Tìm tất giá trị m để phương trình:
2
1 2
(m−1) log (x− −2) (m−5) log (x− + − =2) m (1) có hai nghiệm thỏa điều kiện : 2< ≤x1 x2 <4
Giải: Chú ý:
+ log1 loga
a
M = − M (*) + log2 (log )2
a M = aM Phương trình (1) trở thành:
Đưa log số ½ số 2
2
(7)2
log ( 2)
t= x− hàm đồng biến (2; 4)
Đặt t=log (2 x−2):
2
2
lim ( ) lim log ( 2)
x→+t x =x→ + x− = −∞, với x = ⇒ t (4) = Do vậy: x∈ (2; 4) ⇒ t <
(2) ⇔(m–1) t2 + (m–5)t + m – 1= , với t < (3) ⇔(t2 + t + 1) m = t2 + 5t +
Pt(3) trỏ thành: tìm m để pt (4) có
nghiệm thỏa: t1 ≤ t2< ⇔
2
5 1
t t
m
t t
+ + =
+ + ; (t < 1) (4) Đăt ( ) 22
1
t t
m f t
t t
+ +
= =
+ +
( )
2 2
4
'( )
1 t f t
t t
− +
=
+ + ;
( )
1 ( ( 1) 3) '( )
1 ( 1) /
t f
f t
t f
= − − = −
⎡
= ⇔ ⎢
= + + =
⎣
Tìm lim hàm f(t) x→ – ∞ tlim ( ) 1→−∞ f t = (5)
Bảng biến thiên:
Kết luận Pt (1) có nghiệm thỏa (*) ⇔(4) có nghiệm t < ⇔ –3 ≤ m <
Nhận xét
Khi giải pt có chứa logarit (mũ), nên đưa số a>1 áp dụng tính đồng biến hàm số logarit (mũ), khỏi bị nhầm lẫn log (mũ) có số a < 1.
Để ý: với M >0; log2 (log )2 log 2log | |
aM = aM ≠ aM = a M với M ≠0
Đối với hàm hữu tỷ, phải tìm lim hai đầu mút tập xác định (5).
Ví dụ (ĐH Ngoại ngữ –2000) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm trái dấu nhau:
(m + 3)16x + (2m – 1) 4x + m + = (1) Giải:
Nhận xét: 16x = 42x Đặt t = 4x
(1) ⇔(m + 3)t2 + (2m – 1)t + m + = (2) a = 4>1 ⇒4x hàm đòng biến nên:
x1 < < x2 ⇔ 4< x1<40 <4x2
Để pt (1) có nghiệm trái dấu nhau: x1 < < x2 ⇔
pt (2) có nghiệm t1, t2 thỏa: < t1 < < t2 (*)
Chú ý: không học so sánh nghiệm pt (2) với hai số: được, nên phải dùng đồ thị để biện luận
(2) ⇔ (t2+ +2 1)t m+3t2− + =t 1 0
⇔ 23 2
t t
m
t t
− + −
=
+ + (
2 2 0
t + + >t , với t > 0)
Đặt ( ) 23
2
t t
m f t
t t
− + −
= =
(8)Tính đạo hàm f’ và tìm nghiệm
f’
2
2
7
' '( )
( 1)
t t
m f t
t t
− − +
= =
+ +
'( ) ' 31 ( 5 )
'' 7 4
t f t
t m
= − = ⇔
= =
Tìm giá trịđặt biệt, giới hạn
của hàm x→+∞ m(0)= −1;
3
(1) 4
m = − ; lim ( )
t→+∞m t = −
Bảng biến thiên hàm f / (0; +∞)
Kết luận Căn vào bảng biến thiên ta được:
Pt (1) có nghiệm trái dấu⇔(3) có nghiệm thỏa (*) ⇔
4 m − < < −
Nhận xét:
Học sinh thói quen, đặt t a= f x( ) với x ∈ D, viết liền: t > 0, mà không nghĩ rằng thông
thường miền giá trị hàm f hữu hạn, nghĩa bị chặn, phải tìm cận (chặn) f , từđó suy điều kiện t Ví dụ: 0 ≤sin2x≤1 ⇔ 0 sin2 1
2 ≤ =t x ≤2 ⇔1 ≤t ≤2 Hơn đơi x cịn thỏa thêm hay điều kiện đó, ví dụ 6), phải cẩn thận
việc xác định miền giá trị biến phụ Học sinh hay mắc bẩy lỗi này, cách tiếp cận làm, kĩ thuật tính tốn khơng sai
Ví dụ (ĐH Quốc gia Tp Hồ Chí Minh 2001)
Tìm tất giá trị m cho phương trình sau có hai nghiệm ;
4
π π
⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦:
cos3x – sin3x = m (1) Giải:
Biến đổi (1) (1)⇔(cosx – sinx)(cos2x+cosx.sinx+ sin2x)= m (2) ⇔(cosx – sinx)(1 + cosx.sinx)= m (2)
Nhận xét:
(cosx – sinx)2 = 1– 2cosx.sinx t2= 1– 2cosx.sinx
Đặt t = f(x) = cosx – sinx= 2cox(x+π4) Tìm miền giá trị t=f(x)/
;
4
π π
⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Chú ý:
Hàm cosX nghịch biến (0; π)
Do
4 x x
π π π π
− ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤
Ta có f nghịch biến ;
4
π π
⎡− ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦ nên
≤ cox(x+π4) ≤1 ⇔0 ≤ 2cox(x+π4) ≤ Thay t vào (2) (2) ⇔t[1+ ½(1 – t
(9)⇔ m = ½( –t3 + 3t) , ∈ ⎡⎣0; 2⎤⎦ (3) Dùng đồ thịđể giải Đặt m = g(t) = ½( –t3 + 3t) , ∈ ⎡⎣0; 2⎤⎦
Tính đạo hàm & tìm nghiệm g’= g'(t)= ½(–3t2+ 3) ; g’(t) = ⇔ t = ±1 Lập bảng biến thiên
Kết luận Pt (1) có Căn vào bđúng nghiảng biến thiên ta ệm thỏa đượđề bàic: ⇔pt (3) có nghiệm thỏa (*) ⇔ 22 ≤ <m
2 Bài tập tự luyện
1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x+ 9− = − +x x2 9x m+
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1−x2 +2 14 −x2 =m
3 Cho phương trình: 4 x+ x2− +1 x+ x2− =1 m (1)
a) Giải phương trình m =3
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Xác định m để hệ sau có nghiệm
2
2
5
3 16
x x
x mx x
⎧ − + ≤
⎪ ⎨
− + =
⎪⎩
5 Tìm giá trị m phương trình sau có nghiệm x1, x2sao cho: x1 < 1< x2 <
2
.2 x (2 1)2 x
m − − m+ − + + =m
6 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: | sinx – cosx| + 4sin2x = m.
Tài liệu tham khảo:
[1] Giải tích 12 – Nâng cao, SGK NXB Giáo dục 2008 [2] Các mẹo lỗi–Dương Minh Đức –NXB Giáo dục 2002 [3] Các đề thi ĐH & CĐ