Đang tải... (xem toàn văn)
Các kết quả chính của luận văn nhằm chủ yếu ở Chương 3 - Một số bài toán liên quan đến thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.. Bản luận văn Đồng nhất thức và bất đẳng thức hì[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-Phạm Thái Ly
Đồng thức bất đẳng thức hình học
Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ
(2)Mục lục
Mở đầu
1 Một số khái niệm hình - khối đa diện
1.1 Góc nhị diện - tam diện
1.2 Định lý Cosin cho góc tam diện
1.3 Tam diện liên hợp với tam diện cho 10
1.4 Định lý Sin cho góc tam diện 12
1.5 Mối liên hệ góc phẳng góc đa diện 13
1.6 Hình - Khối đa diện 14
1.7 Khối đa diện 16
1.8 Một số ví dụ 18
2 Vectơ phép tốn khơng gian 21 2.1 Định nghĩa hình học vectơ 21
2.2 Phép toán vectơ qua tọa độ 21
2.3 Tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ 22
2.4 Bài toán véctơ cho tứ diện 30
3 Một số tốn liên quan đến thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp 34 3.1 Thể tích, bán kính mặt cầu ngoại tiếp qua định thức 34
3.2 Phương pháp thể tích 42
3.3 Một số bất đẳng thức tứ diện 50
3.4 Một vài vấn đề tổng hợp 54
(3)3.4.2 Phương pháp hình hộp 55 3.4.3 Phương pháp trải hình 57
Kết luận 60
(4)Mở đầu
Khi học sinh cấp ba, tơi u thích mơn hình học khơng gian Lúc say mê với bút chì thước kẻ để dựng hình giải tốn khó Trải qua thời gian dài làm giáo viên lại day môn hình khơng gian, với tiết dạy tơi yêu thích đam mê Nhưng tự hỏi thân, tốn hình khơng gian xoay quanh dạng quen thuộc Và dùng bút chì thước kẻ làm việc với khối hình đơn giản khối tứ diện đều, gần đều, vng, Và chí ta đưa phương pháp tọa độ vào hình khơng gian để giảm bớt thao tác dựng hình tốn chọn khối hình đặc biệt để dựng hệ tọa độ Bên cạnh đó, tơi nhận thấy người ta quan tâm đến hệ thức liên hay đại lượng bị chặn hay chặn để đánh giá yếu tố tam giác, tứ giác, đường tròn tứ diện Tuy nhiên mảnh đất cho hình khơng gian cịn ỏi Với nhiều mong muốn suy nghĩ định viết đề tài đồng thức bất đẳng thức hình khơng gian để thỏa mãn niềm u thích thân muốn đóng góp mẻ cho tốn học nói chung hình học nói riêng Nhưng để có kết dùng compa thước kẻ? Có nhiều cách luận văn chủ yếu khai thác toán để dẫn đến kết biết tiếp tục phát tốn qua cơng cụ tốn cao cấp định thức, ma trận, giải tích lượng giác Các kết luận văn nhằm chủ yếu Chương - Một số toán liên quan đến thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
(5)3 chương
Chương Một số khái niệm hình - khối đa diện
Chương trình bày số khái niệm góc nhị diện - tam diện, tam diện liên hợp với tam diện cho, hình - khối đa diện, đa diện số ví dụ Kết chương việc phát biểu chứng minh Định lý 1.2.1, Định lý cosin cho góc tam diện; Định lý 1.4.1, Định lý sin cho góc tam diện Định lý 1.6.1 Trong mục 1.4 nêu số ví dụ đưa vào định nghĩa tâm, bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp tứ diện khai thác chương sau nhiều lại nhắc sách phổ thơng
Chương Véctơ phép tốn khơng gian
Chương trình bày định nghĩa hình học véctơ, phép tốn véctơ qua tọa độ, tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ ví dụ minh họa Các ví dụ chương từ toán bản, chẳng hạn Ví dụ 2.3.8." Nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện vng góc cặp cạnh thứ ba cịn lại vng góc" đến tốn đạt kết đẹp sau:
Mệnh đề 2.4.1 Với điểm O tứ diện ABCD, điểm O0 nằm ngồi tứ diện ABCD, góc tam diện đỉnh A ta ln có
(1) −→OA.VOBCD +
−−→
OB.VOCDA +
−→
OC.VODAB +
−−→
OD.VOABC = ~0 Đặc
biệt, −IA.S→ a+
−→
IB.Sb+
−→
IC.Sc+
−→
ID.Sd =~0 I tâm mặt cầu ngoại tiếp
trong tứ diện
(2) −−−→O0A.VO0BCD +
−−→
O0B.VO0CDA+
−−→
