Bồi dỡng toán 8 Lê Thanh Việt--- THCS Nam Hà Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ Buổi 1. Nhân đa thức 04-11-2010 1. Khái niệm nhân đơn thức với đa thức 2. Khái niệm nhân đa thức với đa thức 3. Khái niệm về đa thức đồng nhât P(x) và Q(x) P(x) và Q(x) gọi là đồng nhất nếu P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x, Kí hiệu P(x) Q(x) Ví dụ1: P(x) = (x+5)(ax 2 +bx+25) và Q(x)=x 3 +125 a) Viết đa thức P(x) dới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x b) với giá trị nào của a và b thì P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x. Giải a)P(x)=(x+5)(ax 2 +bx+25) = ax 3 + bx 2 + 25x + 5ax 2 + 5bx + 125 = ax 3 + (b+5a)x 2 + (25 + 5b)x + 125 b) P = Q với mọi x <=> ax 3 + (b+5a)x 2 + (25 + 5b)x + 125 = x 3 +125 với mọi x <=> = + = + = <=> = = Phơng pháp: Hai đa thức P(x) và Q(x) đồng nhất nếu khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức bằng nhau Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: A = x 4 - 17x 3 + 17x 2 17x + 20 tại x = 16. Giải: Cách 1: A= x 3 (x 16) x 2 (x-16) +x(x-16) (x 16) + 4 = 4 ( vì x = 16 nên x 16 = 0) Cách 2: thay 16 = x vào A ta có: A = x 4 (x+1)x 3 + (x + 1)x 2 ( x + 1)x + x + 4 = x 4 x 4 x 3 + x 3 + x 2 x 2 - x + x + 4 = 4 Bài tập Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức. Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức a. A = (x-3)(x+7) (2x-5)(x-1) với x = 0;1;-1 b. B = (3x+5)(2x-1) +(4x-1)(3x+2) với x = 2; x= -2 C = x 5 15x 4 + 16x 3 29x 2 + 13x tại x = 14 Bài 2: Cho x = y + 5. Tính a, x( x + 2) + y( y- 2) 2xy + 65 b, x 2 + y( y- 2x) + 75 Dạng 2: Tìm x Bài 1 : Tìm x 1 Bồi dỡng toán 8 Lê Thanh Việt--- THCS Nam Hà Dạng 3: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến Bài 1. CM biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a. (x-5)-2x(x-3)+x+7 =2x 2 +3x-10x -15 -2x 2 +6x+x+7 = -8 . Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x Buổi 2. Các Hằng đẳng thức đáng nhớ 11-11-2010 !"# Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Ví dụ 1. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca thì a = b = c Lời Giải a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca < = > 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 (a 2 - 2ab + b 2 ) + (a 2 - 2ac + c 2 ) + (b 2 - 2bc + c 2 ) = 0 (a b) 2 + (a c) 2 + (b c) 2 = 0 => a = b = c (đpcm) Ví dụ 2: cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Lời giải: Ta có: (a + b) 3 = (- c) 3 a 3 + 3ab(a + b) + b 3 = -c 3 a 3 - 3abc + b 3 + c 3 = 0 < = > a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (đpcm) $%!&'()!'*+ , , !-,.'/0'1 $%!' &'()!'*+ $%!&'()!'*+ 23!!4! 2 Bồi dỡng toán 8 Lê Thanh Việt--- THCS Nam Hà $%!&',5,5,5 !-,-56 &'()!'*+ 7!4! $%!&'()!'*+ 8'1'9 7!4! $%!&',5 , 5 , 5 &'()!'*+ , 5 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức Vi dụ. Cho x + y = a và xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b. a) x 2 + y 2 b) x 3 + y 3 Lời giải a) x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = a 2 2b b) x 3 + y 3 = (x + y) 3 3xy(x + y) = a 3 3ab Bài 1. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tính : ữ ữ ữ Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 + 2x + 3 Lời giải: x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1) 2 + 2 ; 2 dấu = xảy ra khi x = -2 Vậy giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = - 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 2 5x + 5 Lời giải: x 2 5x + 5 = - (x 2 + 5x 5) = -(x 2 + 2. x + - - 5) = Dạng 4: Tìm x Ví dụ: a, Tìm x biết: x 2 3x 4 = 0 Lời giải: x 2 + x 4x - 4 = 0 x(x + 1) 4(x + 1) = 0 (x 4)(x + 1) = 0 x = 4 hoặc x = -1; b, x( x + 4)( 4- x) + ( x 5)( x 2 + 5x + 25) = 3 3 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt--- THCS Nam Hµ c, ( x + 1) 3 - ( x – 1) 3 – 6( x – 1) 2 = - 10 Chuyªn ®Ò 2 Ph©n tÝch ®a thc thµnh nh©n tö !"