O0C.VO0DAB +
−−→
O0D.VO0ABC =~0
Ví dụ 2.4.2 Giả sử tứ diện ABCD có BC = a, CA = b, AB = c,
DA = x, DB = y, DC = z I tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Đặt T = saIA2 + sbIB2 +scIC2 +sdID2 Khi ta có
T = a 2s
bsc +b2scsa+x2sasd+y2sbsd+z2scsd
sa+sb +sc +sd
Chương Một số toán liên quan đến thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp
(6)và bán kính mặt cầu ngoại tiếp Trong biến đổi, tác giả sử dụng định thức cấp 3, đồng thức (Mệnh đề 3.1.1) tính thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện qua độ dài cạnh:
Mệnh đề 3.1.3 Giả sử hình chóp SABC có độ dài cạnh SA = a,
SB = b, SC = c, BC = x, CA = y, AB = z Ta có cơng thức tính thể tích tứ diện
V =
12√12
v u u u t
2a2 a2 +b2 −z2 a2 +c2 −y2 a2 + b2 −z2 2b2 b2 +c2 −x2 a2 +c2 −y2 b2 + c2 −x2 2c2
Hệ 3.1.1 Tứ diện A1A2A3A4 có độ dài cạnh a = l12, b = l13,
c = l14, x = l34, y = l24, z = l23 Đặt 2S = ax+ by + cz Khi bán
kínhRcủa mặt cầu ngoại tiếp tứ diện xác định công thức
(1) R =
p
S(S −ax)(S −by)(S −cz)
6V
(2) R =
√
2pS(S −ax)(S −by)(S −cz)
v u u u t
2a2 a2 +b2 −z2 a2 +c2 −y2 a2 +b2 −z2 2b2 b2 +c2 −x2 a2 +c2 −y2 b2 + c2 −x2 2c2
Bên cạnh đó, chương cịn khai thác tốn góc nhị diện, tam diện sở định lý đề cập chương Trong chương có nhắc lại phương pháp thể tích, phương pháp hữu hiệu để giải tốn hình khơng gian Đồng thời xây dựng số bất đẳng thức tứ diện liên quan đến thể tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp, vốn khai thác sách phổ thông Việt Nam Ở phần cuối chương có đưa phương pháp giải tốn hình khơng gian phương pháp hình hộp phương pháp trải hình số ví dụ đơn giản để minh họa
(7)Đồng thời tác giả xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy cô trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung Ương Nha Trang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hoàn thành khóa học
Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2015
(8)Chương 1
Một số khái niệm hình - khối đa diện
Chương trình bày khái niệm hình - khối đa diện, góc nhị diện-tam diện, định lý Euler, Cauchy Nội dung chủ yếu hình thành từ tài liệu [2], [3] [5]
1.1 Góc nhị diện - tam diện
Ta biết đường thẳng a nằm mặt phẳng (P) chia mặt phẳng thành hai phần, phần với đường thẳng a gọi nửa mặt phẳng Đường thẳng a gọi bờ nửa mặt phẳng
Định nghĩa 1.1.1 Hình hợp hai nửa mặt phẳng(α) (β), có chung bờ a gọi nhị diện
Một nhị diện có kí hiệu [α, a, β] [α, β] (Hình 1) Nếu (α) ta lấy điểm M (β) ta lấy điểm N (M N không nằm a) nhị diện kí hiệu [M, a, N]
Ta cắt nhị diện [α, a, β] mặt phẳng (P) vng góc với a điểm O (Hình 2) Giao tuyến (P) nửa mặt phẳng (α) (β)
(9)Hình
Hình
Định nghĩa 1.1.2 Hình hợp ba tia Ia, Ib, Ic không đồng phẳng gọi tam diện hay góc tam diện
(10)Hình
1.2 Định lý Cosin cho góc tam diện
Định lý 1.2.1 Cho góc tam diện Iabc với góc phẳng ∠bIc = α,
∠cIa = β, ∠aIb = γ Kí hiệu số đo góc nhị diện cạnh Ia, Ib, Ic tương ứng x, y, z Khi ta có đồng thức sau
( cosγ = cosα.cosβ + sinα.sinβ.cosz,
cosα = cosβ.cosγ + sinβ.sinγ.cosx,
cosβ = cosα.cosγ + sinα.sinγ.cosy
(11)Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, Đàm Văn Nhỉ, 2012, Đồng thức phương pháp tọa độ hình học, NXB ĐHQG Hà Nội
[2] Văn Như Cương, Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy, 2000, Hình học 11, NXB Giáo Dục
[3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mẫn, 2014, Hình học 12, NXB Giáo Dục
[4] Dam Van Nhi, 2012, Proving some geometric indentities by using the determinants, Journal of science and Arts, No 4(21) 2012, 385-394
[5] A.Pogorelov, 1987, Geometry , Mir publishers Moscow