#$ %&%%% !" '()*)+),-.)/),01)2034(56),789:),+ ;*)<(=!:),+.)<>)*)+),?.(@)*)+A9 B!C)*)+),6),.!D7),52?!C9)*)+E)-:!>(=!:), +?.6),D7),5AF8D7>G), #$%& <'=0 ' > ?0'@AB0'C''=0D ,5,5,,5,,5,5, ) ) ) ) '%()*+" HI),9J),0K),309),)L0FM*)<03.))*)+ N* O ) P P 0Q P )?!Q R ?* R )D R ),S O ),0S T ),U P #$%&<'=0 ' > ?0'@AB0'C''=0D ,, , ,-./! VCWM9:),+<WM.)X),)4( YMDZ),-!Q)!CM9MU1),M9M05)*)+),5DI),J),0K), 3 #$%&<'=0 ' > ?0'@AB0'C''=0D E E ,, , ,, 012. N[)9MU1),M9M\3]U!Q) ^5)*)+), 4 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt--- THCS Nam Hµ HI),J),0K),3 _4()!`:),+ #$%&<'=0 ' > ?0'@AB0'C''=0D E, ,, ,, E , ,, , ,, , ,, , ,F , , G,F , G ,F,GF,G ,,, 34567859:5;5<8 5=> ?"-@/!A./! 8H')I0'J0DK?0'@?L'0'C'0M'!','!NB'J0D0' ' 'OP?Q?RNSJADST?ROHP'RUP'HP?L'V %^a!?L!(3b! ++ B"2C)BW0'!XH'XAY0Z"X-'[?\"C)BW0'!X'=0D'B 0'R[0H''J0D0'@ ]QP'=0 ' ++ 0'C''=0D-00H' += A' =⇔= &H'"C) $R^'(< $R^;*)<.)<>!Xca),Q)J),([!9 $R^N[)!Xca(. ),J), B"'2C)BW0'!X'!XBK'!_'P'RU0'R[0H''J0D'` BC"aI0AY0)0'@b'! ++ \SJ?`!X0 cB0'_ ( ) ( )( ) −−= −−=++ cB0'_ ( ) ( )( ) ++= ++=++ D#$%&E<'=0 '?0'@AB0'C''=0D0'd'!NBH' E +− E −− E ++ SE −+ dE −− ^a!?L!03b6d-Q)(A8MU1),M9M)e(),!f(gB 5 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt--- THCS Nam Hµ 8_)'!X)K?0'@ eY?ROV!"C'!X)K?0'@fcBf cB?0'@f\'!X)B,3-0'_'!X)B,3?\"Bg"CR^ K'XAY0hS cB?0'@f\'!X)'iB0Z-0'_'!X)P'j!\SJ h M 0*?\ P"CR^K'XAY0hS-k"CR^SRUK'XAY'W0 cB?0'@f\'!X)0'_\'@'=0D #$%&E E ( ) −−= i E ( ) −+−= i cB?0'@f\0MH'XAYl0'_"C'!X)K?0'@?\-', ?0'@?\'@'=0D"C #$%& −+− cB?0'@f\0MH'XAYK'J0Db'ml0MH'XAY K'J0Db"n0'_"C'!X)K?0'@-',?0'@?\'@'=0D #$%& ++− D%& #$%&<'=0 '?0'@f 0'C''=0D ;*)<%""$$%%%% <>!Xca4 ),J),&-.<$ ! ! 9&$ ! ! Lời giải : N99:),+b! j.(7!f)!f!')MU1), f N99.)"ca:),6k!)4( f DN9"9:),+]D 9.)"ca:),6k!)4(.)! )4( f 6 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt--- THCS Nam Hµ \N9#9ca:),2ca:), f f iN9$)e(),!f(l\(Mm)gB NGn_Ci 4D:),o po'9)Uc io po op #$%&'<'=0 '?0'@f 0'C''=0D 7" " X04m)Q(?.L% %0F7!f)J), 0K),3 Lời giải: f #$%&<'=0 '?0'@f 0'C''=0D Lời giải N9%f N9f #$%&0<'=0 ' > ?0'@AB0'C''=0D ,, ,5, 55 , Hướng dẫn <'=0o > '?0'R > p ,0RU0R q 'RP'=0o > '?0'R > f 80 > '' q 0R r 0'R > ,, ,,, ,,, ,, '= q d > 05,5,so p = q ,00 > '' q 0R r 0'R > '!B r ?0'R > ,5, 55 , ,5, ,5, ,5 , ,5 , ,, 5 ,5,,,,5,5 ,,55 Chu ́ y ́ %q T * P Q T P S R 7 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt--- THCS Nam Hµ ^U P 1 T *- O (r R 6),)U s ),0U P P D R ),0U P 0S R !Q R V! S R ? O 0U P t O ,! P 6! R T 0U P S O ),Bt O ?* R 2 ), O ! P M*)t P S O ), P P )U6Q)2 O ) P M*)t P S O ), P \ P ,! P 6! R 6!Q),;U1),M9MBg 0#%%% ??F-GAHI"(-@/! 5F-GAHI"(-@/!JKA-LMNN"OCCHP #$%& ( ) ( ) ( )( ) −+++=−+=−++=+ 2. Thêm và bớt một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung #$%&E −+ "E ( ) ( ) ( ) ( )( ) −++−= +−−+−++−= −+−+−+−= −+ "' ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) −++−= −++−= +−−+= −+−+= −+ D%& #$%&<'=0 '?0'@ 0'C''=0D Lời giải N9% N9 N9 #$%&'<'=0 '?0'@ 0'C''=0D Lời giải 8 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt--- THCS Nam Hµ N9% N9 #$%&<'=0o > '?0'R > 0' p ''=0R r Lơ ̀ i gia ̉ i N P % N P 8'3) p U > 0 F G #$%&0<'=0o > '?0'R > 0' p ''=0R r Lơ ̀ i gia ̉ i jU P & > ?0'R > S q ) 'R - ?3 p B'R > '=0R r " p ???HQHQ& aI0AYC!0HP'=0 '?0'@0'C''=0D)C0*?\?0'@?L '\!QB0'@BW0'!X'!NB"t-0?`0!QB0'@W,"C)!cP'T0u?\?R ?RON?0'@)^!?U!j'U<'=0 '?0'@)^!C,0'C''=0D*v! "J!0',0'cwCC0!cP0T #$%&E ( )( )( ) ( )( ) ++++=++++= o ]`0 ( ) ++= -0\ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ++++= ++++=+−=−=++− #$%& + −+ += +−++=+−++= 9 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt--- THCS Nam Hµ ]`0 +=+⇒=− x?\ ( ) ( ) ( ) ( ) −+= + −=+=+=+++= "'E ( ) ( ) ( ) −+=−+−+=+−+−+= o D%&E #$%&<'=0o > '?0'R > AB0' p ''=0R r Lơ ̀ i gia ̉ i ]y q 0 ,-?0'R > ? z ' > S q ,,, ,, Nhận xét'[P'RUP'HP?M!!c0?L?R?0'@b?Y!^! 0'C'?0'@b?Y!^!, #$%&'<'=0o > '?0'R > AB0' p ''=0R r : Lơ ̀ i gia ̉ i N P %7! r AR r 68!3 > 0?0'R > SRU > !S q ]y q 0 0'o p x? > : , , , , x q P'=0o > ' p ,B z ?B > U > ! N P : R%% ?#S-N- 10 [...]... – 3)2 11 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt - THCS Nam Hµ Hệ quả 3: Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì và đều là số nguyên Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử Ví dụ 2 Hướng dẫn Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = – 18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x) Dễ thấy không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không là nghiệm của... được thành nhân tử thì phải có dạng 12 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt - THCS Nam Hµ (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Đồ ng nhấ t các hê ̣ số ta đươ ̣c : Xét bd= 3 với b, d thuộ Z, b thuộc {± 1, ± 3} Với b = 3 thì d = 1, hê ̣ điề u kiê ̣n trên trở thành 2c = -14 - (-6) = -8 Do đó c = -4, a = -2 Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3... – x + 2) Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau : Hệ quả 1: Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1 Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1 Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là một nghiệm của đa thức Đa thức có một nhân tử là x – 1 Ta phân tích như sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)(... có thể hoán vị vòng quanh) Do đó nếu P đã chứa thừa số (x – y) thì cũng chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các... c) Đa thức đã cho có da ̣ng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 Theo kế t quả câu a) ta có : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8( x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) 14 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt - THCS Nam Hµ 15 ... nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2 Từ đó, ta tách như sau Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)= (x + 2)(x2 – x + 2) Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách 4 : f(x)... đưa về một số đa thức đặc biệt 1 Đưa về đa thưc : a3 + b3 + c3 - 3abc ́ Ví du ̣ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc b) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 13 Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt - THCS Nam Hµ Lời giải a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b... 3abc Vâ ̣y (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) 2 Đưa về đa thưc : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 ́ Ví du ̣ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 b) 8( x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a +...Båi dìng to¸n 8 Lª Thanh ViÖt - THCS Nam Hµ Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0 Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành . Bồi dỡng toán 8 Lê Thanh Việt--- THCS Nam Hà Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ Buổi 1. Nhân đa thức 04-11-2010. 65 b, x 2 + y( y- 2x) + 75 Dạng 2: Tìm x Bài 1 : Tìm x 1 Bồi dỡng toán 8 Lê Thanh Việt--- THCS Nam Hà Dạng 3: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không